Wiki - Факультет компьютерных наук - Вклад [ru]

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (основной поток)

2018-04-11T08:44:43Z

Aschernyavskiy:

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ173 !! БПМИ174 !! БПМИ175 !! БПМИ176 !! БПМИ177 !! БПМИ178
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [mailto:trushindima@yandex.ru Дмитрий Витальевич Трушин] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] || [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент || [mailto:maelbakyan@edu.hse.ru Мовсес Элбакян] || Денис Золотухин || [mailto:tapetrov@edu.hse.ru Тимур Петров] || [mailto:dyugontar@edu.hse.ru Даниил Гонтарь] || Сергей Трошин || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский]
|}

= Расписание консультаций =

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Роман Сергеевич Авдеев || || || || 15:40–17:40, ауд. 623 ||
|-
| <center>2</center> || Дмитрий Витальевич Трушин || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>3</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || ||
|-
| <center>4</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || || 13:00–15:00, ауд. 607
|-
| <center>5</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || || ||
|-
| <center>6</center> || Мовсес Элбакян ||15:10–16:30, ауд. 503 || || || ||
|-
| <center>7</center> || Денис Золотухин || |9:00–10:20, ауд. 302 || || ||
|-
| <center>8</center> || Тимур Петров || || 15:10–16:30 || || ||
|-
| <center>9</center> || Даниил Гонтарь || || || ||15:10–16:30, ауд. 435 ||
|-
| <center>10</center> || Сергей Трошин || || || || || 12:10–13:30, ауд. 304
|-
| <center>11</center> || Александр Чернявский || 13:40–15:00, ауд. 313 || || || ||
|}

[http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%B8_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_%D0%9F%D0%9C%D0%98_2017/2018_(%D0%BF%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA)#.D0.A0.D0.B0.D1.81.D0.BF.D0.B8.D1.81.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BA.D0.BE.D0.BD.D1.81.D1.83.D0.BB.D1.8C.D1.82.D0.B0.D1.86.D0.B8.D0.B9 '''Расписание консультаций преподавателей и ассистентов пилотного потока''']

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

= Порядок формирования итоговой оценки =
== 2-й модуль ==

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,3 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,1 * Oсем,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

= Краткое содержание лекций =

== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (7.09.2017). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (21.09.2017). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (28.09.2017). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (30.09.2017). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Связь множества решений системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (5.10.2017). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Теорема о знаке произведения подстановок. Знак обратной подстановки.

'''Лекция 6''' (12.10.2017). Транспозиции, элементарные транспозиции. Знак транспозиции. Разложение подстановки в произведение элементарных транспозиций. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов).

'''Лекция 7''' (19.10.2017). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке.

'''Лекция 8''' (2.11.2017). Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Формулы Крамера.

'''Лекция 9''' (9.11.2017). Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.

'''Лекция 10''' (16.11.2017). Деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

'''Лекция 11''' (23.11.2017). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

'''Лекция 12''' (30.11.2017). Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Единственность линейного выражения вектора через векторы базиса. Возможность выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

'''Лекция 13''' (7.12.2017). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк. Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов.

'''Лекция 14''' (14.12.2017). Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений.

== 3-4 модули ==

'''Лекция 15''' (11.01.2018). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства.

'''Лекция 16''' (18.01.2018). Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому. Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Изоморфные векторные пространства. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств.

'''Лекция 17''' (25.01.2018). Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств. Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W.

'''Лекция 18''' (1.02.2018). Матрица композиции двух линейных отображений. Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно умножения на квадратную невырожденную матрицу слева или справа. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали.

'''Лекция 19''' (8.02.2018). Линейные функции на векторном пространстве. Примеры. Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Билинейные формы (функции) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису. Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе.

'''Лекция 20''' (15.02.2018). Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа. Угловые миноры матрицы квадратичной формы.

'''Лекция 21''' (16.02.2018). Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Следствие метода Якоби: вычисление отрицательного индекса инерции квадратичной формы над R. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры.

'''Лекция 22''' (22.02.2018). Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом.

'''Лекция 23''' (1.03.2018). Ортогональные и ортонормированные системы векторов евклидова пространства, ортогональные и ортонормированные базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве. Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства.

'''Лекция 24''' (15.03.2018). Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства. Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

'''Лекция 25''' (22.03.2018). Трёхмерное евклидово пространство. Векторное произведение, критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение: определение, связь с ориентированным объёмом, выражение в координатах, критерий компланарности трёх векторов. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Двойное векторное произведение, тождество Якоби. Выражение векторного произведения в координатах. Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия.

'''Лекция 26''' (5.04.2018). Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости, трёх плоскостей в R^3.

= Листки с задачами =

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/xdj7aatj290q55q/LA_17-18_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

5 ноября — последний день приёма задач

с 23 октября по 5 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 16 октября по 5 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

до 15 октября включительно ограничений по числу сдаваемых задач нет

[https://www.dropbox.com/s/a25zbsbuqgm1v4a/LA_17-18_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

14 декабря — последний день приёма задач

с 4 декабря по 14 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 22 ноября по 14 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более девяти''' задач

до 21 ноября включительно ограничений по числу сдаваемых задач нет

[https://www.dropbox.com/s/waefwtlsmw59wbl/LA_17-18_Stream2_Sheet3.pdf?dl=0 '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

11 марта — последний день приёма задач

со 2 по 11 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 20 февраля по 11 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более восьми''' задач

до 19 февраля включительно ограничений по числу сдаваемых задач нет

[https://www.dropbox.com/s/h5ixrv9n6kn4to4/LA_17-18_Stream2_Sheet4.pdf?dl=0 '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

30 апреля — последний день приёма задач

с 20 по 30 апреля включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 10 по 30 апреля включительно одному студенту разрешается сдать '''не более девяти''' задач

до 9 апреля включительно ограничений по числу сдаваемых задач нет

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему [http://anytask.org AnyTask]. Инвайты для регистрации на курс:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 173 !! 174 !! 175 !! 176 !! 177 !! 178
|-
|| 2NTMDdn || YARGWk7 || OE7Arza || 8XGXo1p || 5dUpWjK || FAwfqjI
|}

Краткое руководство по работе с системой [https://www.dropbox.com/s/fl2pyq5fruxchyw/manual_student.pdf?dl=0 прилагается].

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду] (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [mailto:st-fedotov@yandex-team.ru st-fedotov@yandex-team.ru]

'''Внимание:''' тема письма должна начинаться с '''[ФКН - лабораторная N]''', где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ==

'''Срок:'''

4 декабря 23:30 для групп 174–178

6 декабря 23:30 для группы 173

[https://www.dropbox.com/s/k13wos4rmlm3ylx/HSE%20Linalg%20Lab%20Fall%202017.ipynb?dl=0 '''Условие''']

== Лабораторная работа 2 (3-й модуль) ==

'''Срок:'''

9 апреля 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/3pz2wp07rgdneu5/AAApEiXJ1MN7Fo8ykJz3BLJra?dl=0 '''тут'''].

= Контрольные работы =
== 2-й модуль ==

Дата: 17 ноября

Точное время и распределение групп по аудиториям:
* группы 173, 174: время 14:00–16:00, аудитория 402
* группы 175–178: время 15:30–17:30, аудитория 622

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/x8rxmginvi6fs10/LA_17-18_Stream2_Test1.pdf?dl=0 '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.
*Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
*Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8, 18.9, 18.11
*Подстановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
*Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
*Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316; К 14.1

== 4-й модуль ==

Дата-время-место: 25 апреля, 15:10, аудитории 622 и 509

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Задание подпространств системами линейных уравнений: П 1312, 1313, К 35.16; задача 1 из ИДЗ-3

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства: П 1317, 1318, 1320–1322; К 35.14, 35.15; задача 2 из ИДЗ-3

*Матрицы перехода, преобразование координат вектора при замене базиса: П 1280–1283, К 34.10–34.12; задача 1 из ИДЗ-4

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434–1438, 1441–1444, 1445, 1446, 1449, 1450; К 36.3, 36.4, 39.15, 39.16

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения: К 39.5; задача 2(б) из ИДЗ-4

*Билинейные функции, квадратичные формы и их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10, 38.15, 38.16

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175–1186; К 38.8, 38.18(а–г)

*Исследование квадратичных форм на положительную и отрицательную определённость: П 1212–1216; К 38.11(а–г), 38.14(а,б)

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357–1363, 1366; К 43.7(а–г), 43.15(а–в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370–1372; К 43.19(а–в)

*Расстояние от точки до линейного многообразия: П 1374; К 43.21(а–г), 51.7

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28–26.37, 26.39–26.47, 26.50, 27.34, 27.39–27.42, 31.1–31.3, 31.5–31.8, 31.21–31.25, 31.27–31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 27.38, 31.13–31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 32.28–32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38–32.40

= Коллоквиумы =
== 2-й модуль ==

Даты коллоквиума:
1 декабря: группы 173, 177, 178
2 декабря: группы 174, 175, 176

'''Формат проведения коллоквиума'''

Этап 1 (2 балла). Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (5 баллов). Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего принимающий (как правило, другой) проверяет результат. По результатам разговора выставляется оценка за этап 2.

Этап 3 (3 балла). Дальнейший опрос принимающего по программе, в ходе которого могут даваться задачи на понимание теории. По результатам опроса выставляется оценка за этап 3.

[https://www.dropbox.com/s/mhzczvffrsz9etu/LA_17-18_Stream2_Definitions1.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/1l5d81v894np3o9/LA_17-18_Stream2_Questions1.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

= Экзамен 2-й модуль =
Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 19 декабря, 16:40

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/czvb5002vwzx3d8/LA_17-18_Stream2_Exam1.pdf?dl=0 '''Условия задач с экзамена''']

Материалы для подготовки к экзамену:

I: [https://www.dropbox.com/s/up0zatuskhszj8j/LA_17-18_Stream2_Definitions_exam1.pdf?dl=0 '''список определений и формулировок''']

II: список задач для подготовки к 1-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
*Линейная зависимость в векторных пространствах: П 639–644, 646–650, 652–655, 1824–1828; К 34.2, 34.3
*Линейные комбинации, линейные оболочки: П 665–669, 679–681 (база = максимальная линейно независимая подсистема)
*Подпространства, базис, размерность: П 1297–1304, 1308, 1310, 1311; К 34.14, 35.2, 35.3, 35.7(а,в,г), 35.8, 35.11
*Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=1697515667 173] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=1370470393 174] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=816668604 175] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=458782119 176] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=1181982027 177] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=2074432488 178]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=1697515667 173] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=1370470393 174] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=816668604 175] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=458782119 176] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=1181982027 177] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=2074432488 178]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1wUmN2NulG2UGvvbKz_BPEoyexI7JFQFvHAfk4tp54f8/edit#gid=1697515667 173] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1wUmN2NulG2UGvvbKz_BPEoyexI7JFQFvHAfk4tp54f8/edit#gid=1370470393 174] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1wUmN2NulG2UGvvbKz_BPEoyexI7JFQFvHAfk4tp54f8/edit#gid=816668604 175] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1wUmN2NulG2UGvvbKz_BPEoyexI7JFQFvHAfk4tp54f8/edit#gid=458782119 176] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1wUmN2NulG2UGvvbKz_BPEoyexI7JFQFvHAfk4tp54f8/edit#gid=1181982027 177] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1wUmN2NulG2UGvvbKz_BPEoyexI7JFQFvHAfk4tp54f8/edit#gid=2074432488 178]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1HNxjSsmpZ7J5xFJ3u4vRMdiFSxJS8PtTxxhcjkalAKI/edit#gid=1697515667 173] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1HNxjSsmpZ7J5xFJ3u4vRMdiFSxJS8PtTxxhcjkalAKI/edit#gid=1370470393 174] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1HNxjSsmpZ7J5xFJ3u4vRMdiFSxJS8PtTxxhcjkalAKI/edit#gid=816668604 175] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1HNxjSsmpZ7J5xFJ3u4vRMdiFSxJS8PtTxxhcjkalAKI/edit#gid=458782119 176] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1HNxjSsmpZ7J5xFJ3u4vRMdiFSxJS8PtTxxhcjkalAKI/edit#gid=1181982027 177] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1HNxjSsmpZ7J5xFJ3u4vRMdiFSxJS8PtTxxhcjkalAKI/edit#gid=2074432488 178]
|}

== 3-4 модули ==
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ES_r80abcxQCJe_UQQok1y0B50QQy8cW9JcD40UXmS0/edit#gid=1697515667 173] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ES_r80abcxQCJe_UQQok1y0B50QQy8cW9JcD40UXmS0/edit#gid=1370470393 174] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ES_r80abcxQCJe_UQQok1y0B50QQy8cW9JcD40UXmS0/edit#gid=816668604 175] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ES_r80abcxQCJe_UQQok1y0B50QQy8cW9JcD40UXmS0/edit#gid=458782119 176] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ES_r80abcxQCJe_UQQok1y0B50QQy8cW9JcD40UXmS0/edit#gid=1181982027 177] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ES_r80abcxQCJe_UQQok1y0B50QQy8cW9JcD40UXmS0/edit#gid=2074432488 178]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1pHYAmf-EFJ8t4mPOPb0eeXScVgqtlR9rvPyDcoZ-jsQ/edit#gid=1697515667 173] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1pHYAmf-EFJ8t4mPOPb0eeXScVgqtlR9rvPyDcoZ-jsQ/edit#gid=1370470393 174] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1pHYAmf-EFJ8t4mPOPb0eeXScVgqtlR9rvPyDcoZ-jsQ/edit#gid=816668604 175] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1pHYAmf-EFJ8t4mPOPb0eeXScVgqtlR9rvPyDcoZ-jsQ/edit#gid=458782119 176] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1pHYAmf-EFJ8t4mPOPb0eeXScVgqtlR9rvPyDcoZ-jsQ/edit#gid=1181982027 177] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1pHYAmf-EFJ8t4mPOPb0eeXScVgqtlR9rvPyDcoZ-jsQ/edit#gid=2074432488 178]
|}

= Кстати =

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (основной поток)

2018-04-11T08:14:41Z

Aschernyavskiy:

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ173 !! БПМИ174 !! БПМИ175 !! БПМИ176 !! БПМИ177 !! БПМИ178
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [mailto:trushindima@yandex.ru Дмитрий Витальевич Трушин] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] || [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент || [mailto:maelbakyan@edu.hse.ru Мовсес Элбакян] || Денис Золотухин || [mailto:tapetrov@edu.hse.ru Тимур Петров] || [mailto:dyugontar@edu.hse.ru Даниил Гонтарь] || Сергей Трошин || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский]
|}

= Расписание консультаций =

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Роман Сергеевич Авдеев || || || || 15:40–17:40, ауд. 623 ||
|-
| <center>2</center> || Дмитрий Витальевич Трушин || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>3</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || ||
|-
| <center>4</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || || 13:00–15:00, ауд. 607
|-
| <center>5</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || || ||
|-
| <center>6</center> || Мовсес Элбакян ||15:10–16:30, ауд. 503 || || || ||
|-
| <center>7</center> || Денис Золотухин || |15:10–16:30, ауд. 302 || || ||
|-
| <center>8</center> || Тимур Петров || || 15:10–16:30 || || ||
|-
| <center>9</center> || Даниил Гонтарь || || || ||15:10–16:30, ауд. 435 ||
|-
| <center>10</center> || Сергей Трошин || || || || || 12:10–13:30, ауд. 304
|-
| <center>11</center> || Александр Чернявский || 13:40–15:00 || || || ||
|}

[http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%B8_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_%D0%9F%D0%9C%D0%98_2017/2018_(%D0%BF%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA)#.D0.A0.D0.B0.D1.81.D0.BF.D0.B8.D1.81.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BA.D0.BE.D0.BD.D1.81.D1.83.D0.BB.D1.8C.D1.82.D0.B0.D1.86.D0.B8.D0.B9 '''Расписание консультаций преподавателей и ассистентов пилотного потока''']

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

= Порядок формирования итоговой оценки =
== 2-й модуль ==

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,3 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,1 * Oсем,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

= Краткое содержание лекций =

== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (7.09.2017). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (21.09.2017). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (28.09.2017). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (30.09.2017). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Связь множества решений системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (5.10.2017). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Теорема о знаке произведения подстановок. Знак обратной подстановки.

'''Лекция 6''' (12.10.2017). Транспозиции, элементарные транспозиции. Знак транспозиции. Разложение подстановки в произведение элементарных транспозиций. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов).

'''Лекция 7''' (19.10.2017). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке.

'''Лекция 8''' (2.11.2017). Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Формулы Крамера.

'''Лекция 9''' (9.11.2017). Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.

'''Лекция 10''' (16.11.2017). Деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

'''Лекция 11''' (23.11.2017). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

'''Лекция 12''' (30.11.2017). Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Единственность линейного выражения вектора через векторы базиса. Возможность выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

'''Лекция 13''' (7.12.2017). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк. Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов.

'''Лекция 14''' (14.12.2017). Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений.

== 3-4 модули ==

'''Лекция 15''' (11.01.2018). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства.

'''Лекция 16''' (18.01.2018). Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому. Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Изоморфные векторные пространства. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств.

'''Лекция 17''' (25.01.2018). Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств. Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W.

'''Лекция 18''' (1.02.2018). Матрица композиции двух линейных отображений. Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно умножения на квадратную невырожденную матрицу слева или справа. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали.

'''Лекция 19''' (8.02.2018). Линейные функции на векторном пространстве. Примеры. Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Билинейные формы (функции) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису. Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе.

'''Лекция 20''' (15.02.2018). Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа. Угловые миноры матрицы квадратичной формы.

'''Лекция 21''' (16.02.2018). Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Следствие метода Якоби: вычисление отрицательного индекса инерции квадратичной формы над R. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры.

'''Лекция 22''' (22.02.2018). Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом.

'''Лекция 23''' (1.03.2018). Ортогональные и ортонормированные системы векторов евклидова пространства, ортогональные и ортонормированные базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве. Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства.

'''Лекция 24''' (15.03.2018). Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства. Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

'''Лекция 25''' (22.03.2018). Трёхмерное евклидово пространство. Векторное произведение, критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение: определение, связь с ориентированным объёмом, выражение в координатах, критерий компланарности трёх векторов. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Двойное векторное произведение, тождество Якоби. Выражение векторного произведения в координатах. Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия.

'''Лекция 26''' (5.04.2018). Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости, трёх плоскостей в R^3.

= Листки с задачами =

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/xdj7aatj290q55q/LA_17-18_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

5 ноября — последний день приёма задач

с 23 октября по 5 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 16 октября по 5 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

до 15 октября включительно ограничений по числу сдаваемых задач нет

[https://www.dropbox.com/s/a25zbsbuqgm1v4a/LA_17-18_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

14 декабря — последний день приёма задач

с 4 декабря по 14 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 22 ноября по 14 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более девяти''' задач

до 21 ноября включительно ограничений по числу сдаваемых задач нет

[https://www.dropbox.com/s/waefwtlsmw59wbl/LA_17-18_Stream2_Sheet3.pdf?dl=0 '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

11 марта — последний день приёма задач

со 2 по 11 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 20 февраля по 11 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более восьми''' задач

до 19 февраля включительно ограничений по числу сдаваемых задач нет

[https://www.dropbox.com/s/h5ixrv9n6kn4to4/LA_17-18_Stream2_Sheet4.pdf?dl=0 '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

30 апреля — последний день приёма задач

с 20 по 30 апреля включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 10 по 30 апреля включительно одному студенту разрешается сдать '''не более девяти''' задач

до 9 апреля включительно ограничений по числу сдаваемых задач нет

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему [http://anytask.org AnyTask]. Инвайты для регистрации на курс:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 173 !! 174 !! 175 !! 176 !! 177 !! 178
|-
|| 2NTMDdn || YARGWk7 || OE7Arza || 8XGXo1p || 5dUpWjK || FAwfqjI
|}

Краткое руководство по работе с системой [https://www.dropbox.com/s/fl2pyq5fruxchyw/manual_student.pdf?dl=0 прилагается].

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду] (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [mailto:st-fedotov@yandex-team.ru st-fedotov@yandex-team.ru]

'''Внимание:''' тема письма должна начинаться с '''[ФКН - лабораторная N]''', где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ==

'''Срок:'''

4 декабря 23:30 для групп 174–178

6 декабря 23:30 для группы 173

[https://www.dropbox.com/s/k13wos4rmlm3ylx/HSE%20Linalg%20Lab%20Fall%202017.ipynb?dl=0 '''Условие''']

== Лабораторная работа 2 (3-й модуль) ==

'''Срок:'''

9 апреля 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/3pz2wp07rgdneu5/AAApEiXJ1MN7Fo8ykJz3BLJra?dl=0 '''тут'''].

= Контрольные работы =
== 2-й модуль ==

Дата: 17 ноября

Точное время и распределение групп по аудиториям:
* группы 173, 174: время 14:00–16:00, аудитория 402
* группы 175–178: время 15:30–17:30, аудитория 622

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/x8rxmginvi6fs10/LA_17-18_Stream2_Test1.pdf?dl=0 '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.
*Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
*Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8, 18.9, 18.11
*Подстановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
*Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
*Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316; К 14.1

== 4-й модуль ==

Дата-время-место: 25 апреля, 15:10, аудитории 622 и 509

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Задание подпространств системами линейных уравнений: П 1312, 1313, К 35.16; задача 1 из ИДЗ-3

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства: П 1317, 1318, 1320–1322; К 35.14, 35.15; задача 2 из ИДЗ-3

*Матрицы перехода, преобразование координат вектора при замене базиса: П 1280–1283, К 34.10–34.12; задача 1 из ИДЗ-4

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434–1438, 1441–1444, 1445, 1446, 1449, 1450; К 36.3, 36.4, 39.15, 39.16

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения: К 39.5; задача 2(б) из ИДЗ-4

*Билинейные функции, квадратичные формы и их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10, 38.15, 38.16

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175–1186; К 38.8, 38.18(а–г)

*Исследование квадратичных форм на положительную и отрицательную определённость: П 1212–1216; К 38.11(а–г), 38.14(а,б)

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357–1363, 1366; К 43.7(а–г), 43.15(а–в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370–1372; К 43.19(а–в)

*Расстояние от точки до линейного многообразия: П 1374; К 43.21(а–г), 51.7

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28–26.37, 26.39–26.47, 26.50, 27.34, 27.39–27.42, 31.1–31.3, 31.5–31.8, 31.21–31.25, 31.27–31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 27.38, 31.13–31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 32.28–32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38–32.40

= Коллоквиумы =
== 2-й модуль ==

Даты коллоквиума:
1 декабря: группы 173, 177, 178
2 декабря: группы 174, 175, 176

'''Формат проведения коллоквиума'''

Этап 1 (2 балла). Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (5 баллов). Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего принимающий (как правило, другой) проверяет результат. По результатам разговора выставляется оценка за этап 2.

Этап 3 (3 балла). Дальнейший опрос принимающего по программе, в ходе которого могут даваться задачи на понимание теории. По результатам опроса выставляется оценка за этап 3.

[https://www.dropbox.com/s/mhzczvffrsz9etu/LA_17-18_Stream2_Definitions1.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/1l5d81v894np3o9/LA_17-18_Stream2_Questions1.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

= Экзамен 2-й модуль =
Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 19 декабря, 16:40

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/czvb5002vwzx3d8/LA_17-18_Stream2_Exam1.pdf?dl=0 '''Условия задач с экзамена''']

Материалы для подготовки к экзамену:

I: [https://www.dropbox.com/s/up0zatuskhszj8j/LA_17-18_Stream2_Definitions_exam1.pdf?dl=0 '''список определений и формулировок''']

II: список задач для подготовки к 1-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
*Линейная зависимость в векторных пространствах: П 639–644, 646–650, 652–655, 1824–1828; К 34.2, 34.3
*Линейные комбинации, линейные оболочки: П 665–669, 679–681 (база = максимальная линейно независимая подсистема)
*Подпространства, базис, размерность: П 1297–1304, 1308, 1310, 1311; К 34.14, 35.2, 35.3, 35.7(а,в,г), 35.8, 35.11
*Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=1697515667 173] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=1370470393 174] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=816668604 175] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=458782119 176] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=1181982027 177] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=2074432488 178]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=1697515667 173] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=1370470393 174] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=816668604 175] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=458782119 176] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=1181982027 177] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=2074432488 178]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1wUmN2NulG2UGvvbKz_BPEoyexI7JFQFvHAfk4tp54f8/edit#gid=1697515667 173] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1wUmN2NulG2UGvvbKz_BPEoyexI7JFQFvHAfk4tp54f8/edit#gid=1370470393 174] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1wUmN2NulG2UGvvbKz_BPEoyexI7JFQFvHAfk4tp54f8/edit#gid=816668604 175] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1wUmN2NulG2UGvvbKz_BPEoyexI7JFQFvHAfk4tp54f8/edit#gid=458782119 176] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1wUmN2NulG2UGvvbKz_BPEoyexI7JFQFvHAfk4tp54f8/edit#gid=1181982027 177] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1wUmN2NulG2UGvvbKz_BPEoyexI7JFQFvHAfk4tp54f8/edit#gid=2074432488 178]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1HNxjSsmpZ7J5xFJ3u4vRMdiFSxJS8PtTxxhcjkalAKI/edit#gid=1697515667 173] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1HNxjSsmpZ7J5xFJ3u4vRMdiFSxJS8PtTxxhcjkalAKI/edit#gid=1370470393 174] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1HNxjSsmpZ7J5xFJ3u4vRMdiFSxJS8PtTxxhcjkalAKI/edit#gid=816668604 175] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1HNxjSsmpZ7J5xFJ3u4vRMdiFSxJS8PtTxxhcjkalAKI/edit#gid=458782119 176] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1HNxjSsmpZ7J5xFJ3u4vRMdiFSxJS8PtTxxhcjkalAKI/edit#gid=1181982027 177] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1HNxjSsmpZ7J5xFJ3u4vRMdiFSxJS8PtTxxhcjkalAKI/edit#gid=2074432488 178]
|}

== 3-4 модули ==
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ES_r80abcxQCJe_UQQok1y0B50QQy8cW9JcD40UXmS0/edit#gid=1697515667 173] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ES_r80abcxQCJe_UQQok1y0B50QQy8cW9JcD40UXmS0/edit#gid=1370470393 174] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ES_r80abcxQCJe_UQQok1y0B50QQy8cW9JcD40UXmS0/edit#gid=816668604 175] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ES_r80abcxQCJe_UQQok1y0B50QQy8cW9JcD40UXmS0/edit#gid=458782119 176] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ES_r80abcxQCJe_UQQok1y0B50QQy8cW9JcD40UXmS0/edit#gid=1181982027 177] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ES_r80abcxQCJe_UQQok1y0B50QQy8cW9JcD40UXmS0/edit#gid=2074432488 178]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1pHYAmf-EFJ8t4mPOPb0eeXScVgqtlR9rvPyDcoZ-jsQ/edit#gid=1697515667 173] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1pHYAmf-EFJ8t4mPOPb0eeXScVgqtlR9rvPyDcoZ-jsQ/edit#gid=1370470393 174] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1pHYAmf-EFJ8t4mPOPb0eeXScVgqtlR9rvPyDcoZ-jsQ/edit#gid=816668604 175] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1pHYAmf-EFJ8t4mPOPb0eeXScVgqtlR9rvPyDcoZ-jsQ/edit#gid=458782119 176] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1pHYAmf-EFJ8t4mPOPb0eeXScVgqtlR9rvPyDcoZ-jsQ/edit#gid=1181982027 177] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1pHYAmf-EFJ8t4mPOPb0eeXScVgqtlR9rvPyDcoZ-jsQ/edit#gid=2074432488 178]
|}

= Кстати =

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (основной поток)

2017-10-13T15:01:35Z

Aschernyavskiy:

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ173 !! БПМИ174 !! БПМИ175 !! БПМИ176 !! БПМИ177 !! БПМИ178
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [mailto:trushindima@yandex.ru Дмитрий Витальевич Трушин] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] || [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент || [mailto:maelbakyan@edu.hse.ru Мовсес Элбакян] || Денис Золотухин || Тимур Петров || Даниил Гонтарь || Сергей Трошин || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Роман Сергеевич Авдеев || || || || 15:40–17:40, ауд. 623 ||
|-
| <center>2</center> || Дмитрий Витальевич Трушин || || || || 15:10–16:30, ауд. 306 ||
|-
| <center>3</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || ||
|-
| <center>4</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || || 9:00–11:00, ауд. 607
|-
| <center>5</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || || ||
|-
| <center>6</center> || Мовсес Элбакян || ||13:40–15:00, ауд. 618 || || ||
|-
| <center>7</center> || Денис Золотухин || |15:10–16:30, ауд. 302 || || ||
|-
| <center>8</center> || Тимур Петров || 15:10–16:30, ауд. 511 || || || ||
|-
| <center>9</center> || Даниил Гонтарь || || || ||15:10–16:30 ||
|-
| <center>10</center> || Сергей Трошин || || 13:40–15:00, ауд. 302 || || ||
|-
| <center>11</center> || Александр Чернявский || || 12:10–13:30, ауд. 302 || || ||
|}

== Формы контроля знаний студентов ==

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

== Порядок формирования итоговой оценки ==
=== 2-й модуль ===

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,3 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,1 * Oсем,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== Краткое содержание лекций ==

'''Лекция 1''' (7.09.2017). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (21.09.2017). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (28.09.2017). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (30.09.2017). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Связь множества решений системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (5.10.2017). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Теорема о знаке произведения подстановок. Знак обратной подстановки.

'''Лекция 6''' (12.10.2017). Транспозиции, элементарные транспозиции. Знак транспозиции. Разложение подстановки в произведение элементарных транспозиций. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов).

== Листки с задачами ==

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/xdj7aatj290q55q/LA_17-18_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

5 ноября — последний день приёма задач

с 23 октября по 5 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 16 октября по 5 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

до 15 октября включительно ограничений нет

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=1697515667 173] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=1370470393 174] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=816668604 175] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=458782119 176] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=1181982027 177] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xk5XyFK6gm4YmIdBcQvq1wT4rXhDgWHNGArgwKKXcSQ/edit#gid=2074432488 178]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=1697515667 173] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=1370470393 174] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=816668604 175] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=458782119 176] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=1181982027 177] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit?ts=59d35ef5#gid=2074432488 178]
|}

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (основной поток)

2017-09-21T13:27:39Z

Aschernyavskiy: /* Расписание консультаций */

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-04-04T13:24:41Z

Aschernyavskiy:

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ161 !! БПМИ162 !! БПМИ163 !! БПМИ164 !! БПМИ165 !! БПМИ166 !! БПМИ167 !! БПМИ168
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] ||colspan="2"| [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент ||colspan="2"| [mailto:beloppolina@gmail.com Полина Белопашенцева], [mailto:georgiy-sh@ya.ru Георгий Шумкин] || [mailto:rakhaydurov@edu.hse.ru Руслан Хайдуров] || [mailto:eterniusgrv@gmail.com Вадим Гринберг] || [mailto:pvl.kovalev@gmail.com Павел Ковалёв] || [mailto:n.v.bakaykina@gmail.com Наталья Бакайкина] || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский] || [mailto:valerystar@inbox.ru Валерия Старичкова]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Дмитрий Игоревич Пионтковский || 15:30–16:30, ауд. 507 || 18:30–20, ауд. 507 || || || 15:10–16:30, Шаболовка 26, ауд. 5413
|-
| <center>2</center> || Всеволод Леонидович Чернышев || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>3</center> || Роман Сергеевич Авдеев || 15:40–17:40, ауд. 623 или 618 || || || ||
|-
| <center>4</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || || 9:00–10:30, ауд. 511
|-
| <center>5</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || || 13:00–15:00, ауд. 607
|-
| <center>6</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || 13:40–17:00, ауд. 607 || ||
|-
| <center>7</center> || Полина Белопашенцева || || || || || 16:40–18:00, ауд.??
|-
| <center>8</center> || Георгий Шумкин || || || || || 13:40–15.00, ауд.  618
|-
| <center>9</center> || Руслан Хайдуров || || 13:40–22:00, ауд. ?? || || ||
|-
| <center>10</center> || Вадим Гринберг || || 16:40–18:10, ауд. ?? || || || 16:40–18:10, ауд. 308
|-
| <center>11</center> || Павел Ковалёв || || 16:40–18:00 || || ||
|-
| <center>12</center> || Наталья Бакайкина || || || 15:00–16:30 || ||
|-
| <center>13</center> || Александр Чернявский ||15:00–16:30, ауд. ?? || || || ||
|-
| <center>14</center> || Валерия Старичкова || || || || 13:40–15:00 ||
|}

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Информация для пилотного потока ==

=== Краткое содержание лекций ===

'''Лекция 1''' (6.09.2016). Геометрия ''n''-мерного арифметического пространства.

'''Лекция 2''' (13.09.2016). Матрицы и основные операции над ними.

'''Лекция 3''' (20.09.2016). Элементарные преобразования строк матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

'''Лекция 4''' (27.09.2016). Существование и единственность канонического вида матрицы. Обратная матрица.

'''Лекция 5''' (4.10.2016). Обратимость невырожденных матриц. Линейное пространство. Подпространства, линейные оболочки.

'''Лекция 6''' (11.10.2016). Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.

'''Лекция 7''' (18.10.2016). Столбцовый и строчный ранг матрицы, теорема об их равенстве. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

'''Лекция 8''' (1.11.2016). Теорема Кронекера-Капелли. Размерность линейного многообразия. Сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями.

'''Лекция 9''' (8.11.2016). Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм. Теорема о том, что все пространства одной конечной размерности изоморфны друг другу.

'''Лекция 10''' (15.11.2016). Матрица перехода между двумя базисами. Формула замены координат. Определитель матрицы порядка 2, ориентированная площадь. Подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

'''Лекция 11''' (22.11.2016). Определитель треугольной матрицы. Определитель как полилинейная функция строк. Умножение подстановок. Изменение знака подстановки при умножении на транспозицию. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы.

'''Лекция 12''' (29.11.2016). Определитель как единственная полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, равная 1 на единичной матрице. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Формула разложения определителя по строке. Знак произведения подстановок и знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 13''' (6.12.2016). Приложения определителей: формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений; формула обратной матрицы; определение ранга матрицы через миноры (ранг Фробениуса).

'''Лекция 14''' (13.12.2016). Комплексные числа.

'''Лекция 15''' (10.01.2017). Поле. Примеры полей. Линейные пространства над полем. Комплексификация и овеществление. Линейное отображение и линейный оператор: определение и геометрические примеры.

'''Лекция 16''' (17.01.2017). Новые примеры линейных отображений. Множество линейных отображений Hom(U,V) как линейное пространство. Линейные функционалы и двойственное пространство. Понятие двойственного базиса, размерность двойственного пространства. Идея теории категорий, категория линейных пространств. Контравариантные и ковариантные функторы.
Матрица линейного отображения: эквивалентность двух определений. Размерность линейного пространства Hom(U,V).

'''Лекция 17''' (25.01.2017).
Матрица композиции линейных отображений. Матрица изоморфизма. Замена координат и матрица линейного отображения. Замена координат в двойственном пространстве, понятие ковектора. Ядро и образ линейного отображения, их связи с матрицей линейного отображения. Короткая точная последовательность. Ранг, определитель и след линейного оператора.

'''Лекция 18''' (31.01.2017). Инвариантные пространства линейного оператора, инвариантность его ядра и образа. Прямая сумма нескольких подпространств. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство или прямую сумму таких подпространств. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен линейного оператора. Определитель и след и характеристический многочлен как инварианты линейного оператора.

'''Лекция 19''' (7.02.2017). Характеристический многочлен как инвариант линейного оператора. Алгебраически замкнутое поле. Кратности и количество корней многочлена над алгебраически замкнутым полем. Формулы Виета. Связь определителя и следа комплексного оператора с собственными значениями. Диагонализуемые операторы (операторы простой структуры). Оператор дифференцирования многочленов как пример не диагонализуемого оператора.

'''Лекция 20''' (14.02.2017). Корневые векторы и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

'''Лекция 21''' (21.02.2017). Теорема о приведении матрицы линейного оператора к верхнетреугольному виду. Формулировка теоремы о жордановой форме линейного оператора в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем. Единственность жордановой формы.

'''Лекция 22''' (28.02.2017). Существование аннулирующего многочлена линейного оператора над произвольным полем. Теорема Гамильтона--Кэли. Минимальный многочлен комплексного линейного оператора.

Евклидово пространство. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базис.

'''Лекция 23''' (7.3.2017). Связь матриц Грама различных базисов. Существование и единственность проекции и ортогональной составляющей вектора относительно подпространства. Существование и метод построения ортонормированного базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Объем k-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве, его связь с определителем матрицы Грама. Ориентированный объем n-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (15.3.2017). Эрмитово пространство, его сходство и различие с евклидовым пространством. Сопряженные линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. Самосопряженный (эрмитов) оператор. Нормальный оператор, его основное свойство.

'''На ближайших лекциях:''' Ортогональные и унитарные операторы. Ортогональные и унитарные матрицы. Канонический вид унитарного оператора и ортогонального оператора. QR разложение. Положительно определенный самосопряженный оператор. SU разложение. Сингулярное разложение.

=== Порядок формирования итоговой оценки для пилотного потока ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

==== 4-й модуль ====

== Информация для основного потока ==

=== Порядок формирования итоговой оценки ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,2 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

==== 4-й модуль ====

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

=== Краткое содержание лекций ===

==== 1-2 модули ====

'''Лекция 1''' (5.09.2016). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (12.09.2016). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (19.09.2016). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (26.09.2016). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Матричные единицы. Умножение на матричную единицу. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (3.10.2016). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении справа на элементарную транспозицию.

'''Лекция 6''' (10.10.2016). Изменение знака подстановки при умножении справа на произвольную транспозицию. Разложение подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов).

'''Лекция 7''' (17.10.2016). Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц.

'''Лекция 8''' (31.10.2016). Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

'''Лекция 9''' (7.11.2016). Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства.

'''Лекция 10''' (14.11.2016). Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

'''Лекция 11''' (21.11.2016). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

'''Лекция 12''' (28.11.2016). Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства, координаты вектора в базисе. Базис как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

'''Лекция 13''' (5.12.2016). Эквивалентные условия, определяющие конечномерное векторное пространство размерности n. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 14''' (12.12.2016). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

==== 3-4 модули ====

'''Лекция 15''' (19.12.2016). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

'''Лекция 16''' (16.01.2017). Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

'''Лекция 17''' (23.01.2017). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений.

'''Лекция 18''' (30.01.2017). Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры.

'''Лекция 19''' (6.02.2017). Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Утверждение о том, что всякое подпространство в F^n является множеством решений некоторой однородной системы линейных уравнений. Билинейные функции (формы) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису.

'''Лекция 20''' (13.02.2017). Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

'''Лекция 21''' (20.02.2017). Угловые миноры матрицы квадратичной формы. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры.

'''Лекция 22''' (27.02.2017). Следствие метода Якоби: вычисление отрицательного индекса инерции квадратичной формы над R. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

'''Лекция 23''' (6.03.2017). Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Ортогональные и ортонормированные системы векторов евклидова пространства, ортогональные и ортонормированные базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (13.03.2017). Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства.

'''Лекция 25''' (20.03.2017). Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Смешанное произведение векторов, его выражение в координатах, критерий компланарности трёх векторов. Векторное произведение, критерий коллинеарности двух векторов. Связь векторного произведения со смешанным произведением. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Двойное векторное произведение, тождество Якоби. Выражение векторного произведения в координатах. Связь множества решений системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы.

=== Листки с задачами ===

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/f3epqb7rs71r995/LA_16-17_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

до 6 ноября включительно разрешается сдавать любое количество задач;

с 7 по 13 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более шести''' задач;

13 ноября — последний день приёма задач

[https://www.dropbox.com/s/wmhg3cqj7sop14l/LA_16-17_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

18 декабря — последний день приёма задач

с 12 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 6 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

[https://www.dropbox.com/s/c6dkx76ncb6ddre/LA_16-17_Stream2_Sheet3.pdf?dl=0 '''Листок 3''']. Конструкции, связанные с линейными отображениями

Сроки сдачи листка 3:

19 марта — последний день приёма задач

с 13 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 6 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более восьми''' задач

=== Лабораторные работы ===

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не затирайте условий задач. Задание должно быть выполнено на языке Python.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему [http://anytask.org AnyTask]. Инвайты для регистрации на курс:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 163 !! 164 !! 165 !! 166 !! 167 !! 168
|-
|| erCwXX3 || FjduzdE || 078wQmj || d8Lfn5Y || 5JCnwSR || HNJ3zEn
|}

Краткое руководство по работе с системой [https://www.dropbox.com/s/fl2pyq5fruxchyw/manual_student.pdf?dl=0 прилагается].

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду] (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [mailto:st-fedotov@yandex-team.ru st-fedotov@yandex-team.ru]

'''Внимание:''' тема письма должна начинаться с '''[ФКН - лабораторная N]''', где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

==== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ====

'''Срок:'''

5 декабря 23:30 для групп 164-168

7 декабря 23:30 для группы 163

[https://www.dropbox.com/s/gqvszs55cl5519o/HSE%20Linalg%20Lab%20Fall%202016.ipynb?dl=0 '''Условие''']

==== Лабораторная работа 2 (3-й модуль) ====

'''Срок:''' 5 апреля 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/p9zegynwx1kgt3d/AABjR9UCqD0aihbuzcnIobgAa?dl=0 '''тут'''].

=== Контрольные работы ===
==== 2-й модуль ====

Контрольная работа состоялась 19 ноября в 12:10 в аудиториях 622 и 509.

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/p5ceogf3zhaplra/LA_16-17_Stream2_Test1.pdf?dl=0 '''Условия задач из контрольной''']

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.
*Решение систем линейных уравнений [82--89, 567--581, 689--704, 712--720]
*Действия с матрицами [788--798, 801, 805, 822, 824, 836--845, 861--870, 937]
*Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
*Определители 2-го и 3-го порядка [1--12, 43--60]
*Определители произвольного порядка: определение [188--206]
*Вычисление определителей произвольного порядка [257--269, 279, 316]

==== 4-й модуль ====

=== Коллоквиумы ===

'''Формат проведения коллоквиумов'''

Этап 1. Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат не выше 3 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат 4, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 1. Если результат 5, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 2.

Этап 2. Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего начинается разговор с принимающим (как правило, другим). По результатам разговора выставляется окончательная оценка.

==== 2-й модуль ====

Даты коллоквиума: 9 и 10 декабря.

[https://www.dropbox.com/s/yzxftul500urq29/LA_16-17_Stream2_Definitions1.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/m6lqqwff9p1bj9e/LA_16-17_Stream2_Questions1.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

==== 4-й модуль ====

Даты коллоквиума: ориентировочно в конце мая

[https://www.dropbox.com/s/fp7kw3m6iqnwyrm/LA_16-17_Stream2_Definitions2.pdf?dl=0 '''Начало списка определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/cpjzqa64rzmgkzx/LA_16-17_Stream2_Questions2.pdf?dl=0 '''Начало списка вопросов на доказательство''']

=== Экзамен 2-й модуль ===

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 22 декабря, 10:30

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

[https://www.dropbox.com/s/jf2vnoht5e1f6qm/LA_16-17_Stream2_Exam1.pdf?dl=0 '''Условия задач с экзамена''']

Задачи для подготовки к экзамену (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Системы линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720, 724–732; К 8.1, 8.2, 8.4
*Действия с матрицами: П 788–798, 801, 805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.4, 18.1, 18.3, 18.8–18.11
*Подстановки: П 125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители: П 1–12, 43–60, 188–206, 212–214, 224– 232, 236–240, 257–269, 279, 316; К 9.1, 9.2, 10.1–10.4, 11.1–11.4, 12.1, 12.2, 13.1
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
*Векторные пространства, линейная зависимость, базис, подпространства: П 639–644, 665–669, 672–676, 679–681, 1285–1293, 1297–1304, 1308, 1310, 1311, 1824–1828; К 34.1–34.4, 35.1–35.3, 35.11
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, К 7.1, 7.2

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты контрольных работ'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=2074432488 168]
|}

==== 3-4 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=2074432488 168]
|}

== Кстати ==

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-02-03T11:14:14Z

Aschernyavskiy:

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ161 !! БПМИ162 !! БПМИ163 !! БПМИ164 !! БПМИ165 !! БПМИ166 !! БПМИ167 !! БПМИ168
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] ||colspan="2"| [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент ||colspan="2"| [mailto:beloppolina@gmail.com Полина Белопашенцева], [mailto:georgiy-sh@ya.ru Георгий Шумкин] || [mailto:rakhaydurov@edu.hse.ru Руслан Хайдуров] || [mailto:eterniusgrv@gmail.com Вадим Гринберг] || [mailto:pvl.kovalev@gmail.com Павел Ковалёв] || [mailto:n.v.bakaykina@gmail.com Наталья Бакайкина] || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский] || [mailto:valerystar@inbox.ru Валерия Старичкова]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Дмитрий Игоревич Пионтковский || 15:30–16:30, ауд. 507 || 18:30–20, ауд. 507 || || || 15:10–16:30, Шаболовка 26, ауд. 5413
|-
| <center>2</center> || Всеволод Леонидович Чернышев || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>3</center> || Роман Сергеевич Авдеев || 15:40–17:40, ауд. 623 или 618 || || || ||
|-
| <center>4</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || || 9:00–10:30, ауд. 511
|-
| <center>5</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || || 12:00–14:00, ауд. 607
|-
| <center>6</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || 13:40–17:00, ауд. 607 || ||
|-
| <center>7</center> || Полина Белопашенцева || 15:10–16:30, ауд. 327 || || || ||
|-
| <center>8</center> || Георгий Шумкин || || || || || 13:40–15.00, ауд.  618
|-
| <center>9</center> || Руслан Хайдуров || || || 12:10–13:40, ауд. ?? || ||
|-
| <center>10</center> || Вадим Гринберг || || 16:40–18:10, ауд. ?? || || || 16:40–18:10, ауд. 308
|-
| <center>11</center> || Павел Ковалёв || || || 12:10–13:30, ауд. 310 || ||
|-
| <center>12</center> || Наталья Бакайкина || || || || 18:10–19:30 ||
|-
| <center>13</center> || Александр Чернявский || ||13:40–15:00, ауд. 302 || || ||
|-
| <center>14</center> || Валерия Старичкова || || ||15:40–17:00, ауд. 511 || ||
|}

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Информация для пилотного потока ==

=== Краткое содержание лекций ===

'''Лекция 1''' (6.09.2016). Геометрия ''n''-мерного арифметического пространства.

'''Лекция 2''' (13.09.2016). Матрицы и основные операции над ними.

'''Лекция 3''' (20.09.2016). Элементарные преобразования строк матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

'''Лекция 4''' (27.09.2016). Существование и единственность канонического вида матрицы. Обратная матрица.

'''Лекция 5''' (4.10.2016). Обратимость невырожденных матриц. Линейное пространство. Подпространства, линейные оболочки.

'''Лекция 6''' (11.10.2016). Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.

'''Лекция 7''' (18.10.2016). Столбцовый и строчный ранг матрицы, теорема об их равенстве. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

'''Лекция 8''' (1.11.2016). Теорема Кронекера-Капелли. Размерность линейного многообразия. Сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями.

'''Лекция 9''' (8.11.2016). Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм. Теорема о том, что все пространства одной конечной размерности изоморфны друг другу.

'''Лекция 10''' (15.11.2016). Матрица перехода между двумя базисами. Формула замены координат. Определитель матрицы порядка 2, ориентированная площадь. Подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

'''Лекция 11''' (22.11.2016). Определитель треугольной матрицы. Определитель как полилинейная функция строк. Умножение подстановок. Изменение знака подстановки при умножении на транспозицию. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы.

'''Лекция 12''' (29.11.2016). Определитель как единственная полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, равная 1 на единичной матрице. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Формула разложения определителя по строке. Знак произведения подстановок и знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 13''' (6.12.2016). Приложения определителей: формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений; формула обратной матрицы; определение ранга матрицы через миноры (ранг Фробениуса).

'''Лекция 14''' (13.12.2016). Комплексные числа.

'''Лекция 15''' (10.01.2017). Поле. Примеры полей. Линейные пространства над полем. Комплексификация и овеществление. Линейное отображение и линейный оператор: определение и геометрические примеры.

'''Лекция 16''' (17.01.2017). Новые примеры линейных отображений. Множество линейных отображений Hom(U,V) как линейное пространство. Линейные функционалы и двойственное пространство. Понятие двойственного базиса, размерность двойственного пространства. Идея теории категорий, категория линейных пространств. Контравариантные и ковариантные функторы.
Матрица линейного отображения: эквивалентность двух определений. Размерность линейного пространства Hom(U,V).

'''Лекция 17''' (25.01.2017).
Матрица композиции линейных отображений. Матрица изоморфизма. Замена координат и матрица линейного отображения. Замена координат в двойственном пространстве, понятие ковектора. Ядро и образ линейного отображения, их связи с матрицей линейного отображения. Короткая точная последовательность. Ранг, определитель и след линейного оператора.

'''Лекция 18''' (31.01.2017). Инвариантные пространства линейного оператора, инвариантность его ядра и образа. Прямая сумма нескольких подпространств. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство или прямую сумму таких подпространств. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Собственные подпространства, их инвариантность. Характеристический многочлен линейного оператора.Определитель, след и характеристический многочлен как инварианты линейного оператора. Кратности и количество корней комплексного многочлена. Формулы Виета. Связь определителя и следа комплексного оператора с собственными значениями. Диагонализуемые операторы. Оператор дифференцирования многочленов как пример не диагонализуемого оператора.

'''Лекция 19''' (7.02.2017). Корневые векторы и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств. Формулировка теоремы о жордановой форме линейного оператора в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем.

'''Лекция 20''' (14.02.2017). Теорема Гамильтона--Кэли.

=== Порядок формирования итоговой оценки для пилотного потока ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

==== 4-й модуль ====

== Информация для основного потока ==

=== Порядок формирования итоговой оценки ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,2 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

==== 4-й модуль ====

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

=== Краткое содержание лекций ===

==== 1-2 модули ====

'''Лекция 1''' (5.09.2016). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (12.09.2016). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (19.09.2016). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (26.09.2016). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Матричные единицы. Умножение на матричную единицу. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (3.10.2016). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении справа на элементарную транспозицию.

'''Лекция 6''' (10.10.2016). Изменение знака подстановки при умножении справа на произвольную транспозицию. Разложение подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов).

'''Лекция 7''' (17.10.2016). Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц.

'''Лекция 8''' (31.10.2016). Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

'''Лекция 9''' (7.11.2016). Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства.

'''Лекция 10''' (14.11.2016). Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

'''Лекция 11''' (21.11.2016). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

'''Лекция 12''' (28.11.2016). Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства, координаты вектора в базисе. Базис как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

'''Лекция 13''' (5.12.2016). Эквивалентные условия, определяющие конечномерное векторное пространство размерности n. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 14''' (12.12.2016). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

==== 3-4 модули ====

'''Лекция 15''' (19.12.2016). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

'''Лекция 16''' (16.01.2017). Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

'''Лекция 17''' (23.01.2017). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений.

'''Лекция 18''' (30.01.2017). Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры.

=== Листки с задачами ===

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/f3epqb7rs71r995/LA_16-17_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

до 6 ноября включительно разрешается сдавать любое количество задач;

с 7 по 13 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более шести''' задач;

13 ноября — последний день приёма задач

[https://www.dropbox.com/s/wmhg3cqj7sop14l/LA_16-17_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

18 декабря — последний день приёма задач

с 12 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 6 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

=== Лабораторные работы ===

==== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ====

'''Срок:'''

5 декабря 23:30 для групп 164-168

7 декабря 23:30 для группы 163

[https://www.dropbox.com/s/gqvszs55cl5519o/HSE%20Linalg%20Lab%20Fall%202016.ipynb?dl=0 '''Условие''']

Файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не затирайте условий задач или хотя бы их номеров. Задание должно быть выполнено на языке Python.

Готовы лабораторные нужно будет сдавать в систему [http://anytask.org AnyTask]. Инвайты для регистрации на курс:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 163 !! 164 !! 165 !! 166 !! 167 !! 168
|-
|| erCwXX3 || FjduzdE || 078wQmj || d8Lfn5Y || 5JCnwSR || HNJ3zEn
|}

Краткое руководство по работе с системой [https://www.dropbox.com/s/fl2pyq5fruxchyw/manual_student.pdf?dl=0 прилагается].

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду] (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторной работе можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [mailto:st-fedotov@yandex-team.ru st-fedotov@yandex-team.ru]

'''Внимание:''' тема письма должна начинаться с '''[ФКН - лабораторная 1]'''

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

=== Контрольные работы ===
==== 2-й модуль ====

Контрольная работа состоялась 19 ноября в 12:10 в аудиториях 622 и 509.

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/p5ceogf3zhaplra/LA_16-17_Stream2_Test1.pdf?dl=0 '''Условия задач из контрольной''']

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.
*Решение систем линейных уравнений [82--89, 567--581, 689--704, 712--720]
*Действия с матрицами [788--798, 801, 805, 822, 824, 836--845, 861--870, 937]
*Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
*Определители 2-го и 3-го порядка [1--12, 43--60]
*Определители произвольного порядка: определение [188--206]
*Вычисление определителей произвольного порядка [257--269, 279, 316]

=== Коллоквиумы ===
==== 2-й модуль ====

Даты коллоквиума: 9 и 10 декабря.

'''Формат проведения коллоквиума'''

Этап 1. Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат не выше 3 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат 4, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 1. Если результат 5, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 2.

Этап 2. Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего начинается разговор с принимающим (возможно, другим). По результатам разговора выставляется окончательная оценка.

[https://www.dropbox.com/s/yzxftul500urq29/LA_16-17_Stream2_Definitions1.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/m6lqqwff9p1bj9e/LA_16-17_Stream2_Questions1.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

=== Экзамен 2-й модуль ===

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 22 декабря, 10:30

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

Задачи для подготовки к экзамену (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Системы линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720, 724–732; К 8.1, 8.2, 8.4
*Действия с матрицами: П 788–798, 801, 805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.4, 18.1, 18.3, 18.8–18.11
*Подстановки: П 125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители: П 1–12, 43–60, 188–206, 212–214, 224– 232, 236–240, 257–269, 279, 316; К 9.1, 9.2, 10.1–10.4, 11.1–11.4, 12.1, 12.2, 13.1
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
*Векторные пространства, линейная зависимость, базис, подпространства: П 639–644, 665–669, 672–676, 679–681, 1285–1293, 1297–1304, 1308, 1310, 1311, 1824–1828; К 34.1–34.4, 35.1–35.3, 35.11
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, К 7.1, 7.2

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты контрольных работ'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=2074432488 168]
|}

==== 3-4 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

== Кстати ==

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2016-09-18T07:43:20Z

Aschernyavskiy:

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2016-09-09T12:26:17Z

Aschernyavskiy:

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2016-09-08T19:52:20Z

Aschernyavskiy:

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2016-09-08T19:51:00Z

Aschernyavskiy: