Wiki - Факультет компьютерных наук - Вклад [ru]

Алгебра ПИ 2025-2026

2026-06-18T13:00:16Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедшей лекции

= Преподаватели и учебные ассистенты =
{| class="wikitable"
|-
! Группа !! БПИ 251 !! БПИ 252 !! БПИ 253 !! БПИ 254 !! БПИ 255 !! БПИ 256 !! БПИ 257 !! БПИ 258 !! БПИ 259 !! БПИ 2510
|-
| Лектор || colspan="10" style="text-align:center;" | Михайлец Екатерина Викторовна
|-
| Семинаристы || Михайлец Екатерина Викторовна || Зайцева Юлия Ивановна || Хрыстик Михаил Андреевич || Преснова Екатерина Денисовна || Зайцева Юлия Ивановна || Медведь Никита Юрьевич || Преснова Екатерина Денисовна || Максаев Артём Максимович || Шахматов Кирилл Вениаминович || Бельдиев Иван Сергеевич
|-
| Ассистенты || [https://t.me/qpkectpa Суханов Григорий], [https://t.me/savartom Савин Артём] || [https://t.me/alxply Палий Александр], [https://t.me/saturrngirl Беднова Александра] || [https://t.me/kartoska_bs Симонов Алексей], [https://t.me/Islam_adaev Адаев Ислам] || [https://t.me/chrpnnkv Черепенникова Варвара], [https://t.me/evel0on Купцевич Эвелина] || [https://t.me/KrIsS104 Осина Дарья], [https://t.me/Uran_Chase Лобан Филипп] || [https://t.me/unonekto Широкова Ульяна], [https://t.me/seljuk_turok Файзуллин Илья] || [https://t.me/SorryItsAlreadyTake Владимиров Алексей], [https://t.me/stepprokopiev Прокопьев Степан] || [https://t.me/lapa_aa Лапа Антонина], [https://t.me/verevka8 Лизунов Даниил] || [https://t.me/noncrit Жданок Дарья], [https://t.me/seonsaen Ноговицын Айтал] || [https://t.me/VishupHell Торосян Андраник], [https://t.me/milvus_11 Михайлов Артём], [https://t.me/Kaystery Марьин Даниил]
|}

= Консультации =
Вы можете посещать консультации, организованные как для вашей группы, так и для других групп, если не удаётся посещать свои.
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1k7PBP0GeLFOVSCiGKmj4NewwNC9uzR6hy2CBhQm3U8U/edit?usp=sharing Таблица, в которой отмечается проведение консультаций вашими ассистентами]. Вы можете следить по таблице за тем, чтобы консультации проводились вовремя, и если они вам нужны, то при необходимости напоминать ассистентам.
Таблица обновляется по воскресеньям.

= Аттестация и оценки =
== 2025/2026 учебный год 1 семестр ==
'''О1 = 0,27∙О_(Кр-1) + 0,12∙О_(ИДЗ-1 и ИДЗ-2) + 0,16∙О_(Сем-1) + 0,45∙О_(Экз-1)'''

Здесь О_(Сем-1) - оценка от 0 до 10 баллов, учитывающая регулярность посещения семинаров, активность на семинарах, в том числе решение задач у доски, и выполнение текущих домашних работ в 1-2 модулях.

Оценка за индивидуальные домашние задания (ИДЗ) в 1 и 2 модулях вычисляется как среднее арифметическое О_(ИДЗ-1) и О_(ИДЗ-2).

В конце 2го модуля проводится письменный экзамен.

== 2025/2026 учебный год 2 семестр ==
'''О2 = 0,21∙О_(Кр-3) + 0,08∙О_(ИДЗ-3 и ИДЗ-4) + 0,12∙О_(Сем-2) + 0,24∙О_(Коллок-мод3 и Коллок-мод4) + 0,45∙О_(Экз-2)'''

Обратите внимание, что во 2м семестре общая сумма коэффициентов равна 1,1, т.е. с некоторым "запасом".

Оценка за коллоквиумы в 3 и 4 модулях вычисляется как среднее арифметическое О_(Коллок-мод3) и О_(Коллок-мод4). Оценка за ИДЗ аналогично.

В конце 4го модуля проводится письменный экзамен, который является '''блокирующим'''.

Подробнее о каждой из составляющих итоговой оценки можно прочитать в ПУД (план учебной дисциплины) на сайте ВШЭ.

= Прошедшие лекции =
Здесь находится информация о пройденных на каждой лекции темах, а также, начиная с 16 лекции, ссылки на записи.

'''Лекция 1 (03.09.2025):'''
Матрицы. Частные случаи матриц. Единичная матрица. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, умножение. Примеры. Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, умножения. Доказательство ассоциативности умножения матриц. Замечание о некоммутативности умножения. Пример.

'''Лекция 2 (10.09.2025):'''
Транспонирование и его свойства. Доказательство связи умножения и транспонирования.
Элементарные преобразования строк матрицы. Представление элементарных преобразований умножением на матрицу специального вида. Пример.
Ступенчатый вид матрицы и канонический (улучшенный ступенчатый) вид матрицы. Примеры.
Теорема о методе Гаусса с доказательством. Системы линейных алгебраических уравнений и их связь с методом Гаусса.

'''Лекция 3 (17.09.2025):'''
Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Утверждение о том, что транспозиция меняет чётность перестановки. Циклическая запись. Умножение подстановок. Некоммутативность умножения. Тождественная подстановка. Обратная подстановка.

Замечание, что любая подстановка представима в виде произведения транспозиций.
Замечание, что знак произведения подстановок равен произведению знаков множителей.
Общая формула для определителя произвольного порядка. Вычисление определителя матрицы порядков 2 и 3, правило Саррюса.

Свойства определителя:

1. Определитель транспонированной матрицы.

2. Полилинейность. Пример.

'''Лекция 4 (24.09.2025):'''

Свойства определителя:

3. Кососимметричность.

4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк.

5. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных.

6. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других.

7. Значение определителя на единичной и диагональной матрице.

8. Определитель верхнетреугольной матрицы.

Замечание о том, как меняется определитель при элементарных преобразованиях строк/столбцов. 1й способ вычисления определителя приведением методом Гаусса матрицы к верхнетреугольному виду.

Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции.
Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точностью до множителя (доказательство для n=2).
Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице.

'''Лекция 5 (01.10.2025):'''

Свойства определителя:

9. Разложение по строке. Дополняющий минор, алгебраическое дополнение. Примеры.

10. Фальшивое разложение.
Третье (индуктивное) определение детерминанта через разложение по строке.

11. Определитель блочной матрицы.

12. Определитель произведения с доказательством.
Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований и рекуррентных соотношений.

Доказательство правила Крамера.
Определение обратной матрицы. Её единственность.

'''Лекция 6 (08.10.2025):'''
Теорема о критерии существования обратной матрицы с доказательством. Союзная матрица. Формула для вычисления обратной матрицы.
Матрица, обратная к произведению матриц, и матрица, обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле.
Матричные уравнения двух типов двумя способами каждый.

Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Примеры.
Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы (с доказательством) и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Ранг ступенчатой матрицы.

'''Лекция 7 (15.10.2025):'''
Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки (столбцы). Примеры.
Критерий линейной зависимости с доказательством. Пример.

Теорема о базисном миноре с доказательством. Пример.
Следствия теоремы о базисном миноре: теорема о ранге матрицы с доказательством (эквивалентное определение ранга), критерий невырожденности квадратной матрицы с доказательством.

'''Лекция 8 (22.10.2025):'''
Вычисление ранга матрицы (элементарные преобразования и метод окаймляющих миноров). Теорема об окаймляющих минорах с доказательством.
СЛАУ, совместная, однородная, неоднородная СЛАУ.
Свойства решений СЛАУ. Следствие о том, каким может быть множество решений СЛАУ (несовместная, определённая и неопределённая СЛАУ).
Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности) с доказательством.

'''Лекция 9 (05.11.2025):'''
Пример на совместность СЛАУ.
Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений. Теорема о существовании ФСР.
Критерий существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ (следствие из теоремы о существовании ФСР).
Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ (начало доказательства).

'''Лекция 10 (12.11.2025):'''
Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ (окончание доказательства). Пример.
Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ. Пример.
Комплексные числа, алгебраическая форма записи. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел.

'''Лекция 11 (19.11.2025):'''
Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел.
Тригонометрическая форма записи. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической записи.
Формула Муавра.
Извлечение комплексного корня n-ой степени. Изображение корней n-ой степени на комплексной плоскости. Пример.
Формула Эйлера и её следствия.
Формулировка "основной" теоремы алгебры. Теорема Безу.
Утверждение о том, что комплексный многочлен n-ной степени имеет n корней с учётом кратности.

'''Лекция 12 (26.11.2025):'''
Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами.
Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.

Векторы в трёхмерном пространстве. Коллинеарность, компланарность. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства).
Базис в трёхмерном пространстве. Ортонормированный базис. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах в произвольном базисе. Вычисление скалярного произведения в ОНБ.

'''Лекция 13 (03.12.2025):'''
Правая и левая тройка векторов. Правый базис. Векторное произведение векторов в трёхмерном пространстве.
Критерий коллинеарности двух векторов. Алгебраические свойства векторного произведения (линейность, кососимметричность). Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в правом ОНБ.

Смешанное произведение векторов, его свойства.
Вычисление объема параллелепипеда и тетраэдра. Критерий компланарности трёх векторов. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в правом ОНБ.

Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении.

'''Лекция 14 (10.12.2025):'''
Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии.
Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость.
6 типов уравнений плоскости: общее уравнение, через три точки, уравнение в отрезках, каноническое, векторные и параметрические уравнения плоскости.
Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Прямая в пространстве. 4 типа уравнений прямой: общие, векторные, параметрические, канонические уравнения прямой.
Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости. Угол между прямыми.

'''Лекция 15 (17.12.2025):'''
Отображения множеств. Образ и полный прообраз. Сюръективность и инъективность. Биекция. Примеры.
Бинарное отношение на множестве. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Утверждение о том, что любое разбиение множества задаёт отношение эквивалентности. Фактормножество. Примеры (горизонтальные прямые на плоскости, вычеты).
Бинарные операции. Ассоциативные и коммутативные бинарные операции. Пример (композиция отображений, её ассоциативность и некоммутативность).
Алгебраические структуры. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа.

'''[https://rutube.ru/video/private/18916c5e8e86768c8f9deaca0c8b8b8d/?p=BpHJLa3LD_zEX4kxjwsOnA Лекция 16 (14.01.2026):]'''
Эквивалентное определение группы. Примеры групп: общая линейная группа GL_n(R), симметрическая группа S_n. Порядок группы. Абелева группа. Пример.
Подгруппа. Собственная подгруппа. Примеры: специальная линейная подгруппа SL_n(R), знакопеременная подгруппа A_n. Критерий подгруппы с доказательством.
Гомоморфизм. Примеры гомоморфизма: детерминант, логарифм. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Пример на изоморфизм D_3 и S_3. Группа диэдра D_n.
Таблица Кэли.

'''[https://rutube.ru/video/private/ed6dd04e61631eade0e8cc7d17f02cb6/?p=PqOAfCJsE4d0FSMGFaTHmQ Лекция 17 (21.01.2026):]'''
Группа вычетов Z_n. Таблица Кэли для вычетов по модулю 4.
Порядок элемента. Примеры.
Циклическая группа. Примеры циклических групп: целые числа по сложению, комплексные корни n-й степени из единицы и группа вычетов по модулю n.
Утверждение о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы.
Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны.
Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению.

'''[https://rutube.ru/video/private/f6bce4ac1cf2da514172a5cac0ce643c/?p=pUqlykfSf1w0JSzeRIYmDw Лекция 18 (28.01.2026):]'''
Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2*Z_2. Проверка неизоморфности группе Z_4.
Изоморфность группе Клейна V_4.
Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Примеры. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа.
Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие 3 из теоремы Лагранжа.
Теорема Кэли.

'''[https://rutube.ru/video/private/cbe94abc34c3cf6c7f354ee3ce80d2f8/?p=M7gEAsReLocVUBM_3aJWeQ Лекция 19 (04.02.2026):]'''
Правый смежный класс. Нормальная подгруппа. Примеры. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов по нормальной подгруппе. Пример факторгруппы.
Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу.
Образ гомоморфизма. Утверждение, что образ гомоморфизма является подгруппой.
Ядро гомоморфизма. Пример.
Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра (на 2м потоке только формулировка).

'''[https://rutube.ru/video/private/512885d90cc93b3ff143b0b2351cbf3a/?p=ZkN9dMKMy7vjWeygv7q0ZQ Лекция 20 (11.02.2026):]'''
Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.
Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой.
Утверждение, что ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой (пока без доказательства).

Теорема о гомоморфизме групп. Примеры к теореме о гомоморфизме групп: Z/nZ, GLn/SLn.
Естественный гомоморфизм. Связь между гомоморфизмом групп, естественным гомоморфизмом и изоморфизмом из теоремы о гомоморфизме.
Сопряжённые элементы. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения.

'''[https://rutube.ru/video/private/a78b8417f77b1164a58c03e2235fac5a/?p=e7eglDygvVbdc11sUT6cuQ Лекция 21 (18.02.2026):]'''
Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они.
Простые группы. Пример Zp.
Гамильтоновы группы. Группа кватернионов Q8, её таблица Кэли. Замечание, что группа кватернионов не абелева, но все её подгруппы нормальные.
Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма.
Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Утверждение, что Aut(G) — группа. Пример: автоморфизмы в Z.
Центр группы. Пример для Q8. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов (на 2м потоке только формулировка).

'''[https://rutube.ru/video/private/5d005e2dcfe2b1153484f2846e210a5b/?p=VqgCM09a8r824pP5633ymA Лекция 22 (25.02.2026):]'''
Доказательство утверждения о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов.
Применение теории групп в криптографии. Задача дискретного логарифмирования. Шифрование: протокол Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля.
Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Кольцо с единицей. Коммутативное кольцо. Примеры колец: Z, Mn(R), R[x], Zn. Таблица умножения для Z4.
Делители нуля. Утверждение о том, что 0 поглощающий элемент в кольце. Целостное кольцо. Пример. Критерий целостности для нетривиального коммутативного кольца с единицей (закон сокращения).
Обратимые элементы в кольце. Поле, примеры полей.

'''[https://rutube.ru/video/private/55662cef0ffd16edc93271e6db18308b/?p=3wH7IBjxS8s9Sh6uC2BXsg Лекция 23 (04.03.2026):]'''
Мультипликативная группа кольца. Подкольцо. Подполе. Примеры.
Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Взаимно простые элементы кольца.
Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Главный идеал. Примеры. Замечание, что Z — кольцо главных идеалов. Факторкольцо кольца по идеалу.
Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Утверждение о том, что образ гомоморфизма является подкольцом. Теорема о гомоморфизме колец.
Характеристика поля. Примеры.

'''[https://rutube.ru/video/private/542d1605e74279a61020c4dfa338ccb6/?p=rznGyxE27BJCXwHWQscWeA Лекция 24 (11.03.2026):]'''
Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое.
Замечание, что в поле нет делителей нуля.
Замечание, что поля нулевой характеристики бесконечны.
Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем.
Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Расширение поля. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Поле рациональных дробей C(x) как расширение поля комплексных чисел.
Алгебраические элементы над полем. Трансцендентные элементы. Примеры.
Теорема о существовании для любого многочлена корня в некотором расширении поля (без доказательства).
Пример на факторкольцо: изоморфизм R[x]/<x^2+1> полю комплексных чисел.
Теорема о том, когда факторкольцо кольца многочленов над полем само является полем (доказательство достаточности).

'''[https://rutube.ru/video/private/4924d31e2ebff58ac5fb739b3f36745a/?p=snBsUsQrc4kSDRGcPu_uBg Лекция 25 (18.03.2026):]'''
Теорема о том, когда факторкольцо кольца многочленов над полем само является полем (доказательство необходимости).
Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства).
Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом. Явное построение поля из 4 элементов.

Поле рациональных дробей с коэффициентами из Zp как пример бесконечного поля положительной характеристики.

Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: геометрические векторы V_3, арифметическое пространство F^n, пространство числовых последовательностей, пространство непрерывных на отрезке функций, матричное пространство M_mn(F), пространство F_n[x] многочленов степени не выше n, пространство решений однородной СЛАУ.
Базис, координаты вектора. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Примеры: размерность и канонический базис в F^n, M_mn(F), F_n[x].

Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса).

'''[https://rutube.ru/video/private/9d5d3699a049c9030f9903b75713d562/?p=_rkgNjjpRru5W9T3WJfKwQ Лекция 26 (01.04.2026):]'''
Матрица перехода от старого базиса к новому. Пример.
Невырожденность матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение, что матрица обратного перехода равна обратной матрице к исходной. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах.

Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств.
Линейная оболочка конечного набора векторов. Примеры.
Ранг системы векторов. Замечание о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе.

Пересечение подпространств. Сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств (формулировка).

'''[https://rutube.ru/video/private/7ba053164b0adeda4dbb3a3b625bd055/?p=q2knnjVpLvQHsZJHjncWOA Лекция 27 (08.04.2026):]'''
Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.
Прямая сумма подпространств, разложение в проекции. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Пример с разложением пространства квадратных матриц в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических матриц.

Билинейная форма и её матрица. Биекция между билинейными формами и их матрицами при фиксированном базисе. Примеры. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса.
Квадратичная форма и матрица квадратичной формы. Пример. Связь билинейной и квадратичной форм. Симметрические и кососимметрические билинейные формы.
Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.

'''[https://rutube.ru/video/private/76902d214bd9b9a3a8e6959baa2fdb36/?p=lZD3EAAPcreqz0d--3mNog Лекция 28 (15.04.2026):]'''
Ранг квадратичной формы.
Лемма о том, что ранг матрицы не меняется при умножении на невырожденную матрицу. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы.
Положительная, отрицательная, неотрицательная, неположительная определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы. Примеры. Критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие.
Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции, сигнатура.
Замечание, что одну квадратичную форму можно перевести в другую невырожденным линейным преобразованием тогда и только тогда, когда их сигнатуры совпадают.

'''[https://rutube.ru/video/private/3c7e6d5819af8f428c6bd7d4848604d1/?p=wZqOvLQnL9qcY_YP1KU1nw Лекция 29 (22.04.2026):]'''
Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример (оператор проекции на Ox).
Утверждение о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.
Пример с задачей про вирус как иллюстрация применения линейных операторов.
Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов.
Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения (формулировка).

'''[https://rutube.ru/video/private/97393c3bb4dfee25f2bf5efe24a1552c/?p=vp0EwbhLR9sYfG_YSRzVpQ Лекция 30 (29.04.2026):]'''
Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример с оператором дифференцирования.
Подобные матрицы. Инвариантность определителя.
Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц.
Пример с задачей про вирус как иллюстрация применения линейных операторов и метода возведения матрицы оператора в степень через переход к диагональному виду.
Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Примеры (оператор проекции, оператор поворота).
Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы. Пример. Инвариантность характеристического многочлена.

'''[https://rutube.ru/video/private/50727e9557db1298fa3ac1d87b176478/?p=74bfjcCf9n0HPHNKp0ROzA Лекция 31 (13.05.2026):]'''
Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Пример.
Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства).
След матрицы, инвариантность следа при замене координат.
Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.
Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Пример.

'''[https://rutube.ru/video/private/5048994b30194747bfec648288a512ee/?p=GMarkGm9iYBGBa5q-P6dxg Лекция 32 (20.05.2026):]'''
Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена. Пример (решение задачи про вирус).

Определение евклидова пространства и скалярного произведения. Примеры. Определение нормы вектора, угла и расстояния между векторами.
Неравенства Коши—Буняковского и треугольника.
Ортогональность. Ортогональная система. Ортогональный и ортонормированный базисы. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов.
Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве.

'''[https://rutube.ru/video/private/eac7d9e1513abeaf8fa6fcb5a1cc3509/?p=QKrB38dZaxMEidI8vAZ4Ww Лекция 33 (27.05.2026):]'''
Выражение для координат вектора в ортогональном базисе через скалярные произведения.
Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Свойства матрицы Грама: 1) симметричность и положительная определённость, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису (как матрицы билинейной формы), 3) положительность определителя.
Свойство 4 матрицы Грама: инвариантность грамиана относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта.
Критерий невырожденности матрицы Грама (5-ое свойство). Выражение для объема параллелепипеда через определитель матрицы Грама.

Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая.

'''[https://disk.360.yandex.ru/d/gcsyEsHo9-l85A Лекция 34 (01.06.2026):]'''
Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению.
Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство.

Определение линейного (алгебраического) многообразия. Замечание о том, как устроено линейное многообразие. Расстояние между вектором и линейным многообразием (определение).
Расстояние от точки до линейного многообразия как длина ортогональной составляющей. Формула для расстояния через определители матриц Грама.

Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный (симметрический) оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора.

'''[https://rutube.ru/video/private/be5c12865541c2b7e1d822c29b1c9fcf/?p=FtjkonrQ93WNUKDifuHYWw Лекция 35 (03.06.2026):]'''
Критерий самосопряженности оператора.
Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Теорема о диагонализируемости самосопряжённого оператора (без доказательства). Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям.
Теорема о существовании для любого самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов (без доказательства). Теорема о существовании для самосопряженного оператора c попарно различными собственными значениями ортонормированного базиса из собственных векторов.
Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы. Сохранение длин и углов ортогональным оператором. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное.
Утверждение о том, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна.
Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие осуществляется с помощью ортогональной матрицы (спектральное разложение).

'''[https://rutube.ru/video/private/558d4b70727f05c43ddaee0b4e845629/?p=inZk7YwmmT5ptgFXA-Ox8Q Лекция 36 (10.06.2026):]'''
Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.
Канонический вид ортогонального оператора (без доказательства). Теорема Эйлера (как следствие теоремы о каноническом виде). Пример.
Теорема о сингулярном разложении. Пример.

'''[https://disk.360.yandex.ru/d/D7ss8M0fujI7jw Лекция 37 (15.06.2026):]'''
Утверждение о полярном разложении.
Утверждение о QR-разложении.

Кривые второго порядка. Определение эллипса, гиперболы, параболы, их параметры (в частности, эксцентриситет и директрисы). Вывод уравнения эллипса. Вывод уравнения гиперболы. Вывод уравнения параболы.
Определение коник с помощью фокуса, директрисы и эксцентриситета.
Исследование алгебраического уравнения второго порядка от двух переменных. Теорема о классификации кривых второго порядка.

'''[https://rutube.ru/video/private/77e49ad3967068f108b0893ab1deae64/?p=uBnY1I1p3GO-XIPTb1GWew Лекция 38 (17.06.2026):]'''
Поверхности второго порядка (обзор). Поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, линейчатая поверхность, преобразование сжатия.
Теорема о классификации квадрик (формулировка).

Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр.
Эллипсоид, конус.
Однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид.
Эллиптический параболоид, гиперболический параболоид.
Нахождение прямолинейных образующих для однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.

Алгебры: определение и примеры (комплексные числа, многочлены, матрицы, кватернионы, геометрические векторы).

Линейные формы (функционалы).
Пример. Формула для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису. Сопряженное пространство, ковекторы. Взаимные базисы. Утверждение о существовании и единственности взаимного базиса. Пример.

[https://disk.360.yandex.ru/i/nE0gwZ0VYeHnrw Полная презентация по коникам и квадрикам - кривым и поверхностям второго порядка] (темы 2-ой половины лекции 37 и 1-ой половины лекции 38).
= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III
* В.А. Ильин, Г.Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 3-е издание

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том II, часть 2. М.: ИКД "Зерцало-М", 2003

Алгебра ПИ 2025-2026

2026-06-08T10:59:09Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедших лекциях

= Преподаватели и учебные ассистенты =
{| class="wikitable"
|-
! Группа !! БПИ 251 !! БПИ 252 !! БПИ 253 !! БПИ 254 !! БПИ 255 !! БПИ 256 !! БПИ 257 !! БПИ 258 !! БПИ 259 !! БПИ 2510
|-
| Лектор || colspan="10" style="text-align:center;" | Михайлец Екатерина Викторовна
|-
| Семинаристы || Михайлец Екатерина Викторовна || Зайцева Юлия Ивановна || Хрыстик Михаил Андреевич || Преснова Екатерина Денисовна || Зайцева Юлия Ивановна || Медведь Никита Юрьевич || Преснова Екатерина Денисовна || Максаев Артём Максимович || Шахматов Кирилл Вениаминович || Бельдиев Иван Сергеевич
|-
| Ассистенты || [https://t.me/qpkectpa Суханов Григорий], [https://t.me/savartom Савин Артём] || [https://t.me/alxply Палий Александр], [https://t.me/saturrngirl Беднова Александра] || [https://t.me/kartoska_bs Симонов Алексей], [https://t.me/Islam_adaev Адаев Ислам] || [https://t.me/chrpnnkv Черепенникова Варвара], [https://t.me/evel0on Купцевич Эвелина] || [https://t.me/KrIsS104 Осина Дарья], [https://t.me/Uran_Chase Лобан Филипп] || [https://t.me/unonekto Широкова Ульяна], [https://t.me/seljuk_turok Файзуллин Илья] || [https://t.me/SorryItsAlreadyTake Владимиров Алексей], [https://t.me/stepprokopiev Прокопьев Степан] || [https://t.me/lapa_aa Лапа Антонина], [https://t.me/verevka8 Лизунов Даниил] || [https://t.me/noncrit Жданок Дарья], [https://t.me/seonsaen Ноговицын Айтал] || [https://t.me/VishupHell Торосян Андраник], [https://t.me/milvus_11 Михайлов Артём], [https://t.me/Kaystery Марьин Даниил]
|}

= Консультации =
Вы можете посещать консультации, организованные как для вашей группы, так и для других групп, если не удаётся посещать свои.
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1k7PBP0GeLFOVSCiGKmj4NewwNC9uzR6hy2CBhQm3U8U/edit?usp=sharing Таблица, в которой отмечается проведение консультаций вашими ассистентами]. Вы можете следить по таблице за тем, чтобы консультации проводились вовремя, и если они вам нужны, то при необходимости напоминать ассистентам.
Таблица обновляется по воскресеньям.

= Аттестация и оценки =
== 2025/2026 учебный год 1 семестр ==
'''О1 = 0,27∙О_(Кр-1) + 0,12∙О_(ИДЗ-1 и ИДЗ-2) + 0,16∙О_(Сем-1) + 0,45∙О_(Экз-1)'''

Здесь О_(Сем-1) - оценка от 0 до 10 баллов, учитывающая регулярность посещения семинаров, активность на семинарах, в том числе решение задач у доски, и выполнение текущих домашних работ в 1-2 модулях.

Оценка за индивидуальные домашние задания (ИДЗ) в 1 и 2 модулях вычисляется как среднее арифметическое О_(ИДЗ-1) и О_(ИДЗ-2).

В конце 2го модуля проводится письменный экзамен.

== 2025/2026 учебный год 2 семестр ==
'''О2 = 0,21∙О_(Кр-3) + 0,08∙О_(ИДЗ-3 и ИДЗ-4) + 0,12∙О_(Сем-2) + 0,24∙О_(Коллок-мод3 и Коллок-мод4) + 0,45∙О_(Экз-2)'''

Обратите внимание, что во 2м семестре общая сумма коэффициентов равна 1,1, т.е. с некоторым "запасом".

Оценка за коллоквиумы в 3 и 4 модулях вычисляется как среднее арифметическое О_(Коллок-мод3) и О_(Коллок-мод4). Оценка за ИДЗ аналогично.

В конце 4го модуля проводится письменный экзамен, который является '''блокирующим'''.

Подробнее о каждой из составляющих итоговой оценки можно прочитать в ПУД (план учебной дисциплины) на сайте ВШЭ.

= Прошедшие лекции =
Здесь находится информация о пройденных на каждой лекции темах, а также, начиная с 16 лекции, ссылки на записи.

'''Лекция 1 (03.09.2025):'''
Матрицы. Частные случаи матриц. Единичная матрица. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, умножение. Примеры. Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, умножения. Доказательство ассоциативности умножения матриц. Замечание о некоммутативности умножения. Пример.

'''Лекция 2 (10.09.2025):'''
Транспонирование и его свойства. Доказательство связи умножения и транспонирования.
Элементарные преобразования строк матрицы. Представление элементарных преобразований умножением на матрицу специального вида. Пример.
Ступенчатый вид матрицы и канонический (улучшенный ступенчатый) вид матрицы. Примеры.
Теорема о методе Гаусса с доказательством. Системы линейных алгебраических уравнений и их связь с методом Гаусса.

'''Лекция 3 (17.09.2025):'''
Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Утверждение о том, что транспозиция меняет чётность перестановки. Циклическая запись. Умножение подстановок. Некоммутативность умножения. Тождественная подстановка. Обратная подстановка.

Замечание, что любая подстановка представима в виде произведения транспозиций.
Замечание, что знак произведения подстановок равен произведению знаков множителей.
Общая формула для определителя произвольного порядка. Вычисление определителя матрицы порядков 2 и 3, правило Саррюса.

Свойства определителя:

1. Определитель транспонированной матрицы.

2. Полилинейность. Пример.

'''Лекция 4 (24.09.2025):'''

Свойства определителя:

3. Кососимметричность.

4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк.

5. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных.

6. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других.

7. Значение определителя на единичной и диагональной матрице.

8. Определитель верхнетреугольной матрицы.

Замечание о том, как меняется определитель при элементарных преобразованиях строк/столбцов. 1й способ вычисления определителя приведением методом Гаусса матрицы к верхнетреугольному виду.

Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции.
Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точностью до множителя (доказательство для n=2).
Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице.

'''Лекция 5 (01.10.2025):'''

Свойства определителя:

9. Разложение по строке. Дополняющий минор, алгебраическое дополнение. Примеры.

10. Фальшивое разложение.
Третье (индуктивное) определение детерминанта через разложение по строке.

11. Определитель блочной матрицы.

12. Определитель произведения с доказательством.
Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований и рекуррентных соотношений.

Доказательство правила Крамера.
Определение обратной матрицы. Её единственность.

'''Лекция 6 (08.10.2025):'''
Теорема о критерии существования обратной матрицы с доказательством. Союзная матрица. Формула для вычисления обратной матрицы.
Матрица, обратная к произведению матриц, и матрица, обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле.
Матричные уравнения двух типов двумя способами каждый.

Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Примеры.
Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы (с доказательством) и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Ранг ступенчатой матрицы.

'''Лекция 7 (15.10.2025):'''
Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки (столбцы). Примеры.
Критерий линейной зависимости с доказательством. Пример.

Теорема о базисном миноре с доказательством. Пример.
Следствия теоремы о базисном миноре: теорема о ранге матрицы с доказательством (эквивалентное определение ранга), критерий невырожденности квадратной матрицы с доказательством.

'''Лекция 8 (22.10.2025):'''
Вычисление ранга матрицы (элементарные преобразования и метод окаймляющих миноров). Теорема об окаймляющих минорах с доказательством.
СЛАУ, совместная, однородная, неоднородная СЛАУ.
Свойства решений СЛАУ. Следствие о том, каким может быть множество решений СЛАУ (несовместная, определённая и неопределённая СЛАУ).
Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности) с доказательством.

'''Лекция 9 (05.11.2025):'''
Пример на совместность СЛАУ.
Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений. Теорема о существовании ФСР.
Критерий существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ (следствие из теоремы о существовании ФСР).
Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ (начало доказательства).

'''Лекция 10 (12.11.2025):'''
Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ (окончание доказательства). Пример.
Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ. Пример.
Комплексные числа, алгебраическая форма записи. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел.

'''Лекция 11 (19.11.2025):'''
Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел.
Тригонометрическая форма записи. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической записи.
Формула Муавра.
Извлечение комплексного корня n-ой степени. Изображение корней n-ой степени на комплексной плоскости. Пример.
Формула Эйлера и её следствия.
Формулировка "основной" теоремы алгебры. Теорема Безу.
Утверждение о том, что комплексный многочлен n-ной степени имеет n корней с учётом кратности.

'''Лекция 12 (26.11.2025):'''
Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами.
Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.

Векторы в трёхмерном пространстве. Коллинеарность, компланарность. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства).
Базис в трёхмерном пространстве. Ортонормированный базис. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах в произвольном базисе. Вычисление скалярного произведения в ОНБ.

'''Лекция 13 (03.12.2025):'''
Правая и левая тройка векторов. Правый базис. Векторное произведение векторов в трёхмерном пространстве.
Критерий коллинеарности двух векторов. Алгебраические свойства векторного произведения (линейность, кососимметричность). Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в правом ОНБ.

Смешанное произведение векторов, его свойства.
Вычисление объема параллелепипеда и тетраэдра. Критерий компланарности трёх векторов. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в правом ОНБ.

Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении.

'''Лекция 14 (10.12.2025):'''
Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии.
Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость.
6 типов уравнений плоскости: общее уравнение, через три точки, уравнение в отрезках, каноническое, векторные и параметрические уравнения плоскости.
Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Прямая в пространстве. 4 типа уравнений прямой: общие, векторные, параметрические, канонические уравнения прямой.
Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости. Угол между прямыми.

'''Лекция 15 (17.12.2025):'''
Отображения множеств. Образ и полный прообраз. Сюръективность и инъективность. Биекция. Примеры.
Бинарное отношение на множестве. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Утверждение о том, что любое разбиение множества задаёт отношение эквивалентности. Фактормножество. Примеры (горизонтальные прямые на плоскости, вычеты).
Бинарные операции. Ассоциативные и коммутативные бинарные операции. Пример (композиция отображений, её ассоциативность и некоммутативность).
Алгебраические структуры. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа.

'''[https://rutube.ru/video/private/18916c5e8e86768c8f9deaca0c8b8b8d/?p=BpHJLa3LD_zEX4kxjwsOnA Лекция 16 (14.01.2026):]'''
Эквивалентное определение группы. Примеры групп: общая линейная группа GL_n(R), симметрическая группа S_n. Порядок группы. Абелева группа. Пример.
Подгруппа. Собственная подгруппа. Примеры: специальная линейная подгруппа SL_n(R), знакопеременная подгруппа A_n. Критерий подгруппы с доказательством.
Гомоморфизм. Примеры гомоморфизма: детерминант, логарифм. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Пример на изоморфизм D_3 и S_3. Группа диэдра D_n.
Таблица Кэли.

'''[https://rutube.ru/video/private/ed6dd04e61631eade0e8cc7d17f02cb6/?p=PqOAfCJsE4d0FSMGFaTHmQ Лекция 17 (21.01.2026):]'''
Группа вычетов Z_n. Таблица Кэли для вычетов по модулю 4.
Порядок элемента. Примеры.
Циклическая группа. Примеры циклических групп: целые числа по сложению, комплексные корни n-й степени из единицы и группа вычетов по модулю n.
Утверждение о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы.
Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны.
Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению.

'''[https://rutube.ru/video/private/f6bce4ac1cf2da514172a5cac0ce643c/?p=pUqlykfSf1w0JSzeRIYmDw Лекция 18 (28.01.2026):]'''
Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2*Z_2. Проверка неизоморфности группе Z_4.
Изоморфность группе Клейна V_4.
Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Примеры. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа.
Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие 3 из теоремы Лагранжа.
Теорема Кэли.

'''[https://rutube.ru/video/private/cbe94abc34c3cf6c7f354ee3ce80d2f8/?p=M7gEAsReLocVUBM_3aJWeQ Лекция 19 (04.02.2026):]'''
Правый смежный класс. Нормальная подгруппа. Примеры. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов по нормальной подгруппе. Пример факторгруппы.
Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу.
Образ гомоморфизма. Утверждение, что образ гомоморфизма является подгруппой.
Ядро гомоморфизма. Пример.
Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра (на 2м потоке только формулировка).

'''[https://rutube.ru/video/private/512885d90cc93b3ff143b0b2351cbf3a/?p=ZkN9dMKMy7vjWeygv7q0ZQ Лекция 20 (11.02.2026):]'''
Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.
Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой.
Утверждение, что ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой (пока без доказательства).

Теорема о гомоморфизме групп. Примеры к теореме о гомоморфизме групп: Z/nZ, GLn/SLn.
Естественный гомоморфизм. Связь между гомоморфизмом групп, естественным гомоморфизмом и изоморфизмом из теоремы о гомоморфизме.
Сопряжённые элементы. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения.

'''[https://rutube.ru/video/private/a78b8417f77b1164a58c03e2235fac5a/?p=e7eglDygvVbdc11sUT6cuQ Лекция 21 (18.02.2026):]'''
Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они.
Простые группы. Пример Zp.
Гамильтоновы группы. Группа кватернионов Q8, её таблица Кэли. Замечание, что группа кватернионов не абелева, но все её подгруппы нормальные.
Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма.
Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Утверждение, что Aut(G) — группа. Пример: автоморфизмы в Z.
Центр группы. Пример для Q8. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов (на 2м потоке только формулировка).

'''[https://rutube.ru/video/private/5d005e2dcfe2b1153484f2846e210a5b/?p=VqgCM09a8r824pP5633ymA Лекция 22 (25.02.2026):]'''
Доказательство утверждения о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов.
Применение теории групп в криптографии. Задача дискретного логарифмирования. Шифрование: протокол Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля.
Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Кольцо с единицей. Коммутативное кольцо. Примеры колец: Z, Mn(R), R[x], Zn. Таблица умножения для Z4.
Делители нуля. Утверждение о том, что 0 поглощающий элемент в кольце. Целостное кольцо. Пример. Критерий целостности для нетривиального коммутативного кольца с единицей (закон сокращения).
Обратимые элементы в кольце. Поле, примеры полей.

'''[https://rutube.ru/video/private/55662cef0ffd16edc93271e6db18308b/?p=3wH7IBjxS8s9Sh6uC2BXsg Лекция 23 (04.03.2026):]'''
Мультипликативная группа кольца. Подкольцо. Подполе. Примеры.
Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Взаимно простые элементы кольца.
Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Главный идеал. Примеры. Замечание, что Z — кольцо главных идеалов. Факторкольцо кольца по идеалу.
Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Утверждение о том, что образ гомоморфизма является подкольцом. Теорема о гомоморфизме колец.
Характеристика поля. Примеры.

'''[https://rutube.ru/video/private/542d1605e74279a61020c4dfa338ccb6/?p=rznGyxE27BJCXwHWQscWeA Лекция 24 (11.03.2026):]'''
Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое.
Замечание, что в поле нет делителей нуля.
Замечание, что поля нулевой характеристики бесконечны.
Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем.
Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Расширение поля. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Поле рациональных дробей C(x) как расширение поля комплексных чисел.
Алгебраические элементы над полем. Трансцендентные элементы. Примеры.
Теорема о существовании для любого многочлена корня в некотором расширении поля (без доказательства).
Пример на факторкольцо: изоморфизм R[x]/<x^2+1> полю комплексных чисел.
Теорема о том, когда факторкольцо кольца многочленов над полем само является полем (доказательство достаточности).

'''[https://rutube.ru/video/private/4924d31e2ebff58ac5fb739b3f36745a/?p=snBsUsQrc4kSDRGcPu_uBg Лекция 25 (18.03.2026):]'''
Теорема о том, когда факторкольцо кольца многочленов над полем само является полем (доказательство необходимости).
Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства).
Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом. Явное построение поля из 4 элементов.

Поле рациональных дробей с коэффициентами из Zp как пример бесконечного поля положительной характеристики.

Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: геометрические векторы V_3, арифметическое пространство F^n, пространство числовых последовательностей, пространство непрерывных на отрезке функций, матричное пространство M_mn(F), пространство F_n[x] многочленов степени не выше n, пространство решений однородной СЛАУ.
Базис, координаты вектора. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Примеры: размерность и канонический базис в F^n, M_mn(F), F_n[x].

Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса).

'''[https://rutube.ru/video/private/9d5d3699a049c9030f9903b75713d562/?p=_rkgNjjpRru5W9T3WJfKwQ Лекция 26 (01.04.2026):]'''
Матрица перехода от старого базиса к новому. Пример.
Невырожденность матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение, что матрица обратного перехода равна обратной матрице к исходной. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах.

Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств.
Линейная оболочка конечного набора векторов. Примеры.
Ранг системы векторов. Замечание о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе.

Пересечение подпространств. Сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств (формулировка).

'''[https://rutube.ru/video/private/7ba053164b0adeda4dbb3a3b625bd055/?p=q2knnjVpLvQHsZJHjncWOA Лекция 27 (08.04.2026):]'''
Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.
Прямая сумма подпространств, разложение в проекции. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Пример с разложением пространства квадратных матриц в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических матриц.

Билинейная форма и её матрица. Биекция между билинейными формами и их матрицами при фиксированном базисе. Примеры. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса.
Квадратичная форма и матрица квадратичной формы. Пример. Связь билинейной и квадратичной форм. Симметрические и кососимметрические билинейные формы.
Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.

'''[https://rutube.ru/video/private/76902d214bd9b9a3a8e6959baa2fdb36/?p=lZD3EAAPcreqz0d--3mNog Лекция 28 (15.04.2026):]'''
Ранг квадратичной формы.
Лемма о том, что ранг матрицы не меняется при умножении на невырожденную матрицу. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы.
Положительная, отрицательная, неотрицательная, неположительная определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы. Примеры. Критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие.
Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции, сигнатура.
Замечание, что одну квадратичную форму можно перевести в другую невырожденным линейным преобразованием тогда и только тогда, когда их сигнатуры совпадают.

'''[https://rutube.ru/video/private/3c7e6d5819af8f428c6bd7d4848604d1/?p=wZqOvLQnL9qcY_YP1KU1nw Лекция 29 (22.04.2026):]'''
Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример (оператор проекции на Ox).
Утверждение о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.
Пример с задачей про вирус как иллюстрация применения линейных операторов.
Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов.
Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения (формулировка).

'''[https://rutube.ru/video/private/97393c3bb4dfee25f2bf5efe24a1552c/?p=vp0EwbhLR9sYfG_YSRzVpQ Лекция 30 (29.04.2026):]'''
Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример с оператором дифференцирования.
Подобные матрицы. Инвариантность определителя.
Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц.
Пример с задачей про вирус как иллюстрация применения линейных операторов и метода возведения матрицы оператора в степень через переход к диагональному виду.
Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Примеры (оператор проекции, оператор поворота).
Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы. Пример. Инвариантность характеристического многочлена.

'''[https://rutube.ru/video/private/50727e9557db1298fa3ac1d87b176478/?p=74bfjcCf9n0HPHNKp0ROzA Лекция 31 (13.05.2026):]'''
Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Пример.
Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства).
След матрицы, инвариантность следа при замене координат.
Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.
Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Пример.

'''[https://rutube.ru/video/private/5048994b30194747bfec648288a512ee/?p=GMarkGm9iYBGBa5q-P6dxg Лекция 32 (20.05.2026):]'''
Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена. Пример (решение задачи про вирус).

Определение евклидова пространства и скалярного произведения. Примеры. Определение нормы вектора, угла и расстояния между векторами.
Неравенства Коши—Буняковского и треугольника.
Ортогональность. Ортогональная система. Ортогональный и ортонормированный базисы. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов.
Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве.

'''[https://rutube.ru/video/private/eac7d9e1513abeaf8fa6fcb5a1cc3509/?p=QKrB38dZaxMEidI8vAZ4Ww Лекция 33 (27.05.2026):]'''
Выражение для координат вектора в ортогональном базисе через скалярные произведения.
Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Свойства матрицы Грама: 1) симметричность и положительная определённость, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису (как матрицы билинейной формы), 3) положительность определителя.
Свойство 4 матрицы Грама: инвариантность грамиана относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта.
Критерий невырожденности матрицы Грама (5-ое свойство). Выражение для объема параллелепипеда через определитель матрицы Грама.

Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая.

'''[https://disk.360.yandex.ru/d/gcsyEsHo9-l85A Лекция 34 (01.06.2026):]'''
Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению.
Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство.

Определение линейного (алгебраического) многообразия. Замечание о том, как устроено линейное многообразие. Расстояние между вектором и линейным многообразием (определение).
Расстояние от точки до линейного многообразия как длина ортогональной составляющей. Формула для расстояния через определители матриц Грама.

Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный (симметрический) оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора.

'''[https://rutube.ru/video/private/be5c12865541c2b7e1d822c29b1c9fcf/?p=FtjkonrQ93WNUKDifuHYWw Лекция 35 (03.06.2026):]'''
Критерий самосопряженности оператора.
Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Теорема о диагонализируемости самосопряжённого оператора (без доказательства). Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям.
Теорема о существовании для любого самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов (без доказательства). Теорема о существовании для самосопряженного оператора c попарно различными собственными значениями ортонормированного базиса из собственных векторов.
Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы. Сохранение длин и углов ортогональным оператором. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное.
Утверждение о том, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна.
Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие осуществляется с помощью ортогональной матрицы (спектральное разложение).

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III
* В.А. Ильин, Г.Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 3-е издание

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том II, часть 2. М.: ИКД "Зерцало-М", 2003

Алгебра ПИ 2025-2026

2026-04-30T22:15:52Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедших лекциях

= Преподаватели и учебные ассистенты =
{| class="wikitable"
|-
! Группа !! БПИ 251 !! БПИ 252 !! БПИ 253 !! БПИ 254 !! БПИ 255 !! БПИ 256 !! БПИ 257 !! БПИ 258 !! БПИ 259 !! БПИ 2510
|-
| Лектор || colspan="10" style="text-align:center;" | Михайлец Екатерина Викторовна
|-
| Семинаристы || Михайлец Екатерина Викторовна || Зайцева Юлия Ивановна || Хрыстик Михаил Андреевич || Преснова Екатерина Денисовна || Зайцева Юлия Ивановна || Медведь Никита Юрьевич || Преснова Екатерина Денисовна || Максаев Артём Максимович || Шахматов Кирилл Вениаминович || Бельдиев Иван Сергеевич
|-
| Ассистенты || [https://t.me/qpkectpa Суханов Григорий], [https://t.me/savartom Савин Артём] || [https://t.me/alxply Палий Александр], [https://t.me/saturrngirl Беднова Александра] || [https://t.me/kartoska_bs Симонов Алексей], [https://t.me/Islam_adaev Адаев Ислам] || [https://t.me/chrpnnkv Черепенникова Варвара], [https://t.me/evel0on Купцевич Эвелина] || [https://t.me/KrIsS104 Осина Дарья], [https://t.me/Uran_Chase Лобан Филипп] || [https://t.me/unonekto Широкова Ульяна], [https://t.me/seljuk_turok Файзуллин Илья] || [https://t.me/SorryItsAlreadyTake Владимиров Алексей], [https://t.me/stepprokopiev Прокопьев Степан] || [https://t.me/lapa_aa Лапа Антонина], [https://t.me/verevka8 Лизунов Даниил] || [https://t.me/noncrit Жданок Дарья], [https://t.me/seonsaen Ноговицын Айтал] || [https://t.me/VishupHell Торосян Андраник], [https://t.me/milvus_11 Михайлов Артём], [https://t.me/Kaystery Марьин Даниил]
|}

= Консультации =
Вы можете посещать консультации, организованные как для вашей группы, так и для других групп, если не удаётся посещать свои.
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1k7PBP0GeLFOVSCiGKmj4NewwNC9uzR6hy2CBhQm3U8U/edit?usp=sharing Таблица, в которой отмечается проведение консультаций вашими ассистентами]. Вы можете следить по таблице за тем, чтобы консультации проводились вовремя, и если они вам нужны, то при необходимости напоминать ассистентам.
Таблица обновляется по воскресеньям.

= Аттестация и оценки =
== 2025/2026 учебный год 1 семестр ==
'''О1 = 0,27∙О_(Кр-1) + 0,12∙О_(ИДЗ-1 и ИДЗ-2) + 0,16∙О_(Сем-1) + 0,45∙О_(Экз-1)'''

Здесь О_(Сем-1) - оценка от 0 до 10 баллов, учитывающая регулярность посещения семинаров, активность на семинарах, в том числе решение задач у доски, и выполнение текущих домашних работ в 1-2 модулях.

Оценка за индивидуальные домашние задания (ИДЗ) в 1 и 2 модулях вычисляется как среднее арифметическое О_(ИДЗ-1) и О_(ИДЗ-2).

В конце 2го модуля проводится письменный экзамен.

== 2025/2026 учебный год 2 семестр ==
'''О2 = 0,21∙О_(Кр-3) + 0,08∙О_(ИДЗ-3 и ИДЗ-4) + 0,12∙О_(Сем-2) + 0,24∙О_(Коллок-мод3 и Коллок-мод4) + 0,45∙О_(Экз-2)'''

Обратите внимание, что во 2м семестре общая сумма коэффициентов равна 1,1, т.е. с некоторым "запасом".

Оценка за коллоквиумы в 3 и 4 модулях вычисляется как среднее арифметическое О_(Коллок-мод3) и О_(Коллок-мод4). Оценка за ИДЗ аналогично.

В конце 4го модуля проводится письменный экзамен, который является '''блокирующим'''.

Подробнее о каждой из составляющих итоговой оценки можно прочитать в ПУД (план учебной дисциплины) на сайте ВШЭ.

= Прошедшие лекции =
Здесь находится информация о пройденных на каждой лекции темах, а также, начиная с 16 лекции, ссылки на записи.

'''Лекция 1 (03.09.2025):'''
Матрицы. Частные случаи матриц. Единичная матрица. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, умножение. Примеры. Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, умножения. Доказательство ассоциативности умножения матриц. Замечание о некоммутативности умножения. Пример.

'''Лекция 2 (10.09.2025):'''
Транспонирование и его свойства. Доказательство связи умножения и транспонирования.
Элементарные преобразования строк матрицы. Представление элементарных преобразований умножением на матрицу специального вида. Пример.
Ступенчатый вид матрицы и канонический (улучшенный ступенчатый) вид матрицы. Примеры.
Теорема о методе Гаусса с доказательством. Системы линейных алгебраических уравнений и их связь с методом Гаусса.

'''Лекция 3 (17.09.2025):'''
Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Утверждение о том, что транспозиция меняет чётность перестановки. Циклическая запись. Умножение подстановок. Некоммутативность умножения. Тождественная подстановка. Обратная подстановка.

Замечание, что любая подстановка представима в виде произведения транспозиций.
Замечание, что знак произведения подстановок равен произведению знаков множителей.
Общая формула для определителя произвольного порядка. Вычисление определителя матрицы порядков 2 и 3, правило Саррюса.

Свойства определителя:

1. Определитель транспонированной матрицы.

2. Полилинейность. Пример.

'''Лекция 4 (24.09.2025):'''

Свойства определителя:

3. Кососимметричность.

4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк.

5. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных.

6. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других.

7. Значение определителя на единичной и диагональной матрице.

8. Определитель верхнетреугольной матрицы.

Замечание о том, как меняется определитель при элементарных преобразованиях строк/столбцов. 1й способ вычисления определителя приведением методом Гаусса матрицы к верхнетреугольному виду.

Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции.
Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точностью до множителя (доказательство для n=2).
Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице.

'''Лекция 5 (01.10.2025):'''

Свойства определителя:

9. Разложение по строке. Дополняющий минор, алгебраическое дополнение. Примеры.

10. Фальшивое разложение.
Третье (индуктивное) определение детерминанта через разложение по строке.

11. Определитель блочной матрицы.

12. Определитель произведения с доказательством.
Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований и рекуррентных соотношений.

Доказательство правила Крамера.
Определение обратной матрицы. Её единственность.

'''Лекция 6 (08.10.2025):'''
Теорема о критерии существования обратной матрицы с доказательством. Союзная матрица. Формула для вычисления обратной матрицы.
Матрица, обратная к произведению матриц, и матрица, обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле.
Матричные уравнения двух типов двумя способами каждый.

Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Примеры.
Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы (с доказательством) и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Ранг ступенчатой матрицы.

'''Лекция 7 (15.10.2025):'''
Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки (столбцы). Примеры.
Критерий линейной зависимости с доказательством. Пример.

Теорема о базисном миноре с доказательством. Пример.
Следствия теоремы о базисном миноре: теорема о ранге матрицы с доказательством (эквивалентное определение ранга), критерий невырожденности квадратной матрицы с доказательством.

'''Лекция 8 (22.10.2025):'''
Вычисление ранга матрицы (элементарные преобразования и метод окаймляющих миноров). Теорема об окаймляющих минорах с доказательством.
СЛАУ, совместная, однородная, неоднородная СЛАУ.
Свойства решений СЛАУ. Следствие о том, каким может быть множество решений СЛАУ (несовместная, определённая и неопределённая СЛАУ).
Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности) с доказательством.

'''Лекция 9 (05.11.2025):'''
Пример на совместность СЛАУ.
Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений. Теорема о существовании ФСР.
Критерий существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ (следствие из теоремы о существовании ФСР).
Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ (начало доказательства).

'''Лекция 10 (12.11.2025):'''
Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ (окончание доказательства). Пример.
Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ. Пример.
Комплексные числа, алгебраическая форма записи. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел.

'''Лекция 11 (19.11.2025):'''
Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел.
Тригонометрическая форма записи. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической записи.
Формула Муавра.
Извлечение комплексного корня n-ой степени. Изображение корней n-ой степени на комплексной плоскости. Пример.
Формула Эйлера и её следствия.
Формулировка "основной" теоремы алгебры. Теорема Безу.
Утверждение о том, что комплексный многочлен n-ной степени имеет n корней с учётом кратности.

'''Лекция 12 (26.11.2025):'''
Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами.
Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.

Векторы в трёхмерном пространстве. Коллинеарность, компланарность. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства).
Базис в трёхмерном пространстве. Ортонормированный базис. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах в произвольном базисе. Вычисление скалярного произведения в ОНБ.

'''Лекция 13 (03.12.2025):'''
Правая и левая тройка векторов. Правый базис. Векторное произведение векторов в трёхмерном пространстве.
Критерий коллинеарности двух векторов. Алгебраические свойства векторного произведения (линейность, кососимметричность). Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в правом ОНБ.

Смешанное произведение векторов, его свойства.
Вычисление объема параллелепипеда и тетраэдра. Критерий компланарности трёх векторов. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в правом ОНБ.

Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении.

'''Лекция 14 (10.12.2025):'''
Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии.
Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость.
6 типов уравнений плоскости: общее уравнение, через три точки, уравнение в отрезках, каноническое, векторные и параметрические уравнения плоскости.
Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Прямая в пространстве. 4 типа уравнений прямой: общие, векторные, параметрические, канонические уравнения прямой.
Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости. Угол между прямыми.

'''Лекция 15 (17.12.2025):'''
Отображения множеств. Образ и полный прообраз. Сюръективность и инъективность. Биекция. Примеры.
Бинарное отношение на множестве. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Утверждение о том, что любое разбиение множества задаёт отношение эквивалентности. Фактормножество. Примеры (горизонтальные прямые на плоскости, вычеты).
Бинарные операции. Ассоциативные и коммутативные бинарные операции. Пример (композиция отображений, её ассоциативность и некоммутативность).
Алгебраические структуры. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа.

'''[https://rutube.ru/video/private/18916c5e8e86768c8f9deaca0c8b8b8d/?p=BpHJLa3LD_zEX4kxjwsOnA Лекция 16 (14.01.2026):]'''
Эквивалентное определение группы. Примеры групп: общая линейная группа GL_n(R), симметрическая группа S_n. Порядок группы. Абелева группа. Пример.
Подгруппа. Собственная подгруппа. Примеры: специальная линейная подгруппа SL_n(R), знакопеременная подгруппа A_n. Критерий подгруппы с доказательством.
Гомоморфизм. Примеры гомоморфизма: детерминант, логарифм. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Пример на изоморфизм D_3 и S_3. Группа диэдра D_n.
Таблица Кэли.

'''[https://rutube.ru/video/private/ed6dd04e61631eade0e8cc7d17f02cb6/?p=PqOAfCJsE4d0FSMGFaTHmQ Лекция 17 (21.01.2026):]'''
Группа вычетов Z_n. Таблица Кэли для вычетов по модулю 4.
Порядок элемента. Примеры.
Циклическая группа. Примеры циклических групп: целые числа по сложению, комплексные корни n-й степени из единицы и группа вычетов по модулю n.
Утверждение о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы.
Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны.
Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению.

'''[https://rutube.ru/video/private/f6bce4ac1cf2da514172a5cac0ce643c/?p=pUqlykfSf1w0JSzeRIYmDw Лекция 18 (28.01.2026):]'''
Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2*Z_2. Проверка неизоморфности группе Z_4.
Изоморфность группе Клейна V_4.
Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Примеры. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа.
Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие 3 из теоремы Лагранжа.
Теорема Кэли.

'''[https://rutube.ru/video/private/cbe94abc34c3cf6c7f354ee3ce80d2f8/?p=M7gEAsReLocVUBM_3aJWeQ Лекция 19 (04.02.2026):]'''
Правый смежный класс. Нормальная подгруппа. Примеры. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов по нормальной подгруппе. Пример факторгруппы.
Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу.
Образ гомоморфизма. Утверждение, что образ гомоморфизма является подгруппой.
Ядро гомоморфизма. Пример.
Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра (на 2м потоке только формулировка).

'''[https://rutube.ru/video/private/512885d90cc93b3ff143b0b2351cbf3a/?p=ZkN9dMKMy7vjWeygv7q0ZQ Лекция 20 (11.02.2026):]'''
Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.
Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой.
Утверждение, что ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой (пока без доказательства).

Теорема о гомоморфизме групп. Примеры к теореме о гомоморфизме групп: Z/nZ, GLn/SLn.
Естественный гомоморфизм. Связь между гомоморфизмом групп, естественным гомоморфизмом и изоморфизмом из теоремы о гомоморфизме.
Сопряжённые элементы. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения.

'''[https://rutube.ru/video/private/a78b8417f77b1164a58c03e2235fac5a/?p=e7eglDygvVbdc11sUT6cuQ Лекция 21 (18.02.2026):]'''
Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они.
Простые группы. Пример Zp.
Гамильтоновы группы. Группа кватернионов Q8, её таблица Кэли. Замечание, что группа кватернионов не абелева, но все её подгруппы нормальные.
Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма.
Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Утверждение, что Aut(G) — группа. Пример: автоморфизмы в Z.
Центр группы. Пример для Q8. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов (на 2м потоке только формулировка).

'''[https://rutube.ru/video/private/5d005e2dcfe2b1153484f2846e210a5b/?p=VqgCM09a8r824pP5633ymA Лекция 22 (25.02.2026):]'''
Доказательство утверждения о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов.
Применение теории групп в криптографии. Задача дискретного логарифмирования. Шифрование: протокол Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля.
Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Кольцо с единицей. Коммутативное кольцо. Примеры колец: Z, Mn(R), R[x], Zn. Таблица умножения для Z4.
Делители нуля. Утверждение о том, что 0 поглощающий элемент в кольце. Целостное кольцо. Пример. Критерий целостности для нетривиального коммутативного кольца с единицей (закон сокращения).
Обратимые элементы в кольце. Поле, примеры полей.

'''[https://rutube.ru/video/private/55662cef0ffd16edc93271e6db18308b/?p=3wH7IBjxS8s9Sh6uC2BXsg Лекция 23 (04.03.2026):]'''
Мультипликативная группа кольца. Подкольцо. Подполе. Примеры.
Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Взаимно простые элементы кольца.
Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Главный идеал. Примеры. Замечание, что Z — кольцо главных идеалов. Факторкольцо кольца по идеалу.
Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Утверждение о том, что образ гомоморфизма является подкольцом. Теорема о гомоморфизме колец.
Характеристика поля. Примеры.

'''[https://rutube.ru/video/private/542d1605e74279a61020c4dfa338ccb6/?p=rznGyxE27BJCXwHWQscWeA Лекция 24 (11.03.2026):]'''
Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое.
Замечание, что в поле нет делителей нуля.
Замечание, что поля нулевой характеристики бесконечны.
Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем.
Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Расширение поля. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Поле рациональных дробей C(x) как расширение поля комплексных чисел.
Алгебраические элементы над полем. Трансцендентные элементы. Примеры.
Теорема о существовании для любого многочлена корня в некотором расширении поля (без доказательства).
Пример на факторкольцо: изоморфизм R[x]/<x^2+1> полю комплексных чисел.
Теорема о том, когда факторкольцо кольца многочленов над полем само является полем (доказательство достаточности).

'''[https://rutube.ru/video/private/4924d31e2ebff58ac5fb739b3f36745a/?p=snBsUsQrc4kSDRGcPu_uBg Лекция 25 (18.03.2026):]'''
Теорема о том, когда факторкольцо кольца многочленов над полем само является полем (доказательство необходимости).
Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства).
Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом. Явное построение поля из 4 элементов.

Поле рациональных дробей с коэффициентами из Zp как пример бесконечного поля положительной характеристики.

Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: геометрические векторы V_3, арифметическое пространство F^n, пространство числовых последовательностей, пространство непрерывных на отрезке функций, матричное пространство M_mn(F), пространство F_n[x] многочленов степени не выше n, пространство решений однородной СЛАУ.
Базис, координаты вектора. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Примеры: размерность и канонический базис в F^n, M_mn(F), F_n[x].

Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса).

'''[https://rutube.ru/video/private/9d5d3699a049c9030f9903b75713d562/?p=_rkgNjjpRru5W9T3WJfKwQ Лекция 26 (01.04.2026):]'''
Матрица перехода от старого базиса к новому. Пример.
Невырожденность матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение, что матрица обратного перехода равна обратной матрице к исходной. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах.

Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств.
Линейная оболочка конечного набора векторов. Примеры.
Ранг системы векторов. Замечание о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе.

Пересечение подпространств. Сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств (формулировка).

'''[https://rutube.ru/video/private/7ba053164b0adeda4dbb3a3b625bd055/?p=q2knnjVpLvQHsZJHjncWOA Лекция 27 (08.04.2026):]'''
Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.
Прямая сумма подпространств, разложение в проекции. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Пример с разложением пространства квадратных матриц в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических матриц.

Билинейная форма и её матрица. Биекция между билинейными формами и их матрицами при фиксированном базисе. Примеры. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса.
Квадратичная форма и матрица квадратичной формы. Пример. Связь билинейной и квадратичной форм. Симметрические и кососимметрические билинейные формы.
Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.

'''[https://rutube.ru/video/private/76902d214bd9b9a3a8e6959baa2fdb36/?p=lZD3EAAPcreqz0d--3mNog Лекция 28 (15.04.2026):]'''
Ранг квадратичной формы.
Лемма о том, что ранг матрицы не меняется при умножении на невырожденную матрицу. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы.
Положительная, отрицательная, неотрицательная, неположительная определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы. Примеры. Критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие.
Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции, сигнатура.
Замечание, что одну квадратичную форму можно перевести в другую невырожденным линейным преобразованием тогда и только тогда, когда их сигнатуры совпадают.

'''[https://rutube.ru/video/private/3c7e6d5819af8f428c6bd7d4848604d1/?p=wZqOvLQnL9qcY_YP1KU1nw Лекция 29 (22.04.2026):]'''
Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример (оператор проекции на Ox).
Утверждение о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.
Пример с задачей про вирус как иллюстрация применения линейных операторов.
Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов.
Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения (формулировка).
= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III
* В.А. Ильин, Г.Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 3-е издание

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том II, часть 2. М.: ИКД "Зерцало-М", 2003

Алгебра ПИ 2025-2026

2026-03-13T22:28:14Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедшей лекции

Алгебра ПИ 2025-2026

2026-03-06T18:14:24Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о 2 прошедших лекциях

Алгебра ПИ 2025-2026

2026-02-27T21:34:29Z

MilvusAlgWiki11: поправил форматирование

Алгебра ПИ 2025-2026

2026-02-27T21:33:25Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедшей лекции

Алгебра ПИ 2025-2026

2026-02-11T21:52:42Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедшей лекции

Wiki ФКН

2026-02-10T20:57:51Z

MilvusAlgWiki11: поправил отступ для курса матстата ПИ

__NOTOC__
= Учебные курсы факультета компьютерных наук =

{| class="wikitable"
|-
! colspan="2" | <div style="text-align: center;">'''Навигация'''</div>
|-
! [[#bachelors|Курсы бакалавриата ФКН]]
| <div style="text-align:center">[[#AMI|ПМИ]] · [[#SE|ПИ]] · [[#DSBA|ПАД]] · [[#compds|КНАД]] · [[#EDA|ЭАД]] · [[#DRIP|ДРИП]] · [[#electives|майноры и факультативы]]</div>
|-
! colspan="2" | [[#DataCulture|Курсы в рамках проекта Data Culture]] · [[#masters|Курсы магистратуры ФКН]] · [[#other|Курсы других факультетов]] · [[#archive|Архив]]
|}

== Курсы за 2025/26 учебный год ==
{| class="wikitable courses"
|-

! width="21%" | 1 курс !! width="21%" | 2 курс !! width="21%" | 3 курс !! width="21%" | 4 курс !! rowspan="2" | '''майноры и факультативы'''
|-
| colspan="4" style="text-align: center;" | '''ПМИ'''
|-
|

'''М+'''

[[Линейная_алгебра_и_геометрия_на_ПМИ_2025/2026_(пилотный_поток) | Линейная алгебра и геометрия (пилотный поток)]]

[[Математический_анализ_1_2025/26_(пилотный_поток) | Математический анализ-1 (пилотный поток)]]

[[Дискретная математика_на_ПМИ_2025/2026_(пилотный_поток) | Дискретная математика (пилотный поток)]]

[[Теория_чисел_(пилотный_поток)_2025/26 | Теория чисел (пилотный поток)]]

'''М'''

[[Линейная_алгебра_и_геометрия_на_ПМИ_2025/2026_(основной_поток) | Линейная алгебра и геометрия (основной поток)]]

[[Математический_анализ_1_2025/26_(основной_поток) | Математический анализ-1 (ПМИ основной поток)]]

[[DM1PMIbase-2025-26 | Дискретная математика (ПМИ основной поток)]]

[[Теория_чисел_(основной_поток)_2025/26 | Теория чисел (основной поток)]]

'''П'''

[[Язык программирования Python 2025/26 (основной поток) ]]

[[Алгоритмы и структуры данных 1 (основной поток) (2 модуль) 2025/2026]]

'''П+'''

[[Язык программирования C++ (пилотный поток) ]]

[[Алгоритмы и структуры данных пилотный поток 2025/2026 | Алгоритмы и структуры данных (пилотный поток)]]

||

'''М+'''

[[Математический_Анализ_2_на_ПМИ_2025/26_(пилотный_поток) | Математический анализ 2 (пилотный поток)]]

[[Теория_вероятностей_2025/26_(пилотный_поток) | Теория вероятностей (пилотный поток)]]

'''М'''

[[Теория_вероятностей_на_ПМИ_2025/2026_(основной_поток) | Теория вероятностей (основной поток)]]

[[Математический_анализ_-_2_(основной_поток)_ПМИ_и_ЭАД_2025/2026 | Математический анализ-2 (ПМИ + ЭАД)]]

 

'''П'''

[[Мachine Learning 1 | Машинное обучение 1]]

[[Язык_программирования_Python_(углубленный_курс) | Язык программирования Python (углубленный курс)]]
 

[[CAOS-2025/26 | Архитектура компьютеров и операционные системы]]

[[Инструменты_промышленной_разработки | Инструменты промышленной разработки]]

[[Алгоритмы_и_структуры_данных_2_2025/26 | Алгоритмы и структуры данных 2 2025/26]]

[[Язык_программирования_Go | Язык программирования Go]]

[[Комплексный анализ 2025/26]]

[[Функциональный анализ 2025/26]]

[[ Дискретная_математика_2_2025/26 | Дискретная математика 2 2025/26 ]]

[[Основы матричных вычислений 2025/26]]

[[Дифференциальные уравнения 2025/2026]]

||

[[ PE101-25-26 | Performance engineering 101 ]]

[[ Стохастический_анализ_(весна_2026) | Стохастический анализ ]]

[[Функциональное_программирование_2025/2026 | Функциональное программирование]]

[[ Основы_тензорных_вычислений_(2025/26) | Основы тензорных вычислений ]]

[[Рекомендательные системы 2025/26 | Рекомендательные системы]]

[[Глубинное обучение 1 25/26 | Введение в глубинное обучение]]

[[ Types_25 | Типы в языках программирования ]]

[[ Безопасность_компьютерных_систем_25/26 | Безопасность компьютерных систем ]]

[[ Моделирование временных рядов 2025/26 | Моделирование временных рядов ]]

[[ Случайные_процессы_приложения_2025/26 | Случайные процессы и их приложения ]]

'''ПМИ / МОП'''

[[Машинное_обучение_1_25/26 | Машинное обучение 1]]

[[Математическая_статистика_2_2025/2026 | Математическая статистика 2]]

[[ML_Research_Seminar_1 | НИС Машинное Обучение и Приложения 1]]

[[Машинное_обучение_2/2025_2026 | Машинное обучение 2]]

'''ПМИ / РС'''

[https://docs.google.com/document/d/1sHfi9_m4hx4y0iIgQEueMCr4qokLxh2Bvyzw_MdE2iI/edit?usp=sharing Распределенные системы]

[https://docs.google.com/document/d/1Hqu7iVY0FpYVujjNpIClkIMOQy32YWJpJHZKPSrOtmA/edit?usp=sharing НИС Распределенные системы]

'''ПМИ / ТИ'''

[[ NIS-TCS-25-26 | НИС Теоретическая информатика ]]

[[KKTI-25-26 | Комбинаторные конструкции в теоретической информатике]]

 

||

[[ PE101-25-26 | Performance engineering 101 ]]

[http://wiki.cs.hse.ru/%D0%93%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8_%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D1%83%D0%B7%D0%B8%D0%B8_(25/26) Генеративные модели на основе диффузии 25/26]

[[Большие_языковые_модели_25_26 | Большие языковые модели]]

[[Theory_of_computation_2025 | Theory of computation]]

[[Statistical_learning_theory_2025 | Statistical learning theory]]

[[Теория_и_практика_онлайн-экспериментов_25/26 | Теория и практика онлайн-экспериментов]]

[[Современный_NLP_и_большие_языковые_модели_26 | Современный NLP и большие языковые модели]]

[[Эффективные_системы_глубинного_обучения_25/26 | Эффективные системы глубинного обучения 25/26]]

[[ Haskell_26 | Промышленное программирование на Haskell ]]

[[ zkSNARK_26 | Протоколы доказательств с нулевым разглашением ]]

'''ПМИ / МОП'''

[http://wiki.cs.hse.ru/%D0%93%D0%BB%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_2_2025 Глубинное обучение 2]

[[ML_Research_Seminar_2 | НИС Машинное Обучение и Приложения 2]]

[[LSML 2025/2026 | Машинное обучение для больших данных]]

'''ПМИ / РС'''

[https://docs.google.com/document/d/1Q2gx-6ugSi9intAW6ZSsLZNrEvl7S5ClyAhn8EjJnRM/edit?usp=sharing НИС Распределенные системы 2]

[https://gitlab.velkerr.ru/velkerr/msbdp-2026/-/blob/main/README.md?ref_type=heads Методы и системы обработки больших данных]

'''ПМИ / ТИ'''

[[ NIS-TCS-25-26 | НИС Теоретическая информатика ]]

[[ OWF-25-26 | Односторонние функции и их применения ]]

[[ ConvApprox26 | Выпуклое программирование и аппроксимационные алгоритмы ]]

[[AT-25-26 | Теория автоматов, формальные языки, регулярные выражения]]

 

| rowspan="11" |


[[Майнор_Биоинформатика_1_год_2025/26|Биоинформатика 1 год 2025/26]]

[[Майнор_Биоинформатика_2_год_2025/26|Биоинформатика 2 год 2025/26]]

[[Введение_в_программирование_25/26|Введение в программирование. Питон 25/26]]

[[Введение_в_базы_данных_25/26|Введение в базы данных 25/26]]

[[Основы_глубинного_обучения_25/26|Основы глубинного обучения 25/26]]

[[Основы_машинного_обучения/2026|Основы машинного обучения 25/26]]

[[Прикладные_задачи_анализа_данных/2026|Прикладные задачи анализа данных 25/26]]

[[Kolmogorov_complexity_fall2025|Introduction to Kolmogorov complexity]]

|-
| colspan="4" style="text-align: center;" | '''ПИ'''
|-
|

[[Алгебра_ПИ_2025-2026|Алгебра 25/26]]

[[Дискретная_математика_25/26|Дискретная математика 25/26]]

[[Математический_анализ_25/26|Математический анализ 25/26]]

|
[[НИС_Методы_и_алгоритмы_защиты_информации_25/26|НИС Методы и алгоритмы защиты информации 25/26]]

[[Теория_вероятностей_25/26|Теория вероятностей 25/26]]

[[Математическая_статистика_25/26 | Математическая статистика 2025/26]]
|
 

||
 

|-
| colspan="4" style="text-align: center;" | '''ПАД'''
|-
|
'''1st year DSBA 2025/2026'''

[[Calculus 1 DSBA 2025/2026 | Calculus 1 (modules 1-4)]]

[[C++ Programming Language DSBA 2025/2026 | C++ Programming Language (modules 1-3)]]

[[English DSBA 2025/2026 | English Language (modules 1-4)]]

[[LAaG DSBA 2025/2026 | Linear Algebra and Geometry (modules 1-4)]]

[[Discrete Mathematics 1 DSBA 2025/2026 | Discrete Mathematics 1 (modules 1-3)]]

[[Russian History DSBA 2025/2026 | Russian History (modules 1-4)]]

[[Economics DSBA 2025/2026 | Economics (modules 2-3)]]

[[Foundations of Russian Statehood DSBA 2025/2026 | Foundations of Russian Statehood (module 3)]]

[[Algebra DSBA 2025/2026 | Algebra (module 4)]]

[[Algorithms and Data Structures 1 DSBA 2025/2026 | Algorithms and Data Structures 1 (module 4)]]

[[Python for Data Science DSBA 2025/2026 | Python for Data Science (module 4)]]

||
'''2nd year DSBA 2025/2026'''

[[Algorithms and Data Structures DSBA 2025/2026 | Algorithms and Data Structures (modules 1-3)]]

[[Discrete Mathematics 2 DSBA 2025/2026 | Discrete Mathematics 2 (modules 1-2)]]

[[Calculus 2 DSBA 2025/2026 | Calculus 2 (modules 1-2)]]

[[Probability Theory DSBA 2025/2026 | Probability Theory (modules 1-2)]]

[[Introduction to Micro and Macroeconomics DSBA 2025/2026 | Introduction to Micro and Macroeconomics (modules 1-4)]]

[[Computer Architecture and Operating Systems DSBA 2025/2026 | Computer Architecture and Operating Systems (modules 3-4)]]

[[Mathematical Statistics DSBA 2025/2026 | Mathematical Statistics (modules 3-4)]]

[[Machine Learning 1 DSBA 2025/2026 modules 3-4 | Machine Learning 1 (modules 3-4)]]

[[Differential Equations DSBA 2025/2026 | Differential Equations (modules (3-4)]]

'''Minors'''

[[Business and Management in Global Context DSBA 2025/2026 | Business and Management in Global Context (modules 1-4)]]

[[Introduction to Finance DSBA 2025/2026 | Introduction to Finance (modules 1-4)]]

||
'''3rd year DSBA 2025/2026'''

[[Databases DSBA 2025/2026 | Databases (modules 1-2)]]

[[Optimization Methods DSBA 2025/2026 | Optimization Methods (modules 1-2)]]

[[Machine Learning 1 DSBA 2025/2026 | Machine Learning 1 (modules 1-2)]]

[[Stochastic processes and applications DSBA 2025/2026 | Stochastic processes and applications (modules 1-2)]]

[[Time Series Analysis DSBA 2025/2026 | Time Series Analysis (modules 3-4)]]

[[Deep Learning DSBA 2025/2026 | Deep Learning (modules 3-4)]]

'''Minors'''

[[Introduction to Entrepreneurship DSBA 2025/2026 | Introduction to Entrepreneurship (business minor, modules 1-2)]]

[[Information Systems Management DSBA 2025/2026 | Information Systems Management (business minor, modules 3-4)]]

[[Econometrics DSBA 2025/2026 | Elements of Econometrics (finance minor, modules 1-4)]]

'''Specialization Data Science in Business'''

[[Research Seminar "Data Analysis in Business" DSBA 2025/2026 | Research Seminar "Data Analysis in Business“ (modules 1-4)]]

[[Data Analysis in Business DSBA 2025/2026 | Data Analysis in Business (modules 1-2)]]

[[Investment Management for Business DSBA 2025/2026 | Investment Management for Business (modules 3-4)]]

'''Specialization Data Science in Finance'''

[[Research Seminar "Data Science in Financial Economics" DSBA 2025/2026 | Research Seminar "Data Science in Financial Economics" (modules 1-4)]]

[[Financial Mathematics DSBA 2025/2026 | Financial Mathematics (modules 1-2)]]

[[Risk Management in Bank DSBA 2025/2026 | Risk Management in Bank (modules 3-4)]]

'''Specialization Data Analysis in Applied Research'''

[[Research Seminar "Data Science in Applied Research" DSBA 2025/2026 | Research Seminar "Data Science in Applied Research" (modules 1-4)]]

[[Methods of Mathematical Modeling DSBA 2025/2026 | Methods of Mathematical Modeling (modules 1-2)]]

[[Applied Statistics for Machine Learning DSBA 2025/2026 | Applied Statistics for Machine Learning (modules 3-4)]]

'''Electives (modules 3-4)'''

[[Operations Research and Game Theory DSBA 2025/2026 | Operations Research and Game Theory]]

[[Advanced Statistical Methods DSBA 2025/2026 | Advanced Statistical Methods]]

[[Recommender Systems DSBA 2025/2026 | Recommender Systems]]

||
'''4th year DSBA 2025/2026'''

[[Strategy DSBA 2025/2026 | Strategy (modules 1-3)]]

[[Statistical Methods for Market Research DSBA 2025/2026 | Statistical Methods for Market Research (modules 2-3)]]

'''Electives block 1 (modules 1-3)'''

[[Core Management Concepts DSBA 2025/2026 | Core Management Concepts]]

[[Asset Pricing and Financial Markets DSBA 2025/2026 | Asset Pricing and Financial Markets]]

'''Electives block 2 (modules 1-2)'''

[[Introduction to the Study of Language for Computer Scientists DSBA 2025/2026 | Introduction to the Study of Language for Computer Scientists]]

[[Quantitative Finance DSBA 2025/2026 | Quantitative Finance]]

[[Information Security Risk Management DSBA 2025/2026 | Information Security Risk Management]]

[[Generative Models in Machine Learning DSBA 2025/2026 | Generative Models in Machine Learning]]

[[Natural Language Processing DSBA 2025/2026 | Natural Language Processing]]

'''Electives block 3 (module 3)'''

[[Information Systems DSBA 2025/2026 | Information Systems]]

[[Cоmputer Vision DSBA 2025/2026 | Cоmputer Vision]]

'''Research Seminar Electives (modules 1-3)'''

[[Research Seminar "Data Analysis in the Natural Sciences" DSBA 2025/2026 | Research Seminar "Data Analysis in the Natural Sciences"]]

[[Research Seminar "Data Science in Financial Markets" DSBA 2025/2026 | Research Seminar "Data Science in Financial Markets"]]

[[Research Seminar "Data analysis in complex systems" DSBA 2025/2026 | Research Seminar "Data analysis in complex systems"]]

|-
| colspan="4" style="text-align: center;" | '''КНАД'''
|-
|
[[Программирование на С++ КНАД ВСН 25-26]]

[[Дискретная_Математика_КНАД_2025/26 | Дискретная математика 2025/26 (КНАД)]]

[[Программирование_на_Python_КНАД_25/26 | Программирование на Python 25/26 (КНАД)]]

[[Python_для_сбора_и_анализа_данных_КНАД_25/26 | Python для сбора и анализа данных КНАД 25/26]]

[[Алгоритмы и структуры данных - 1 2025/2026 2 модуль (КНАД)]]

[[Линейная алгебра КНАД 25/26]]

[[Математический Анализ КНАД 25/26]]

||
[[Алгебра КНАД 2025/2026 | Алгебра]]

[[Алгоритмы_и_структуры_данных_2_КНАД_25/26 | Алгоритмы и структуры данных-2]]

[[Математический_анализ_2_КНАД_2025/26 | Математический анализ-2 2025/26 (КНАД)]]

[[Теория_вероятностей_КНАД_2025/26 | Теория вероятностей 2025/26 (КНАД)]]

[[ACOS_COMPDS_2025/26 | Архитектура Компьютера и Операционные Системы]]

[[Математическая_статистика_КНАД_2025/26 | Математическая статистика 2025/26 (КНАД)]]

||
 

||
 

|-
| colspan="4" style="text-align: center;" | '''ЭАД'''
|-
|
[[Программирование на С++ ЭАД 25/26]]

[[Язык программирования Python 2025/26 (ЭАД) ]]

[[DM1EAD-2025-26 | Дискретная математика 2025/26 (ЭАД)]]

[[Линейная_алгебра_и_геометрия_на_ПМИ_2025/2026_(основной_поток) | Линейная алгебра и геометрия]]

[[Математический_анализ_1_2025/26_(основной_поток)_ЭАД | Математический анализ-1 (ЭАД)]]

[[Алгоритмы и структуры данных-1 2025/2026 2 модуль (ЭАД)]]
||

[[Алгоритмы и структуры данных 2 ЭАД 25/26 | Алгоритмы и структуры данных-2]]

||
 

||
 

|-
| colspan="4" style="text-align: center;" | '''ДРИП'''
|-
|
[[Алгоритмы и структуры данных-1 (ДРИП)]]

[[Ddip2529 | Линейная алгебра и геометрия]]

[[DM_DRIP-2025-26 | Дискретная математика 2025/26 (ДРИП)]]

||
[[Теория_вероятностей_ДРИП_25/56 | Теория вероятностей 2025/26 (ДРИП)]]

||
 

||
 

|-
| colspan="4" style="text-align: center;" | '''РИЦП'''
|-
|
[[Математика для компьютерной графики (РИЦП)]]

||
 

||
 

||
 

|}

== Курсы в рамках проекта [https://www.hse.ru/dataculture/ Data Culture] ==

{| class="wikitable"
|-
! Осенний семестр !! Весенний семестр
|-
|
|
|}

== Курсы магистратуры ФКН ==
{| class="wikitable"
|-
! Ссылка !! Дисциплина !! Год обучения
|-
| [[ NIS-TCS-25-26 | НИС Теоретическая информатика ]] || НИС ТИ || СКН, 1-2 год
|-
| [[MOTV_2025 | Mathematical foundations of probability theory]] || Math of Machine Learning, MML || 1 year
|-
| [[MC_2025 | Markov Chains]] || Math of Machine Learning, MML || 1 year
|-
| [[Sample_2026 | Sampling and Generative Modeling ]] || Math of Machine Learning, MML || 1 year
|}

== Курсы других факультетов ==

{| class="wikitable"
|-
! Дисциплина !! Курс !! Период
|-
| [[icef-scalc-2025-fall|Stochastic Calculus Fall 2025]] ||icef, master 1 year || 2 module
|-
| [[smef_metrics_2025-26|Эконометрика (продвинутый курс) 2025-26]] || фэн, магистратура, 1 курс || 3-4 модуль
|-
|}

== Факультативы ==

{| class="wikitable"
|-
! Дисциплина !! Период
|-
| [[Аналитическая_теория_чисел:_приложения_комплексного_анализа_25/26 | Аналитическая теория чисел: приложения комплексного анализа 25/26]] || 1-2 модуль
|-
|}

= Архив до 2024/25 учебного года включительно =
[[Wiki ФКН/Архив]]

Алгебра ПИ 2025-2026

2026-02-10T20:56:37Z

MilvusAlgWiki11: добавил нового ассистента БПИ252

Алгебра ПИ 2025-2026

2026-02-04T21:18:43Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедшей лекции

Алгебра ПИ 2025-2026

2026-02-02T14:59:33Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедшей лекции

Алгебра ПИ 2025-2026

2026-01-21T18:09:39Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о 2 прошедших лекциях

Алгебра ПИ 2025-2026

2026-01-15T20:35:18Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедшей лекции

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-12-19T00:11:10Z

MilvusAlgWiki11: исправил одно тире

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-12-19T00:09:54Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедшей лекции, а также обновил информацию о системе оценивания

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-12-13T15:00:02Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедшей лекции

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-12-04T23:12:18Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о 2 прошедших лекциях

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-11-20T20:32:06Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедшей лекции

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-11-14T16:16:31Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедшей лекции

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-11-12T20:53:48Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедшей лекции

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-10-23T16:16:35Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедшей лекции

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-10-15T23:25:10Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедшей лекции

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-10-08T19:17:38Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедшей лекции

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-10-04T20:22:53Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию про консультации и ссылку на таблицу про них

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-10-02T21:47:53Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию по пройденному материалу на 5 лекции

== Преподаватели и учебные ассистенты ==
{| class="wikitable"
|-
! Группа !! БПИ 251 !! БПИ 252 !! БПИ 253 !! БПИ 254 !! БПИ 255 !! БПИ 256 !! БПИ 257 !! БПИ 258 !! БПИ 259 !! БПИ 2510
|-
| Лектор || colspan="10" style="text-align:center;" | Михайлец Екатерина Викторовна
|-
| Семинаристы || Михайлец Екатерина Викторовна || Зайцева Юлия Ивановна || Хрыстик Михаил Андреевич || Преснова Екатерина Денисовна || Зайцева Юлия Ивановна || Медведь Никита Юрьевич || Преснова Екатерина Денисовна || Максаев Артём Максимович || Шахматов Кирилл Вениаминович || Бельдиев Иван Сергеевич
|-
| Ассистенты || [https://t.me/qpkectpa Суханов Григорий], [https://t.me/savartom Савин Артём] || [https://t.me/alxply Палий Александр], [https://t.me/ledsna Хачукаев Рамзан] || [https://t.me/kartoska_bs Симонов Алексей], [https://t.me/Islam_adaev Адаев Ислам] || [https://t.me/chrpnnkv Черепенникова Варвара], [https://t.me/evel0on Купцевич Эвелина] || [https://t.me/KrIsS104 Осина Дарья], [https://t.me/Uran_Chase Лобан Филипп] || [https://t.me/unonekto Широкова Ульяна], [https://t.me/seljuk_turok Файзуллин Илья] || [https://t.me/SorryItsAlreadyTake Владимиров Алексей], [https://t.me/stepprokopiev Прокопьев Степан] || [https://t.me/lapa_aa Лапа Антонина], [https://t.me/verevka8 Лизунов Даниил] || [https://t.me/noncrit Жданок Дарья], [https://t.me/seonsaen Ноговицын Айтал] || [https://t.me/VishupHell Торосян Андраник], [https://t.me/milvus_11 Михайлов Артём], [https://t.me/Kaystery Марьин Даниил]
|}

== Консультации ==
Вы можете посещать как консультации, организованные для вашей группы, так и консультации других групп, если не удаётся посещать свои.

= Аттестация и оценки =
== 2025/2026 учебный год 2 модуль ==
'''О1 = 0,27∙О_(Кр-1) + 0,12∙О_(ИДЗ-1 и ИДЗ-2) + 0,16∙О_(Сем-1) + 0,45∙О_(Экз-1)'''

== 2025/2026 учебный год 4 модуль ==
'''О2 = 0,21∙О_(Кр-3) + 0,08∙О_(ИДЗ-3 и ИДЗ-4) + 0,12∙О_(Сем-2) + 0,24∙О_(Коллок-мод3 и Коллок-мод4) + 0,45∙О_(Экз-2)'''

Оценки за индивидуальные домашние задания в 1 и 2 модулях, а также в 3 и 4 модулях вычисляются как среднее арифметическое О_(ИДЗ-1(3)) и О_(ИДЗ-2(4)). Оценка за коллоквиумы в 3 и 4 модулях вычисляется как среднее арифметическое О_(Коллок-мод3) и О_(Коллок-мод4).

= Прошедшие лекции =
Здесь находится информация о пройденных на каждой лекции темах.

'''Лекция 1 (03.09.2025):'''
Матрицы. Частные случаи матриц. Единичная матрица. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, умножение. Примеры. Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, умножения. Доказательство ассоциативности умножения матриц. Замечание о некоммутативности умножения. Пример.

'''Лекция 2 (10.09.2025):'''
Транспонирование и его свойства. Доказательство связи умножения и транспонирования.
Элементарные преобразования строк матрицы. Представление элементарных преобразований умножением на матрицу специального вида. Пример.
Ступенчатый вид матрицы и канонический (улучшенный ступенчатый) вид матрицы. Примеры.
Теорема о методе Гаусса с доказательством. Системы линейных алгебраических уравнений и их связь с методом Гаусса.

'''Лекция 3 (17.09.2025):'''
Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Утверждение о том, что транспозиция меняет чётность перестановки. Циклическая запись. Умножение подстановок. Некоммутативность умножения. Тождественная подстановка. Обратная подстановка.

Замечание, что любая подстановка представима в виде произведения транспозиций.
Замечание, что знак произведения подстановок равен произведению знаков множителей.
Общая формула для определителя произвольного порядка. Вычисление определителя матрицы порядков 2 и 3, правило Саррюса.

Свойства определителя:

1. Определитель транспонированной матрицы.

2. Полилинейность. Пример.

'''Лекция 4 (24.09.2025):'''

Свойства определителя:

3. Кососимметричность.

4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк.

5. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных.

6. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других.

7. Значение определителя на единичной и диагональной матрице.

8. Определитель верхнетреугольной матрицы.

Замечание о том, как меняется определитель при элементарных преобразованиях строк/столбцов. 1й способ вычисления определителя приведением методом Гаусса матрицы к верхнетреугольному виду.

Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции.
Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точностью до множителя (доказательство для n=2).
Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице.

'''Лекция 5 (01.10.2025):'''

Свойства определителя:

9. Разложение по строке. Дополняющий минор, алгебраическое дополнение. Примеры.

10. Фальшивое разложение.
Третье (индуктивное) определение детерминанта через разложение по строке.

11. Определитель блочной матрицы.

12. Определитель произведения с доказательством.
Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований и рекуррентных соотношений.

Доказательство правила Крамера.
Определение обратной матрицы. Её единственность.
= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III
* В.А. Ильин, Г.Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 3-е издание

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том II, часть 2. М.: ИКД "Зерцало-М", 2003

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-09-25T20:20:22Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о прошедшей на этой неделе лекции

== Преподаватели и учебные ассистенты ==
{| class="wikitable"
|-
! Группа !! БПИ 251 !! БПИ 252 !! БПИ 253 !! БПИ 254 !! БПИ 255 !! БПИ 256 !! БПИ 257 !! БПИ 258 !! БПИ 259 !! БПИ 2510
|-
| Лектор || colspan="10" style="text-align:center;" | Михайлец Екатерина Викторовна
|-
| Семинаристы || Михайлец Екатерина Викторовна || Зайцева Юлия Ивановна || Хрыстик Михаил Андреевич || Преснова Екатерина Денисовна || Зайцева Юлия Ивановна || Медведь Никита Юрьевич || Преснова Екатерина Денисовна || Максаев Артём Максимович || Шахматов Кирилл Вениаминович || Бельдиев Иван Сергеевич
|-
| Ассистенты || [https://t.me/qpkectpa Суханов Григорий], [https://t.me/savartom Савин Артём] || [https://t.me/alxply Палий Александр], [https://t.me/ledsna Хачукаев Рамзан] || [https://t.me/kartoska_bs Симонов Алексей], [https://t.me/Islam_adaev Адаев Ислам] || [https://t.me/chrpnnkv Черепенникова Варвара], [https://t.me/evel0on Купцевич Эвелина] || [https://t.me/KrIsS104 Осина Дарья], [https://t.me/Uran_Chase Лобан Филипп] || [https://t.me/unonekto Широкова Ульяна], [https://t.me/seljuk_turok Файзуллин Илья] || [https://t.me/SorryItsAlreadyTake Владимиров Алексей], [https://t.me/stepprokopiev Прокопьев Степан] || [https://t.me/lapa_aa Лапа Антонина], [https://t.me/verevka8 Лизунов Даниил] || [https://t.me/noncrit Жданок Дарья], [https://t.me/seonsaen Ноговицын Айтал] || [https://t.me/VishupHell Торосян Андраник], [https://t.me/milvus_11 Михайлов Артём], [https://t.me/Kaystery Марьин Даниил]
|}

== Консультации ==
Вы можете посещать как консультации, организованные для вашей группы, так и консультации других групп, если не удаётся посещать свои.

= Аттестация и оценки =
== 2025/2026 учебный год 2 модуль ==
'''О1 = 0,27∙О_(Кр-1) + 0,12∙О_(ИДЗ-1 и ИДЗ-2) + 0,16∙О_(Сем-1) + 0,45∙О_(Экз-1)'''

== 2025/2026 учебный год 4 модуль ==
'''О2 = 0,21∙О_(Кр-3) + 0,08∙О_(ИДЗ-3 и ИДЗ-4) + 0,12∙О_(Сем-2) + 0,24∙О_(Коллок-мод3 и Коллок-мод4) + 0,45∙О_(Экз-2)'''

Оценки за индивидуальные домашние задания в 1 и 2 модулях, а также в 3 и 4 модулях вычисляются как среднее арифметическое О_(ИДЗ-1(3)) и О_(ИДЗ-2(4)). Оценка за коллоквиумы в 3 и 4 модулях вычисляется как среднее арифметическое О_(Коллок-мод3) и О_(Коллок-мод4).

= Прошедшие лекции =
Здесь находится информация о пройденных на каждой лекции темах.

'''Лекция 1 (03.09.2025):'''
Матрицы. Частные случаи матриц. Единичная матрица. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, умножение. Примеры. Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, умножения. Доказательство ассоциативности умножения матриц. Замечание о некоммутативности умножения. Пример.

'''Лекция 2 (10.09.2025):'''
Транспонирование и его свойства. Доказательство связи умножения и транспонирования.
Элементарные преобразования строк матрицы. Представление элементарных преобразований умножением на матрицу специального вида. Пример.
Ступенчатый вид матрицы и канонический (улучшенный ступенчатый) вид матрицы. Примеры.
Теорема о методе Гаусса с доказательством. Системы линейных алгебраических уравнений и их связь с методом Гаусса.

'''Лекция 3 (17.09.2025):'''
Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Утверждение о том, что транспозиция меняет чётность перестановки. Циклическая запись. Умножение подстановок. Некоммутативность умножения. Тождественная подстановка. Обратная подстановка.

Замечание, что любая подстановка представима в виде произведения транспозиций.
Замечание, что знак произведения подстановок равен произведению знаков множителей.
Общая формула для определителя произвольного порядка. Вычисление определителя матрицы порядков 2 и 3, правило Саррюса.
Свойства определителя:
1. Определитель транспонированной матрицы.
2. Полилинейность. Пример.

'''Лекция 4 (24.09.2025):'''
Свойства определителя:
3. Кососимметричность.
4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк.
5. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных.
6. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других.
7. Значение определителя на единичной и диагональной матрице.
8. Определитель верхнетреугольной матрицы.

Замечание о том, как меняется определитель при элементарных преобразованиях строк/столбцов. 1й способ вычисления определителя приведением методом Гаусса матрицы к верхнетреугольному виду.

Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции.
Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точностью до множителя (доказательство для n=2).
Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице.

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III
* В.А. Ильин, Г.Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 3-е издание

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том II, часть 2. М.: ИКД "Зерцало-М", 2003

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-09-17T22:50:59Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о 3 лекции

== Преподаватели и учебные ассистенты ==
{| class="wikitable"
|-
! Группа !! БПИ 251 !! БПИ 252 !! БПИ 253 !! БПИ 254 !! БПИ 255 !! БПИ 256 !! БПИ 257 !! БПИ 258 !! БПИ 259 !! БПИ 2510
|-
| Лектор || colspan="10" style="text-align:center;" | Михайлец Екатерина Викторовна
|-
| Семинаристы || Михайлец Екатерина Викторовна || Зайцева Юлия Ивановна || Хрыстик Михаил Андреевич || Преснова Екатерина Денисовна || Зайцева Юлия Ивановна || Медведь Никита Юрьевич || Преснова Екатерина Денисовна || Максаев Артём Максимович || Шахматов Кирилл Вениаминович || Бельдиев Иван Сергеевич
|-
| Ассистенты || [https://t.me/qpkectpa Суханов Григорий], [https://t.me/savartom Савин Артём] || [https://t.me/alxply Палий Александр], [https://t.me/ledsna Хачукаев Рамзан] || [https://t.me/kartoska_bs Симонов Алексей], [https://t.me/Islam_adaev Адаев Ислам] || [https://t.me/chrpnnkv Черепенникова Варвара], [https://t.me/evel0on Купцевич Эвелина] || [https://t.me/KrIsS104 Осина Дарья], [https://t.me/Uran_Chase Лобан Филипп] || [https://t.me/unonekto Широкова Ульяна], [https://t.me/seljuk_turok Файзуллин Илья] || [https://t.me/SorryItsAlreadyTake Владимиров Алексей], [https://t.me/stepprokopiev Прокопьев Степан] || [https://t.me/lapa_aa Лапа Антонина], [https://t.me/verevka8 Лизунов Даниил] || [https://t.me/noncrit Жданок Дарья], [https://t.me/seonsaen Ноговицын Айтал] || [https://t.me/VishupHell Торосян Андраник], [https://t.me/milvus_11 Михайлов Артём], [https://t.me/Kaystery Марьин Даниил]
|}

== Консультации ==
Вы можете посещать как консультации, организованные для вашей группы, так и консультации других групп, если не удаётся посещать свои.

= Аттестация и оценки =
== 2025/2026 учебный год 2 модуль ==
'''О1 = 0,27∙О_(Кр-1) + 0,12∙О_(ИДЗ-1 и ИДЗ-2) + 0,16∙О_(Сем-1) + 0,45∙О_(Экз-1)'''

== 2025/2026 учебный год 4 модуль ==
'''О2 = 0,21∙О_(Кр-3) + 0,08∙О_(ИДЗ-3 и ИДЗ-4) + 0,12∙О_(Сем-2) + 0,24∙О_(Коллок-мод3 и Коллок-мод4) + 0,45∙О_(Экз-2)'''

Оценки за индивидуальные домашние задания в 1 и 2 модулях, а также в 3 и 4 модулях вычисляются как среднее арифметическое О_(ИДЗ-1(3)) и О_(ИДЗ-2(4)). Оценка за коллоквиумы в 3 и 4 модулях вычисляется как среднее арифметическое О_(Коллок-мод3) и О_(Коллок-мод4).

= Прошедшие лекции =
Здесь находится информация о пройденных на каждой лекции темах.

'''Лекция 1 (03.09.2025):'''
Матрицы. Частные случаи матриц. Единичная матрица. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, умножение. Примеры. Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, умножения. Доказательство ассоциативности умножения матриц. Замечание о некоммутативности умножения. Пример.

'''Лекция 2 (10.09.2025):'''
Транспонирование и его свойства. Доказательство связи умножения и транспонирования.
Элементарные преобразования строк матрицы. Представление элементарных преобразований умножением на матрицу специального вида. Пример.
Ступенчатый вид матрицы и канонический (улучшенный ступенчатый) вид матрицы. Примеры.
Теорема о методе Гаусса с доказательством. Системы линейных алгебраических уравнений и их связь с методом Гаусса.

'''Лекция 3 (17.09.2025):'''
Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Утверждение о том, что транспозиция меняет чётность перестановки. Циклическая запись. Умножение подстановок. Некоммутативность умножения. Тождественная подстановка. Обратная подстановка.

Замечание, что любая подстановка представима в виде произведения транспозиций.
Замечание, что знак произведения подстановок равен произведению знаков множителей.

Общая формула для определителя произвольного порядка. Вычисление определителя матрицы порядков 2 и 3, правило Саррюса.
Свойства определителя:
1. Определитель транспонированной матрицы.
2. Полилинейность. Пример.

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III
* В.А. Ильин, Г.Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 3-е издание

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том II, часть 2. М.: ИКД "Зерцало-М", 2003

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-09-11T15:06:12Z

MilvusAlgWiki11: исправил одну из ссылок

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-09-11T15:03:50Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию о 2 лекции, добавил ссылки на телеграм каждого из ассистентов

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-09-04T23:26:31Z

MilvusAlgWiki11: добавил информацию по пройденным на 1 лекции темах

Wiki ФКН

2025-09-02T12:11:54Z

MilvusAlgWiki11: Добавление страницы курса Алгебры ПИ (2025-2026)

Алгебра ПИ 2025-2026

2025-09-02T11:59:25Z

MilvusAlgWiki11: Создание страницы курса Алгебры ПИ (2025-2026)