Wiki - Факультет компьютерных наук - Вклад [ru]

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток)

2018-04-19T19:57:21Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ171 !! БПМИ172
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский]
|-
||Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский]
|-
|| Ассистент || [mailto:mnkonkova@edu.hse.ru Мария Конькова] || [mailto:m.a.kuzn@ya.ru Максим Кузнецов]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] || 15:30–16:30, ауд. 507 || 16:40–18:00, ауд. 507 || || 13:40–15:00, Шаболовка, ауд.  5413 ||
|-
| <center>2</center> || [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || || || || || 16:40–18:00, ауд.  622
|-
| <center>7</center> || [mailto:mnkonkova@edu.hse.ru Мария Конькова] || 15:10–16:30, ауд. 219 || || || ||
|-
| <center>8</center> || [mailto:m.a.kuzn@ya.ru Максим Кузнецов] || 15:10–16:30, ауд. 304 || || || ||
|-
| <center>9</center> || [mailto:drmaduar@edu.hse.ru Дарина Мадуар] || || || || || 12:10–13:30, ауд. 511
|}
Объявления, касаемые консультаций, будут дублировать в [https://t.me/cs_la канале].

== Краткое содержание лекций ==

'''Лекция 1''' (7.09.2017). Многомерные векторы, арифметическое пространство R^n. Прямая в пространстве R^n, понятие линейного многообразия. Операции над многомерными векторами: сложение, скалярное произведение. Основные свойства арифметических операций над векторами. Длина вектора. Неравенство Коши. Угол между векторами.

'''Лекция 2''' (21.09.2017). Матрицы, операции над ними: сложение, умножение на число, транспонирование, умножение матриц. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Основные свойства матричных операций. Доказательство ассоциативности умножения матриц с помощью леммы о двойных суммах.

'''Лекция 3''' (28.09.2017). Элементарные преобразования строк матрицы, матрицы элементарных преобразований. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях расширенной матрицы системы. Ступенчатый и канонический виды матрицы. Метод Гаусса (Жордана--Гаусса) приведения матриц к каноническому виду и решения систем линейных уравнений. Свободные и главные переменные. Единственность канонического вида матрицы.

'''Лекция 4''' (5.10.2017).
Ориентированная площадь параллелограма, ее основные свойства и связь с решениями систем линейных уравнений.
Подстановки. Число инверсий и знак подстановки. Определитель квадратной матрицы. Определитель треугольной матрицы, поведение определителя при умножении строки матрицы на число.

'''Лекция 5''' (10.10.2017). Линейность определителя как функции от строк матрицы. Разложения подстановки в произведение транспозиций. Знак транспозиции и знак произведения подстановок. Знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы. Кососимметрическая функция. Пример: определитель как кососимметрическая функция от строк (или столбцов) матрицы. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк (и столбцов). Три определения невырожденной матрицы (через определитель, через канонический вид и через соответствующую систему линейных уравнений) и их эквивалентность.

'''Лекция 6''' (17.10.2017). Определитель как полилинейная функция от строк (или столбцов) матрицы. Метод Крамера решения системы линейных уравнений. Теорема о виде полилинейной кососимметрической функции от строк квадратной матрицы. Аксиоматическое задание определителя как функции такого вида, принимающей значение 1 на единичной матрице. Определитель матрицы с углом нулей, определитель произведения матриц. Формула разложения определителя по строке или столбцу.

'''Лекция 7''' (31.10.2017). Обратная матрица. Существование и единственность обратной матрицы у невырожденной матрицы. Формула обратной матрицы. Лемма о фальшивом разложении.

Определение линейного пространства.

'''Лекция 8''' (7.11.2017). Подпространство в линейном пространстве. Пространство нулей (ядро) матрицы. Линейные комбинации, линейная оболочка. Линейная зависимость. Две леммы о линейной зависимости. Понятие базиса и размерности линейного пространства.

'''Лекция 9''' (14.11.2017). Доказательство второй леммы о линейной зависимости. Доказательство существования базиса в любом конечно порожденном пространстве, два способа построения такого базиса. Корректность определения размерности. Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений как базис пространства нулей матрицы системы (без доказательства).

'''Лекция 10''' (21.11.2017). Ранг матрицы по столбцам и по строкам, их свойства. Теорема о ранге матрицы.

'''Лекция 11''' (28.11.2017). Сумма Минковского двух подмножеств линейного пространства. Сумма и пересечения двух подпространств линейного пространства как подпространства, связь их размерностей. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Общая формула решения системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

'''Лекция 12''' (5.12.2017). Поле. Линейное пространство над полем. Комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа, операции над комплексными числами и их геометрический смысл, извлечение корней n-й степени из комплексного числа. Формулировка основной теоремы алгебры.

'''Лекция 13''' (15.12.2017). Координаты вектора в конечномерном линейном пространстве, изменение координат при замене базисов. Изоморфизм линейных пространств. Теорема о том, что два конечномерных пространства над одним полем изоморфны в том и только том случае, когда их размерности равны.

'''Лекция 14''' (19.12.2017). Произведение треугольных матриц. LU разложение квадратной матрицы (при условии, что все ее угловые миноры, кроме максимального, ненулевые). Матрицы полного строчного и столбцового ранга. Разложение полного ранга (скелетное разложение) произвольной матрицы.

'''Лекция 15''' (9.1.2018). Линейные отображения. Примеры: поворот, проекции; изоморфизм, линейный функционал, интегрирование и дифференцирование функций от действительных чисел, умножение данной матрицы на произвольный вектор. Матрица линейного отображения. Матрица замены координат как матрица тождественного оператора. Матрица композиции линейных отображений. Замена координат для матрицы линейного отображения. Невырожденность матрицы изоморфизма.

'''Лекция 16''' (16.1.2018). Коммутативные диаграммы. Доказательство формулы замены координат для матрицы линейного отображения. Ядро и образ линейного отображения, связь их размерностей с рангом матрицы линейного отображения. Ранг линейного отображения. Независимость следа и определителя матрицы линейного оператора от выбора базиса.

'''Лекция 17''' (23.1.2018). Инвариантные подпространства линейного оператора. Инвариантность ядра и образа оператора. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого составляет базис инвариантного подпространства. Разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств и клеточно-диагональный вид матрицы линейного оператора. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен матрицы линейного оператора, его степень, старший коэффициент и младший коэффициент.

'''Лекция 18''' (30.1.2018). Инвариантность характеристического многочлена. Формулы Виета для многочленов произвольной степени. Выражение коэффициентов характеристического многочлена линейного оператора через собственные числа. Выражение следа и определителя линейного оператора через собственные числа. Собственные подпространства. Инвариантность подпространств, порожденных собственными векторами. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Оператор простой структуры (диагонализуемый оператор). Пример диагонализуемого оператора: оператор, у которого все собственные значения имеют единичную кратность. Пример недиагонализуемого оператора: оператор дифференцирования многочленов степени не выше n.

'''Лекция 19''' (6.2.2018). Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у любого линейного оператора в конечномерном действительном пространстве. Корневые подпространства линейного оператора.

'''Лекция 20''' (13.2.2018). Размерности корневых подпространств линейного оператора в конечномерном комплексном пространстве, разложение пространства в прямую сумму таких подпространств. Приведение матрицы такого линейного оператора к верхнетреугольному виду.

'''Лекция 21''' (20.2.2018). Разложение конечномерного комплексного пространства в прямую сумму циклических подпространств нильпотентного линейного оператора. Теорема о существовании нормальной жордановой формы произвольного линейного оператора в конечномерном комплексном пространстве.

'''Лекция 22''' (27.2.2018). Единственность жордановой формы (с точностью до перестановки клеток), ее нахождение. Минимальный многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона--Кэли.

'''Лекция 23''' (6.3.2018).
Евклидовы и эрмитовы пространства. Вычисление скалярного произведения в координатах, матрица Грама. Формулы замены координат для матрицы Грама. Ортогональный и ортонормированный базисы.

'''Лекция 24''' (13.3.2018).
Метод ортогонализации Грама--Шмидта. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

'''Лекция 25''' (20.3.2018).
Сопряженные операторы в пространствах со скалярным произведением. Самосопряженные операторы. Собственные значения самосопряженных операторов, их матрицы в ортонормированных базисах. Нормальные операторы. Теорема о том, что нормальный оператор в конечномерном комплексном пространстве диагонализируем в ортонормированном базисе. Нормальность самосопряженного оператора.

'''Лекция 26''' (4.4.2018).
Унитарные и ортогональные операторы: эквивалентные определения. Унитарные и ортогональные матрицы, их свойства. Собственные значения унитарных операторов. Нормальность унитарных операторов. Ортогональные операторы на плоскости и в трехмерном пространстве.

'''Лекция 27''' (11.4.2018).
Теорема о каноническом виде ортогонального оператора в конечномерном пространстве. Положительные и неотрицательные самосопряженные операторы. Квадратный корень из неотрицательного самосопряженного оператора. Полярное и сингулярное разложения квадратных матриц, теорема об их существовании (в случае невырожденных матриц).

'''Лекция 28''' (18.4.2018).
Линейный функционал (линейная форма) на линейном пространстве. Градиент как линейный функционал. Двойственное пространство. Базис, двойственный к данному. Векторы и ковекторы. Формула замены координат для линейных функционалов.

Билинейная форма: два определения. Симметричная билинейная форма. Матрица билинейной формы и характеризующие ее эквивалентные условия. Формула замены координат для матрицы билинейной формы.

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Порядок формирования итоговой оценки ==
=== 2-й модуль ===

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков (и за лабораторную работу), Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

=== 4-й модуль ===

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу во втором семестре, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков (и за лабораторную работу), Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

== Лабораторные работы ==
=== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ===

'''Срок:'''

17 декабря 23:59

[https://www.dropbox.com/s/oli8jz4vhr9ohnp/HSE_Linalg_Pilot_Lab_Fall_2017.ipynb?dl=0 '''Условие''']

Файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

Готовые лабораторные нужно отправлять на почту своему ассистенту (и быть готовым ответить на возникающие у ассистента вопросы).

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду].

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit#gid=1196896000 171] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit#gid=1418802091 172]
|}

'''Результаты сдачи домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1un5Wq9X4btQyskxfII8wsfgrRzfcoO5Rc2piXr26CtE/edit#gid=1196896000 171] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1un5Wq9X4btQyskxfII8wsfgrRzfcoO5Rc2piXr26CtE/edit#gid=1418802091 172]
|}

==== 3-4 модули ====

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/17AvXSgN2hdAEAsRb_7_BIJXv3DT0ObUpBGmDnW4Lr0g/edit#gid=1196896000 171] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/17AvXSgN2hdAEAsRb_7_BIJXv3DT0ObUpBGmDnW4Lr0g/edit#gid=1418802091 172]
|}

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток)

2018-02-05T21:41:27Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ171 !! БПМИ172
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский]
|-
||Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский]
|-
|| Ассистент || [mailto:mnkonkova@edu.hse.ru Мария Конькова] || [mailto:m.a.kuzn@ya.ru Максим Кузнецов]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] || 15:30–16:30, ауд. 507 || 16:40–18:00, ауд. 507 || || 13:40–15:00, Шаболовка, ауд.  5413 ||
|-
| <center>2</center> || [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || || || || || 16:40–18:00, ауд.  622
|-
| <center>7</center> || [mailto:mnkonkova@edu.hse.ru Мария Конькова] || 15:10–16:30, ауд. 219 || || || ||
|-
| <center>8</center> || [mailto:m.a.kuzn@ya.ru Максим Кузнецов] || 15:10–16:30, ауд. 304 || || || ||
|-
| <center>9</center> || [mailto:drmaduar@edu.hse.ru Дарина Мадуар] || || || || || 12:10–13:30, ауд. 511
|}
Объявления, касаемые консультаций, будут дублировать в [https://t.me/cs_la канале].

== Краткое содержание лекций ==

'''Лекция 1''' (7.09.2017). Многомерные векторы, арифметическое пространство R^n. Прямая в пространстве R^n, понятие линейного многообразия. Операции над многомерными векторами: сложение, скалярное произведение. Основные свойства арифметических операций над векторами. Длина вектора. Неравенство Коши. Угол между векторами.

'''Лекция 2''' (21.09.2017). Матрицы, операции над ними: сложение, умножение на число, транспонирование, умножение матриц. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Основные свойства матричных операций. Доказательство ассоциативности умножения матриц с помощью леммы о двойных суммах.

'''Лекция 3''' (28.09.2017). Элементарные преобразования строк матрицы, матрицы элементарных преобразований. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях расширенной матрицы системы. Ступенчатый и канонический виды матрицы. Метод Гаусса (Жордана--Гаусса) приведения матриц к каноническому виду и решения систем линейных уравнений. Свободные и главные переменные. Единственность канонического вида матрицы.

'''Лекция 4''' (5.10.2017).
Ориентированная площадь параллелограма, ее основные свойства и связь с решениями систем линейных уравнений.
Подстановки. Число инверсий и знак подстановки. Определитель квадратной матрицы. Определитель треугольной матрицы, поведение определителя при умножении строки матрицы на число.

'''Лекция 5''' (10.10.2017). Линейность определителя как функции от строк матрицы. Разложения подстановки в произведение транспозиций. Знак транспозиции и знак произведения подстановок. Знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы. Кососимметрическая функция. Пример: определитель как кососимметрическая функция от строк (или столбцов) матрицы. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк (и столбцов). Три определения невырожденной матрицы (через определитель, через канонический вид и через соответствующую систему линейных уравнений) и их эквивалентность.

'''Лекция 6''' (17.10.2017). Определитель как полилинейная функция от строк (или столбцов) матрицы. Метод Крамера решения системы линейных уравнений. Теорема о виде полилинейной кососимметрической функции от строк квадратной матрицы. Аксиоматическое задание определителя как функции такого вида, принимающей значение 1 на единичной матрице. Определитель матрицы с углом нулей, определитель произведения матриц. Формула разложения определителя по строке или столбцу.

'''Лекция 7''' (31.10.2017). Обратная матрица. Существование и единственность обратной матрицы у невырожденной матрицы. Формула обратной матрицы. Лемма о фальшивом разложении.

Определение линейного пространства.

'''Лекция 8''' (7.11.2017). Подпространство в линейном пространстве. Пространство нулей (ядро) матрицы. Линейные комбинации, линейная оболочка. Линейная зависимость. Две леммы о линейной зависимости. Понятие базиса и размерности линейного пространства.

'''Лекция 9''' (14.11.2017). Доказательство второй леммы о линейной зависимости. Доказательство существования базиса в любом конечно порожденном пространстве, два способа построения такого базиса. Корректность определения размерности. Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений как базис пространства нулей матрицы системы (без доказательства).

'''Лекция 10''' (21.11.2017). Ранг матрицы по столбцам и по строкам, их свойства. Теорема о ранге матрицы.

'''Лекция 11''' (28.11.2017). Сумма Минковского двух подмножеств линейного пространства. Сумма и пересечения двух подпространств линейного пространства как подпространства, связь их размерностей. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Общая формула решения системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

'''Лекция 12''' (5.12.2017). Поле. Линейное пространство над полем. Комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа, операции над комплексными числами и их геометрический смысл, извлечение корней n-й степени из комплексного числа. Формулировка основной теоремы алгебры.

'''Лекция 13''' (15.12.2017). Координаты вектора в конечномерном линейном пространстве, изменение координат при замене базисов. Изоморфизм линейных пространств. Теорема о том, что два конечномерных пространства над одним полем изоморфны в том и только том случае, когда их размерности равны.

'''Лекция 14''' (19.12.2017). Произведение треугольных матриц. LU разложение квадратной матрицы (при условии, что все ее угловые миноры, кроме максимального, ненулевые). Матрицы полного строчного и столбцового ранга. Разложение полного ранга (скелетное разложение) произвольной матрицы.

'''Лекция 15''' (9.1.2018). Линейные отображения. Примеры: поворот, проекции; изоморфизм, линейный функционал, интегрирование и дифференцирование функций от действительных чисел, умножение данной матрицы на произвольный вектор. Матрица линейного отображения. Матрица замены координат как матрица тождественного оператора. Матрица композиции линейных отображений. Замена координат для матрицы линейного отображения. Невырожденность матрицы изоморфизма.

'''Лекция 16''' (16.1.2018). Коммутативные диаграммы. Доказательство формулы замены координат для матрицы линейного отображения. Ядро и образ линейного отображения, связь их размерностей с рангом матрицы линейного отображения. Ранг линейного отображения. Независимость следа и определителя матрицы линейного оператора от выбора базиса.

'''Лекция 17''' (23.1.2018). Инвариантные подпространства линейного оператора. Инвариантность ядра и образа оператора. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого составляет базис инвариантного подпространства. Разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств и клеточно-диагональный вид матрицы линейного оператора. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен матрицы линейного оператора, его степень, старший коэффициент и младший коэффициент.

'''Лекция 18''' (30.1.2018). Инвариантность характеристического многочлена. Формулы Виета для многочленов произвольной степени. Выражение коэффициентов характеристического многочлена линейного оператора через собственные числа. Выражение следа и определителя линейного оператора через собственные числа. Собственные подпространства. Инвариантность подпространств, порожденных собственными векторами. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Оператор простой структуры (диагонализуемый оператор). Пример диагонализуемого оператора: оператор, у которого все собственные значения имеют единичную кратность. Пример недиагонализуемого оператора: оператор дифференцирования многочленов степени не выше n.

'''На следующих лекциях''': инвариантные подпространства линейного оператора в конечномерном действительном пространстве. Корневые подпространства, их размерности. Приведение матрицы линейного оператора к треугольному виду. Теорема о жордановой форме. Теорема Гамильтона-Кэли. Минимальный многочлен линейного оператора.

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Порядок формирования итоговой оценки ==
=== 2-й модуль ===

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков (и за лабораторную работу), Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

== Лабораторные работы ==
=== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ===

'''Срок:'''

17 декабря 23:59

[https://www.dropbox.com/s/oli8jz4vhr9ohnp/HSE_Linalg_Pilot_Lab_Fall_2017.ipynb?dl=0 '''Условие''']

Файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

Готовые лабораторные нужно отправлять на почту своему ассистенту (и быть готовым ответить на возникающие у ассистента вопросы).

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду].

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit#gid=1196896000 171] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit#gid=1418802091 172]
|}

'''Результаты сдачи домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1un5Wq9X4btQyskxfII8wsfgrRzfcoO5Rc2piXr26CtE/edit#gid=1196896000 171] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1un5Wq9X4btQyskxfII8wsfgrRzfcoO5Rc2piXr26CtE/edit#gid=1418802091 172]
|}

==== 3-4 модули ====

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/17AvXSgN2hdAEAsRb_7_BIJXv3DT0ObUpBGmDnW4Lr0g/edit#gid=1196896000 171] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/17AvXSgN2hdAEAsRb_7_BIJXv3DT0ObUpBGmDnW4Lr0g/edit#gid=1418802091 172]
|}

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток)

2018-02-05T21:40:01Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ171 !! БПМИ172
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский]
|-
||Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский]
|-
|| Ассистент || [mailto:mnkonkova@edu.hse.ru Мария Конькова] || [mailto:m.a.kuzn@ya.ru Максим Кузнецов]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] || 15:30–16:30, ауд. 507 || 16:40–18:00, ауд. 507 || || 13:40–15:00, Шаболовка, ауд.  5413 ||
|-
| <center>2</center> || [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || || || || || 16:40–18:00, ауд.  622
|-
| <center>7</center> || [mailto:mnkonkova@edu.hse.ru Мария Конькова] || 15:10–16:30, ауд. 219 || || || ||
|-
| <center>8</center> || [mailto:m.a.kuzn@ya.ru Максим Кузнецов] || 15:10–16:30, ауд. 304 || || || ||
|-
| <center>9</center> || [mailto:drmaduar@edu.hse.ru Дарина Мадуар] || || || || || 12:10–13:30, ауд. 511
|}
Объявления, касаемые консультаций, будут дублировать в [https://t.me/cs_la канале].

== Краткое содержание лекций ==

'''Лекция 1''' (7.09.2017). Многомерные векторы, арифметическое пространство R^n. Прямая в пространстве R^n, понятие линейного многообразия. Операции над многомерными векторами: сложение, скалярное произведение. Основные свойства арифметических операций над векторами. Длина вектора. Неравенство Коши. Угол между векторами.

'''Лекция 2''' (21.09.2017). Матрицы, операции над ними: сложение, умножение на число, транспонирование, умножение матриц. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Основные свойства матричных операций. Доказательство ассоциативности умножения матриц с помощью леммы о двойных суммах.

'''Лекция 3''' (28.09.2017). Элементарные преобразования строк матрицы, матрицы элементарных преобразований. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях расширенной матрицы системы. Ступенчатый и канонический виды матрицы. Метод Гаусса (Жордана--Гаусса) приведения матриц к каноническому виду и решения систем линейных уравнений. Свободные и главные переменные. Единственность канонического вида матрицы.

'''Лекция 4''' (5.10.2017).
Ориентированная площадь параллелограма, ее основные свойства и связь с решениями систем линейных уравнений.
Подстановки. Число инверсий и знак подстановки. Определитель квадратной матрицы. Определитель треугольной матрицы, поведение определителя при умножении строки матрицы на число.

'''Лекция 5''' (10.10.2017). Линейность определителя как функции от строк матрицы. Разложения подстановки в произведение транспозиций. Знак транспозиции и знак произведения подстановок. Знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы. Кососимметрическая функция. Пример: определитель как кососимметрическая функция от строк (или столбцов) матрицы. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк (и столбцов). Три определения невырожденной матрицы (через определитель, через канонический вид и через соответствующую систему линейных уравнений) и их эквивалентность.

'''Лекция 6''' (17.10.2017). Определитель как полилинейная функция от строк (или столбцов) матрицы. Метод Крамера решения системы линейных уравнений. Теорема о виде полилинейной кососимметрической функции от строк квадратной матрицы. Аксиоматическое задание определителя как функции такого вида, принимающей значение 1 на единичной матрице. Определитель матрицы с углом нулей, определитель произведения матриц. Формула разложения определителя по строке или столбцу.

'''Лекция 7''' (31.10.2017). Обратная матрица. Существование и единственность обратной матрицы у невырожденной матрицы. Формула обратной матрицы. Лемма о фальшивом разложении.

Определение линейного пространства.

'''Лекция 8''' (7.11.2017). Подпространство в линейном пространстве. Пространство нулей (ядро) матрицы. Линейные комбинации, линейная оболочка. Линейная зависимость. Две леммы о линейной зависимости. Понятие базиса и размерности линейного пространства.

'''Лекция 9''' (14.11.2017). Доказательство второй леммы о линейной зависимости. Доказательство существования базиса в любом конечно порожденном пространстве, два способа построения такого базиса. Корректность определения размерности. Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений как базис пространства нулей матрицы системы (без доказательства).

'''Лекция 10''' (21.11.2017). Ранг матрицы по столбцам и по строкам, их свойства. Теорема о ранге матрицы.

'''Лекция 11''' (28.11.2017). Сумма Минковского двух подмножеств линейного пространства. Сумма и пересечения двух подпространств линейного пространства как подпространства, связь их размерностей. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Общая формула решения системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

'''Лекция 12''' (5.12.2017). Поле. Линейное пространство над полем. Комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа, операции над комплексными числами и их геометрический смысл, извлечение корней n-й степени из комплексного числа. Формулировка основной теоремы алгебры.

'''Лекция 13''' (15.12.2017). Координаты вектора в конечномерном линейном пространстве, изменение координат при замене базисов. Изоморфизм линейных пространств. Теорема о том, что два конечномерных пространства над одним полем изоморфны в том и только том случае, когда их размерности равны.

'''Лекция 14''' (19.12.2017). Произведение треугольных матриц. LU разложение квадратной матрицы (при условии, что все ее угловые миноры, кроме максимального, ненулевые). Матрицы полного строчного и столбцового ранга. Разложение полного ранга (скелетное разложение) произвольной матрицы.

'''Лекция 15''' (9.1.2018). Линейные отображения. Примеры: поворот, проекции; изоморфизм, линейный функционал, интегрирование и дифференцирование функций от действительных чисел, умножение данной матрицы на произвольный вектор. Матрица линейного отображения. Матрица замены координат как матрица тождественного оператора. Матрица композиции линейных отображений. Замена координат для матрицы линейного отображения. Невырожденность матрицы изоморфизма.

'''Лекция 16''' (16.1.2018). Коммутативные диаграммы. Доказательство формулы замены координат для матрицы линейного отображения. Ядро и образ линейного отображения, связь их размерностей с рангом матрицы линейного отображения. Ранг линейного отображения. Независимость следа и определителя матрицы линейного оператора от выбора базиса.

'''Лекция 17''' (23.1.2018). Инвариантные подпростарнства линейного оператора. Матрица линейного оператора в таком базисе, часть которого составляет базис инвариантного подпространства. Разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств и клеточно-диагональный вид матрицы линейного оператора. Инвариантность ядра и образа оператора. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен матрицы линейного оператора, его степень, старший коэффициент и младший коэффициент.

'''Лекция 18''' (30.1.2018). Инвариантность характеристического многочлена. Формулы Виета для многочленов произвольной степени. Выражение коэффициентов характеристического многочлена линейного оператора через собственные числа. Выражение следа и определителя линейного оператора через собственные числа. Собственные подпространства. Инвариантность подпространств, порожденных собственными векторами. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Оператор простой структуры (диагонализуемый оператор). Пример диагонализуемого оператора: оператор, у которого все собственные значения имеют единичную кратность. Пример недиагонализуемого оператора: оператор дифференцирования многочленов степени не выше n.

'''На следующих лекциях''': инвариантные подпространства линейного оператора в конечномерном действительном пространстве. Корневые подпространства, их размерности. Приведение матрицы линейного оператора к треугольному виду. Теорема о жордановой форме. Теорема Гамильтона-Кэли. Минимальный многочлен линейного оператора.

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Порядок формирования итоговой оценки ==
=== 2-й модуль ===

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков (и за лабораторную работу), Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

== Лабораторные работы ==
=== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ===

'''Срок:'''

17 декабря 23:59

[https://www.dropbox.com/s/oli8jz4vhr9ohnp/HSE_Linalg_Pilot_Lab_Fall_2017.ipynb?dl=0 '''Условие''']

Файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

Готовые лабораторные нужно отправлять на почту своему ассистенту (и быть готовым ответить на возникающие у ассистента вопросы).

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду].

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit#gid=1196896000 171] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TyAbY4bizqxdQleu-C490_tzmBmqDcWRRYTIyXOQPSo/edit#gid=1418802091 172]
|}

'''Результаты сдачи домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1un5Wq9X4btQyskxfII8wsfgrRzfcoO5Rc2piXr26CtE/edit#gid=1196896000 171] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1un5Wq9X4btQyskxfII8wsfgrRzfcoO5Rc2piXr26CtE/edit#gid=1418802091 172]
|}

==== 3-4 модули ====

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/17AvXSgN2hdAEAsRb_7_BIJXv3DT0ObUpBGmDnW4Lr0g/edit#gid=1196896000 171] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/17AvXSgN2hdAEAsRb_7_BIJXv3DT0ObUpBGmDnW4Lr0g/edit#gid=1418802091 172]
|}

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток)

2018-01-10T16:45:16Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток)

2018-01-10T13:27:48Z

Piont:

Маго-лего "Линейная алгебра в приложениях" весна 2018

2017-12-27T19:52:01Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Факультатив !! Дополнительные главы линейной алгебры !! Практическая линейная алгебра
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский]
|-
||Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] || [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев]
|-
|| Ассистенты ||colspan="2"| [mailto:yuabaranov@edu.hse.ru Юрий Баранов], [mailto:drmaduar@edu.hse.ru Дарина Мадуар]
|}

== Расписание консультаций ==

[mailto:drmaduar@edu.hse.ru Дарина Мадуар] : пятница, 16:30 – 18:00, Кочновский пр. 3, ауд. 511

[mailto:yuabaranov@edu.hse.ru Юрий Баранов]: будет объявлено позже

== Краткое содержание лекций ==
'''Лекция 1''' Псевдообратная матрица Мура-Пенроуза. Скелетное разложение матрицы.

'''Лекция 2''' Нахождение наименьшего по длине решения системы линейных уравнений, общая формула решения. Решение систем по методу наименьших квадратов, псевдорешения системы. Линейная регрессия. Сингулярное разложение матрицы (SVD).

'''Лекция 3''' Задача полиномиальной интерполяции. Определитель Вандермонда и интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяция с кратными узлами, многочлены Эрмита (Лагранжа–Сильвестра). Сплайны. Кривые Безье, сплайны Безье.

'''Лекция 4''' Метрические пространства. Нормированные пространства. Нормы Гельдера. Теорема Минковского о единичном шаре в действительном нормированном пространстве. Восстановление нормы по единичному шару.

'''На следующих лекциях:''' Многочлены Чебышева, векторные и матричные нормы, характеризация шаров в нормированных пространствах, оценки погрешности при решении систем линейных уравнений, число обусловленности, итерационные методы решения систем линейных уравнений, неоттрицательные матрицы, теорема Перрона-Фробениуса и метод PageRank, оценки на собственные значения.

==Проекты==

В [https://docs.google.com/document/d/1WUgbXnTYML26nqVbQwbKyDZlm-drg7s-aADgTKT2aIE/edit?usp=sharing этом файле] приведен предварительный список тем проектов по нашим курсам. Список литературы, как и описание, не являются полными. Предполагается, что заинтересованные студенты будут уточнять детали у преподавателей (и ассистентов). Хотим обратить внимание на то, что Вы сами можете предложить тему проекта, если область Ваших научных интересов имеет нетривиальное пересечение с линейной алгеброй.

==Контрольная работа==
Слушателям факультатива предлагается решить индивидуальный вариант контрольной работы (если Вам не пришёл вариант на почту –– напишите ассистентам, предварительно проверив папку "спам").

Для слушателей факультатива "Практическая Линейная алгебра"
срок сдачи в письменном виде –– ''четверг 16 ноября''.

Для слушателей факультатива "Дополнительные главы линейной алгебры"
срок сдачи –– ''понедельник 20 ноября''.

При вычислении значений интегралов, производных и т.п. можно
пользоваться любыми программными средствами.

== Литература ==
===Основная литература===
*''Беклемишев Д.В.'' Дополнительные главы линейной алгебры, СПБ, изд. Лань, 2008
*''Шевцов Г.С.'' Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: учебное пособие, М., Финансы и статистика, 2003
*''Тыртышников Е.Е.'' Матричный анализ и линейная алгебра. М., Физматлит, 2007. [http://www.inm.ras.ru/vtm/lection/all.pdf Текст книги на сайте Института вычислительной математики РАН]

===Дополнительная литература===
*''Aleskerov F., Ersel H., Piontkovski D.'' Linear Algebra for Economists. Berlin—Heidelberg, Springer, 2011
*''Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Н.'' Численные методы, М., изд. Бином, 2003,
*''Винберг Э.Б.'' Курс алгебры, М., изд. МГУ, 2002 (и последующие издания).

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток)

2017-12-19T13:36:28Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток)

2017-12-11T00:32:12Z

Piont: /* Лабораторная работа 1 (2-й модуль) */

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток)

2017-12-11T00:30:52Z

Piont: /* 2-й модуль */

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток)

2017-12-11T00:29:57Z

Piont:

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток)

2017-12-10T20:07:57Z

Piont:

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток)

2017-12-02T12:17:13Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток)

2017-12-01T16:26:39Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток)

2017-10-13T14:26:25Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток)

2017-09-30T14:04:16Z

Piont: /* Учебники */

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток)

2017-09-30T12:42:46Z

Piont: /* Расписание консультаций */

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток)

2017-09-30T12:29:59Z

Piont:

О факультете

2017-09-06T21:24:25Z

Piont:

__NOTOC__

== Учебные курсы факультета компьютерных наук==

=== Курсы за 2017/18 учебный год ===
{| class="wikitable"
|-
! 1 курс !! 2 курс !! 3 курс !! 4 курс !! майноры
|-
|
[[Основы_и_методология_программирования_на_ПМИ_2017/2018_(пилотный_поток,_1_модуль) | Основы и методология программирования на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток, 1 модуль)]]

[[Основы_и_методология_программирования_на_ПМИ_2017/2018_(основной_поток,_1_модуль) | Основы и методология программирования на ПМИ 2017/2018 (основной поток, 1 модуль)]]

[[Линейная_алгебра_и_геометрия_на_ПМИ_2017/2018_(пилотный_поток) | Линейная алгебра и геометрия на ПМИ (пилотный поток)]]

[[Линейная_алгебра_и_геометрия_на_ПМИ_2017/2018_(основной_поток) | Линейная алгебра и геометрия на ПМИ (основной поток)]]

[[Дискретная_математика_1_2017/2018 | Дискретная математика-1 на ПМИ]]
||
[[Теория_вероятностей_2017/2018_(основной_поток) | Теория вероятностей на ПМИ (основной поток)]]

[[Теория_вероятностей_2017/2018_(пилотный_поток) | Теория вероятностей на ПМИ (пилотный поток)]]

[[Математический анализ на ПМИ_2017/2018 | Математический анализ-3 на ПМИ (пилотный поток)]]

[[DM2-pilot2017/2018 | Дискретная математика-2 на ПМИ (пилотный поток)]]

[[DM_2_2017_2018 | Дискретная математика-2 на ПМИ (основной поток)]]

[[Алгоритмы и структуры данных_2_2017/2018 | Алгоритмы и структуры данных – 2 на ПМИ (основной поток)]]

||
[[Машинное_обучение_1 | Машинное обучение 1 на ПМИ]]

[[Прикладная_статистика_в_машинном_обучении | Прикладная статистика в машинном обучении]]

[[Theory_of_Computing | Theory of Computing, AMI]]

[[Statistical_learning_theory | Introduction to statistical learning theory]]

[[Основные_методы_анализа_данных_(специализация_АДИС) | Основные методы анализа данных на ПМИ]]

[[Параллельные и распределенные вычисления 2017 | Параллельные и распределенные вычисления]]

[[Анализ неструктурированных данных]]

[[Безопасность компьютерных систем 2017 | Безопасность компьютерных систем]]

[[НИС_Распределенные_системы_(3_курс,_2017) | НИС Распределенные системы]]

[[НИС_Машинное_обучение_и_приложения_2017/2018 | НИС Машинное обучение и приложения]]
||

[[Безопасность компьютерных систем 2017 | Безопасность компьютерных систем]]

[[НИС_Распределенные_системы_(4_курс,_2017) | НИС Распределенные системы]]

[[НИС_Машинное_обучение_и_приложения_2017/2018 | НИС Машинное обучение и приложения]]
||

[[Современные методы машинного обучения (курс майнора) 2017/2018]]

|}

== Data Culture==

[[Цифровая_грамотность|Цифровая грамотность (факультет гуманитарных наук)]] 
[[Машинное обучение (факультет экономических наук)|Машинное обучение (факультет экономических наук)]] 
[[Программирование (python) для лингвистов | Программирование (python) для лингвистов (факультет гуманитарных наук)]] 
=== Курсы за 2016/17 учебный год ===
{| class="wikitable"
|-
! 1 курс !! 2 курс !! 3-4 курс !! майноры
|-
|

[[Математический анализ на ПМИ_2016/2017 | Математический анализ на ПМИ (пилотный поток)]]

[[Линейная алгебра и геометрия_2016/2017 | Линейная алгебра и геометрия на ПМИ]]

[[Дискретная_математика_1_2016/2017 | Дискретная математика-1 на ПМИ]]

[[Основы и методология программирования_2016/2017_пилотный_поток | Основы и методология программирования на ПМИ (пилотный поток)]]

[[Основы и методология программирования_2016/2017 | Основы и методология программирования на ПМИ (основной поток)]]

[[Алгоритмы_и_структуры_данных_на_ПМИ_(пилотный_поток) | Алгоритмы и структуры данных на ПМИ (пилотный поток)]]

[[Алгоритмы_и_структуры_данных_на_ПМИ_(основной_поток) | Алгоритмы и структуры данных на ПМИ (основной поток)]]

[[Алгебра_на_ПМИ_2016/2017 | Алгебра на ПМИ]]

[http://hsealgebra17.wikidot.com/ Алгебра на ПИ]

||

[[Математический анализ_2016/2017 | Математический анализ-3 на ПМИ (основной поток)]]

[[Математически_анализ_3_на_ПМИ_(пилотный_поток) | Математический анализ-3 на ПМИ (пилотный поток)]]

[[DM_2_2016_2017 | Дискретная математика-2 на ПМИ (основной поток)]]

[[Дискретная математика_2_2016/2017 | Дискретная математика-2 на ПМИ (пилотный поток)]]

[[Алгоритмы и структуры данных_2_2016/2017 | Алгоритмы и структуры данных – 2 на ПМИ (основной поток)]]

[[Теория вероятностей_2016/2017 | Теория вероятностей на ПМИ (основной поток)]]

[[Теория_вероятностей_2016/2017_(пилотный_поток) | Теория вероятностей на ПМИ (пилотный поток)]]

[[Архитектура_компьютеров_и_операционные_системы_2016/2017 | Архитектура компьютеров и операционные системы]]

[[Факультатив_теория_вычислений_2016/2017 | Факультатив теория вычислений на ПМИ]]

[[Дополнительные_главы_теории_вероятностей_(факультатив,_2017) | Дополнительные главы теории вероятностей (факультатив)]]

[[Дифференциальные_уравнения_(2_курс,_2016/2017) | Дифференциальные уравнения]]

[[Математическая_статистика_2016/2017_(пилотный_поток) | Математическая статистика на ПМИ (пилотный поток)]]

[[Архитектура_компьютеров_и_операционные_системы_2016/2017 | Архитектура компьютеров и операционные системы ]]

||

[[НИС_Машинное_обучение_и_приложения_2016/2017 | НИС Машинное обучение и приложения на ПМИ]]

[[Машинное_обучение_1 | Машинное обучение 1 на ПМИ]]

[[Машинное_обучение_2 | Машинное обучение 2 на ПМИ]]

[[Прикладной_статистический_анализ_данных | Прикладной статистический анализ данных на ПМИ]]

[[Численные_методы_в_анализе_данных | Численные методы в анализе данных на ПМИ]]

[http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=Статистика_случайных_процессов_(курс_лекций,_ФКН_ВШЭ) Вероятностные модели и статистика случайных процессов на ПМИ]

[http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=Opt Методы оптимизации на ПМИ (специализации МОП и РС)]

[[Методы_оптимизации_(весна_2017)|Методы оптимизации 2 (дискретная оптимизация)]]

[[НИС_Распределенные_системы_(осень_2016) | НИС Распределенные системы]]

[[Анализ и верификация алгоритмов биржевой торговли | Анализ и верификация алгоритмов для систем биржевой торговли ]]

[[Программирование_на_графических_процессорах | Программирование на графических процессорах]]

[[ЯРПО | Языки разработки ПО (курс по выбору) на ПМИ]]

[[Data analysis (Software Engineering) 2017 | Data analysis на ПИ]]

[[Базы данных 2 | Базы данных 2 ]]

[[Компьютерные сети 2 | Компьютерные сети 2]]

[[Машинное_обучение_на_больших_данных | Машинное обучение на больших данных на ПМИ]]

||

[[Современные_методы_машинного_обучения_(курс_майнора) | Современные методы машинного обучения (курс майнора)]]

[[Майнор_Интеллектуальный_анализ_данных/Введение_в_программирование_2016/2017 | Введение в программирование (курс майнора)]]

[[Майнор Интеллектуальный анализ данных/Введение в анализ данных | Введение в анализ данных (курс майнора)]]

[[Майнор Интеллектуальный анализ данных/Прикладные задачи анализа данных| Прикладные задачи анализа данных (курс майнора)]]

|}

{|width=100%
|style="vertical-align:top;"|



=== Курсы за 2015/16 учебный год ===
{|
|-
| [[Технологии программирования|Технологии программирования на ПМИ]]
|-
|[[ОиМП-2015|Основы и методология программирования на ПМИ]]
|-
|[[Алгоритмы и структуры данных 2016]]
|-
|[[Линейная алгебра и геометрия_2015/2016 | Линейная алгебра и геометрия на ПМИ]]
|-
|[[Алгебра_2015/2016 | Алгебра на ПМИ]]
|-
|[http://hsealgebra.wikidot.com/ Алгебра на ПИ]
|-
|[[Компьютерные системы]]
|-
|[[Математический анализ на ПМИ_2015/2016 | Математический анализ на ПМИ]]
|-
|[[Факультатив_Матпрактикум | Матпрактикум (факультатив) на ПМИ]]
|-
|[[Data analysis (Software Engineering)]] 
|-
|[[Майнор Интеллектуальный анализ данных/Введение в программирование|Введение в программирование (курс майнора) на ПМИ]]
|-
|[[Майнор Интеллектуальный анализ данных/Введение в анализ данных/2015-2016|Введение в анализ данных (курс майнора) на ПМИ]]
|-
|[[НИС Машинное обучение и приложения|НИС Машинное обучение и приложения на ПМИ]]
|-
|[[Архитектура компьютеров и системное программирование (ПМИ_4, 2015/2016)|Архитектура компьютеров и системное программирование (4 курс)]]
|-
|[[Дифференциальные уравнения (2 курс, 2015/2016)| Дифференциальные уравнения]]
|-
|[[Введение в VBA|Введение в VBA]]
|}

|style="vertical-align:top;"|



=== Курсы за 2014/15 учебный год ===
{|
|-
|[[Основы и методологии программирования]] 
|-
|[[Алгоритмы и структуры данных 2015 | Алгоритмы и структуры данных]] 
|-
|[[Анализ данных (Программная инженерия)]] 
|-
|[[Алгебра_2014/2015 | Алгебра]] 
|-
|[[Magolego_sna_2015| MAGoLEGO Social Network Analysis]]
|}

==== Проектная работа ====
{|
|-
|[[Проектная работа]] 
|-
|[[Учебная практика 1 курс (2016)]]
|-
|[[Проектная работа 2 курс (2016)]]
|}


|}

== Мероприятия факультета компьютерных наук ==
=== Summer School 2015 ===
[[Introduction to Natural Language Processing|Introduction to Natural Language Processing]]
#[[Lecture 1. Introduction|Introduction]]
#[[Lecture 2. Tokenization and word counts|Tokenization and word counts]]
#[[Lecture 3. POS tagging. Key word and phrase extraction|POS tagging. Key word and phrase extraction]]
#[[Lecture 4. Parsing|Parsing]]
#[[Lecture 5. Language sources|Language sources]]
#[[Lecture 6. Synonyms and near-synonyms detection|Synonyms and near-synonyms detection]]
#[[Lecture 8. Suffix trees for NLP|Suffix trees for NLP]]
#[[NLP References|References]]

== Архив ==
* [[Учебная практика 1 курс (2015)]]

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-06-26T13:03:28Z

Piont: Согласно викисловарю, во множественном числе возможны и "векторы", и "вектора".

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ161 !! БПМИ162 !! БПМИ163 !! БПМИ164 !! БПМИ165 !! БПМИ166 !! БПМИ167 !! БПМИ168
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] ||colspan="2"| [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент ||colspan="2"| [mailto:beloppolina@gmail.com Полина Белопашенцева], [mailto:georgiy-sh@ya.ru Георгий Шумкин] || [mailto:rakhaydurov@edu.hse.ru Руслан Хайдуров] || [mailto:eterniusgrv@gmail.com Вадим Гринберг] || [mailto:pvl.kovalev@gmail.com Павел Ковалёв] || [mailto:n.v.bakaykina@gmail.com Наталья Бакайкина] || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский] || [mailto:valerystar@inbox.ru Валерия Старичкова]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Дмитрий Игоревич Пионтковский || || 18:30–20, ауд. 507 || || || 15:10–16:30, Шаболовка 26, ауд. 5413
|-
| <center>2</center> || Всеволод Леонидович Чернышев || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>3</center> || Роман Сергеевич Авдеев || 15:40–17:40, ауд. 623 || || 15:40–17:40, ауд. 623 (с 17 мая) || ||
|-
| <center>4</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || || 9:00–10:30, ауд. 511
|-
| <center>5</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || 15:00–17:00, ауд. 607||
|-
| <center>6</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || 13:40–17:00, ауд. 607 || ||
|-
| <center>7</center> || Полина Белопашенцева || || || || || 16:40–18:00, ауд.??
|-
| <center>8</center> || Георгий Шумкин || || || || || 13:40–15.00, ауд.  618
|-
| <center>9</center> || Руслан Хайдуров || || 13:40–22:00, ауд. ?? || || ||
|-
| <center>10</center> || Вадим Гринберг || || 16:40–18:10, ауд. ?? || || || 16:40–18:10, ауд. 308
|-
| <center>11</center> || Павел Ковалёв || || 16:40–18:00 || || ||
|-
| <center>12</center> || Наталья Бакайкина || || || 15:00–16:30 || ||
|-
| <center>13</center> || Александр Чернявский ||15:00–16:30, ауд. 313 || || || ||
|-
| <center>14</center> || Валерия Старичкова || || || || 13:40–15:00 ||
|}

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Информация для пилотного потока ==

=== Краткое содержание лекций ===

'''Лекция 1''' (6.09.2016). Геометрия ''n''-мерного арифметического пространства.

'''Лекция 2''' (13.09.2016). Матрицы и основные операции над ними.

'''Лекция 3''' (20.09.2016). Элементарные преобразования строк матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

'''Лекция 4''' (27.09.2016). Существование и единственность канонического вида матрицы. Обратная матрица.

'''Лекция 5''' (4.10.2016). Обратимость невырожденных матриц. Линейное пространство. Подпространства, линейные оболочки.

'''Лекция 6''' (11.10.2016). Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.

'''Лекция 7''' (18.10.2016). Столбцовый и строчный ранг матрицы, теорема об их равенстве. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

'''Лекция 8''' (1.11.2016). Теорема Кронекера-Капелли. Размерность линейного многообразия. Сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями.

'''Лекция 9''' (8.11.2016). Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм. Теорема о том, что все пространства одной конечной размерности изоморфны друг другу.

'''Лекция 10''' (15.11.2016). Матрица перехода между двумя базисами. Формула замены координат. Определитель матрицы порядка 2, ориентированная площадь. Подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

'''Лекция 11''' (22.11.2016). Определитель треугольной матрицы. Определитель как полилинейная функция строк. Умножение подстановок. Изменение знака подстановки при умножении на транспозицию. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы.

'''Лекция 12''' (29.11.2016). Определитель как единственная полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, равная 1 на единичной матрице. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Формула разложения определителя по строке. Знак произведения подстановок и знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 13''' (6.12.2016). Приложения определителей: формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений; формула обратной матрицы; определение ранга матрицы через миноры (ранг Фробениуса).

'''Лекция 14''' (13.12.2016). Комплексные числа.

'''Лекция 15''' (10.01.2017). Поле. Примеры полей. Линейные пространства над полем. Комплексификация и овеществление. Линейное отображение и линейный оператор: определение и геометрические примеры.

'''Лекция 16''' (17.01.2017). Новые примеры линейных отображений. Множество линейных отображений Hom(U,V) как линейное пространство. Линейные функционалы и двойственное пространство. Понятие двойственного базиса, размерность двойственного пространства. Идея теории категорий, категория линейных пространств. Контравариантные и ковариантные функторы.
Матрица линейного отображения: эквивалентность двух определений. Размерность линейного пространства Hom(U,V).

'''Лекция 17''' (25.01.2017).
Матрица композиции линейных отображений. Матрица изоморфизма. Замена координат и матрица линейного отображения. Замена координат в двойственном пространстве, понятие ковектора. Ядро и образ линейного отображения, их связи с матрицей линейного отображения. Короткая точная последовательность. Ранг, определитель и след линейного оператора.

'''Лекция 18''' (31.01.2017). Инвариантные пространства линейного оператора, инвариантность его ядра и образа. Прямая сумма нескольких подпространств. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство или прямую сумму таких подпространств. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен линейного оператора. Определитель, след и характеристический многочлен как инварианты линейного оператора.

'''Лекция 19''' (7.02.2017). Характеристический многочлен как инвариант линейного оператора. Алгебраически замкнутое поле. Кратности и количество корней многочлена над алгебраически замкнутым полем. Формулы Виета. Связь определителя и следа комплексного оператора с собственными значениями. Диагонализуемые операторы (операторы простой структуры). Оператор дифференцирования многочленов как пример не диагонализуемого оператора.

'''Лекция 20''' (14.02.2017). Корневые векторы и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

'''Лекция 21''' (21.02.2017). Теорема о приведении матрицы линейного оператора к верхнетреугольному виду. Формулировка теоремы о жордановой форме линейного оператора в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем. Единственность жордановой формы.

'''Лекция 22''' (28.02.2017). Существование аннулирующего многочлена линейного оператора над произвольным полем. Теорема Гамильтона--Кэли. Минимальный многочлен комплексного линейного оператора.

Евклидово пространство. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базис.

'''Лекция 23''' (7.3.2017). Связь матриц Грама различных базисов. Существование и единственность проекции и ортогональной составляющей вектора относительно подпространства. Существование и метод построения ортонормированного базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Объем k-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве, его связь с определителем матрицы Грама. Ориентированный объем n-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (15.3.2017). Эрмитово пространство, его сходство и различие с евклидовым пространством. Сопряженные линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. Самосопряженный (эрмитов) оператор. Нормальный оператор, его основное свойство.

'''Лекция 25''' (22.3.2017). Ортогональные и унитарные операторы. Ортогональные и унитарные матрицы. Канонический вид унитарного оператора и ортогонального оператора.

'''Лекция 26''' (4.4.2017). Мультипликативные разложения матриц. LU разложение. Положительно определенный самосопряженный оператор. SU разложение (полярное разложение). Сингулярные числа матрицы. Сингулярное разложение (SVD). QR разложение.

'''Лекция 27''' (11.4.2017). Билинейные формы. Матрица билинейной формы, ее поведение при замене координат. Квадратичные формы. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы.

'''Лекция 28''' (18.4.2017). Методы приведения действительных квадратичных форм к каноническому виду (метод Лагранжа, приведение к главным осям, метод Якоби). Критерий Сильвестра.

'''Лекция 29''' (25.4.2017). Закон инерции действительных квадратичных форм.

'''Лекция 30''' (16.5.2017). Начала аналитической геометрии: линейные многообразия, способы задания плоскостей и прямых в трехмерном пространстве, задачи взаимного расположения плоскостей и прямых.

'''Лекция 31''' (23.5.2017). Векторное и смешанное произведение в трехмерном пространстве, их применение в метрических задачах. Векторное и смешанное произведение в многомерных пространствах. Аффинные преобразования и движения n-мерного действительного пространства, теорема об их разложении
в сумму параллельного переноса и линейного (в случае движения -- ортогонального) оператора.

'''Лекция 32''' (30.5.2017). Канонический вид квадрики в n-мерном действительном пространстве. Классификация квадрик на плоскости. Конические сечения.

Следующую лекцию предполагается посвятить поверхностям второго порядка в трехмерном пространстве.

=== Порядок формирования итоговой оценки для пилотного потока ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

==== 4-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам третьего модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

== Информация для основного потока ==

=== Порядок формирования итоговой оценки ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,2 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

==== 4-й модуль ====

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

=== Краткое содержание лекций ===

==== 1-2 модули ====

'''Лекция 1''' (5.09.2016). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (12.09.2016). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (19.09.2016). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (26.09.2016). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Матричные единицы. Умножение на матричную единицу. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (3.10.2016). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении справа на элементарную транспозицию.

'''Лекция 6''' (10.10.2016). Изменение знака подстановки при умножении справа на произвольную транспозицию. Разложение подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов).

'''Лекция 7''' (17.10.2016). Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц.

'''Лекция 8''' (31.10.2016). Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

'''Лекция 9''' (7.11.2016). Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства.

'''Лекция 10''' (14.11.2016). Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

'''Лекция 11''' (21.11.2016). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

'''Лекция 12''' (28.11.2016). Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства, координаты вектора в базисе. Базис как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

'''Лекция 13''' (5.12.2016). Эквивалентные условия, определяющие конечномерное векторное пространство размерности n. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 14''' (12.12.2016). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

==== 3-4 модули ====

'''Лекция 15''' (19.12.2016). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

'''Лекция 16''' (16.01.2017). Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

'''Лекция 17''' (23.01.2017). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений.

'''Лекция 18''' (30.01.2017). Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры.

'''Лекция 19''' (6.02.2017). Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Утверждение о том, что всякое подпространство в F^n является множеством решений некоторой однородной системы линейных уравнений. Билинейные функции (формы) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису.

'''Лекция 20''' (13.02.2017). Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

'''Лекция 21''' (20.02.2017). Угловые миноры матрицы квадратичной формы. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры.

'''Лекция 22''' (27.02.2017). Следствие метода Якоби: вычисление отрицательного индекса инерции квадратичной формы над R. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

'''Лекция 23''' (6.03.2017). Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Ортогональные и ортонормированные системы векторов евклидова пространства, ортогональные и ортонормированные базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (13.03.2017). Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства.

'''Лекция 25''' (20.03.2017). Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Смешанное произведение векторов, его выражение в координатах, критерий компланарности трёх векторов. Векторное произведение, критерий коллинеарности двух векторов. Связь векторного произведения со смешанным произведением. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Двойное векторное произведение, тождество Якоби. Выражение векторного произведения в координатах. Связь множества решений системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы.

'''Лекция 26''' (5.04.2017). Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки.

'''Лекция 27''' (12.04.2017). Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости, трёх плоскостей в R^3. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы (линейные преобразования). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя.

'''Лекция 28''' (19.04.2017). Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах существования базиса из собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве.

'''Лекция 29''' (26.04.2017). Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора, связь между ними. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений. Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве.

'''Лекция 30''' (10.05.2017). Билинейные функции, связанные с линейным оператором в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его существование и единственность. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Самосопряжённость оператора ортогонального проектирования на подпространство. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, пять эквивалентных условий.

'''Лекция 31''' (17.05.2017). Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Теорема о сингулярных базисах для линейного отображения евклидовых пространств. Сингулярное разложение матрицы и её сингулярные значения.

'''Лекция 32''' (24.05.2017). Квадратичная форма, связанная с линейным отображением евклидовых пространств, и её свойства. Алгоритм нахождения сингулярного разложения матрицы. Усечённое сингулярное разложение матрицы. Представление матрицы в виде суммы компонент ранга 1, связанное с её сингулярным разложением. Фробениусова норма матрицы. Теорема о низкоранговом приближении (без доказательства).

'''Лекция 33''' (31.05.2017). Движения евклидова пространства. Теорема о разложении движения в композицию ортогонального преобразования и параллельного переноса. Прямоугольные декартовы системы координат в евклидовом пространстве. Формулы замены координат при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой. Квадрики (гиперповерхности 2-го порядка) в R^n. Теорема о каноническом виде уравнения квадрики в евклидовом пространстве. Метрическая классификация кривых 2-го порядка в R^2. Метрическая классификация поверхностей 2-го порядка в R^3 (начало).

'''Лекция 34''' (7.06.2017). Метрическая классификация поверхностей 2-го порядка в R^3. Эллипс, гипербола, парабола: основные геометрические свойства (фокусы, директрисы, эксцентриситет, оптическое свойство). Теорема о жордановой нормальной форме линейного оператора (формулировка). Корневые подпространства линейного оператора. Теорема о разложении векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора (формулировка).

'''Лекция 35''' (14.06.2017). Схема доказательства теоремы о жордановой нормальной форме линейного оператора: сведение к случаю нильпотентного оператора, конструкция жорданова базиса для нильпотентного оператора и формулы для числа жордановых клеток заданного размера. Обзор теории полуторалинейных форм и эрмитовых пространств.

=== Листки с задачами ===

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/f3epqb7rs71r995/LA_16-17_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

до 6 ноября включительно разрешается сдавать любое количество задач;

с 7 по 13 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более шести''' задач;

13 ноября — последний день приёма задач

[https://www.dropbox.com/s/wmhg3cqj7sop14l/LA_16-17_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

18 декабря — последний день приёма задач

с 12 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 6 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

[https://www.dropbox.com/s/c6dkx76ncb6ddre/LA_16-17_Stream2_Sheet3.pdf?dl=0 '''Листок 3''']. Конструкции, связанные с линейными отображениями

Сроки сдачи листка 3:

19 марта — последний день приёма задач

с 13 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 6 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более восьми''' задач

[https://www.dropbox.com/s/j7vo5f9o7drbjwk/LA_16-17_Stream2_Sheet4.pdf?dl=0 '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

14 июня — последний день приёма задач

других ограничений нет

=== Лабораторные работы ===

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не затирайте условий задач. Задание должно быть выполнено на языке Python.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему [http://anytask.org AnyTask]. Инвайты для регистрации на курс:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 163 !! 164 !! 165 !! 166 !! 167 !! 168
|-
|| erCwXX3 || FjduzdE || 078wQmj || d8Lfn5Y || 5JCnwSR || HNJ3zEn
|}

Краткое руководство по работе с системой [https://www.dropbox.com/s/fl2pyq5fruxchyw/manual_student.pdf?dl=0 прилагается].

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду] (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [mailto:st-fedotov@yandex-team.ru st-fedotov@yandex-team.ru]

'''Внимание:''' тема письма должна начинаться с '''[ФКН - лабораторная N]''', где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

==== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ====

'''Срок:'''

5 декабря 23:30 для групп 164-168

7 декабря 23:30 для группы 163

[https://www.dropbox.com/s/gqvszs55cl5519o/HSE%20Linalg%20Lab%20Fall%202016.ipynb?dl=0 '''Условие''']

==== Лабораторная работа 2 (3-й модуль) ====

'''Срок:''' 5 апреля 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/p9zegynwx1kgt3d/AABjR9UCqD0aihbuzcnIobgAa?dl=0 '''тут'''].

==== Лабораторная работа 3 (4-й модуль) ====

'''Срок:''' 9 июня 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/xht3w65grfgofd9/AAB2ky5DaBlxvJX4Wgd6Efu9a?dl=0 '''тут'''].

=== Контрольные работы ===
==== 2-й модуль ====

Контрольная работа состоялась 19 ноября в 12:10 в аудиториях 622 и 509.

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/p5ceogf3zhaplra/LA_16-17_Stream2_Test1.pdf?dl=0 '''Условия задач из контрольной''']

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.
*Решение систем линейных уравнений [82--89, 567--581, 689--704, 712--720]
*Действия с матрицами [788--798, 801, 805, 822, 824, 836--845, 861--870, 937]
*Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
*Определители 2-го и 3-го порядка [1--12, 43--60]
*Определители произвольного порядка: определение [188--206]
*Вычисление определителей произвольного порядка [257--269, 279, 316]

==== 4-й модуль ====

Дата-время: 12 мая, 15:10

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/r9j6lgecp4t1hqm/LA_16-17_Stream2_Test2.pdf?dl=0 '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства: П 1317, 1318, 1320--1322; К 35.14, 35.15

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434--1438, 1441--1444, 1445, 1446, 1449, 1450; К 39.15, 39.16

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения: К 39.5; задача 2(б) из ИДЗ-4

*Билинейные функции, квадратичные формы и их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175--1186; К 38.18(а--г)

*Исследование квадратичных форм на положительную определённость: П 1212--1216; К 38.11(а--г)

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357--1363; К 43.7(а--г), 43.15(а--в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370--1372; К 43.19(а--в)

*Расстояние от точки до линейного многообразия: П 1374; К 43.21(а--г), 51.7

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28--26.37, 26.39--26.47, 26.50, 27.34, 27.39--27.42, 31.1--31.3, 31.5--31.8, 31.21--31.25, 31.27--31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 27.38, 31.13--31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 32.28--32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38--32.40

*Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису: П 1452--1454; К 39.19--39.21

*Собственные векторы и собственные значения линейных операторов: П 1465--1474; К 40.15

*Диагонализуемость линейных операторов: П 1479--1483; К 40.16

=== Коллоквиумы ===

'''Формат проведения коллоквиумов'''

Этап 1. Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат не выше 3 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат 4, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 1. Если результат 5, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 2.

Этап 2. Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего начинается разговор с принимающим (как правило, другим). По результатам разговора выставляется окончательная оценка.

==== 2-й модуль ====

Даты коллоквиума: 9 и 10 декабря.

[https://www.dropbox.com/s/yzxftul500urq29/LA_16-17_Stream2_Definitions1.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/m6lqqwff9p1bj9e/LA_16-17_Stream2_Questions1.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

==== 4-й модуль ====

Даты коллоквиума: 26 и 27 мая

[https://www.dropbox.com/s/fp7kw3m6iqnwyrm/LA_16-17_Stream2_Definitions2.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/cpjzqa64rzmgkzx/LA_16-17_Stream2_Questions2.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

=== Экзамен 2-й модуль ===

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 22 декабря, 10:30

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

[https://www.dropbox.com/s/jf2vnoht5e1f6qm/LA_16-17_Stream2_Exam1.pdf?dl=0 '''Условия задач с экзамена''']

Задачи для подготовки к экзамену (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Системы линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720, 724–732; К 8.1, 8.2, 8.4
*Действия с матрицами: П 788–798, 801, 805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.4, 18.1, 18.3, 18.8–18.11
*Подстановки: П 125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители: П 1–12, 43–60, 188–206, 212–214, 224– 232, 236–240, 257–269, 279, 316; К 9.1, 9.2, 10.1–10.4, 11.1–11.4, 12.1, 12.2, 13.1
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
*Векторные пространства, линейная зависимость, базис, подпространства: П 639–644, 665–669, 672–676, 679–681, 1285–1293, 1297–1304, 1308, 1310, 1311, 1824–1828; К 34.1–34.4, 35.1–35.3, 35.11
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, К 7.1, 7.2

=== Экзамен 4-й модуль ===

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 21 июня, 10:30

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

Материалы для подготовки к экзамену:

I: список задач для подготовки ко 2-й контрольной

II: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова):

*Самосопряжённые линейные операторы, приведение квадратичной формы к главным осям: К 45.4, 45.19, П 1243–1246, 1248–1262, 1585, 1586

*Ортогональные линейные операторы: К 46.6, П 1571–1577

*Сингулярное разложение матриц и теорема о низкоранговом приближении ([https://www.dropbox.com/s/wkjqmpauc3ubwdk/SVD_examples.pdf?dl=0 '''примеры'''])

*Нахождение прямоугольной декартовой системы координат, в которой уравнение данной кривой или поверхности 2-го порядка принимает канонический вид, и определение типа данной кривой или поверхности (КК 35.24, 35.27, 38.10–38.12)

*Прямые, лежащие на однополостном гиперболоиде или гиперболическом параболоиде (КК 36.18–36.20, 36.45, 36.46)

*Нахождение жордановой формы линейного оператора (жорданов базис не требуется, К 41.1, П 1530–1536)

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=2074432488 168]
|}

==== 3-4 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты 2-й контрольной работы на основном потоке'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=2074432488 168]
|}

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-05-30T09:39:15Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ161 !! БПМИ162 !! БПМИ163 !! БПМИ164 !! БПМИ165 !! БПМИ166 !! БПМИ167 !! БПМИ168
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] ||colspan="2"| [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент ||colspan="2"| [mailto:beloppolina@gmail.com Полина Белопашенцева], [mailto:georgiy-sh@ya.ru Георгий Шумкин] || [mailto:rakhaydurov@edu.hse.ru Руслан Хайдуров] || [mailto:eterniusgrv@gmail.com Вадим Гринберг] || [mailto:pvl.kovalev@gmail.com Павел Ковалёв] || [mailto:n.v.bakaykina@gmail.com Наталья Бакайкина] || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский] || [mailto:valerystar@inbox.ru Валерия Старичкова]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Дмитрий Игоревич Пионтковский || || 18:30–20, ауд. 507 || || || 15:10–16:30, Шаболовка 26, ауд. 5413
|-
| <center>2</center> || Всеволод Леонидович Чернышев || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>3</center> || Роман Сергеевич Авдеев || 15:40–17:40, ауд. 623 || || 15:40–17:40, ауд. 623 (с 17 мая) || ||
|-
| <center>4</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || || 9:00–10:30, ауд. 511
|-
| <center>5</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || 15:00–17:00, ауд. 607||
|-
| <center>6</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || 13:40–17:00, ауд. 607 || ||
|-
| <center>7</center> || Полина Белопашенцева || || || || || 16:40–18:00, ауд.??
|-
| <center>8</center> || Георгий Шумкин || || || || || 13:40–15.00, ауд.  618
|-
| <center>9</center> || Руслан Хайдуров || || 13:40–22:00, ауд. ?? || || ||
|-
| <center>10</center> || Вадим Гринберг || || 16:40–18:10, ауд. ?? || || || 16:40–18:10, ауд. 308
|-
| <center>11</center> || Павел Ковалёв || || 16:40–18:00 || || ||
|-
| <center>12</center> || Наталья Бакайкина || || || 15:00–16:30 || ||
|-
| <center>13</center> || Александр Чернявский ||15:00–16:30, ауд. 313 || || || ||
|-
| <center>14</center> || Валерия Старичкова || || || || 13:40–15:00 ||
|}

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Информация для пилотного потока ==

=== Краткое содержание лекций ===

'''Лекция 1''' (6.09.2016). Геометрия ''n''-мерного арифметического пространства.

'''Лекция 2''' (13.09.2016). Матрицы и основные операции над ними.

'''Лекция 3''' (20.09.2016). Элементарные преобразования строк матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

'''Лекция 4''' (27.09.2016). Существование и единственность канонического вида матрицы. Обратная матрица.

'''Лекция 5''' (4.10.2016). Обратимость невырожденных матриц. Линейное пространство. Подпространства, линейные оболочки.

'''Лекция 6''' (11.10.2016). Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.

'''Лекция 7''' (18.10.2016). Столбцовый и строчный ранг матрицы, теорема об их равенстве. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

'''Лекция 8''' (1.11.2016). Теорема Кронекера-Капелли. Размерность линейного многообразия. Сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями.

'''Лекция 9''' (8.11.2016). Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм. Теорема о том, что все пространства одной конечной размерности изоморфны друг другу.

'''Лекция 10''' (15.11.2016). Матрица перехода между двумя базисами. Формула замены координат. Определитель матрицы порядка 2, ориентированная площадь. Подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

'''Лекция 11''' (22.11.2016). Определитель треугольной матрицы. Определитель как полилинейная функция строк. Умножение подстановок. Изменение знака подстановки при умножении на транспозицию. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы.

'''Лекция 12''' (29.11.2016). Определитель как единственная полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, равная 1 на единичной матрице. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Формула разложения определителя по строке. Знак произведения подстановок и знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 13''' (6.12.2016). Приложения определителей: формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений; формула обратной матрицы; определение ранга матрицы через миноры (ранг Фробениуса).

'''Лекция 14''' (13.12.2016). Комплексные числа.

'''Лекция 15''' (10.01.2017). Поле. Примеры полей. Линейные пространства над полем. Комплексификация и овеществление. Линейное отображение и линейный оператор: определение и геометрические примеры.

'''Лекция 16''' (17.01.2017). Новые примеры линейных отображений. Множество линейных отображений Hom(U,V) как линейное пространство. Линейные функционалы и двойственное пространство. Понятие двойственного базиса, размерность двойственного пространства. Идея теории категорий, категория линейных пространств. Контравариантные и ковариантные функторы.
Матрица линейного отображения: эквивалентность двух определений. Размерность линейного пространства Hom(U,V).

'''Лекция 17''' (25.01.2017).
Матрица композиции линейных отображений. Матрица изоморфизма. Замена координат и матрица линейного отображения. Замена координат в двойственном пространстве, понятие ковектора. Ядро и образ линейного отображения, их связи с матрицей линейного отображения. Короткая точная последовательность. Ранг, определитель и след линейного оператора.

'''Лекция 18''' (31.01.2017). Инвариантные пространства линейного оператора, инвариантность его ядра и образа. Прямая сумма нескольких подпространств. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство или прямую сумму таких подпространств. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен линейного оператора. Определитель, след и характеристический многочлен как инварианты линейного оператора.

'''Лекция 19''' (7.02.2017). Характеристический многочлен как инвариант линейного оператора. Алгебраически замкнутое поле. Кратности и количество корней многочлена над алгебраически замкнутым полем. Формулы Виета. Связь определителя и следа комплексного оператора с собственными значениями. Диагонализуемые операторы (операторы простой структуры). Оператор дифференцирования многочленов как пример не диагонализуемого оператора.

'''Лекция 20''' (14.02.2017). Корневые векторы и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

'''Лекция 21''' (21.02.2017). Теорема о приведении матрицы линейного оператора к верхнетреугольному виду. Формулировка теоремы о жордановой форме линейного оператора в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем. Единственность жордановой формы.

'''Лекция 22''' (28.02.2017). Существование аннулирующего многочлена линейного оператора над произвольным полем. Теорема Гамильтона--Кэли. Минимальный многочлен комплексного линейного оператора.

Евклидово пространство. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базис.

'''Лекция 23''' (7.3.2017). Связь матриц Грама различных базисов. Существование и единственность проекции и ортогональной составляющей вектора относительно подпространства. Существование и метод построения ортонормированного базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Объем k-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве, его связь с определителем матрицы Грама. Ориентированный объем n-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (15.3.2017). Эрмитово пространство, его сходство и различие с евклидовым пространством. Сопряженные линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. Самосопряженный (эрмитов) оператор. Нормальный оператор, его основное свойство.

'''Лекция 25''' (22.3.2017). Ортогональные и унитарные операторы. Ортогональные и унитарные матрицы. Канонический вид унитарного оператора и ортогонального оператора.

'''Лекция 26''' (4.4.2017). Мультипликативные разложения матриц. LU разложение. Положительно определенный самосопряженный оператор. SU разложение (полярное разложение). Сингулярные числа матрицы. Сингулярное разложение (SVD). QR разложение.

'''Лекция 27''' (11.4.2017). Билинейные формы. Матрица билинейной формы, ее поведение при замене координат. Квадратичные формы. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы.

'''Лекция 28''' (18.4.2017). Методы приведения действительных квадратичных форм к каноническому виду (метод Лагранжа, приведение к главным осям, метод Якоби). Критерий Сильвестра.

'''Лекция 29''' (25.4.2017). Закон инерции действительных квадратичных форм.

'''Лекция 30''' (16.5.2017). Начала аналитической геометрии: линейные многообразия, способы задания плоскостей и прямых в трехмерном пространстве, задачи взаимного расположения плоскостей и прямых.

'''Лекция 31''' (23.5.2017). Векторное и смешанное произведение в трехмерном пространстве, их применение в метрических задачах. Векторное и смешанное произведение в многомерных пространствах. Аффинные преобразования и движения n-мерного действительного пространства, теорема об их разложении
в сумму параллельного переноса и линейного (в случае движения -- ортогонального) оператора.

'''Лекция 32''' (30.5.2017). Канонический вид квадрики в n-мерном действительном пространстве. Классификация квадрик на плоскости. Конические сечения.

Следующую лекцию предполагается посвятить поверхностям второго порядка в трехмерном пространстве.

=== Порядок формирования итоговой оценки для пилотного потока ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

==== 4-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам третьего модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

== Информация для основного потока ==

=== Порядок формирования итоговой оценки ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,2 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

==== 4-й модуль ====

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

=== Краткое содержание лекций ===

==== 1-2 модули ====

'''Лекция 1''' (5.09.2016). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (12.09.2016). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (19.09.2016). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (26.09.2016). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Матричные единицы. Умножение на матричную единицу. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (3.10.2016). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении справа на элементарную транспозицию.

'''Лекция 6''' (10.10.2016). Изменение знака подстановки при умножении справа на произвольную транспозицию. Разложение подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов).

'''Лекция 7''' (17.10.2016). Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц.

'''Лекция 8''' (31.10.2016). Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

'''Лекция 9''' (7.11.2016). Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства.

'''Лекция 10''' (14.11.2016). Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

'''Лекция 11''' (21.11.2016). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

'''Лекция 12''' (28.11.2016). Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства, координаты вектора в базисе. Базис как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

'''Лекция 13''' (5.12.2016). Эквивалентные условия, определяющие конечномерное векторное пространство размерности n. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 14''' (12.12.2016). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

==== 3-4 модули ====

'''Лекция 15''' (19.12.2016). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

'''Лекция 16''' (16.01.2017). Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

'''Лекция 17''' (23.01.2017). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений.

'''Лекция 18''' (30.01.2017). Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры.

'''Лекция 19''' (6.02.2017). Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Утверждение о том, что всякое подпространство в F^n является множеством решений некоторой однородной системы линейных уравнений. Билинейные функции (формы) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису.

'''Лекция 20''' (13.02.2017). Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

'''Лекция 21''' (20.02.2017). Угловые миноры матрицы квадратичной формы. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры.

'''Лекция 22''' (27.02.2017). Следствие метода Якоби: вычисление отрицательного индекса инерции квадратичной формы над R. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

'''Лекция 23''' (6.03.2017). Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Ортогональные и ортонормированные системы векторов евклидова пространства, ортогональные и ортонормированные базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (13.03.2017). Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства.

'''Лекция 25''' (20.03.2017). Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Смешанное произведение векторов, его выражение в координатах, критерий компланарности трёх векторов. Векторное произведение, критерий коллинеарности двух векторов. Связь векторного произведения со смешанным произведением. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Двойное векторное произведение, тождество Якоби. Выражение векторного произведения в координатах. Связь множества решений системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы.

'''Лекция 26''' (5.04.2017). Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки.

'''Лекция 27''' (12.04.2017). Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости, трёх плоскостей в R^3. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы (линейные преобразования). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя.

'''Лекция 28''' (19.04.2017). Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах существования базиса из собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве.

'''Лекция 29''' (26.04.2017). Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора, связь между ними. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений. Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве.

'''Лекция 30''' (10.05.2017). Билинейные функции, связанные с линейным оператором в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его существование и единственность. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Самосопряжённость оператора ортогонального проектирования на подпространство. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, пять эквивалентных условий.

'''Лекция 31''' (17.05.2017). Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Теорема о сингулярных базисах для линейного отображения евклидовых пространств. Сингулярное разложение матрицы и её сингулярные значения.

=== Листки с задачами ===

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/f3epqb7rs71r995/LA_16-17_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

до 6 ноября включительно разрешается сдавать любое количество задач;

с 7 по 13 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более шести''' задач;

13 ноября — последний день приёма задач

[https://www.dropbox.com/s/wmhg3cqj7sop14l/LA_16-17_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

18 декабря — последний день приёма задач

с 12 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 6 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

[https://www.dropbox.com/s/c6dkx76ncb6ddre/LA_16-17_Stream2_Sheet3.pdf?dl=0 '''Листок 3''']. Конструкции, связанные с линейными отображениями

Сроки сдачи листка 3:

19 марта — последний день приёма задач

с 13 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 6 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более восьми''' задач

[https://www.dropbox.com/s/j7vo5f9o7drbjwk/LA_16-17_Stream2_Sheet4.pdf?dl=0 '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

14 июня — последний день приёма задач

других ограничений нет

=== Лабораторные работы ===

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не затирайте условий задач. Задание должно быть выполнено на языке Python.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему [http://anytask.org AnyTask]. Инвайты для регистрации на курс:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 163 !! 164 !! 165 !! 166 !! 167 !! 168
|-
|| erCwXX3 || FjduzdE || 078wQmj || d8Lfn5Y || 5JCnwSR || HNJ3zEn
|}

Краткое руководство по работе с системой [https://www.dropbox.com/s/fl2pyq5fruxchyw/manual_student.pdf?dl=0 прилагается].

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду] (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [mailto:st-fedotov@yandex-team.ru st-fedotov@yandex-team.ru]

'''Внимание:''' тема письма должна начинаться с '''[ФКН - лабораторная N]''', где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

==== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ====

'''Срок:'''

5 декабря 23:30 для групп 164-168

7 декабря 23:30 для группы 163

[https://www.dropbox.com/s/gqvszs55cl5519o/HSE%20Linalg%20Lab%20Fall%202016.ipynb?dl=0 '''Условие''']

==== Лабораторная работа 2 (3-й модуль) ====

'''Срок:''' 5 апреля 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/p9zegynwx1kgt3d/AABjR9UCqD0aihbuzcnIobgAa?dl=0 '''тут'''].

==== Лабораторная работа 3 (4-й модуль) ====

'''Срок:''' 7 июня 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/xht3w65grfgofd9/AAB2ky5DaBlxvJX4Wgd6Efu9a?dl=0 '''тут'''].

=== Контрольные работы ===
==== 2-й модуль ====

Контрольная работа состоялась 19 ноября в 12:10 в аудиториях 622 и 509.

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/p5ceogf3zhaplra/LA_16-17_Stream2_Test1.pdf?dl=0 '''Условия задач из контрольной''']

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.
*Решение систем линейных уравнений [82--89, 567--581, 689--704, 712--720]
*Действия с матрицами [788--798, 801, 805, 822, 824, 836--845, 861--870, 937]
*Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
*Определители 2-го и 3-го порядка [1--12, 43--60]
*Определители произвольного порядка: определение [188--206]
*Вычисление определителей произвольного порядка [257--269, 279, 316]

==== 4-й модуль ====

Дата-время: 12 мая, 15:10

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства: П 1317, 1318, 1320--1322; К 35.14, 35.15

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434--1438, 1441--1444, 1445, 1446, 1449, 1450; К 39.15, 39.16

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения: К 39.5; задача 2(б) из ИДЗ-4

*Билинейные функции, квадратичные формы и их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175--1186; К 38.18(а--г)

*Исследование квадратичных форм на положительную определённость: П 1212--1216; К 38.11(а--г)

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357--1363; К 43.7(а--г), 43.15(а--в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370--1372; К 43.19(а--в)

*Расстояние от точки до линейного многообразия: П 1374; К 43.21(а--г), 51.7

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28--26.37, 26.39--26.47, 26.50, 27.34, 27.39--27.42, 31.1--31.3, 31.5--31.8, 31.21--31.25, 31.27--31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 27.38, 31.13--31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 32.28--32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38--32.40

*Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису: П 1452--1454; К 39.19--39.21

*Собственные векторы и собственные значения линейных операторов: П 1465--1474; К 40.15

*Диагонализуемость линейных операторов: П 1479--1483; К 40.16

=== Коллоквиумы ===

'''Формат проведения коллоквиумов'''

Этап 1. Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат не выше 3 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат 4, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 1. Если результат 5, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 2.

Этап 2. Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего начинается разговор с принимающим (как правило, другим). По результатам разговора выставляется окончательная оценка.

==== 2-й модуль ====

Даты коллоквиума: 9 и 10 декабря.

[https://www.dropbox.com/s/yzxftul500urq29/LA_16-17_Stream2_Definitions1.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/m6lqqwff9p1bj9e/LA_16-17_Stream2_Questions1.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

==== 4-й модуль ====

Даты коллоквиума: 26 и 27 мая

[https://www.dropbox.com/s/fp7kw3m6iqnwyrm/LA_16-17_Stream2_Definitions2.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/cpjzqa64rzmgkzx/LA_16-17_Stream2_Questions2.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

=== Экзамен 2-й модуль ===

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 22 декабря, 10:30

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

[https://www.dropbox.com/s/jf2vnoht5e1f6qm/LA_16-17_Stream2_Exam1.pdf?dl=0 '''Условия задач с экзамена''']

Задачи для подготовки к экзамену (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Системы линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720, 724–732; К 8.1, 8.2, 8.4
*Действия с матрицами: П 788–798, 801, 805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.4, 18.1, 18.3, 18.8–18.11
*Подстановки: П 125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители: П 1–12, 43–60, 188–206, 212–214, 224– 232, 236–240, 257–269, 279, 316; К 9.1, 9.2, 10.1–10.4, 11.1–11.4, 12.1, 12.2, 13.1
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
*Векторные пространства, линейная зависимость, базис, подпространства: П 639–644, 665–669, 672–676, 679–681, 1285–1293, 1297–1304, 1308, 1310, 1311, 1824–1828; К 34.1–34.4, 35.1–35.3, 35.11
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, К 7.1, 7.2

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=2074432488 168]
|}

==== 3-4 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты 2-й контрольной работы на основном потоке'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=2074432488 168]
|}

== Кстати ==

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-05-30T09:38:47Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ161 !! БПМИ162 !! БПМИ163 !! БПМИ164 !! БПМИ165 !! БПМИ166 !! БПМИ167 !! БПМИ168
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] ||colspan="2"| [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент ||colspan="2"| [mailto:beloppolina@gmail.com Полина Белопашенцева], [mailto:georgiy-sh@ya.ru Георгий Шумкин] || [mailto:rakhaydurov@edu.hse.ru Руслан Хайдуров] || [mailto:eterniusgrv@gmail.com Вадим Гринберг] || [mailto:pvl.kovalev@gmail.com Павел Ковалёв] || [mailto:n.v.bakaykina@gmail.com Наталья Бакайкина] || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский] || [mailto:valerystar@inbox.ru Валерия Старичкова]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Дмитрий Игоревич Пионтковский || || 18:30–20, ауд. 507 || || || 15:10–16:30, Шаболовка 26, ауд. 5413
|-
| <center>2</center> || Всеволод Леонидович Чернышев || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>3</center> || Роман Сергеевич Авдеев || 15:40–17:40, ауд. 623 || || 15:40–17:40, ауд. 623 (с 17 мая) || ||
|-
| <center>4</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || || 9:00–10:30, ауд. 511
|-
| <center>5</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || 15:00–17:00, ауд. 607||
|-
| <center>6</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || 13:40–17:00, ауд. 607 || ||
|-
| <center>7</center> || Полина Белопашенцева || || || || || 16:40–18:00, ауд.??
|-
| <center>8</center> || Георгий Шумкин || || || || || 13:40–15.00, ауд.  618
|-
| <center>9</center> || Руслан Хайдуров || || 13:40–22:00, ауд. ?? || || ||
|-
| <center>10</center> || Вадим Гринберг || || 16:40–18:10, ауд. ?? || || || 16:40–18:10, ауд. 308
|-
| <center>11</center> || Павел Ковалёв || || 16:40–18:00 || || ||
|-
| <center>12</center> || Наталья Бакайкина || || || 15:00–16:30 || ||
|-
| <center>13</center> || Александр Чернявский ||15:00–16:30, ауд. 313 || || || ||
|-
| <center>14</center> || Валерия Старичкова || || || || 13:40–15:00 ||
|}

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Информация для пилотного потока ==

=== Краткое содержание лекций ===

'''Лекция 1''' (6.09.2016). Геометрия ''n''-мерного арифметического пространства.

'''Лекция 2''' (13.09.2016). Матрицы и основные операции над ними.

'''Лекция 3''' (20.09.2016). Элементарные преобразования строк матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

'''Лекция 4''' (27.09.2016). Существование и единственность канонического вида матрицы. Обратная матрица.

'''Лекция 5''' (4.10.2016). Обратимость невырожденных матриц. Линейное пространство. Подпространства, линейные оболочки.

'''Лекция 6''' (11.10.2016). Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.

'''Лекция 7''' (18.10.2016). Столбцовый и строчный ранг матрицы, теорема об их равенстве. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

'''Лекция 8''' (1.11.2016). Теорема Кронекера-Капелли. Размерность линейного многообразия. Сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями.

'''Лекция 9''' (8.11.2016). Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм. Теорема о том, что все пространства одной конечной размерности изоморфны друг другу.

'''Лекция 10''' (15.11.2016). Матрица перехода между двумя базисами. Формула замены координат. Определитель матрицы порядка 2, ориентированная площадь. Подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

'''Лекция 11''' (22.11.2016). Определитель треугольной матрицы. Определитель как полилинейная функция строк. Умножение подстановок. Изменение знака подстановки при умножении на транспозицию. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы.

'''Лекция 12''' (29.11.2016). Определитель как единственная полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, равная 1 на единичной матрице. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Формула разложения определителя по строке. Знак произведения подстановок и знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 13''' (6.12.2016). Приложения определителей: формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений; формула обратной матрицы; определение ранга матрицы через миноры (ранг Фробениуса).

'''Лекция 14''' (13.12.2016). Комплексные числа.

'''Лекция 15''' (10.01.2017). Поле. Примеры полей. Линейные пространства над полем. Комплексификация и овеществление. Линейное отображение и линейный оператор: определение и геометрические примеры.

'''Лекция 16''' (17.01.2017). Новые примеры линейных отображений. Множество линейных отображений Hom(U,V) как линейное пространство. Линейные функционалы и двойственное пространство. Понятие двойственного базиса, размерность двойственного пространства. Идея теории категорий, категория линейных пространств. Контравариантные и ковариантные функторы.
Матрица линейного отображения: эквивалентность двух определений. Размерность линейного пространства Hom(U,V).

'''Лекция 17''' (25.01.2017).
Матрица композиции линейных отображений. Матрица изоморфизма. Замена координат и матрица линейного отображения. Замена координат в двойственном пространстве, понятие ковектора. Ядро и образ линейного отображения, их связи с матрицей линейного отображения. Короткая точная последовательность. Ранг, определитель и след линейного оператора.

'''Лекция 18''' (31.01.2017). Инвариантные пространства линейного оператора, инвариантность его ядра и образа. Прямая сумма нескольких подпространств. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство или прямую сумму таких подпространств. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен линейного оператора. Определитель, след и характеристический многочлен как инварианты линейного оператора.

'''Лекция 19''' (7.02.2017). Характеристический многочлен как инвариант линейного оператора. Алгебраически замкнутое поле. Кратности и количество корней многочлена над алгебраически замкнутым полем. Формулы Виета. Связь определителя и следа комплексного оператора с собственными значениями. Диагонализуемые операторы (операторы простой структуры). Оператор дифференцирования многочленов как пример не диагонализуемого оператора.

'''Лекция 20''' (14.02.2017). Корневые векторы и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

'''Лекция 21''' (21.02.2017). Теорема о приведении матрицы линейного оператора к верхнетреугольному виду. Формулировка теоремы о жордановой форме линейного оператора в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем. Единственность жордановой формы.

'''Лекция 22''' (28.02.2017). Существование аннулирующего многочлена линейного оператора над произвольным полем. Теорема Гамильтона--Кэли. Минимальный многочлен комплексного линейного оператора.

Евклидово пространство. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базис.

'''Лекция 23''' (7.3.2017). Связь матриц Грама различных базисов. Существование и единственность проекции и ортогональной составляющей вектора относительно подпространства. Существование и метод построения ортонормированного базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Объем k-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве, его связь с определителем матрицы Грама. Ориентированный объем n-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (15.3.2017). Эрмитово пространство, его сходство и различие с евклидовым пространством. Сопряженные линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. Самосопряженный (эрмитов) оператор. Нормальный оператор, его основное свойство.

'''Лекция 25''' (22.3.2017). Ортогональные и унитарные операторы. Ортогональные и унитарные матрицы. Канонический вид унитарного оператора и ортогонального оператора.

'''Лекция 26''' (4.4.2017). Мультипликативные разложения матриц. LU разложение. Положительно определенный самосопряженный оператор. SU разложение (полярное разложение). Сингулярные числа матрицы. Сингулярное разложение (SVD). QR разложение.

'''Лекция 27''' (11.4.2017). Билинейные формы. Матрица билинейной формы, ее поведение при замене координат. Квадратичные формы. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы.

'''Лекция 28''' (18.4.2017). Методы приведения действительных квадратичных форм к каноническому виду (метод Лагранжа, приведение к главным осям, метод Якоби). Критерий Сильвестра.

'''Лекция 29''' (25.4.2017). Закон инерции действительных квадратичных форм.

'''Лекция 30''' (16.5.2017). Начала аналитической геометрии: линейные многообразия, способы задания плоскостей и прямых в трехмерном пространстве, задачи взаимного расположения плоскостей и прямых.

'''Лекция 31''' (23.5.2017). Векторное и смешанное произведение в трехмерном пространстве, их применение в метрических задачах. Векторное и смешанное произведение в многомерных пространствах. Аффинные преобразования и движения n-мерного действительного пространства, теорема об их разложении
в сумму параллельного переноса и линейного (в случае движения -- ортогонального) оператора.

'''Лекция 31''' (30.5.2017). Канонический вид квадрики в n-мерном действительном пространстве. Классификация квадрик на плоскости. Конические сечения.

Следующую лекцию предполагается посвятить поверхностям второго порядка в трехмерном пространстве.

=== Порядок формирования итоговой оценки для пилотного потока ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

==== 4-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам третьего модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

== Информация для основного потока ==

=== Порядок формирования итоговой оценки ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,2 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

==== 4-й модуль ====

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

=== Краткое содержание лекций ===

==== 1-2 модули ====

'''Лекция 1''' (5.09.2016). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (12.09.2016). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (19.09.2016). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (26.09.2016). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Матричные единицы. Умножение на матричную единицу. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (3.10.2016). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении справа на элементарную транспозицию.

'''Лекция 6''' (10.10.2016). Изменение знака подстановки при умножении справа на произвольную транспозицию. Разложение подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов).

'''Лекция 7''' (17.10.2016). Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц.

'''Лекция 8''' (31.10.2016). Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

'''Лекция 9''' (7.11.2016). Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства.

'''Лекция 10''' (14.11.2016). Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

'''Лекция 11''' (21.11.2016). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

'''Лекция 12''' (28.11.2016). Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства, координаты вектора в базисе. Базис как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

'''Лекция 13''' (5.12.2016). Эквивалентные условия, определяющие конечномерное векторное пространство размерности n. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 14''' (12.12.2016). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

==== 3-4 модули ====

'''Лекция 15''' (19.12.2016). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

'''Лекция 16''' (16.01.2017). Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

'''Лекция 17''' (23.01.2017). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений.

'''Лекция 18''' (30.01.2017). Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры.

'''Лекция 19''' (6.02.2017). Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Утверждение о том, что всякое подпространство в F^n является множеством решений некоторой однородной системы линейных уравнений. Билинейные функции (формы) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису.

'''Лекция 20''' (13.02.2017). Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

'''Лекция 21''' (20.02.2017). Угловые миноры матрицы квадратичной формы. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры.

'''Лекция 22''' (27.02.2017). Следствие метода Якоби: вычисление отрицательного индекса инерции квадратичной формы над R. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

'''Лекция 23''' (6.03.2017). Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Ортогональные и ортонормированные системы векторов евклидова пространства, ортогональные и ортонормированные базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (13.03.2017). Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства.

'''Лекция 25''' (20.03.2017). Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Смешанное произведение векторов, его выражение в координатах, критерий компланарности трёх векторов. Векторное произведение, критерий коллинеарности двух векторов. Связь векторного произведения со смешанным произведением. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Двойное векторное произведение, тождество Якоби. Выражение векторного произведения в координатах. Связь множества решений системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы.

'''Лекция 26''' (5.04.2017). Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки.

'''Лекция 27''' (12.04.2017). Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости, трёх плоскостей в R^3. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы (линейные преобразования). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя.

'''Лекция 28''' (19.04.2017). Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах существования базиса из собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве.

'''Лекция 29''' (26.04.2017). Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора, связь между ними. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений. Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве.

'''Лекция 30''' (10.05.2017). Билинейные функции, связанные с линейным оператором в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его существование и единственность. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Самосопряжённость оператора ортогонального проектирования на подпространство. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, пять эквивалентных условий.

'''Лекция 31''' (17.05.2017). Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Теорема о сингулярных базисах для линейного отображения евклидовых пространств. Сингулярное разложение матрицы и её сингулярные значения.

=== Листки с задачами ===

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/f3epqb7rs71r995/LA_16-17_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

до 6 ноября включительно разрешается сдавать любое количество задач;

с 7 по 13 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более шести''' задач;

13 ноября — последний день приёма задач

[https://www.dropbox.com/s/wmhg3cqj7sop14l/LA_16-17_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

18 декабря — последний день приёма задач

с 12 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 6 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

[https://www.dropbox.com/s/c6dkx76ncb6ddre/LA_16-17_Stream2_Sheet3.pdf?dl=0 '''Листок 3''']. Конструкции, связанные с линейными отображениями

Сроки сдачи листка 3:

19 марта — последний день приёма задач

с 13 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 6 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более восьми''' задач

[https://www.dropbox.com/s/j7vo5f9o7drbjwk/LA_16-17_Stream2_Sheet4.pdf?dl=0 '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

14 июня — последний день приёма задач

других ограничений нет

=== Лабораторные работы ===

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не затирайте условий задач. Задание должно быть выполнено на языке Python.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему [http://anytask.org AnyTask]. Инвайты для регистрации на курс:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 163 !! 164 !! 165 !! 166 !! 167 !! 168
|-
|| erCwXX3 || FjduzdE || 078wQmj || d8Lfn5Y || 5JCnwSR || HNJ3zEn
|}

Краткое руководство по работе с системой [https://www.dropbox.com/s/fl2pyq5fruxchyw/manual_student.pdf?dl=0 прилагается].

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду] (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [mailto:st-fedotov@yandex-team.ru st-fedotov@yandex-team.ru]

'''Внимание:''' тема письма должна начинаться с '''[ФКН - лабораторная N]''', где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

==== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ====

'''Срок:'''

5 декабря 23:30 для групп 164-168

7 декабря 23:30 для группы 163

[https://www.dropbox.com/s/gqvszs55cl5519o/HSE%20Linalg%20Lab%20Fall%202016.ipynb?dl=0 '''Условие''']

==== Лабораторная работа 2 (3-й модуль) ====

'''Срок:''' 5 апреля 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/p9zegynwx1kgt3d/AABjR9UCqD0aihbuzcnIobgAa?dl=0 '''тут'''].

==== Лабораторная работа 3 (4-й модуль) ====

'''Срок:''' 7 июня 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/xht3w65grfgofd9/AAB2ky5DaBlxvJX4Wgd6Efu9a?dl=0 '''тут'''].

=== Контрольные работы ===
==== 2-й модуль ====

Контрольная работа состоялась 19 ноября в 12:10 в аудиториях 622 и 509.

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/p5ceogf3zhaplra/LA_16-17_Stream2_Test1.pdf?dl=0 '''Условия задач из контрольной''']

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.
*Решение систем линейных уравнений [82--89, 567--581, 689--704, 712--720]
*Действия с матрицами [788--798, 801, 805, 822, 824, 836--845, 861--870, 937]
*Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
*Определители 2-го и 3-го порядка [1--12, 43--60]
*Определители произвольного порядка: определение [188--206]
*Вычисление определителей произвольного порядка [257--269, 279, 316]

==== 4-й модуль ====

Дата-время: 12 мая, 15:10

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства: П 1317, 1318, 1320--1322; К 35.14, 35.15

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434--1438, 1441--1444, 1445, 1446, 1449, 1450; К 39.15, 39.16

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения: К 39.5; задача 2(б) из ИДЗ-4

*Билинейные функции, квадратичные формы и их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175--1186; К 38.18(а--г)

*Исследование квадратичных форм на положительную определённость: П 1212--1216; К 38.11(а--г)

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357--1363; К 43.7(а--г), 43.15(а--в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370--1372; К 43.19(а--в)

*Расстояние от точки до линейного многообразия: П 1374; К 43.21(а--г), 51.7

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28--26.37, 26.39--26.47, 26.50, 27.34, 27.39--27.42, 31.1--31.3, 31.5--31.8, 31.21--31.25, 31.27--31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 27.38, 31.13--31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 32.28--32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38--32.40

*Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису: П 1452--1454; К 39.19--39.21

*Собственные векторы и собственные значения линейных операторов: П 1465--1474; К 40.15

*Диагонализуемость линейных операторов: П 1479--1483; К 40.16

=== Коллоквиумы ===

'''Формат проведения коллоквиумов'''

Этап 1. Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат не выше 3 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат 4, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 1. Если результат 5, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 2.

Этап 2. Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего начинается разговор с принимающим (как правило, другим). По результатам разговора выставляется окончательная оценка.

==== 2-й модуль ====

Даты коллоквиума: 9 и 10 декабря.

[https://www.dropbox.com/s/yzxftul500urq29/LA_16-17_Stream2_Definitions1.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/m6lqqwff9p1bj9e/LA_16-17_Stream2_Questions1.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

==== 4-й модуль ====

Даты коллоквиума: 26 и 27 мая

[https://www.dropbox.com/s/fp7kw3m6iqnwyrm/LA_16-17_Stream2_Definitions2.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/cpjzqa64rzmgkzx/LA_16-17_Stream2_Questions2.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

=== Экзамен 2-й модуль ===

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 22 декабря, 10:30

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

[https://www.dropbox.com/s/jf2vnoht5e1f6qm/LA_16-17_Stream2_Exam1.pdf?dl=0 '''Условия задач с экзамена''']

Задачи для подготовки к экзамену (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Системы линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720, 724–732; К 8.1, 8.2, 8.4
*Действия с матрицами: П 788–798, 801, 805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.4, 18.1, 18.3, 18.8–18.11
*Подстановки: П 125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители: П 1–12, 43–60, 188–206, 212–214, 224– 232, 236–240, 257–269, 279, 316; К 9.1, 9.2, 10.1–10.4, 11.1–11.4, 12.1, 12.2, 13.1
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
*Векторные пространства, линейная зависимость, базис, подпространства: П 639–644, 665–669, 672–676, 679–681, 1285–1293, 1297–1304, 1308, 1310, 1311, 1824–1828; К 34.1–34.4, 35.1–35.3, 35.11
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, К 7.1, 7.2

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=2074432488 168]
|}

==== 3-4 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты 2-й контрольной работы на основном потоке'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1N0SRiK23h1jR9do1_gFdJJflnPvWkwfm68GpejvsSOI/edit#gid=2074432488 168]
|}

== Кстати ==

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-05-17T01:10:43Z

Piont:

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ161 !! БПМИ162 !! БПМИ163 !! БПМИ164 !! БПМИ165 !! БПМИ166 !! БПМИ167 !! БПМИ168
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] ||colspan="2"| [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент ||colspan="2"| [mailto:beloppolina@gmail.com Полина Белопашенцева], [mailto:georgiy-sh@ya.ru Георгий Шумкин] || [mailto:rakhaydurov@edu.hse.ru Руслан Хайдуров] || [mailto:eterniusgrv@gmail.com Вадим Гринберг] || [mailto:pvl.kovalev@gmail.com Павел Ковалёв] || [mailto:n.v.bakaykina@gmail.com Наталья Бакайкина] || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский] || [mailto:valerystar@inbox.ru Валерия Старичкова]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Дмитрий Игоревич Пионтковский || || 18:30–20, ауд. 507 || || || 15:10–16:30, Шаболовка 26, ауд. 5413
|-
| <center>2</center> || Всеволод Леонидович Чернышев || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>3</center> || Роман Сергеевич Авдеев || 15:40–17:40, ауд. 623 || || 15:40–17:40, ауд. 623 (с 17 мая) || ||
|-
| <center>4</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || || 9:00–10:30, ауд. 511
|-
| <center>5</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || 15:00–17:00, ауд. 607||
|-
| <center>6</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || 13:40–17:00, ауд. 607 || ||
|-
| <center>7</center> || Полина Белопашенцева || || || || || 16:40–18:00, ауд.??
|-
| <center>8</center> || Георгий Шумкин || || || || || 13:40–15.00, ауд.  618
|-
| <center>9</center> || Руслан Хайдуров || || 13:40–22:00, ауд. ?? || || ||
|-
| <center>10</center> || Вадим Гринберг || || 16:40–18:10, ауд. ?? || || || 16:40–18:10, ауд. 308
|-
| <center>11</center> || Павел Ковалёв || || 16:40–18:00 || || ||
|-
| <center>12</center> || Наталья Бакайкина || || || 15:00–16:30 || ||
|-
| <center>13</center> || Александр Чернявский ||15:00–16:30, ауд. 313 || || || ||
|-
| <center>14</center> || Валерия Старичкова || || || || 13:40–15:00 ||
|}

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Информация для пилотного потока ==

=== Краткое содержание лекций ===

'''Лекция 1''' (6.09.2016). Геометрия ''n''-мерного арифметического пространства.

'''Лекция 2''' (13.09.2016). Матрицы и основные операции над ними.

'''Лекция 3''' (20.09.2016). Элементарные преобразования строк матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

'''Лекция 4''' (27.09.2016). Существование и единственность канонического вида матрицы. Обратная матрица.

'''Лекция 5''' (4.10.2016). Обратимость невырожденных матриц. Линейное пространство. Подпространства, линейные оболочки.

'''Лекция 6''' (11.10.2016). Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.

'''Лекция 7''' (18.10.2016). Столбцовый и строчный ранг матрицы, теорема об их равенстве. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

'''Лекция 8''' (1.11.2016). Теорема Кронекера-Капелли. Размерность линейного многообразия. Сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями.

'''Лекция 9''' (8.11.2016). Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм. Теорема о том, что все пространства одной конечной размерности изоморфны друг другу.

'''Лекция 10''' (15.11.2016). Матрица перехода между двумя базисами. Формула замены координат. Определитель матрицы порядка 2, ориентированная площадь. Подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

'''Лекция 11''' (22.11.2016). Определитель треугольной матрицы. Определитель как полилинейная функция строк. Умножение подстановок. Изменение знака подстановки при умножении на транспозицию. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы.

'''Лекция 12''' (29.11.2016). Определитель как единственная полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, равная 1 на единичной матрице. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Формула разложения определителя по строке. Знак произведения подстановок и знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 13''' (6.12.2016). Приложения определителей: формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений; формула обратной матрицы; определение ранга матрицы через миноры (ранг Фробениуса).

'''Лекция 14''' (13.12.2016). Комплексные числа.

'''Лекция 15''' (10.01.2017). Поле. Примеры полей. Линейные пространства над полем. Комплексификация и овеществление. Линейное отображение и линейный оператор: определение и геометрические примеры.

'''Лекция 16''' (17.01.2017). Новые примеры линейных отображений. Множество линейных отображений Hom(U,V) как линейное пространство. Линейные функционалы и двойственное пространство. Понятие двойственного базиса, размерность двойственного пространства. Идея теории категорий, категория линейных пространств. Контравариантные и ковариантные функторы.
Матрица линейного отображения: эквивалентность двух определений. Размерность линейного пространства Hom(U,V).

'''Лекция 17''' (25.01.2017).
Матрица композиции линейных отображений. Матрица изоморфизма. Замена координат и матрица линейного отображения. Замена координат в двойственном пространстве, понятие ковектора. Ядро и образ линейного отображения, их связи с матрицей линейного отображения. Короткая точная последовательность. Ранг, определитель и след линейного оператора.

'''Лекция 18''' (31.01.2017). Инвариантные пространства линейного оператора, инвариантность его ядра и образа. Прямая сумма нескольких подпространств. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство или прямую сумму таких подпространств. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен линейного оператора. Определитель, след и характеристический многочлен как инварианты линейного оператора.

'''Лекция 19''' (7.02.2017). Характеристический многочлен как инвариант линейного оператора. Алгебраически замкнутое поле. Кратности и количество корней многочлена над алгебраически замкнутым полем. Формулы Виета. Связь определителя и следа комплексного оператора с собственными значениями. Диагонализуемые операторы (операторы простой структуры). Оператор дифференцирования многочленов как пример не диагонализуемого оператора.

'''Лекция 20''' (14.02.2017). Корневые векторы и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

'''Лекция 21''' (21.02.2017). Теорема о приведении матрицы линейного оператора к верхнетреугольному виду. Формулировка теоремы о жордановой форме линейного оператора в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем. Единственность жордановой формы.

'''Лекция 22''' (28.02.2017). Существование аннулирующего многочлена линейного оператора над произвольным полем. Теорема Гамильтона--Кэли. Минимальный многочлен комплексного линейного оператора.

Евклидово пространство. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базис.

'''Лекция 23''' (7.3.2017). Связь матриц Грама различных базисов. Существование и единственность проекции и ортогональной составляющей вектора относительно подпространства. Существование и метод построения ортонормированного базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Объем k-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве, его связь с определителем матрицы Грама. Ориентированный объем n-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (15.3.2017). Эрмитово пространство, его сходство и различие с евклидовым пространством. Сопряженные линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. Самосопряженный (эрмитов) оператор. Нормальный оператор, его основное свойство.

'''Лекция 25''' (22.3.2017). Ортогональные и унитарные операторы. Ортогональные и унитарные матрицы. Канонический вид унитарного оператора и ортогонального оператора.

'''Лекция 26''' (4.4.2017). Мультипликативные разложения матриц. LU разложение. Положительно определенный самосопряженный оператор. SU разложение (полярное разложение). Сингулярные числа матрицы. Сингулярное разложение (SVD). QR разложение.

'''Лекция 27''' (11.4.2017). Билинейные формы. Матрица билинейной формы, ее поведение при замене координат. Квадратичные формы. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы.

'''Лекция 28''' (18.4.2017). Методы приведения действительных квадратичных форм к каноническому виду (метод Лагранжа, приведение к главным осям, метод Якоби). Критерий Сильвестра.

'''Лекция 29''' (25.4.2017). Закон инерции действительных квадратичных форм.

'''Лекция 30''' (16.5.2017). Начала аналитической геометрии: линейные многообразия, способы задания плоскостей и прямых в трехмерном пространстве, задачи взаимного расположения плоскостей и прямых.

=== Порядок формирования итоговой оценки для пилотного потока ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

==== 4-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам третьего модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

== Информация для основного потока ==

=== Порядок формирования итоговой оценки ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,2 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

==== 4-й модуль ====

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

=== Краткое содержание лекций ===

==== 1-2 модули ====

'''Лекция 1''' (5.09.2016). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (12.09.2016). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (19.09.2016). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (26.09.2016). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Матричные единицы. Умножение на матричную единицу. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (3.10.2016). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении справа на элементарную транспозицию.

'''Лекция 6''' (10.10.2016). Изменение знака подстановки при умножении справа на произвольную транспозицию. Разложение подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов).

'''Лекция 7''' (17.10.2016). Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц.

'''Лекция 8''' (31.10.2016). Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

'''Лекция 9''' (7.11.2016). Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства.

'''Лекция 10''' (14.11.2016). Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

'''Лекция 11''' (21.11.2016). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

'''Лекция 12''' (28.11.2016). Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства, координаты вектора в базисе. Базис как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

'''Лекция 13''' (5.12.2016). Эквивалентные условия, определяющие конечномерное векторное пространство размерности n. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 14''' (12.12.2016). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

==== 3-4 модули ====

'''Лекция 15''' (19.12.2016). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

'''Лекция 16''' (16.01.2017). Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

'''Лекция 17''' (23.01.2017). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений.

'''Лекция 18''' (30.01.2017). Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры.

'''Лекция 19''' (6.02.2017). Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Утверждение о том, что всякое подпространство в F^n является множеством решений некоторой однородной системы линейных уравнений. Билинейные функции (формы) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису.

'''Лекция 20''' (13.02.2017). Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

'''Лекция 21''' (20.02.2017). Угловые миноры матрицы квадратичной формы. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры.

'''Лекция 22''' (27.02.2017). Следствие метода Якоби: вычисление отрицательного индекса инерции квадратичной формы над R. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

'''Лекция 23''' (6.03.2017). Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Ортогональные и ортонормированные системы векторов евклидова пространства, ортогональные и ортонормированные базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (13.03.2017). Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства.

'''Лекция 25''' (20.03.2017). Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Смешанное произведение векторов, его выражение в координатах, критерий компланарности трёх векторов. Векторное произведение, критерий коллинеарности двух векторов. Связь векторного произведения со смешанным произведением. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Двойное векторное произведение, тождество Якоби. Выражение векторного произведения в координатах. Связь множества решений системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы.

'''Лекция 26''' (5.04.2017). Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки.

'''Лекция 27''' (12.04.2017). Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости, трёх плоскостей в R^3. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы (линейные преобразования). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя.

'''Лекция 28''' (19.04.2017). Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах существования базиса из собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве.

'''Лекция 29''' (26.04.2017). Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора, связь между ними. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений. Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве.

'''Лекция 30''' (10.05.2017). Билинейные функции, связанные с линейным оператором в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его существование и единственность. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Самосопряжённость оператора ортогонального проектирования на подпространство. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, пять эквивалентных условий.

=== Листки с задачами ===

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/f3epqb7rs71r995/LA_16-17_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

до 6 ноября включительно разрешается сдавать любое количество задач;

с 7 по 13 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более шести''' задач;

13 ноября — последний день приёма задач

[https://www.dropbox.com/s/wmhg3cqj7sop14l/LA_16-17_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

18 декабря — последний день приёма задач

с 12 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 6 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

[https://www.dropbox.com/s/c6dkx76ncb6ddre/LA_16-17_Stream2_Sheet3.pdf?dl=0 '''Листок 3''']. Конструкции, связанные с линейными отображениями

Сроки сдачи листка 3:

19 марта — последний день приёма задач

с 13 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 6 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более восьми''' задач

[https://www.dropbox.com/s/j7vo5f9o7drbjwk/LA_16-17_Stream2_Sheet4.pdf?dl=0 '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4 будут объявлены позднее.

=== Лабораторные работы ===

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не затирайте условий задач. Задание должно быть выполнено на языке Python.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему [http://anytask.org AnyTask]. Инвайты для регистрации на курс:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 163 !! 164 !! 165 !! 166 !! 167 !! 168
|-
|| erCwXX3 || FjduzdE || 078wQmj || d8Lfn5Y || 5JCnwSR || HNJ3zEn
|}

Краткое руководство по работе с системой [https://www.dropbox.com/s/fl2pyq5fruxchyw/manual_student.pdf?dl=0 прилагается].

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду] (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [mailto:st-fedotov@yandex-team.ru st-fedotov@yandex-team.ru]

'''Внимание:''' тема письма должна начинаться с '''[ФКН - лабораторная N]''', где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

==== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ====

'''Срок:'''

5 декабря 23:30 для групп 164-168

7 декабря 23:30 для группы 163

[https://www.dropbox.com/s/gqvszs55cl5519o/HSE%20Linalg%20Lab%20Fall%202016.ipynb?dl=0 '''Условие''']

==== Лабораторная работа 2 (3-й модуль) ====

'''Срок:''' 5 апреля 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/p9zegynwx1kgt3d/AABjR9UCqD0aihbuzcnIobgAa?dl=0 '''тут'''].

=== Контрольные работы ===
==== 2-й модуль ====

Контрольная работа состоялась 19 ноября в 12:10 в аудиториях 622 и 509.

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/p5ceogf3zhaplra/LA_16-17_Stream2_Test1.pdf?dl=0 '''Условия задач из контрольной''']

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.
*Решение систем линейных уравнений [82--89, 567--581, 689--704, 712--720]
*Действия с матрицами [788--798, 801, 805, 822, 824, 836--845, 861--870, 937]
*Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
*Определители 2-го и 3-го порядка [1--12, 43--60]
*Определители произвольного порядка: определение [188--206]
*Вычисление определителей произвольного порядка [257--269, 279, 316]

==== 4-й модуль ====

Дата-время: 12 мая, 15:10

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства: П 1317, 1318, 1320--1322; К 35.14, 35.15

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434--1438, 1441--1444, 1445, 1446, 1449, 1450; К 39.15, 39.16

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения: К 39.5; задача 2(б) из ИДЗ-4

*Билинейные функции, квадратичные формы и их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175--1186; К 38.18(а--г)

*Исследование квадратичных форм на положительную определённость: П 1212--1216; К 38.11(а--г)

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357--1363; К 43.7(а--г), 43.15(а--в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370--1372; К 43.19(а--в)

*Расстояние от точки до линейного многообразия: П 1374; К 43.21(а--г), 51.7

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28--26.37, 26.39--26.47, 26.50, 27.34, 27.39--27.42, 31.1--31.3, 31.5--31.8, 31.21--31.25, 31.27--31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 27.38, 31.13--31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 32.28--32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38--32.40

*Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису: П 1452--1454; К 39.19--39.21

*Собственные векторы и собственные значения линейных операторов: П 1465--1474; К 40.15

*Диагонализуемость линейных операторов: П 1479--1483; К 40.16

=== Коллоквиумы ===

'''Формат проведения коллоквиумов'''

Этап 1. Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат не выше 3 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат 4, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 1. Если результат 5, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 2.

Этап 2. Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего начинается разговор с принимающим (как правило, другим). По результатам разговора выставляется окончательная оценка.

==== 2-й модуль ====

Даты коллоквиума: 9 и 10 декабря.

[https://www.dropbox.com/s/yzxftul500urq29/LA_16-17_Stream2_Definitions1.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/m6lqqwff9p1bj9e/LA_16-17_Stream2_Questions1.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

==== 4-й модуль ====

Даты коллоквиума: ориентировочно в конце мая

[https://www.dropbox.com/s/fp7kw3m6iqnwyrm/LA_16-17_Stream2_Definitions2.pdf?dl=0 '''Начало списка определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/cpjzqa64rzmgkzx/LA_16-17_Stream2_Questions2.pdf?dl=0 '''Начало списка вопросов на доказательство''']

=== Экзамен 2-й модуль ===

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 22 декабря, 10:30

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

[https://www.dropbox.com/s/jf2vnoht5e1f6qm/LA_16-17_Stream2_Exam1.pdf?dl=0 '''Условия задач с экзамена''']

Задачи для подготовки к экзамену (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Системы линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720, 724–732; К 8.1, 8.2, 8.4
*Действия с матрицами: П 788–798, 801, 805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.4, 18.1, 18.3, 18.8–18.11
*Подстановки: П 125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители: П 1–12, 43–60, 188–206, 212–214, 224– 232, 236–240, 257–269, 279, 316; К 9.1, 9.2, 10.1–10.4, 11.1–11.4, 12.1, 12.2, 13.1
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
*Векторные пространства, линейная зависимость, базис, подпространства: П 639–644, 665–669, 672–676, 679–681, 1285–1293, 1297–1304, 1308, 1310, 1311, 1824–1828; К 34.1–34.4, 35.1–35.3, 35.11
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, К 7.1, 7.2

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=2074432488 168]
|}

==== 3-4 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты 2-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=2074432488 168]
|}

== Кстати ==

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-05-17T01:09:05Z

Piont:

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ161 !! БПМИ162 !! БПМИ163 !! БПМИ164 !! БПМИ165 !! БПМИ166 !! БПМИ167 !! БПМИ168
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] ||colspan="2"| [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент ||colspan="2"| [mailto:beloppolina@gmail.com Полина Белопашенцева], [mailto:georgiy-sh@ya.ru Георгий Шумкин] || [mailto:rakhaydurov@edu.hse.ru Руслан Хайдуров] || [mailto:eterniusgrv@gmail.com Вадим Гринберг] || [mailto:pvl.kovalev@gmail.com Павел Ковалёв] || [mailto:n.v.bakaykina@gmail.com Наталья Бакайкина] || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский] || [mailto:valerystar@inbox.ru Валерия Старичкова]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Дмитрий Игоревич Пионтковский || || 18:30–20, ауд. 507 || || || 15:10–16:30, Шаболовка 26, ауд. 5413
|-
| <center>2</center> || Всеволод Леонидович Чернышев || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>3</center> || Роман Сергеевич Авдеев || 15:40–17:40, ауд. 623 || || 15:40–17:40, ауд. 623 (с 17 мая) || ||
|-
| <center>4</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || || 9:00–10:30, ауд. 511
|-
| <center>5</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || 15:00–17:00, ауд. 607||
|-
| <center>6</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || 13:40–17:00, ауд. 607 || ||
|-
| <center>7</center> || Полина Белопашенцева || || || || || 16:40–18:00, ауд.??
|-
| <center>8</center> || Георгий Шумкин || || || || || 13:40–15.00, ауд.  618
|-
| <center>9</center> || Руслан Хайдуров || || 13:40–22:00, ауд. ?? || || ||
|-
| <center>10</center> || Вадим Гринберг || || 16:40–18:10, ауд. ?? || || || 16:40–18:10, ауд. 308
|-
| <center>11</center> || Павел Ковалёв || || 16:40–18:00 || || ||
|-
| <center>12</center> || Наталья Бакайкина || || || 15:00–16:30 || ||
|-
| <center>13</center> || Александр Чернявский ||15:00–16:30, ауд. 313 || || || ||
|-
| <center>14</center> || Валерия Старичкова || || || || 13:40–15:00 ||
|}

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Информация для пилотного потока ==

=== Краткое содержание лекций ===

'''Лекция 1''' (6.09.2016). Геометрия ''n''-мерного арифметического пространства.

'''Лекция 2''' (13.09.2016). Матрицы и основные операции над ними.

'''Лекция 3''' (20.09.2016). Элементарные преобразования строк матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

'''Лекция 4''' (27.09.2016). Существование и единственность канонического вида матрицы. Обратная матрица.

'''Лекция 5''' (4.10.2016). Обратимость невырожденных матриц. Линейное пространство. Подпространства, линейные оболочки.

'''Лекция 6''' (11.10.2016). Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.

'''Лекция 7''' (18.10.2016). Столбцовый и строчный ранг матрицы, теорема об их равенстве. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

'''Лекция 8''' (1.11.2016). Теорема Кронекера-Капелли. Размерность линейного многообразия. Сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями.

'''Лекция 9''' (8.11.2016). Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм. Теорема о том, что все пространства одной конечной размерности изоморфны друг другу.

'''Лекция 10''' (15.11.2016). Матрица перехода между двумя базисами. Формула замены координат. Определитель матрицы порядка 2, ориентированная площадь. Подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

'''Лекция 11''' (22.11.2016). Определитель треугольной матрицы. Определитель как полилинейная функция строк. Умножение подстановок. Изменение знака подстановки при умножении на транспозицию. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы.

'''Лекция 12''' (29.11.2016). Определитель как единственная полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, равная 1 на единичной матрице. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Формула разложения определителя по строке. Знак произведения подстановок и знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 13''' (6.12.2016). Приложения определителей: формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений; формула обратной матрицы; определение ранга матрицы через миноры (ранг Фробениуса).

'''Лекция 14''' (13.12.2016). Комплексные числа.

'''Лекция 15''' (10.01.2017). Поле. Примеры полей. Линейные пространства над полем. Комплексификация и овеществление. Линейное отображение и линейный оператор: определение и геометрические примеры.

'''Лекция 16''' (17.01.2017). Новые примеры линейных отображений. Множество линейных отображений Hom(U,V) как линейное пространство. Линейные функционалы и двойственное пространство. Понятие двойственного базиса, размерность двойственного пространства. Идея теории категорий, категория линейных пространств. Контравариантные и ковариантные функторы.
Матрица линейного отображения: эквивалентность двух определений. Размерность линейного пространства Hom(U,V).

'''Лекция 17''' (25.01.2017).
Матрица композиции линейных отображений. Матрица изоморфизма. Замена координат и матрица линейного отображения. Замена координат в двойственном пространстве, понятие ковектора. Ядро и образ линейного отображения, их связи с матрицей линейного отображения. Короткая точная последовательность. Ранг, определитель и след линейного оператора.

'''Лекция 18''' (31.01.2017). Инвариантные пространства линейного оператора, инвариантность его ядра и образа. Прямая сумма нескольких подпространств. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство или прямую сумму таких подпространств. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен линейного оператора. Определитель, след и характеристический многочлен как инварианты линейного оператора.

'''Лекция 19''' (7.02.2017). Характеристический многочлен как инвариант линейного оператора. Алгебраически замкнутое поле. Кратности и количество корней многочлена над алгебраически замкнутым полем. Формулы Виета. Связь определителя и следа комплексного оператора с собственными значениями. Диагонализуемые операторы (операторы простой структуры). Оператор дифференцирования многочленов как пример не диагонализуемого оператора.

'''Лекция 20''' (14.02.2017). Корневые векторы и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

'''Лекция 21''' (21.02.2017). Теорема о приведении матрицы линейного оператора к верхнетреугольному виду. Формулировка теоремы о жордановой форме линейного оператора в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем. Единственность жордановой формы.

'''Лекция 22''' (28.02.2017). Существование аннулирующего многочлена линейного оператора над произвольным полем. Теорема Гамильтона--Кэли. Минимальный многочлен комплексного линейного оператора.

Евклидово пространство. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базис.

'''Лекция 23''' (7.3.2017). Связь матриц Грама различных базисов. Существование и единственность проекции и ортогональной составляющей вектора относительно подпространства. Существование и метод построения ортонормированного базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Объем k-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве, его связь с определителем матрицы Грама. Ориентированный объем n-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (15.3.2017). Эрмитово пространство, его сходство и различие с евклидовым пространством. Сопряженные линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. Самосопряженный (эрмитов) оператор. Нормальный оператор, его основное свойство.

'''Лекция 25''' (22.3.2017). Ортогональные и унитарные операторы. Ортогональные и унитарные матрицы. Канонический вид унитарного оператора и ортогонального оператора.

'''Лекция 26''' (4.4.2017). Мультипликативные разложения матриц. LU разложение. Положительно определенный самосопряженный оператор. SU разложение (полярное разложение). Сингулярное разложение (SVD). QR разложение.

'''Лекция 27''' (11.4.2017). Билинейные формы. Матрица билинейной формы, ее поведение при замене координат. Квадратичные формы. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы.

'''Лекция 28''' (18.4.2017). Методы приведения действительных квадратичных форм к каноническому виду (метод Лагранжа, приведение к главным осям, метод Якоби). Критерий Сильвестра.

'''Лекция 29''' (25.4.2017). Закон инерции действительных квадратичных форм.

'''Лекция 30''' (16.5.2017). Начала аналитической геометрии: линейные многообразия, способы задания плоскостей и прямых в трехмерном пространстве, задачи взаимного расположения плоскостей и прямых.

=== Порядок формирования итоговой оценки для пилотного потока ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

==== 4-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам третьего модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

== Информация для основного потока ==

=== Порядок формирования итоговой оценки ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,2 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

==== 4-й модуль ====

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

=== Краткое содержание лекций ===

==== 1-2 модули ====

'''Лекция 1''' (5.09.2016). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (12.09.2016). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (19.09.2016). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (26.09.2016). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Матричные единицы. Умножение на матричную единицу. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (3.10.2016). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении справа на элементарную транспозицию.

'''Лекция 6''' (10.10.2016). Изменение знака подстановки при умножении справа на произвольную транспозицию. Разложение подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов).

'''Лекция 7''' (17.10.2016). Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц.

'''Лекция 8''' (31.10.2016). Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

'''Лекция 9''' (7.11.2016). Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства.

'''Лекция 10''' (14.11.2016). Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

'''Лекция 11''' (21.11.2016). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

'''Лекция 12''' (28.11.2016). Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства, координаты вектора в базисе. Базис как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

'''Лекция 13''' (5.12.2016). Эквивалентные условия, определяющие конечномерное векторное пространство размерности n. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 14''' (12.12.2016). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

==== 3-4 модули ====

'''Лекция 15''' (19.12.2016). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

'''Лекция 16''' (16.01.2017). Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

'''Лекция 17''' (23.01.2017). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений.

'''Лекция 18''' (30.01.2017). Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры.

'''Лекция 19''' (6.02.2017). Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Утверждение о том, что всякое подпространство в F^n является множеством решений некоторой однородной системы линейных уравнений. Билинейные функции (формы) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису.

'''Лекция 20''' (13.02.2017). Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

'''Лекция 21''' (20.02.2017). Угловые миноры матрицы квадратичной формы. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры.

'''Лекция 22''' (27.02.2017). Следствие метода Якоби: вычисление отрицательного индекса инерции квадратичной формы над R. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

'''Лекция 23''' (6.03.2017). Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Ортогональные и ортонормированные системы векторов евклидова пространства, ортогональные и ортонормированные базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (13.03.2017). Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства.

'''Лекция 25''' (20.03.2017). Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Смешанное произведение векторов, его выражение в координатах, критерий компланарности трёх векторов. Векторное произведение, критерий коллинеарности двух векторов. Связь векторного произведения со смешанным произведением. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Двойное векторное произведение, тождество Якоби. Выражение векторного произведения в координатах. Связь множества решений системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы.

'''Лекция 26''' (5.04.2017). Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки.

'''Лекция 27''' (12.04.2017). Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости, трёх плоскостей в R^3. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы (линейные преобразования). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя.

'''Лекция 28''' (19.04.2017). Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах существования базиса из собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве.

'''Лекция 29''' (26.04.2017). Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора, связь между ними. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений. Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве.

'''Лекция 30''' (10.05.2017). Билинейные функции, связанные с линейным оператором в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его существование и единственность. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Самосопряжённость оператора ортогонального проектирования на подпространство. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, пять эквивалентных условий.

=== Листки с задачами ===

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/f3epqb7rs71r995/LA_16-17_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

до 6 ноября включительно разрешается сдавать любое количество задач;

с 7 по 13 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более шести''' задач;

13 ноября — последний день приёма задач

[https://www.dropbox.com/s/wmhg3cqj7sop14l/LA_16-17_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

18 декабря — последний день приёма задач

с 12 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 6 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

[https://www.dropbox.com/s/c6dkx76ncb6ddre/LA_16-17_Stream2_Sheet3.pdf?dl=0 '''Листок 3''']. Конструкции, связанные с линейными отображениями

Сроки сдачи листка 3:

19 марта — последний день приёма задач

с 13 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 6 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более восьми''' задач

[https://www.dropbox.com/s/j7vo5f9o7drbjwk/LA_16-17_Stream2_Sheet4.pdf?dl=0 '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4 будут объявлены позднее.

=== Лабораторные работы ===

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не затирайте условий задач. Задание должно быть выполнено на языке Python.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему [http://anytask.org AnyTask]. Инвайты для регистрации на курс:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 163 !! 164 !! 165 !! 166 !! 167 !! 168
|-
|| erCwXX3 || FjduzdE || 078wQmj || d8Lfn5Y || 5JCnwSR || HNJ3zEn
|}

Краткое руководство по работе с системой [https://www.dropbox.com/s/fl2pyq5fruxchyw/manual_student.pdf?dl=0 прилагается].

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду] (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [mailto:st-fedotov@yandex-team.ru st-fedotov@yandex-team.ru]

'''Внимание:''' тема письма должна начинаться с '''[ФКН - лабораторная N]''', где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

==== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ====

'''Срок:'''

5 декабря 23:30 для групп 164-168

7 декабря 23:30 для группы 163

[https://www.dropbox.com/s/gqvszs55cl5519o/HSE%20Linalg%20Lab%20Fall%202016.ipynb?dl=0 '''Условие''']

==== Лабораторная работа 2 (3-й модуль) ====

'''Срок:''' 5 апреля 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/p9zegynwx1kgt3d/AABjR9UCqD0aihbuzcnIobgAa?dl=0 '''тут'''].

=== Контрольные работы ===
==== 2-й модуль ====

Контрольная работа состоялась 19 ноября в 12:10 в аудиториях 622 и 509.

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/p5ceogf3zhaplra/LA_16-17_Stream2_Test1.pdf?dl=0 '''Условия задач из контрольной''']

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.
*Решение систем линейных уравнений [82--89, 567--581, 689--704, 712--720]
*Действия с матрицами [788--798, 801, 805, 822, 824, 836--845, 861--870, 937]
*Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
*Определители 2-го и 3-го порядка [1--12, 43--60]
*Определители произвольного порядка: определение [188--206]
*Вычисление определителей произвольного порядка [257--269, 279, 316]

==== 4-й модуль ====

Дата-время: 12 мая, 15:10

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства: П 1317, 1318, 1320--1322; К 35.14, 35.15

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434--1438, 1441--1444, 1445, 1446, 1449, 1450; К 39.15, 39.16

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения: К 39.5; задача 2(б) из ИДЗ-4

*Билинейные функции, квадратичные формы и их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175--1186; К 38.18(а--г)

*Исследование квадратичных форм на положительную определённость: П 1212--1216; К 38.11(а--г)

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357--1363; К 43.7(а--г), 43.15(а--в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370--1372; К 43.19(а--в)

*Расстояние от точки до линейного многообразия: П 1374; К 43.21(а--г), 51.7

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28--26.37, 26.39--26.47, 26.50, 27.34, 27.39--27.42, 31.1--31.3, 31.5--31.8, 31.21--31.25, 31.27--31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 27.38, 31.13--31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 32.28--32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38--32.40

*Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису: П 1452--1454; К 39.19--39.21

*Собственные векторы и собственные значения линейных операторов: П 1465--1474; К 40.15

*Диагонализуемость линейных операторов: П 1479--1483; К 40.16

=== Коллоквиумы ===

'''Формат проведения коллоквиумов'''

Этап 1. Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат не выше 3 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат 4, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 1. Если результат 5, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 2.

Этап 2. Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего начинается разговор с принимающим (как правило, другим). По результатам разговора выставляется окончательная оценка.

==== 2-й модуль ====

Даты коллоквиума: 9 и 10 декабря.

[https://www.dropbox.com/s/yzxftul500urq29/LA_16-17_Stream2_Definitions1.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/m6lqqwff9p1bj9e/LA_16-17_Stream2_Questions1.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

==== 4-й модуль ====

Даты коллоквиума: ориентировочно в конце мая

[https://www.dropbox.com/s/fp7kw3m6iqnwyrm/LA_16-17_Stream2_Definitions2.pdf?dl=0 '''Начало списка определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/cpjzqa64rzmgkzx/LA_16-17_Stream2_Questions2.pdf?dl=0 '''Начало списка вопросов на доказательство''']

=== Экзамен 2-й модуль ===

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 22 декабря, 10:30

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

[https://www.dropbox.com/s/jf2vnoht5e1f6qm/LA_16-17_Stream2_Exam1.pdf?dl=0 '''Условия задач с экзамена''']

Задачи для подготовки к экзамену (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Системы линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720, 724–732; К 8.1, 8.2, 8.4
*Действия с матрицами: П 788–798, 801, 805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.4, 18.1, 18.3, 18.8–18.11
*Подстановки: П 125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители: П 1–12, 43–60, 188–206, 212–214, 224– 232, 236–240, 257–269, 279, 316; К 9.1, 9.2, 10.1–10.4, 11.1–11.4, 12.1, 12.2, 13.1
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
*Векторные пространства, линейная зависимость, базис, подпространства: П 639–644, 665–669, 672–676, 679–681, 1285–1293, 1297–1304, 1308, 1310, 1311, 1824–1828; К 34.1–34.4, 35.1–35.3, 35.11
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, К 7.1, 7.2

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=2074432488 168]
|}

==== 3-4 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты 2-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=2074432488 168]
|}

== Кстати ==

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-05-17T01:07:33Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ161 !! БПМИ162 !! БПМИ163 !! БПМИ164 !! БПМИ165 !! БПМИ166 !! БПМИ167 !! БПМИ168
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] ||colspan="2"| [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент ||colspan="2"| [mailto:beloppolina@gmail.com Полина Белопашенцева], [mailto:georgiy-sh@ya.ru Георгий Шумкин] || [mailto:rakhaydurov@edu.hse.ru Руслан Хайдуров] || [mailto:eterniusgrv@gmail.com Вадим Гринберг] || [mailto:pvl.kovalev@gmail.com Павел Ковалёв] || [mailto:n.v.bakaykina@gmail.com Наталья Бакайкина] || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский] || [mailto:valerystar@inbox.ru Валерия Старичкова]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Дмитрий Игоревич Пионтковский || || 18:30–20, ауд. 507 || || || 15:10–16:30, Шаболовка 26, ауд. 5413
|-
| <center>2</center> || Всеволод Леонидович Чернышев || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>3</center> || Роман Сергеевич Авдеев || 15:40–17:40, ауд. 623 || || 15:40–17:40, ауд. 623 (с 17 мая) || ||
|-
| <center>4</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || || 9:00–10:30, ауд. 511
|-
| <center>5</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || 15:00–17:00, ауд. 607||
|-
| <center>6</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || 13:40–17:00, ауд. 607 || ||
|-
| <center>7</center> || Полина Белопашенцева || || || || || 16:40–18:00, ауд.??
|-
| <center>8</center> || Георгий Шумкин || || || || || 13:40–15.00, ауд.  618
|-
| <center>9</center> || Руслан Хайдуров || || 13:40–22:00, ауд. ?? || || ||
|-
| <center>10</center> || Вадим Гринберг || || 16:40–18:10, ауд. ?? || || || 16:40–18:10, ауд. 308
|-
| <center>11</center> || Павел Ковалёв || || 16:40–18:00 || || ||
|-
| <center>12</center> || Наталья Бакайкина || || || 15:00–16:30 || ||
|-
| <center>13</center> || Александр Чернявский ||15:00–16:30, ауд. 313 || || || ||
|-
| <center>14</center> || Валерия Старичкова || || || || 13:40–15:00 ||
|}

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Информация для пилотного потока ==

=== Краткое содержание лекций ===

'''Лекция 1''' (6.09.2016). Геометрия ''n''-мерного арифметического пространства.

'''Лекция 2''' (13.09.2016). Матрицы и основные операции над ними.

'''Лекция 3''' (20.09.2016). Элементарные преобразования строк матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

'''Лекция 4''' (27.09.2016). Существование и единственность канонического вида матрицы. Обратная матрица.

'''Лекция 5''' (4.10.2016). Обратимость невырожденных матриц. Линейное пространство. Подпространства, линейные оболочки.

'''Лекция 6''' (11.10.2016). Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.

'''Лекция 7''' (18.10.2016). Столбцовый и строчный ранг матрицы, теорема об их равенстве. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

'''Лекция 8''' (1.11.2016). Теорема Кронекера-Капелли. Размерность линейного многообразия. Сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями.

'''Лекция 9''' (8.11.2016). Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм. Теорема о том, что все пространства одной конечной размерности изоморфны друг другу.

'''Лекция 10''' (15.11.2016). Матрица перехода между двумя базисами. Формула замены координат. Определитель матрицы порядка 2, ориентированная площадь. Подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

'''Лекция 11''' (22.11.2016). Определитель треугольной матрицы. Определитель как полилинейная функция строк. Умножение подстановок. Изменение знака подстановки при умножении на транспозицию. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы.

'''Лекция 12''' (29.11.2016). Определитель как единственная полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, равная 1 на единичной матрице. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Формула разложения определителя по строке. Знак произведения подстановок и знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 13''' (6.12.2016). Приложения определителей: формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений; формула обратной матрицы; определение ранга матрицы через миноры (ранг Фробениуса).

'''Лекция 14''' (13.12.2016). Комплексные числа.

'''Лекция 15''' (10.01.2017). Поле. Примеры полей. Линейные пространства над полем. Комплексификация и овеществление. Линейное отображение и линейный оператор: определение и геометрические примеры.

'''Лекция 16''' (17.01.2017). Новые примеры линейных отображений. Множество линейных отображений Hom(U,V) как линейное пространство. Линейные функционалы и двойственное пространство. Понятие двойственного базиса, размерность двойственного пространства. Идея теории категорий, категория линейных пространств. Контравариантные и ковариантные функторы.
Матрица линейного отображения: эквивалентность двух определений. Размерность линейного пространства Hom(U,V).

'''Лекция 17''' (25.01.2017).
Матрица композиции линейных отображений. Матрица изоморфизма. Замена координат и матрица линейного отображения. Замена координат в двойственном пространстве, понятие ковектора. Ядро и образ линейного отображения, их связи с матрицей линейного отображения. Короткая точная последовательность. Ранг, определитель и след линейного оператора.

'''Лекция 18''' (31.01.2017). Инвариантные пространства линейного оператора, инвариантность его ядра и образа. Прямая сумма нескольких подпространств. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство или прямую сумму таких подпространств. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен линейного оператора. Определитель и след и характеристический многочлен как инварианты линейного оператора.

'''Лекция 19''' (7.02.2017). Характеристический многочлен как инвариант линейного оператора. Алгебраически замкнутое поле. Кратности и количество корней многочлена над алгебраически замкнутым полем. Формулы Виета. Связь определителя и следа комплексного оператора с собственными значениями. Диагонализуемые операторы (операторы простой структуры). Оператор дифференцирования многочленов как пример не диагонализуемого оператора.

'''Лекция 20''' (14.02.2017). Корневые векторы и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

'''Лекция 21''' (21.02.2017). Теорема о приведении матрицы линейного оператора к верхнетреугольному виду. Формулировка теоремы о жордановой форме линейного оператора в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем. Единственность жордановой формы.

'''Лекция 22''' (28.02.2017). Существование аннулирующего многочлена линейного оператора над произвольным полем. Теорема Гамильтона--Кэли. Минимальный многочлен комплексного линейного оператора.

Евклидово пространство. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базис.

'''Лекция 23''' (7.3.2017). Связь матриц Грама различных базисов. Существование и единственность проекции и ортогональной составляющей вектора относительно подпространства. Существование и метод построения ортонормированного базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Объем k-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве, его связь с определителем матрицы Грама. Ориентированный объем n-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (15.3.2017). Эрмитово пространство, его сходство и различие с евклидовым пространством. Сопряженные линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. Самосопряженный (эрмитов) оператор. Нормальный оператор, его основное свойство.

'''Лекция 25''' (22.3.2017). Ортогональные и унитарные операторы. Ортогональные и унитарные матрицы. Канонический вид унитарного оператора и ортогонального оператора.

'''Лекция 26''' (4.4.2017). Мультипликативные разложения матриц. LU разложение. Положительно определенный самосопряженный оператор. SU разложение (полярное разложение). Сингулярное разложение (SVD). QR разложение.

'''Лекция 27''' (11.4.2017). Билинейные формы. Матрица билинейной формы, ее поведение при замене координат. Квадратичные формы. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы.

'''Лекция 28''' (18.4.2017). Методы приведения действительных квадратичных форм к каноническому виду (метод Лагранжа, приведение к главным осям, метод Якоби). Критерий Сильвестра.

'''Лекция 29''' (25.4.2017). Закон инерции действительных квадратичных форм.

'''Лекция 30''' (16.5.2017). Начала аналитической геометрии: линейные многообразия, способы задания плоскостей и прямых в трехмерном пространстве, задачи взаимного расположения плоскостей и прямых.

=== Порядок формирования итоговой оценки для пилотного потока ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

==== 4-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам третьего модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

== Информация для основного потока ==

=== Порядок формирования итоговой оценки ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,2 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

==== 4-й модуль ====

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

=== Краткое содержание лекций ===

==== 1-2 модули ====

'''Лекция 1''' (5.09.2016). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (12.09.2016). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (19.09.2016). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (26.09.2016). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Матричные единицы. Умножение на матричную единицу. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (3.10.2016). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении справа на элементарную транспозицию.

'''Лекция 6''' (10.10.2016). Изменение знака подстановки при умножении справа на произвольную транспозицию. Разложение подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов).

'''Лекция 7''' (17.10.2016). Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц.

'''Лекция 8''' (31.10.2016). Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

'''Лекция 9''' (7.11.2016). Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства.

'''Лекция 10''' (14.11.2016). Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

'''Лекция 11''' (21.11.2016). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

'''Лекция 12''' (28.11.2016). Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства, координаты вектора в базисе. Базис как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

'''Лекция 13''' (5.12.2016). Эквивалентные условия, определяющие конечномерное векторное пространство размерности n. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 14''' (12.12.2016). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

==== 3-4 модули ====

'''Лекция 15''' (19.12.2016). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

'''Лекция 16''' (16.01.2017). Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

'''Лекция 17''' (23.01.2017). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений.

'''Лекция 18''' (30.01.2017). Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры.

'''Лекция 19''' (6.02.2017). Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Утверждение о том, что всякое подпространство в F^n является множеством решений некоторой однородной системы линейных уравнений. Билинейные функции (формы) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису.

'''Лекция 20''' (13.02.2017). Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

'''Лекция 21''' (20.02.2017). Угловые миноры матрицы квадратичной формы. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры.

'''Лекция 22''' (27.02.2017). Следствие метода Якоби: вычисление отрицательного индекса инерции квадратичной формы над R. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

'''Лекция 23''' (6.03.2017). Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Ортогональные и ортонормированные системы векторов евклидова пространства, ортогональные и ортонормированные базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (13.03.2017). Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства.

'''Лекция 25''' (20.03.2017). Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Смешанное произведение векторов, его выражение в координатах, критерий компланарности трёх векторов. Векторное произведение, критерий коллинеарности двух векторов. Связь векторного произведения со смешанным произведением. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Двойное векторное произведение, тождество Якоби. Выражение векторного произведения в координатах. Связь множества решений системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы.

'''Лекция 26''' (5.04.2017). Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки.

'''Лекция 27''' (12.04.2017). Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости, трёх плоскостей в R^3. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы (линейные преобразования). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя.

'''Лекция 28''' (19.04.2017). Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах существования базиса из собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве.

'''Лекция 29''' (26.04.2017). Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора, связь между ними. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений. Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве.

'''Лекция 30''' (10.05.2017). Билинейные функции, связанные с линейным оператором в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его существование и единственность. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Самосопряжённость оператора ортогонального проектирования на подпространство. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, пять эквивалентных условий.

=== Листки с задачами ===

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/f3epqb7rs71r995/LA_16-17_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

до 6 ноября включительно разрешается сдавать любое количество задач;

с 7 по 13 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более шести''' задач;

13 ноября — последний день приёма задач

[https://www.dropbox.com/s/wmhg3cqj7sop14l/LA_16-17_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

18 декабря — последний день приёма задач

с 12 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 6 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

[https://www.dropbox.com/s/c6dkx76ncb6ddre/LA_16-17_Stream2_Sheet3.pdf?dl=0 '''Листок 3''']. Конструкции, связанные с линейными отображениями

Сроки сдачи листка 3:

19 марта — последний день приёма задач

с 13 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 6 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более восьми''' задач

[https://www.dropbox.com/s/j7vo5f9o7drbjwk/LA_16-17_Stream2_Sheet4.pdf?dl=0 '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4 будут объявлены позднее.

=== Лабораторные работы ===

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не затирайте условий задач. Задание должно быть выполнено на языке Python.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему [http://anytask.org AnyTask]. Инвайты для регистрации на курс:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 163 !! 164 !! 165 !! 166 !! 167 !! 168
|-
|| erCwXX3 || FjduzdE || 078wQmj || d8Lfn5Y || 5JCnwSR || HNJ3zEn
|}

Краткое руководство по работе с системой [https://www.dropbox.com/s/fl2pyq5fruxchyw/manual_student.pdf?dl=0 прилагается].

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду] (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [mailto:st-fedotov@yandex-team.ru st-fedotov@yandex-team.ru]

'''Внимание:''' тема письма должна начинаться с '''[ФКН - лабораторная N]''', где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

==== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ====

'''Срок:'''

5 декабря 23:30 для групп 164-168

7 декабря 23:30 для группы 163

[https://www.dropbox.com/s/gqvszs55cl5519o/HSE%20Linalg%20Lab%20Fall%202016.ipynb?dl=0 '''Условие''']

==== Лабораторная работа 2 (3-й модуль) ====

'''Срок:''' 5 апреля 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/p9zegynwx1kgt3d/AABjR9UCqD0aihbuzcnIobgAa?dl=0 '''тут'''].

=== Контрольные работы ===
==== 2-й модуль ====

Контрольная работа состоялась 19 ноября в 12:10 в аудиториях 622 и 509.

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/p5ceogf3zhaplra/LA_16-17_Stream2_Test1.pdf?dl=0 '''Условия задач из контрольной''']

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.
*Решение систем линейных уравнений [82--89, 567--581, 689--704, 712--720]
*Действия с матрицами [788--798, 801, 805, 822, 824, 836--845, 861--870, 937]
*Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
*Определители 2-го и 3-го порядка [1--12, 43--60]
*Определители произвольного порядка: определение [188--206]
*Вычисление определителей произвольного порядка [257--269, 279, 316]

==== 4-й модуль ====

Дата-время: 12 мая, 15:10

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства: П 1317, 1318, 1320--1322; К 35.14, 35.15

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434--1438, 1441--1444, 1445, 1446, 1449, 1450; К 39.15, 39.16

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения: К 39.5; задача 2(б) из ИДЗ-4

*Билинейные функции, квадратичные формы и их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175--1186; К 38.18(а--г)

*Исследование квадратичных форм на положительную определённость: П 1212--1216; К 38.11(а--г)

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357--1363; К 43.7(а--г), 43.15(а--в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370--1372; К 43.19(а--в)

*Расстояние от точки до линейного многообразия: П 1374; К 43.21(а--г), 51.7

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28--26.37, 26.39--26.47, 26.50, 27.34, 27.39--27.42, 31.1--31.3, 31.5--31.8, 31.21--31.25, 31.27--31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 27.38, 31.13--31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 32.28--32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38--32.40

*Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису: П 1452--1454; К 39.19--39.21

*Собственные векторы и собственные значения линейных операторов: П 1465--1474; К 40.15

*Диагонализуемость линейных операторов: П 1479--1483; К 40.16

=== Коллоквиумы ===

'''Формат проведения коллоквиумов'''

Этап 1. Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат не выше 3 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат 4, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 1. Если результат 5, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 2.

Этап 2. Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего начинается разговор с принимающим (как правило, другим). По результатам разговора выставляется окончательная оценка.

==== 2-й модуль ====

Даты коллоквиума: 9 и 10 декабря.

[https://www.dropbox.com/s/yzxftul500urq29/LA_16-17_Stream2_Definitions1.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/m6lqqwff9p1bj9e/LA_16-17_Stream2_Questions1.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

==== 4-й модуль ====

Даты коллоквиума: ориентировочно в конце мая

[https://www.dropbox.com/s/fp7kw3m6iqnwyrm/LA_16-17_Stream2_Definitions2.pdf?dl=0 '''Начало списка определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/cpjzqa64rzmgkzx/LA_16-17_Stream2_Questions2.pdf?dl=0 '''Начало списка вопросов на доказательство''']

=== Экзамен 2-й модуль ===

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 22 декабря, 10:30

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

[https://www.dropbox.com/s/jf2vnoht5e1f6qm/LA_16-17_Stream2_Exam1.pdf?dl=0 '''Условия задач с экзамена''']

Задачи для подготовки к экзамену (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Системы линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720, 724–732; К 8.1, 8.2, 8.4
*Действия с матрицами: П 788–798, 801, 805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.4, 18.1, 18.3, 18.8–18.11
*Подстановки: П 125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители: П 1–12, 43–60, 188–206, 212–214, 224– 232, 236–240, 257–269, 279, 316; К 9.1, 9.2, 10.1–10.4, 11.1–11.4, 12.1, 12.2, 13.1
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
*Векторные пространства, линейная зависимость, базис, подпространства: П 639–644, 665–669, 672–676, 679–681, 1285–1293, 1297–1304, 1308, 1310, 1311, 1824–1828; К 34.1–34.4, 35.1–35.3, 35.11
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, К 7.1, 7.2

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=2074432488 168]
|}

==== 3-4 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты 2-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1SBpNgtweLcCpQg6zXMh37PkSQQMdNuNvdjv-vRttWLc/edit#gid=2074432488 168]
|}

== Кстати ==

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-05-10T17:25:28Z

Piont: /* 4-й модуль */

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ161 !! БПМИ162 !! БПМИ163 !! БПМИ164 !! БПМИ165 !! БПМИ166 !! БПМИ167 !! БПМИ168
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] ||colspan="2"| [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент ||colspan="2"| [mailto:beloppolina@gmail.com Полина Белопашенцева], [mailto:georgiy-sh@ya.ru Георгий Шумкин] || [mailto:rakhaydurov@edu.hse.ru Руслан Хайдуров] || [mailto:eterniusgrv@gmail.com Вадим Гринберг] || [mailto:pvl.kovalev@gmail.com Павел Ковалёв] || [mailto:n.v.bakaykina@gmail.com Наталья Бакайкина] || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский] || [mailto:valerystar@inbox.ru Валерия Старичкова]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Дмитрий Игоревич Пионтковский || || 18:30–20, ауд. 507 || || || 15:10–16:30, Шаболовка 26, ауд. 5413
|-
| <center>2</center> || Всеволод Леонидович Чернышев || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>3</center> || Роман Сергеевич Авдеев || 15:40–17:40, ауд. 623 или 618 || || || ||
|-
| <center>4</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || || 9:00–10:30, ауд. 511
|-
| <center>5</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || 15:00–17:00, ауд. 607||
|-
| <center>6</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || 13:40–17:00, ауд. 607 || ||
|-
| <center>7</center> || Полина Белопашенцева || || || || || 16:40–18:00, ауд.??
|-
| <center>8</center> || Георгий Шумкин || || || || || 13:40–15.00, ауд.  618
|-
| <center>9</center> || Руслан Хайдуров || || 13:40–22:00, ауд. ?? || || ||
|-
| <center>10</center> || Вадим Гринберг || || 16:40–18:10, ауд. ?? || || || 16:40–18:10, ауд. 308
|-
| <center>11</center> || Павел Ковалёв || || 16:40–18:00 || || ||
|-
| <center>12</center> || Наталья Бакайкина || || || 15:00–16:30 || ||
|-
| <center>13</center> || Александр Чернявский ||15:00–16:30, ауд. 313 || || || ||
|-
| <center>14</center> || Валерия Старичкова || || || || 13:40–15:00 ||
|}

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Информация для пилотного потока ==

=== Краткое содержание лекций ===

'''Лекция 1''' (6.09.2016). Геометрия ''n''-мерного арифметического пространства.

'''Лекция 2''' (13.09.2016). Матрицы и основные операции над ними.

'''Лекция 3''' (20.09.2016). Элементарные преобразования строк матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

'''Лекция 4''' (27.09.2016). Существование и единственность канонического вида матрицы. Обратная матрица.

'''Лекция 5''' (4.10.2016). Обратимость невырожденных матриц. Линейное пространство. Подпространства, линейные оболочки.

'''Лекция 6''' (11.10.2016). Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.

'''Лекция 7''' (18.10.2016). Столбцовый и строчный ранг матрицы, теорема об их равенстве. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

'''Лекция 8''' (1.11.2016). Теорема Кронекера-Капелли. Размерность линейного многообразия. Сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями.

'''Лекция 9''' (8.11.2016). Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм. Теорема о том, что все пространства одной конечной размерности изоморфны друг другу.

'''Лекция 10''' (15.11.2016). Матрица перехода между двумя базисами. Формула замены координат. Определитель матрицы порядка 2, ориентированная площадь. Подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

'''Лекция 11''' (22.11.2016). Определитель треугольной матрицы. Определитель как полилинейная функция строк. Умножение подстановок. Изменение знака подстановки при умножении на транспозицию. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы.

'''Лекция 12''' (29.11.2016). Определитель как единственная полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, равная 1 на единичной матрице. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Формула разложения определителя по строке. Знак произведения подстановок и знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 13''' (6.12.2016). Приложения определителей: формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений; формула обратной матрицы; определение ранга матрицы через миноры (ранг Фробениуса).

'''Лекция 14''' (13.12.2016). Комплексные числа.

'''Лекция 15''' (10.01.2017). Поле. Примеры полей. Линейные пространства над полем. Комплексификация и овеществление. Линейное отображение и линейный оператор: определение и геометрические примеры.

'''Лекция 16''' (17.01.2017). Новые примеры линейных отображений. Множество линейных отображений Hom(U,V) как линейное пространство. Линейные функционалы и двойственное пространство. Понятие двойственного базиса, размерность двойственного пространства. Идея теории категорий, категория линейных пространств. Контравариантные и ковариантные функторы.
Матрица линейного отображения: эквивалентность двух определений. Размерность линейного пространства Hom(U,V).

'''Лекция 17''' (25.01.2017).
Матрица композиции линейных отображений. Матрица изоморфизма. Замена координат и матрица линейного отображения. Замена координат в двойственном пространстве, понятие ковектора. Ядро и образ линейного отображения, их связи с матрицей линейного отображения. Короткая точная последовательность. Ранг, определитель и след линейного оператора.

'''Лекция 18''' (31.01.2017). Инвариантные пространства линейного оператора, инвариантность его ядра и образа. Прямая сумма нескольких подпространств. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство или прямую сумму таких подпространств. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен линейного оператора. Определитель и след и характеристический многочлен как инварианты линейного оператора.

'''Лекция 19''' (7.02.2017). Характеристический многочлен как инвариант линейного оператора. Алгебраически замкнутое поле. Кратности и количество корней многочлена над алгебраически замкнутым полем. Формулы Виета. Связь определителя и следа комплексного оператора с собственными значениями. Диагонализуемые операторы (операторы простой структуры). Оператор дифференцирования многочленов как пример не диагонализуемого оператора.

'''Лекция 20''' (14.02.2017). Корневые векторы и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

'''Лекция 21''' (21.02.2017). Теорема о приведении матрицы линейного оператора к верхнетреугольному виду. Формулировка теоремы о жордановой форме линейного оператора в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем. Единственность жордановой формы.

'''Лекция 22''' (28.02.2017). Существование аннулирующего многочлена линейного оператора над произвольным полем. Теорема Гамильтона--Кэли. Минимальный многочлен комплексного линейного оператора.

Евклидово пространство. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базис.

'''Лекция 23''' (7.3.2017). Связь матриц Грама различных базисов. Существование и единственность проекции и ортогональной составляющей вектора относительно подпространства. Существование и метод построения ортонормированного базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Объем k-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве, его связь с определителем матрицы Грама. Ориентированный объем n-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (15.3.2017). Эрмитово пространство, его сходство и различие с евклидовым пространством. Сопряженные линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. Самосопряженный (эрмитов) оператор. Нормальный оператор, его основное свойство.

'''Лекция 25''' (22.3.2017). Ортогональные и унитарные операторы. Ортогональные и унитарные матрицы. Канонический вид унитарного оператора и ортогонального оператора.

'''Лекция 26''' (4.4.2017). Мультипликативные разложения матриц. LU разложение. Положительно определенный самосопряженный оператор. SU разложение (полярное разложение). Сингулярное разложение (SVD). QR разложение.

'''Лекция 27''' (11.4.2017). Билинейные формы. Матрица билинейной формы, ее поведение при замене координат. Квадратичные формы. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы.

'''Лекция 28''' (18.4.2017). Методы приведения действительных квадратичных форм к каноническому виду (метод Лагранжа, приведение к главным осям, метод Якоби). Критерий Сильвестра.

'''Лекция 29''' (25.4.2017). Закон инерции действительных квадратичных форм.

=== Порядок формирования итоговой оценки для пилотного потока ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

==== 4-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам третьего модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

== Информация для основного потока ==

=== Порядок формирования итоговой оценки ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,2 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

==== 4-й модуль ====

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

=== Краткое содержание лекций ===

==== 1-2 модули ====

'''Лекция 1''' (5.09.2016). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (12.09.2016). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (19.09.2016). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (26.09.2016). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Матричные единицы. Умножение на матричную единицу. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (3.10.2016). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении справа на элементарную транспозицию.

'''Лекция 6''' (10.10.2016). Изменение знака подстановки при умножении справа на произвольную транспозицию. Разложение подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов).

'''Лекция 7''' (17.10.2016). Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц.

'''Лекция 8''' (31.10.2016). Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

'''Лекция 9''' (7.11.2016). Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства.

'''Лекция 10''' (14.11.2016). Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

'''Лекция 11''' (21.11.2016). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

'''Лекция 12''' (28.11.2016). Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства, координаты вектора в базисе. Базис как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

'''Лекция 13''' (5.12.2016). Эквивалентные условия, определяющие конечномерное векторное пространство размерности n. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 14''' (12.12.2016). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

==== 3-4 модули ====

'''Лекция 15''' (19.12.2016). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

'''Лекция 16''' (16.01.2017). Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

'''Лекция 17''' (23.01.2017). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений.

'''Лекция 18''' (30.01.2017). Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры.

'''Лекция 19''' (6.02.2017). Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Утверждение о том, что всякое подпространство в F^n является множеством решений некоторой однородной системы линейных уравнений. Билинейные функции (формы) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису.

'''Лекция 20''' (13.02.2017). Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

'''Лекция 21''' (20.02.2017). Угловые миноры матрицы квадратичной формы. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры.

'''Лекция 22''' (27.02.2017). Следствие метода Якоби: вычисление отрицательного индекса инерции квадратичной формы над R. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

'''Лекция 23''' (6.03.2017). Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Ортогональные и ортонормированные системы векторов евклидова пространства, ортогональные и ортонормированные базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (13.03.2017). Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства.

'''Лекция 25''' (20.03.2017). Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Смешанное произведение векторов, его выражение в координатах, критерий компланарности трёх векторов. Векторное произведение, критерий коллинеарности двух векторов. Связь векторного произведения со смешанным произведением. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Двойное векторное произведение, тождество Якоби. Выражение векторного произведения в координатах. Связь множества решений системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы.

'''Лекция 26''' (5.04.2017). Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки.

'''Лекция 27''' (12.04.2017). Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости, трёх плоскостей в R^3. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы (линейные преобразования). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя.

'''Лекция 28''' (19.04.2017). Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах существования базиса из собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве.

'''Лекция 29''' (26.04.2017). Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора, связь между ними. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений. Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве.

'''Лекция 30''' (10.05.2017). Билинейные функции, связанные с линейным оператором в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор, его существование и единственность. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Самосопряжённость оператора ортогонального проектирования на подпространство. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, пять эквивалентных условий.

=== Листки с задачами ===

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/f3epqb7rs71r995/LA_16-17_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

до 6 ноября включительно разрешается сдавать любое количество задач;

с 7 по 13 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более шести''' задач;

13 ноября — последний день приёма задач

[https://www.dropbox.com/s/wmhg3cqj7sop14l/LA_16-17_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

18 декабря — последний день приёма задач

с 12 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 6 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

[https://www.dropbox.com/s/c6dkx76ncb6ddre/LA_16-17_Stream2_Sheet3.pdf?dl=0 '''Листок 3''']. Конструкции, связанные с линейными отображениями

Сроки сдачи листка 3:

19 марта — последний день приёма задач

с 13 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 6 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более восьми''' задач

=== Лабораторные работы ===

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не затирайте условий задач. Задание должно быть выполнено на языке Python.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему [http://anytask.org AnyTask]. Инвайты для регистрации на курс:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 163 !! 164 !! 165 !! 166 !! 167 !! 168
|-
|| erCwXX3 || FjduzdE || 078wQmj || d8Lfn5Y || 5JCnwSR || HNJ3zEn
|}

Краткое руководство по работе с системой [https://www.dropbox.com/s/fl2pyq5fruxchyw/manual_student.pdf?dl=0 прилагается].

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду] (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [mailto:st-fedotov@yandex-team.ru st-fedotov@yandex-team.ru]

'''Внимание:''' тема письма должна начинаться с '''[ФКН - лабораторная N]''', где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

==== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ====

'''Срок:'''

5 декабря 23:30 для групп 164-168

7 декабря 23:30 для группы 163

[https://www.dropbox.com/s/gqvszs55cl5519o/HSE%20Linalg%20Lab%20Fall%202016.ipynb?dl=0 '''Условие''']

==== Лабораторная работа 2 (3-й модуль) ====

'''Срок:''' 5 апреля 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/p9zegynwx1kgt3d/AABjR9UCqD0aihbuzcnIobgAa?dl=0 '''тут'''].

=== Контрольные работы ===
==== 2-й модуль ====

Контрольная работа состоялась 19 ноября в 12:10 в аудиториях 622 и 509.

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/p5ceogf3zhaplra/LA_16-17_Stream2_Test1.pdf?dl=0 '''Условия задач из контрольной''']

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.
*Решение систем линейных уравнений [82--89, 567--581, 689--704, 712--720]
*Действия с матрицами [788--798, 801, 805, 822, 824, 836--845, 861--870, 937]
*Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
*Определители 2-го и 3-го порядка [1--12, 43--60]
*Определители произвольного порядка: определение [188--206]
*Вычисление определителей произвольного порядка [257--269, 279, 316]

==== 4-й модуль ====

Дата-время: 12 мая, 15:10

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства: П 1317, 1318, 1320--1322; К 35.14, 35.15

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434--1438, 1441--1444, 1445, 1446, 1449, 1450; К 39.15, 39.16

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения: К 39.5; задача 2(б) из ИДЗ-4

*Билинейные функции, квадратичные формы и их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175--1186; К 38.18(а--г)

*Исследование квадратичных форм на положительную определённость: П 1212--1216; К 38.11(а--г)

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357--1363; К 43.7(а--г), 43.15(а--в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370--1372; К 43.19(а--в)

*Расстояние от точки до линейного многообразия: П 1374; К 43.21(а--г), 51.7

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28--26.37, 26.39--26.47, 26.50, 27.34, 27.39--27.42, 31.1--31.3, 31.5--31.8, 31.21--31.25, 31.27--31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 27.38, 31.13--31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 32.28--32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38--32.40

*Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису: П 1452--1454; К 39.19--39.21

*Собственные векторы и собственные значения линейных операторов: П 1465--1474; К 40.15

*Диагонализуемость линейных операторов: П 1479--1483; К 40.16

=== Коллоквиумы ===

'''Формат проведения коллоквиумов'''

Этап 1. Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат не выше 3 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат 4, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 1. Если результат 5, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 2.

Этап 2. Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего начинается разговор с принимающим (как правило, другим). По результатам разговора выставляется окончательная оценка.

==== 2-й модуль ====

Даты коллоквиума: 9 и 10 декабря.

[https://www.dropbox.com/s/yzxftul500urq29/LA_16-17_Stream2_Definitions1.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/m6lqqwff9p1bj9e/LA_16-17_Stream2_Questions1.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

==== 4-й модуль ====

Даты коллоквиума: ориентировочно в конце мая

[https://www.dropbox.com/s/fp7kw3m6iqnwyrm/LA_16-17_Stream2_Definitions2.pdf?dl=0 '''Начало списка определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/cpjzqa64rzmgkzx/LA_16-17_Stream2_Questions2.pdf?dl=0 '''Начало списка вопросов на доказательство''']

=== Экзамен 2-й модуль ===

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 22 декабря, 10:30

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

[https://www.dropbox.com/s/jf2vnoht5e1f6qm/LA_16-17_Stream2_Exam1.pdf?dl=0 '''Условия задач с экзамена''']

Задачи для подготовки к экзамену (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Системы линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720, 724–732; К 8.1, 8.2, 8.4
*Действия с матрицами: П 788–798, 801, 805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.4, 18.1, 18.3, 18.8–18.11
*Подстановки: П 125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители: П 1–12, 43–60, 188–206, 212–214, 224– 232, 236–240, 257–269, 279, 316; К 9.1, 9.2, 10.1–10.4, 11.1–11.4, 12.1, 12.2, 13.1
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
*Векторные пространства, линейная зависимость, базис, подпространства: П 639–644, 665–669, 672–676, 679–681, 1285–1293, 1297–1304, 1308, 1310, 1311, 1824–1828; К 34.1–34.4, 35.1–35.3, 35.11
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, К 7.1, 7.2

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты контрольных работ'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=2074432488 168]
|}

==== 3-4 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=2074432488 168]
|}

== Кстати ==

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-05-04T21:40:17Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ161 !! БПМИ162 !! БПМИ163 !! БПМИ164 !! БПМИ165 !! БПМИ166 !! БПМИ167 !! БПМИ168
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] ||colspan="2"| [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент ||colspan="2"| [mailto:beloppolina@gmail.com Полина Белопашенцева], [mailto:georgiy-sh@ya.ru Георгий Шумкин] || [mailto:rakhaydurov@edu.hse.ru Руслан Хайдуров] || [mailto:eterniusgrv@gmail.com Вадим Гринберг] || [mailto:pvl.kovalev@gmail.com Павел Ковалёв] || [mailto:n.v.bakaykina@gmail.com Наталья Бакайкина] || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский] || [mailto:valerystar@inbox.ru Валерия Старичкова]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Дмитрий Игоревич Пионтковский || || 18:30–20, ауд. 507 || || || 15:10–16:30, Шаболовка 26, ауд. 5413
|-
| <center>2</center> || Всеволод Леонидович Чернышев || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>3</center> || Роман Сергеевич Авдеев || 15:40–17:40, ауд. 623 или 618 || || || ||
|-
| <center>4</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || || 9:00–10:30, ауд. 511
|-
| <center>5</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || 15:00–17:00, ауд. 607||
|-
| <center>6</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || 13:40–17:00, ауд. 607 || ||
|-
| <center>7</center> || Полина Белопашенцева || || || || || 16:40–18:00, ауд.??
|-
| <center>8</center> || Георгий Шумкин || || || || || 13:40–15.00, ауд.  618
|-
| <center>9</center> || Руслан Хайдуров || || 13:40–22:00, ауд. ?? || || ||
|-
| <center>10</center> || Вадим Гринберг || || 16:40–18:10, ауд. ?? || || || 16:40–18:10, ауд. 308
|-
| <center>11</center> || Павел Ковалёв || || 16:40–18:00 || || ||
|-
| <center>12</center> || Наталья Бакайкина || || || 15:00–16:30 || ||
|-
| <center>13</center> || Александр Чернявский ||15:00–16:30, ауд. 313 || || || ||
|-
| <center>14</center> || Валерия Старичкова || || || || 13:40–15:00 ||
|}

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Информация для пилотного потока ==

=== Краткое содержание лекций ===

'''Лекция 1''' (6.09.2016). Геометрия ''n''-мерного арифметического пространства.

'''Лекция 2''' (13.09.2016). Матрицы и основные операции над ними.

'''Лекция 3''' (20.09.2016). Элементарные преобразования строк матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

'''Лекция 4''' (27.09.2016). Существование и единственность канонического вида матрицы. Обратная матрица.

'''Лекция 5''' (4.10.2016). Обратимость невырожденных матриц. Линейное пространство. Подпространства, линейные оболочки.

'''Лекция 6''' (11.10.2016). Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.

'''Лекция 7''' (18.10.2016). Столбцовый и строчный ранг матрицы, теорема об их равенстве. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

'''Лекция 8''' (1.11.2016). Теорема Кронекера-Капелли. Размерность линейного многообразия. Сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями.

'''Лекция 9''' (8.11.2016). Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм. Теорема о том, что все пространства одной конечной размерности изоморфны друг другу.

'''Лекция 10''' (15.11.2016). Матрица перехода между двумя базисами. Формула замены координат. Определитель матрицы порядка 2, ориентированная площадь. Подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

'''Лекция 11''' (22.11.2016). Определитель треугольной матрицы. Определитель как полилинейная функция строк. Умножение подстановок. Изменение знака подстановки при умножении на транспозицию. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы.

'''Лекция 12''' (29.11.2016). Определитель как единственная полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, равная 1 на единичной матрице. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Формула разложения определителя по строке. Знак произведения подстановок и знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 13''' (6.12.2016). Приложения определителей: формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений; формула обратной матрицы; определение ранга матрицы через миноры (ранг Фробениуса).

'''Лекция 14''' (13.12.2016). Комплексные числа.

'''Лекция 15''' (10.01.2017). Поле. Примеры полей. Линейные пространства над полем. Комплексификация и овеществление. Линейное отображение и линейный оператор: определение и геометрические примеры.

'''Лекция 16''' (17.01.2017). Новые примеры линейных отображений. Множество линейных отображений Hom(U,V) как линейное пространство. Линейные функционалы и двойственное пространство. Понятие двойственного базиса, размерность двойственного пространства. Идея теории категорий, категория линейных пространств. Контравариантные и ковариантные функторы.
Матрица линейного отображения: эквивалентность двух определений. Размерность линейного пространства Hom(U,V).

'''Лекция 17''' (25.01.2017).
Матрица композиции линейных отображений. Матрица изоморфизма. Замена координат и матрица линейного отображения. Замена координат в двойственном пространстве, понятие ковектора. Ядро и образ линейного отображения, их связи с матрицей линейного отображения. Короткая точная последовательность. Ранг, определитель и след линейного оператора.

'''Лекция 18''' (31.01.2017). Инвариантные пространства линейного оператора, инвариантность его ядра и образа. Прямая сумма нескольких подпространств. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство или прямую сумму таких подпространств. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен линейного оператора. Определитель и след и характеристический многочлен как инварианты линейного оператора.

'''Лекция 19''' (7.02.2017). Характеристический многочлен как инвариант линейного оператора. Алгебраически замкнутое поле. Кратности и количество корней многочлена над алгебраически замкнутым полем. Формулы Виета. Связь определителя и следа комплексного оператора с собственными значениями. Диагонализуемые операторы (операторы простой структуры). Оператор дифференцирования многочленов как пример не диагонализуемого оператора.

'''Лекция 20''' (14.02.2017). Корневые векторы и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

'''Лекция 21''' (21.02.2017). Теорема о приведении матрицы линейного оператора к верхнетреугольному виду. Формулировка теоремы о жордановой форме линейного оператора в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем. Единственность жордановой формы.

'''Лекция 22''' (28.02.2017). Существование аннулирующего многочлена линейного оператора над произвольным полем. Теорема Гамильтона--Кэли. Минимальный многочлен комплексного линейного оператора.

Евклидово пространство. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базис.

'''Лекция 23''' (7.3.2017). Связь матриц Грама различных базисов. Существование и единственность проекции и ортогональной составляющей вектора относительно подпространства. Существование и метод построения ортонормированного базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Объем k-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве, его связь с определителем матрицы Грама. Ориентированный объем n-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (15.3.2017). Эрмитово пространство, его сходство и различие с евклидовым пространством. Сопряженные линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. Самосопряженный (эрмитов) оператор. Нормальный оператор, его основное свойство.

'''Лекция 25''' (22.3.2017). Ортогональные и унитарные операторы. Ортогональные и унитарные матрицы. Канонический вид унитарного оператора и ортогонального оператора.

'''Лекция 26''' (4.4.2017). Мультипликативные разложения матриц. LU разложение. Положительно определенный самосопряженный оператор. SU разложение (полярное разложение). Сингулярное разложение (SVD). QR разложение.

'''Лекция 27''' (11.4.2017). Билинейные формы. Матрица билинейной формы, ее поведение при замене координат. Квадратичные формы. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы.

'''Лекция 28''' (18.4.2017). Методы приведения действительных квадратичных форм к каноническому виду (метод Лагранжа, приведение к главным осям, метод Якоби). Критерий Сильвестра.

'''Лекция 29''' (25.4.2017). Закон инерции действительных квадратичных форм.

=== Порядок формирования итоговой оценки для пилотного потока ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

==== 4-й модуль ====

== Информация для основного потока ==

=== Порядок формирования итоговой оценки ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,2 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

==== 4-й модуль ====

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

=== Краткое содержание лекций ===

==== 1-2 модули ====

'''Лекция 1''' (5.09.2016). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (12.09.2016). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (19.09.2016). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (26.09.2016). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Матричные единицы. Умножение на матричную единицу. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (3.10.2016). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении справа на элементарную транспозицию.

'''Лекция 6''' (10.10.2016). Изменение знака подстановки при умножении справа на произвольную транспозицию. Разложение подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов).

'''Лекция 7''' (17.10.2016). Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц.

'''Лекция 8''' (31.10.2016). Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

'''Лекция 9''' (7.11.2016). Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства.

'''Лекция 10''' (14.11.2016). Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

'''Лекция 11''' (21.11.2016). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

'''Лекция 12''' (28.11.2016). Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства, координаты вектора в базисе. Базис как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

'''Лекция 13''' (5.12.2016). Эквивалентные условия, определяющие конечномерное векторное пространство размерности n. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 14''' (12.12.2016). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

==== 3-4 модули ====

'''Лекция 15''' (19.12.2016). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

'''Лекция 16''' (16.01.2017). Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

'''Лекция 17''' (23.01.2017). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений.

'''Лекция 18''' (30.01.2017). Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры.

'''Лекция 19''' (6.02.2017). Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Утверждение о том, что всякое подпространство в F^n является множеством решений некоторой однородной системы линейных уравнений. Билинейные функции (формы) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису.

'''Лекция 20''' (13.02.2017). Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

'''Лекция 21''' (20.02.2017). Угловые миноры матрицы квадратичной формы. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры.

'''Лекция 22''' (27.02.2017). Следствие метода Якоби: вычисление отрицательного индекса инерции квадратичной формы над R. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

'''Лекция 23''' (6.03.2017). Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Ортогональные и ортонормированные системы векторов евклидова пространства, ортогональные и ортонормированные базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (13.03.2017). Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства.

'''Лекция 25''' (20.03.2017). Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Смешанное произведение векторов, его выражение в координатах, критерий компланарности трёх векторов. Векторное произведение, критерий коллинеарности двух векторов. Связь векторного произведения со смешанным произведением. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Двойное векторное произведение, тождество Якоби. Выражение векторного произведения в координатах. Связь множества решений системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы.

'''Лекция 26''' (5.04.2017). Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки.

'''Лекция 27''' (12.04.2017). Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости, трёх плоскостей в R^3. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы (линейные преобразования). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя.

'''Лекция 28''' (19.04.2017). Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах существования базиса из собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве.

'''Лекция 29''' (26.04.2017). Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора, связь между ними. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений. Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве.

=== Листки с задачами ===

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/f3epqb7rs71r995/LA_16-17_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

до 6 ноября включительно разрешается сдавать любое количество задач;

с 7 по 13 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более шести''' задач;

13 ноября — последний день приёма задач

[https://www.dropbox.com/s/wmhg3cqj7sop14l/LA_16-17_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

18 декабря — последний день приёма задач

с 12 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 6 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

[https://www.dropbox.com/s/c6dkx76ncb6ddre/LA_16-17_Stream2_Sheet3.pdf?dl=0 '''Листок 3''']. Конструкции, связанные с линейными отображениями

Сроки сдачи листка 3:

19 марта — последний день приёма задач

с 13 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 6 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более восьми''' задач

=== Лабораторные работы ===

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не затирайте условий задач. Задание должно быть выполнено на языке Python.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему [http://anytask.org AnyTask]. Инвайты для регистрации на курс:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 163 !! 164 !! 165 !! 166 !! 167 !! 168
|-
|| erCwXX3 || FjduzdE || 078wQmj || d8Lfn5Y || 5JCnwSR || HNJ3zEn
|}

Краткое руководство по работе с системой [https://www.dropbox.com/s/fl2pyq5fruxchyw/manual_student.pdf?dl=0 прилагается].

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду] (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [mailto:st-fedotov@yandex-team.ru st-fedotov@yandex-team.ru]

'''Внимание:''' тема письма должна начинаться с '''[ФКН - лабораторная N]''', где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

==== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ====

'''Срок:'''

5 декабря 23:30 для групп 164-168

7 декабря 23:30 для группы 163

[https://www.dropbox.com/s/gqvszs55cl5519o/HSE%20Linalg%20Lab%20Fall%202016.ipynb?dl=0 '''Условие''']

==== Лабораторная работа 2 (3-й модуль) ====

'''Срок:''' 5 апреля 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/p9zegynwx1kgt3d/AABjR9UCqD0aihbuzcnIobgAa?dl=0 '''тут'''].

=== Контрольные работы ===
==== 2-й модуль ====

Контрольная работа состоялась 19 ноября в 12:10 в аудиториях 622 и 509.

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/p5ceogf3zhaplra/LA_16-17_Stream2_Test1.pdf?dl=0 '''Условия задач из контрольной''']

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.
*Решение систем линейных уравнений [82--89, 567--581, 689--704, 712--720]
*Действия с матрицами [788--798, 801, 805, 822, 824, 836--845, 861--870, 937]
*Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
*Определители 2-го и 3-го порядка [1--12, 43--60]
*Определители произвольного порядка: определение [188--206]
*Вычисление определителей произвольного порядка [257--269, 279, 316]

==== 4-й модуль ====

Дата-время: 12 мая, 15:10

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства: П 1317, 1318, 1320--1322; К 35.14, 35.15

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434--1438, 1441--1444, 1445, 1446, 1449, 1450; К 39.15, 39.16

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения: К 39.5; задача 2(б) из ИДЗ-4

*Билинейные функции, квадратичные формы и их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175--1186; К 38.18(а--г)

*Исследование квадратичных форм на положительную определённость: П 1212--1216; К 38.11(а--г)

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357--1363; К 43.7(а--г), 43.15(а--в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370--1372; К 43.19(а--в)

*Расстояние от точки до линейного многообразия: П 1374; К 43.21(а--г), 51.7

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28--26.37, 26.39--26.47, 26.50, 27.34, 27.39--27.42, 31.1--31.3, 31.5--31.8, 31.21--31.25, 31.27--31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 27.38, 31.13--31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 32.28--32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38--32.40

*Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису: П 1452--1454; К 39.19--39.21

*Собственные векторы и собственные значения линейных операторов: П 1465--1474; К 40.15

*Диагонализуемость линейных операторов: П 1479--1483; К 40.16

=== Коллоквиумы ===

'''Формат проведения коллоквиумов'''

Этап 1. Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат не выше 3 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат 4, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 1. Если результат 5, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 2.

Этап 2. Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего начинается разговор с принимающим (как правило, другим). По результатам разговора выставляется окончательная оценка.

==== 2-й модуль ====

Даты коллоквиума: 9 и 10 декабря.

[https://www.dropbox.com/s/yzxftul500urq29/LA_16-17_Stream2_Definitions1.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/m6lqqwff9p1bj9e/LA_16-17_Stream2_Questions1.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

==== 4-й модуль ====

Даты коллоквиума: ориентировочно в конце мая

[https://www.dropbox.com/s/fp7kw3m6iqnwyrm/LA_16-17_Stream2_Definitions2.pdf?dl=0 '''Начало списка определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/cpjzqa64rzmgkzx/LA_16-17_Stream2_Questions2.pdf?dl=0 '''Начало списка вопросов на доказательство''']

=== Экзамен 2-й модуль ===

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 22 декабря, 10:30

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

[https://www.dropbox.com/s/jf2vnoht5e1f6qm/LA_16-17_Stream2_Exam1.pdf?dl=0 '''Условия задач с экзамена''']

Задачи для подготовки к экзамену (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Системы линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720, 724–732; К 8.1, 8.2, 8.4
*Действия с матрицами: П 788–798, 801, 805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.4, 18.1, 18.3, 18.8–18.11
*Подстановки: П 125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители: П 1–12, 43–60, 188–206, 212–214, 224– 232, 236–240, 257–269, 279, 316; К 9.1, 9.2, 10.1–10.4, 11.1–11.4, 12.1, 12.2, 13.1
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
*Векторные пространства, линейная зависимость, базис, подпространства: П 639–644, 665–669, 672–676, 679–681, 1285–1293, 1297–1304, 1308, 1310, 1311, 1824–1828; К 34.1–34.4, 35.1–35.3, 35.11
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, К 7.1, 7.2

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты контрольных работ'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=2074432488 168]
|}

==== 3-4 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=2074432488 168]
|}

== Кстати ==

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-04-07T22:38:51Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ161 !! БПМИ162 !! БПМИ163 !! БПМИ164 !! БПМИ165 !! БПМИ166 !! БПМИ167 !! БПМИ168
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] ||colspan="2"| [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент ||colspan="2"| [mailto:beloppolina@gmail.com Полина Белопашенцева], [mailto:georgiy-sh@ya.ru Георгий Шумкин] || [mailto:rakhaydurov@edu.hse.ru Руслан Хайдуров] || [mailto:eterniusgrv@gmail.com Вадим Гринберг] || [mailto:pvl.kovalev@gmail.com Павел Ковалёв] || [mailto:n.v.bakaykina@gmail.com Наталья Бакайкина] || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский] || [mailto:valerystar@inbox.ru Валерия Старичкова]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Дмитрий Игоревич Пионтковский || || 18:30–20, ауд. 507 || || || 15:10–16:30, Шаболовка 26, ауд. 5413
|-
| <center>2</center> || Всеволод Леонидович Чернышев || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>3</center> || Роман Сергеевич Авдеев || 15:40–17:40, ауд. 623 или 618 || || || ||
|-
| <center>4</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || || 9:00–10:30, ауд. 511
|-
| <center>5</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || || 13:00–15:00, ауд. 607
|-
| <center>6</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || 13:40–17:00, ауд. 607 || ||
|-
| <center>7</center> || Полина Белопашенцева || || || || || 16:40–18:00, ауд.??
|-
| <center>8</center> || Георгий Шумкин || || || || || 13:40–15.00, ауд.  618
|-
| <center>9</center> || Руслан Хайдуров || || 13:40–22:00, ауд. ?? || || ||
|-
| <center>10</center> || Вадим Гринберг || || 16:40–18:10, ауд. ?? || || || 16:40–18:10, ауд. 308
|-
| <center>11</center> || Павел Ковалёв || || 16:40–18:00 || || ||
|-
| <center>12</center> || Наталья Бакайкина || || || 15:00–16:30 || ||
|-
| <center>13</center> || Александр Чернявский ||15:00–16:30, ауд. ?? || || || ||
|-
| <center>14</center> || Валерия Старичкова || || || || 13:40–15:00 ||
|}

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Информация для пилотного потока ==

=== Краткое содержание лекций ===

'''Лекция 1''' (6.09.2016). Геометрия ''n''-мерного арифметического пространства.

'''Лекция 2''' (13.09.2016). Матрицы и основные операции над ними.

'''Лекция 3''' (20.09.2016). Элементарные преобразования строк матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

'''Лекция 4''' (27.09.2016). Существование и единственность канонического вида матрицы. Обратная матрица.

'''Лекция 5''' (4.10.2016). Обратимость невырожденных матриц. Линейное пространство. Подпространства, линейные оболочки.

'''Лекция 6''' (11.10.2016). Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.

'''Лекция 7''' (18.10.2016). Столбцовый и строчный ранг матрицы, теорема об их равенстве. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

'''Лекция 8''' (1.11.2016). Теорема Кронекера-Капелли. Размерность линейного многообразия. Сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями.

'''Лекция 9''' (8.11.2016). Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм. Теорема о том, что все пространства одной конечной размерности изоморфны друг другу.

'''Лекция 10''' (15.11.2016). Матрица перехода между двумя базисами. Формула замены координат. Определитель матрицы порядка 2, ориентированная площадь. Подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

'''Лекция 11''' (22.11.2016). Определитель треугольной матрицы. Определитель как полилинейная функция строк. Умножение подстановок. Изменение знака подстановки при умножении на транспозицию. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы.

'''Лекция 12''' (29.11.2016). Определитель как единственная полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, равная 1 на единичной матрице. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Формула разложения определителя по строке. Знак произведения подстановок и знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 13''' (6.12.2016). Приложения определителей: формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений; формула обратной матрицы; определение ранга матрицы через миноры (ранг Фробениуса).

'''Лекция 14''' (13.12.2016). Комплексные числа.

'''Лекция 15''' (10.01.2017). Поле. Примеры полей. Линейные пространства над полем. Комплексификация и овеществление. Линейное отображение и линейный оператор: определение и геометрические примеры.

'''Лекция 16''' (17.01.2017). Новые примеры линейных отображений. Множество линейных отображений Hom(U,V) как линейное пространство. Линейные функционалы и двойственное пространство. Понятие двойственного базиса, размерность двойственного пространства. Идея теории категорий, категория линейных пространств. Контравариантные и ковариантные функторы.
Матрица линейного отображения: эквивалентность двух определений. Размерность линейного пространства Hom(U,V).

'''Лекция 17''' (25.01.2017).
Матрица композиции линейных отображений. Матрица изоморфизма. Замена координат и матрица линейного отображения. Замена координат в двойственном пространстве, понятие ковектора. Ядро и образ линейного отображения, их связи с матрицей линейного отображения. Короткая точная последовательность. Ранг, определитель и след линейного оператора.

'''Лекция 18''' (31.01.2017). Инвариантные пространства линейного оператора, инвариантность его ядра и образа. Прямая сумма нескольких подпространств. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство или прямую сумму таких подпространств. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен линейного оператора. Определитель и след и характеристический многочлен как инварианты линейного оператора.

'''Лекция 19''' (7.02.2017). Характеристический многочлен как инвариант линейного оператора. Алгебраически замкнутое поле. Кратности и количество корней многочлена над алгебраически замкнутым полем. Формулы Виета. Связь определителя и следа комплексного оператора с собственными значениями. Диагонализуемые операторы (операторы простой структуры). Оператор дифференцирования многочленов как пример не диагонализуемого оператора.

'''Лекция 20''' (14.02.2017). Корневые векторы и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

'''Лекция 21''' (21.02.2017). Теорема о приведении матрицы линейного оператора к верхнетреугольному виду. Формулировка теоремы о жордановой форме линейного оператора в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем. Единственность жордановой формы.

'''Лекция 22''' (28.02.2017). Существование аннулирующего многочлена линейного оператора над произвольным полем. Теорема Гамильтона--Кэли. Минимальный многочлен комплексного линейного оператора.

Евклидово пространство. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базис.

'''Лекция 23''' (7.3.2017). Связь матриц Грама различных базисов. Существование и единственность проекции и ортогональной составляющей вектора относительно подпространства. Существование и метод построения ортонормированного базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Объем k-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве, его связь с определителем матрицы Грама. Ориентированный объем n-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (15.3.2017). Эрмитово пространство, его сходство и различие с евклидовым пространством. Сопряженные линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. Самосопряженный (эрмитов) оператор. Нормальный оператор, его основное свойство.

'''Лекция 25''' (22.3.2017). Ортогональные и унитарные операторы. Ортогональные и унитарные матрицы. Канонический вид унитарного оператора и ортогонального оператора.

'''Лекция 26''' (4.4.2017). Мультипликативные разложения матриц. LU разложение. Положительно определенный самосопряженный оператор. SU разложение (полярное разложение). Сингулярное разложение (SVD). QR разложение.

'''На ближайших лекциях:''' Билинейные и квадратичные формы.

=== Порядок формирования итоговой оценки для пилотного потока ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

==== 4-й модуль ====

== Информация для основного потока ==

=== Порядок формирования итоговой оценки ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,2 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

==== 4-й модуль ====

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

=== Краткое содержание лекций ===

==== 1-2 модули ====

'''Лекция 1''' (5.09.2016). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (12.09.2016). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (19.09.2016). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (26.09.2016). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Матричные единицы. Умножение на матричную единицу. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (3.10.2016). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении справа на элементарную транспозицию.

'''Лекция 6''' (10.10.2016). Изменение знака подстановки при умножении справа на произвольную транспозицию. Разложение подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов).

'''Лекция 7''' (17.10.2016). Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц.

'''Лекция 8''' (31.10.2016). Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

'''Лекция 9''' (7.11.2016). Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства.

'''Лекция 10''' (14.11.2016). Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

'''Лекция 11''' (21.11.2016). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

'''Лекция 12''' (28.11.2016). Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства, координаты вектора в базисе. Базис как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

'''Лекция 13''' (5.12.2016). Эквивалентные условия, определяющие конечномерное векторное пространство размерности n. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 14''' (12.12.2016). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

==== 3-4 модули ====

'''Лекция 15''' (19.12.2016). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

'''Лекция 16''' (16.01.2017). Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

'''Лекция 17''' (23.01.2017). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений.

'''Лекция 18''' (30.01.2017). Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры.

'''Лекция 19''' (6.02.2017). Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Утверждение о том, что всякое подпространство в F^n является множеством решений некоторой однородной системы линейных уравнений. Билинейные функции (формы) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису.

'''Лекция 20''' (13.02.2017). Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

'''Лекция 21''' (20.02.2017). Угловые миноры матрицы квадратичной формы. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры.

'''Лекция 22''' (27.02.2017). Следствие метода Якоби: вычисление отрицательного индекса инерции квадратичной формы над R. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

'''Лекция 23''' (6.03.2017). Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Ортогональные и ортонормированные системы векторов евклидова пространства, ортогональные и ортонормированные базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (13.03.2017). Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства.

'''Лекция 25''' (20.03.2017). Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Смешанное произведение векторов, его выражение в координатах, критерий компланарности трёх векторов. Векторное произведение, критерий коллинеарности двух векторов. Связь векторного произведения со смешанным произведением. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Двойное векторное произведение, тождество Якоби. Выражение векторного произведения в координатах. Связь множества решений системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы.

'''Лекция 26''' (5.04.2017). Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки.

=== Листки с задачами ===

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/f3epqb7rs71r995/LA_16-17_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

до 6 ноября включительно разрешается сдавать любое количество задач;

с 7 по 13 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более шести''' задач;

13 ноября — последний день приёма задач

[https://www.dropbox.com/s/wmhg3cqj7sop14l/LA_16-17_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

18 декабря — последний день приёма задач

с 12 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 6 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

[https://www.dropbox.com/s/c6dkx76ncb6ddre/LA_16-17_Stream2_Sheet3.pdf?dl=0 '''Листок 3''']. Конструкции, связанные с линейными отображениями

Сроки сдачи листка 3:

19 марта — последний день приёма задач

с 13 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 6 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более восьми''' задач

=== Лабораторные работы ===

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не затирайте условий задач. Задание должно быть выполнено на языке Python.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему [http://anytask.org AnyTask]. Инвайты для регистрации на курс:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 163 !! 164 !! 165 !! 166 !! 167 !! 168
|-
|| erCwXX3 || FjduzdE || 078wQmj || d8Lfn5Y || 5JCnwSR || HNJ3zEn
|}

Краткое руководство по работе с системой [https://www.dropbox.com/s/fl2pyq5fruxchyw/manual_student.pdf?dl=0 прилагается].

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду] (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [mailto:st-fedotov@yandex-team.ru st-fedotov@yandex-team.ru]

'''Внимание:''' тема письма должна начинаться с '''[ФКН - лабораторная N]''', где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

==== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ====

'''Срок:'''

5 декабря 23:30 для групп 164-168

7 декабря 23:30 для группы 163

[https://www.dropbox.com/s/gqvszs55cl5519o/HSE%20Linalg%20Lab%20Fall%202016.ipynb?dl=0 '''Условие''']

==== Лабораторная работа 2 (3-й модуль) ====

'''Срок:''' 5 апреля 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/p9zegynwx1kgt3d/AABjR9UCqD0aihbuzcnIobgAa?dl=0 '''тут'''].

=== Контрольные работы ===
==== 2-й модуль ====

Контрольная работа состоялась 19 ноября в 12:10 в аудиториях 622 и 509.

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/p5ceogf3zhaplra/LA_16-17_Stream2_Test1.pdf?dl=0 '''Условия задач из контрольной''']

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.
*Решение систем линейных уравнений [82--89, 567--581, 689--704, 712--720]
*Действия с матрицами [788--798, 801, 805, 822, 824, 836--845, 861--870, 937]
*Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
*Определители 2-го и 3-го порядка [1--12, 43--60]
*Определители произвольного порядка: определение [188--206]
*Вычисление определителей произвольного порядка [257--269, 279, 316]

==== 4-й модуль ====

=== Коллоквиумы ===

'''Формат проведения коллоквиумов'''

Этап 1. Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат не выше 3 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат 4, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 1. Если результат 5, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 2.

Этап 2. Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего начинается разговор с принимающим (как правило, другим). По результатам разговора выставляется окончательная оценка.

==== 2-й модуль ====

Даты коллоквиума: 9 и 10 декабря.

[https://www.dropbox.com/s/yzxftul500urq29/LA_16-17_Stream2_Definitions1.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/m6lqqwff9p1bj9e/LA_16-17_Stream2_Questions1.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

==== 4-й модуль ====

Даты коллоквиума: ориентировочно в конце мая

[https://www.dropbox.com/s/fp7kw3m6iqnwyrm/LA_16-17_Stream2_Definitions2.pdf?dl=0 '''Начало списка определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/cpjzqa64rzmgkzx/LA_16-17_Stream2_Questions2.pdf?dl=0 '''Начало списка вопросов на доказательство''']

=== Экзамен 2-й модуль ===

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 22 декабря, 10:30

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

[https://www.dropbox.com/s/jf2vnoht5e1f6qm/LA_16-17_Stream2_Exam1.pdf?dl=0 '''Условия задач с экзамена''']

Задачи для подготовки к экзамену (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Системы линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720, 724–732; К 8.1, 8.2, 8.4
*Действия с матрицами: П 788–798, 801, 805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.4, 18.1, 18.3, 18.8–18.11
*Подстановки: П 125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители: П 1–12, 43–60, 188–206, 212–214, 224– 232, 236–240, 257–269, 279, 316; К 9.1, 9.2, 10.1–10.4, 11.1–11.4, 12.1, 12.2, 13.1
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
*Векторные пространства, линейная зависимость, базис, подпространства: П 639–644, 665–669, 672–676, 679–681, 1285–1293, 1297–1304, 1308, 1310, 1311, 1824–1828; К 34.1–34.4, 35.1–35.3, 35.11
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, К 7.1, 7.2

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты контрольных работ'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=2074432488 168]
|}

==== 3-4 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=2074432488 168]
|}

== Кстати ==

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-04-07T22:38:17Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ161 !! БПМИ162 !! БПМИ163 !! БПМИ164 !! БПМИ165 !! БПМИ166 !! БПМИ167 !! БПМИ168
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] ||colspan="2"| [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент ||colspan="2"| [mailto:beloppolina@gmail.com Полина Белопашенцева], [mailto:georgiy-sh@ya.ru Георгий Шумкин] || [mailto:rakhaydurov@edu.hse.ru Руслан Хайдуров] || [mailto:eterniusgrv@gmail.com Вадим Гринберг] || [mailto:pvl.kovalev@gmail.com Павел Ковалёв] || [mailto:n.v.bakaykina@gmail.com Наталья Бакайкина] || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский] || [mailto:valerystar@inbox.ru Валерия Старичкова]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Дмитрий Игоревич Пионтковский || || 18:30–20, ауд. 507 || || || 15:10–16:30, Шаболовка 26, ауд. 5413
|-
| <center>2</center> || Всеволод Леонидович Чернышев || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>3</center> || Роман Сергеевич Авдеев || 15:40–17:40, ауд. 623 или 618 || || || ||
|-
| <center>4</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || || 9:00–10:30, ауд. 511
|-
| <center>5</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || || 13:00–15:00, ауд. 607
|-
| <center>6</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || 13:40–17:00, ауд. 607 || ||
|-
| <center>7</center> || Полина Белопашенцева || || || || || 16:40–18:00, ауд.??
|-
| <center>8</center> || Георгий Шумкин || || || || || 13:40–15.00, ауд.  618
|-
| <center>9</center> || Руслан Хайдуров || || 13:40–22:00, ауд. ?? || || ||
|-
| <center>10</center> || Вадим Гринберг || || 16:40–18:10, ауд. ?? || || || 16:40–18:10, ауд. 308
|-
| <center>11</center> || Павел Ковалёв || || 16:40–18:00 || || ||
|-
| <center>12</center> || Наталья Бакайкина || || || 15:00–16:30 || ||
|-
| <center>13</center> || Александр Чернявский ||15:00–16:30, ауд. ?? || || || ||
|-
| <center>14</center> || Валерия Старичкова || || || || 13:40–15:00 ||
|}

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Информация для пилотного потока ==

=== Краткое содержание лекций ===

'''Лекция 1''' (6.09.2016). Геометрия ''n''-мерного арифметического пространства.

'''Лекция 2''' (13.09.2016). Матрицы и основные операции над ними.

'''Лекция 3''' (20.09.2016). Элементарные преобразования строк матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

'''Лекция 4''' (27.09.2016). Существование и единственность канонического вида матрицы. Обратная матрица.

'''Лекция 5''' (4.10.2016). Обратимость невырожденных матриц. Линейное пространство. Подпространства, линейные оболочки.

'''Лекция 6''' (11.10.2016). Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.

'''Лекция 7''' (18.10.2016). Столбцовый и строчный ранг матрицы, теорема об их равенстве. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

'''Лекция 8''' (1.11.2016). Теорема Кронекера-Капелли. Размерность линейного многообразия. Сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями.

'''Лекция 9''' (8.11.2016). Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм. Теорема о том, что все пространства одной конечной размерности изоморфны друг другу.

'''Лекция 10''' (15.11.2016). Матрица перехода между двумя базисами. Формула замены координат. Определитель матрицы порядка 2, ориентированная площадь. Подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

'''Лекция 11''' (22.11.2016). Определитель треугольной матрицы. Определитель как полилинейная функция строк. Умножение подстановок. Изменение знака подстановки при умножении на транспозицию. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы.

'''Лекция 12''' (29.11.2016). Определитель как единственная полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, равная 1 на единичной матрице. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Формула разложения определителя по строке. Знак произведения подстановок и знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 13''' (6.12.2016). Приложения определителей: формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений; формула обратной матрицы; определение ранга матрицы через миноры (ранг Фробениуса).

'''Лекция 14''' (13.12.2016). Комплексные числа.

'''Лекция 15''' (10.01.2017). Поле. Примеры полей. Линейные пространства над полем. Комплексификация и овеществление. Линейное отображение и линейный оператор: определение и геометрические примеры.

'''Лекция 16''' (17.01.2017). Новые примеры линейных отображений. Множество линейных отображений Hom(U,V) как линейное пространство. Линейные функционалы и двойственное пространство. Понятие двойственного базиса, размерность двойственного пространства. Идея теории категорий, категория линейных пространств. Контравариантные и ковариантные функторы.
Матрица линейного отображения: эквивалентность двух определений. Размерность линейного пространства Hom(U,V).

'''Лекция 17''' (25.01.2017).
Матрица композиции линейных отображений. Матрица изоморфизма. Замена координат и матрица линейного отображения. Замена координат в двойственном пространстве, понятие ковектора. Ядро и образ линейного отображения, их связи с матрицей линейного отображения. Короткая точная последовательность. Ранг, определитель и след линейного оператора.

'''Лекция 18''' (31.01.2017). Инвариантные пространства линейного оператора, инвариантность его ядра и образа. Прямая сумма нескольких подпространств. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство или прямую сумму таких подпространств. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен линейного оператора. Определитель и след и характеристический многочлен как инварианты линейного оператора.

'''Лекция 19''' (7.02.2017). Характеристический многочлен как инвариант линейного оператора. Алгебраически замкнутое поле. Кратности и количество корней многочлена над алгебраически замкнутым полем. Формулы Виета. Связь определителя и следа комплексного оператора с собственными значениями. Диагонализуемые операторы (операторы простой структуры). Оператор дифференцирования многочленов как пример не диагонализуемого оператора.

'''Лекция 20''' (14.02.2017). Корневые векторы и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

'''Лекция 21''' (21.02.2017). Теорема о приведении матрицы линейного оператора к верхнетреугольному виду. Формулировка теоремы о жордановой форме линейного оператора в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем. Единственность жордановой формы.

'''Лекция 22''' (28.02.2017). Существование аннулирующего многочлена линейного оператора над произвольным полем. Теорема Гамильтона--Кэли. Минимальный многочлен комплексного линейного оператора.

Евклидово пространство. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базис.

'''Лекция 23''' (7.3.2017). Связь матриц Грама различных базисов. Существование и единственность проекции и ортогональной составляющей вектора относительно подпространства. Существование и метод построения ортонормированного базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Объем k-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве, его связь с определителем матрицы Грама. Ориентированный объем n-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (15.3.2017). Эрмитово пространство, его сходство и различие с евклидовым пространством. Сопряженные линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. Самосопряженный (эрмитов) оператор. Нормальный оператор, его основное свойство.

'''Лекция 25''' (22.3.2017).
Ортогональные и унитарные операторы. Ортогональные и унитарные матрицы. Канонический вид унитарного оператора и ортогонального оператора.

'''Лекция 26''' (4.4.2017). Мультипликативные разложения матриц. LU разложение. Положительно определенный самосопряженный оператор. SU разложение (полярное разложение). Сингулярное разложение (SVD). QR разложение.

'''На ближайших лекциях:''' Билинейные и квадратичные формы.

=== Порядок формирования итоговой оценки для пилотного потока ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

==== 4-й модуль ====

== Информация для основного потока ==

=== Порядок формирования итоговой оценки ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,2 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

==== 4-й модуль ====

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

=== Краткое содержание лекций ===

==== 1-2 модули ====

'''Лекция 1''' (5.09.2016). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (12.09.2016). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (19.09.2016). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (26.09.2016). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Матричные единицы. Умножение на матричную единицу. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (3.10.2016). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении справа на элементарную транспозицию.

'''Лекция 6''' (10.10.2016). Изменение знака подстановки при умножении справа на произвольную транспозицию. Разложение подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов).

'''Лекция 7''' (17.10.2016). Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц.

'''Лекция 8''' (31.10.2016). Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

'''Лекция 9''' (7.11.2016). Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства.

'''Лекция 10''' (14.11.2016). Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

'''Лекция 11''' (21.11.2016). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

'''Лекция 12''' (28.11.2016). Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства, координаты вектора в базисе. Базис как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

'''Лекция 13''' (5.12.2016). Эквивалентные условия, определяющие конечномерное векторное пространство размерности n. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 14''' (12.12.2016). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

==== 3-4 модули ====

'''Лекция 15''' (19.12.2016). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

'''Лекция 16''' (16.01.2017). Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

'''Лекция 17''' (23.01.2017). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений.

'''Лекция 18''' (30.01.2017). Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры.

'''Лекция 19''' (6.02.2017). Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Утверждение о том, что всякое подпространство в F^n является множеством решений некоторой однородной системы линейных уравнений. Билинейные функции (формы) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису.

'''Лекция 20''' (13.02.2017). Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

'''Лекция 21''' (20.02.2017). Угловые миноры матрицы квадратичной формы. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры.

'''Лекция 22''' (27.02.2017). Следствие метода Якоби: вычисление отрицательного индекса инерции квадратичной формы над R. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

'''Лекция 23''' (6.03.2017). Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Ортогональные и ортонормированные системы векторов евклидова пространства, ортогональные и ортонормированные базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (13.03.2017). Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства.

'''Лекция 25''' (20.03.2017). Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Смешанное произведение векторов, его выражение в координатах, критерий компланарности трёх векторов. Векторное произведение, критерий коллинеарности двух векторов. Связь векторного произведения со смешанным произведением. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Двойное векторное произведение, тождество Якоби. Выражение векторного произведения в координатах. Связь множества решений системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы.

'''Лекция 26''' (5.04.2017). Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки.

=== Листки с задачами ===

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/f3epqb7rs71r995/LA_16-17_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

до 6 ноября включительно разрешается сдавать любое количество задач;

с 7 по 13 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более шести''' задач;

13 ноября — последний день приёма задач

[https://www.dropbox.com/s/wmhg3cqj7sop14l/LA_16-17_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

18 декабря — последний день приёма задач

с 12 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 6 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

[https://www.dropbox.com/s/c6dkx76ncb6ddre/LA_16-17_Stream2_Sheet3.pdf?dl=0 '''Листок 3''']. Конструкции, связанные с линейными отображениями

Сроки сдачи листка 3:

19 марта — последний день приёма задач

с 13 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 6 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более восьми''' задач

=== Лабораторные работы ===

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не затирайте условий задач. Задание должно быть выполнено на языке Python.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему [http://anytask.org AnyTask]. Инвайты для регистрации на курс:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 163 !! 164 !! 165 !! 166 !! 167 !! 168
|-
|| erCwXX3 || FjduzdE || 078wQmj || d8Lfn5Y || 5JCnwSR || HNJ3zEn
|}

Краткое руководство по работе с системой [https://www.dropbox.com/s/fl2pyq5fruxchyw/manual_student.pdf?dl=0 прилагается].

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду] (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [mailto:st-fedotov@yandex-team.ru st-fedotov@yandex-team.ru]

'''Внимание:''' тема письма должна начинаться с '''[ФКН - лабораторная N]''', где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

==== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ====

'''Срок:'''

5 декабря 23:30 для групп 164-168

7 декабря 23:30 для группы 163

[https://www.dropbox.com/s/gqvszs55cl5519o/HSE%20Linalg%20Lab%20Fall%202016.ipynb?dl=0 '''Условие''']

==== Лабораторная работа 2 (3-й модуль) ====

'''Срок:''' 5 апреля 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/p9zegynwx1kgt3d/AABjR9UCqD0aihbuzcnIobgAa?dl=0 '''тут'''].

=== Контрольные работы ===
==== 2-й модуль ====

Контрольная работа состоялась 19 ноября в 12:10 в аудиториях 622 и 509.

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/p5ceogf3zhaplra/LA_16-17_Stream2_Test1.pdf?dl=0 '''Условия задач из контрольной''']

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.
*Решение систем линейных уравнений [82--89, 567--581, 689--704, 712--720]
*Действия с матрицами [788--798, 801, 805, 822, 824, 836--845, 861--870, 937]
*Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
*Определители 2-го и 3-го порядка [1--12, 43--60]
*Определители произвольного порядка: определение [188--206]
*Вычисление определителей произвольного порядка [257--269, 279, 316]

==== 4-й модуль ====

=== Коллоквиумы ===

'''Формат проведения коллоквиумов'''

Этап 1. Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат не выше 3 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат 4, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 1. Если результат 5, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 2.

Этап 2. Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего начинается разговор с принимающим (как правило, другим). По результатам разговора выставляется окончательная оценка.

==== 2-й модуль ====

Даты коллоквиума: 9 и 10 декабря.

[https://www.dropbox.com/s/yzxftul500urq29/LA_16-17_Stream2_Definitions1.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/m6lqqwff9p1bj9e/LA_16-17_Stream2_Questions1.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

==== 4-й модуль ====

Даты коллоквиума: ориентировочно в конце мая

[https://www.dropbox.com/s/fp7kw3m6iqnwyrm/LA_16-17_Stream2_Definitions2.pdf?dl=0 '''Начало списка определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/cpjzqa64rzmgkzx/LA_16-17_Stream2_Questions2.pdf?dl=0 '''Начало списка вопросов на доказательство''']

=== Экзамен 2-й модуль ===

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 22 декабря, 10:30

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

[https://www.dropbox.com/s/jf2vnoht5e1f6qm/LA_16-17_Stream2_Exam1.pdf?dl=0 '''Условия задач с экзамена''']

Задачи для подготовки к экзамену (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Системы линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720, 724–732; К 8.1, 8.2, 8.4
*Действия с матрицами: П 788–798, 801, 805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.4, 18.1, 18.3, 18.8–18.11
*Подстановки: П 125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители: П 1–12, 43–60, 188–206, 212–214, 224– 232, 236–240, 257–269, 279, 316; К 9.1, 9.2, 10.1–10.4, 11.1–11.4, 12.1, 12.2, 13.1
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
*Векторные пространства, линейная зависимость, базис, подпространства: П 639–644, 665–669, 672–676, 679–681, 1285–1293, 1297–1304, 1308, 1310, 1311, 1824–1828; К 34.1–34.4, 35.1–35.3, 35.11
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, К 7.1, 7.2

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты контрольных работ'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=2074432488 168]
|}

==== 3-4 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=2074432488 168]
|}

== Кстати ==

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-04-07T22:34:55Z

Piont:

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ161 !! БПМИ162 !! БПМИ163 !! БПМИ164 !! БПМИ165 !! БПМИ166 !! БПМИ167 !! БПМИ168
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] ||colspan="2"| [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент ||colspan="2"| [mailto:beloppolina@gmail.com Полина Белопашенцева], [mailto:georgiy-sh@ya.ru Георгий Шумкин] || [mailto:rakhaydurov@edu.hse.ru Руслан Хайдуров] || [mailto:eterniusgrv@gmail.com Вадим Гринберг] || [mailto:pvl.kovalev@gmail.com Павел Ковалёв] || [mailto:n.v.bakaykina@gmail.com Наталья Бакайкина] || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский] || [mailto:valerystar@inbox.ru Валерия Старичкова]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Дмитрий Игоревич Пионтковский || || 18:30–20, ауд. 507 || || || 15:10–16:30, Шаболовка 26, ауд. 5413
|-
| <center>2</center> || Всеволод Леонидович Чернышев || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>3</center> || Роман Сергеевич Авдеев || 15:40–17:40, ауд. 623 или 618 || || || ||
|-
| <center>4</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || || 9:00–10:30, ауд. 511
|-
| <center>5</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || || 13:00–15:00, ауд. 607
|-
| <center>6</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || 13:40–17:00, ауд. 607 || ||
|-
| <center>7</center> || Полина Белопашенцева || || || || || 16:40–18:00, ауд.??
|-
| <center>8</center> || Георгий Шумкин || || || || || 13:40–15.00, ауд.  618
|-
| <center>9</center> || Руслан Хайдуров || || 13:40–22:00, ауд. ?? || || ||
|-
| <center>10</center> || Вадим Гринберг || || 16:40–18:10, ауд. ?? || || || 16:40–18:10, ауд. 308
|-
| <center>11</center> || Павел Ковалёв || || 16:40–18:00 || || ||
|-
| <center>12</center> || Наталья Бакайкина || || || 15:00–16:30 || ||
|-
| <center>13</center> || Александр Чернявский ||15:00–16:30, ауд. ?? || || || ||
|-
| <center>14</center> || Валерия Старичкова || || || || 13:40–15:00 ||
|}

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Информация для пилотного потока ==

=== Краткое содержание лекций ===

'''Лекция 1''' (6.09.2016). Геометрия ''n''-мерного арифметического пространства.

'''Лекция 2''' (13.09.2016). Матрицы и основные операции над ними.

'''Лекция 3''' (20.09.2016). Элементарные преобразования строк матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

'''Лекция 4''' (27.09.2016). Существование и единственность канонического вида матрицы. Обратная матрица.

'''Лекция 5''' (4.10.2016). Обратимость невырожденных матриц. Линейное пространство. Подпространства, линейные оболочки.

'''Лекция 6''' (11.10.2016). Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.

'''Лекция 7''' (18.10.2016). Столбцовый и строчный ранг матрицы, теорема об их равенстве. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

'''Лекция 8''' (1.11.2016). Теорема Кронекера-Капелли. Размерность линейного многообразия. Сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями.

'''Лекция 9''' (8.11.2016). Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм. Теорема о том, что все пространства одной конечной размерности изоморфны друг другу.

'''Лекция 10''' (15.11.2016). Матрица перехода между двумя базисами. Формула замены координат. Определитель матрицы порядка 2, ориентированная площадь. Подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

'''Лекция 11''' (22.11.2016). Определитель треугольной матрицы. Определитель как полилинейная функция строк. Умножение подстановок. Изменение знака подстановки при умножении на транспозицию. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы.

'''Лекция 12''' (29.11.2016). Определитель как единственная полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, равная 1 на единичной матрице. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Формула разложения определителя по строке. Знак произведения подстановок и знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 13''' (6.12.2016). Приложения определителей: формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений; формула обратной матрицы; определение ранга матрицы через миноры (ранг Фробениуса).

'''Лекция 14''' (13.12.2016). Комплексные числа.

'''Лекция 15''' (10.01.2017). Поле. Примеры полей. Линейные пространства над полем. Комплексификация и овеществление. Линейное отображение и линейный оператор: определение и геометрические примеры.

'''Лекция 16''' (17.01.2017). Новые примеры линейных отображений. Множество линейных отображений Hom(U,V) как линейное пространство. Линейные функционалы и двойственное пространство. Понятие двойственного базиса, размерность двойственного пространства. Идея теории категорий, категория линейных пространств. Контравариантные и ковариантные функторы.
Матрица линейного отображения: эквивалентность двух определений. Размерность линейного пространства Hom(U,V).

'''Лекция 17''' (25.01.2017).
Матрица композиции линейных отображений. Матрица изоморфизма. Замена координат и матрица линейного отображения. Замена координат в двойственном пространстве, понятие ковектора. Ядро и образ линейного отображения, их связи с матрицей линейного отображения. Короткая точная последовательность. Ранг, определитель и след линейного оператора.

'''Лекция 18''' (31.01.2017). Инвариантные пространства линейного оператора, инвариантность его ядра и образа. Прямая сумма нескольких подпространств. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство или прямую сумму таких подпространств. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен линейного оператора. Определитель и след и характеристический многочлен как инварианты линейного оператора.

'''Лекция 19''' (7.02.2017). Характеристический многочлен как инвариант линейного оператора. Алгебраически замкнутое поле. Кратности и количество корней многочлена над алгебраически замкнутым полем. Формулы Виета. Связь определителя и следа комплексного оператора с собственными значениями. Диагонализуемые операторы (операторы простой структуры). Оператор дифференцирования многочленов как пример не диагонализуемого оператора.

'''Лекция 20''' (14.02.2017). Корневые векторы и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

'''Лекция 21''' (21.02.2017). Теорема о приведении матрицы линейного оператора к верхнетреугольному виду. Формулировка теоремы о жордановой форме линейного оператора в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем. Единственность жордановой формы.

'''Лекция 22''' (28.02.2017). Существование аннулирующего многочлена линейного оператора над произвольным полем. Теорема Гамильтона--Кэли. Минимальный многочлен комплексного линейного оператора.

Евклидово пространство. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базис.

'''Лекция 23''' (7.3.2017). Связь матриц Грама различных базисов. Существование и единственность проекции и ортогональной составляющей вектора относительно подпространства. Существование и метод построения ортонормированного базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Объем k-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве, его связь с определителем матрицы Грама. Ориентированный объем n-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (15.3.2017). Эрмитово пространство, его сходство и различие с евклидовым пространством. Сопряженные линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. Самосопряженный (эрмитов) оператор. Нормальный оператор, его основное свойство.

'''На ближайших лекциях:''' Ортогональные и унитарные операторы. Ортогональные и унитарные матрицы. Канонический вид унитарного оператора и ортогонального оператора. QR разложение. Положительно определенный самосопряженный оператор. SU разложение. Сингулярное разложение.

=== Порядок формирования итоговой оценки для пилотного потока ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

==== 4-й модуль ====

== Информация для основного потока ==

=== Порядок формирования итоговой оценки ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,2 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

==== 4-й модуль ====

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

=== Краткое содержание лекций ===

==== 1-2 модули ====

'''Лекция 1''' (5.09.2016). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (12.09.2016). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (19.09.2016). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (26.09.2016). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Матричные единицы. Умножение на матричную единицу. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (3.10.2016). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении справа на элементарную транспозицию.

'''Лекция 6''' (10.10.2016). Изменение знака подстановки при умножении справа на произвольную транспозицию. Разложение подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов).

'''Лекция 7''' (17.10.2016). Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц.

'''Лекция 8''' (31.10.2016). Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

'''Лекция 9''' (7.11.2016). Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства.

'''Лекция 10''' (14.11.2016). Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

'''Лекция 11''' (21.11.2016). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

'''Лекция 12''' (28.11.2016). Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства, координаты вектора в базисе. Базис как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

'''Лекция 13''' (5.12.2016). Эквивалентные условия, определяющие конечномерное векторное пространство размерности n. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 14''' (12.12.2016). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

==== 3-4 модули ====

'''Лекция 15''' (19.12.2016). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

'''Лекция 16''' (16.01.2017). Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

'''Лекция 17''' (23.01.2017). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений.

'''Лекция 18''' (30.01.2017). Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры.

'''Лекция 19''' (6.02.2017). Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Утверждение о том, что всякое подпространство в F^n является множеством решений некоторой однородной системы линейных уравнений. Билинейные функции (формы) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису.

'''Лекция 20''' (13.02.2017). Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

'''Лекция 21''' (20.02.2017). Угловые миноры матрицы квадратичной формы. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры.

'''Лекция 22''' (27.02.2017). Следствие метода Якоби: вычисление отрицательного индекса инерции квадратичной формы над R. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

'''Лекция 23''' (6.03.2017). Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Ортогональные и ортонормированные системы векторов евклидова пространства, ортогональные и ортонормированные базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (13.03.2017). Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства.

'''Лекция 25''' (20.03.2017). Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Смешанное произведение векторов, его выражение в координатах, критерий компланарности трёх векторов. Векторное произведение, критерий коллинеарности двух векторов. Связь векторного произведения со смешанным произведением. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Двойное векторное произведение, тождество Якоби. Выражение векторного произведения в координатах. Связь множества решений системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы.

'''Лекция 26''' (5.04.2017). Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки.

=== Листки с задачами ===

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/f3epqb7rs71r995/LA_16-17_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

до 6 ноября включительно разрешается сдавать любое количество задач;

с 7 по 13 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более шести''' задач;

13 ноября — последний день приёма задач

[https://www.dropbox.com/s/wmhg3cqj7sop14l/LA_16-17_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

18 декабря — последний день приёма задач

с 12 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 6 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

[https://www.dropbox.com/s/c6dkx76ncb6ddre/LA_16-17_Stream2_Sheet3.pdf?dl=0 '''Листок 3''']. Конструкции, связанные с линейными отображениями

Сроки сдачи листка 3:

19 марта — последний день приёма задач

с 13 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 6 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более восьми''' задач

=== Лабораторные работы ===

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не затирайте условий задач. Задание должно быть выполнено на языке Python.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему [http://anytask.org AnyTask]. Инвайты для регистрации на курс:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 163 !! 164 !! 165 !! 166 !! 167 !! 168
|-
|| erCwXX3 || FjduzdE || 078wQmj || d8Lfn5Y || 5JCnwSR || HNJ3zEn
|}

Краткое руководство по работе с системой [https://www.dropbox.com/s/fl2pyq5fruxchyw/manual_student.pdf?dl=0 прилагается].

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду] (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [mailto:st-fedotov@yandex-team.ru st-fedotov@yandex-team.ru]

'''Внимание:''' тема письма должна начинаться с '''[ФКН - лабораторная N]''', где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

==== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ====

'''Срок:'''

5 декабря 23:30 для групп 164-168

7 декабря 23:30 для группы 163

[https://www.dropbox.com/s/gqvszs55cl5519o/HSE%20Linalg%20Lab%20Fall%202016.ipynb?dl=0 '''Условие''']

==== Лабораторная работа 2 (3-й модуль) ====

'''Срок:''' 5 апреля 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/p9zegynwx1kgt3d/AABjR9UCqD0aihbuzcnIobgAa?dl=0 '''тут'''].

=== Контрольные работы ===
==== 2-й модуль ====

Контрольная работа состоялась 19 ноября в 12:10 в аудиториях 622 и 509.

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/p5ceogf3zhaplra/LA_16-17_Stream2_Test1.pdf?dl=0 '''Условия задач из контрольной''']

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.
*Решение систем линейных уравнений [82--89, 567--581, 689--704, 712--720]
*Действия с матрицами [788--798, 801, 805, 822, 824, 836--845, 861--870, 937]
*Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
*Определители 2-го и 3-го порядка [1--12, 43--60]
*Определители произвольного порядка: определение [188--206]
*Вычисление определителей произвольного порядка [257--269, 279, 316]

==== 4-й модуль ====

=== Коллоквиумы ===

'''Формат проведения коллоквиумов'''

Этап 1. Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат не выше 3 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат 4, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 1. Если результат 5, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 2.

Этап 2. Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего начинается разговор с принимающим (как правило, другим). По результатам разговора выставляется окончательная оценка.

==== 2-й модуль ====

Даты коллоквиума: 9 и 10 декабря.

[https://www.dropbox.com/s/yzxftul500urq29/LA_16-17_Stream2_Definitions1.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/m6lqqwff9p1bj9e/LA_16-17_Stream2_Questions1.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

==== 4-й модуль ====

Даты коллоквиума: ориентировочно в конце мая

[https://www.dropbox.com/s/fp7kw3m6iqnwyrm/LA_16-17_Stream2_Definitions2.pdf?dl=0 '''Начало списка определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/cpjzqa64rzmgkzx/LA_16-17_Stream2_Questions2.pdf?dl=0 '''Начало списка вопросов на доказательство''']

=== Экзамен 2-й модуль ===

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 22 декабря, 10:30

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

[https://www.dropbox.com/s/jf2vnoht5e1f6qm/LA_16-17_Stream2_Exam1.pdf?dl=0 '''Условия задач с экзамена''']

Задачи для подготовки к экзамену (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Системы линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720, 724–732; К 8.1, 8.2, 8.4
*Действия с матрицами: П 788–798, 801, 805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.4, 18.1, 18.3, 18.8–18.11
*Подстановки: П 125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители: П 1–12, 43–60, 188–206, 212–214, 224– 232, 236–240, 257–269, 279, 316; К 9.1, 9.2, 10.1–10.4, 11.1–11.4, 12.1, 12.2, 13.1
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
*Векторные пространства, линейная зависимость, базис, подпространства: П 639–644, 665–669, 672–676, 679–681, 1285–1293, 1297–1304, 1308, 1310, 1311, 1824–1828; К 34.1–34.4, 35.1–35.3, 35.11
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, К 7.1, 7.2

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты контрольных работ'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=2074432488 168]
|}

==== 3-4 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=2074432488 168]
|}

== Кстати ==

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-03-17T07:33:12Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ161 !! БПМИ162 !! БПМИ163 !! БПМИ164 !! БПМИ165 !! БПМИ166 !! БПМИ167 !! БПМИ168
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] ||colspan="2"| [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент ||colspan="2"| [mailto:beloppolina@gmail.com Полина Белопашенцева], [mailto:georgiy-sh@ya.ru Георгий Шумкин] || [mailto:rakhaydurov@edu.hse.ru Руслан Хайдуров] || [mailto:eterniusgrv@gmail.com Вадим Гринберг] || [mailto:pvl.kovalev@gmail.com Павел Ковалёв] || [mailto:n.v.bakaykina@gmail.com Наталья Бакайкина] || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский] || [mailto:valerystar@inbox.ru Валерия Старичкова]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Дмитрий Игоревич Пионтковский || 15:30–16:30, ауд. 507 || 18:30–20, ауд. 507 || || || 15:10–16:30, Шаболовка 26, ауд. 5413
|-
| <center>2</center> || Всеволод Леонидович Чернышев || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>3</center> || Роман Сергеевич Авдеев || 15:40–17:40, ауд. 623 или 618 || || || ||
|-
| <center>4</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || || 9:00–10:30, ауд. 511
|-
| <center>5</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || || 13:00–15:00, ауд. 607
|-
| <center>6</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || 13:40–17:00, ауд. 607 || ||
|-
| <center>7</center> || Полина Белопашенцева || 15:10–16:30, ауд. 327 || || || ||
|-
| <center>8</center> || Георгий Шумкин || || || || || 13:40–15.00, ауд.  618
|-
| <center>9</center> || Руслан Хайдуров || || || 12:10–13:40, ауд. ?? || ||
|-
| <center>10</center> || Вадим Гринберг || || 16:40–18:10, ауд. ?? || || || 16:40–18:10, ауд. 308
|-
| <center>11</center> || Павел Ковалёв || || || 13:40–15:00, ауд. 310 || ||
|-
| <center>12</center> || Наталья Бакайкина || || || 15:00–16:30 || ||
|-
| <center>13</center> || Александр Чернявский || ||13:40–15:00, ауд. 302 || || ||
|-
| <center>14</center> || Валерия Старичкова || || ||15:40–17:00, ауд. 511 || ||
|}

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Информация для пилотного потока ==

=== Краткое содержание лекций ===

'''Лекция 1''' (6.09.2016). Геометрия ''n''-мерного арифметического пространства.

'''Лекция 2''' (13.09.2016). Матрицы и основные операции над ними.

'''Лекция 3''' (20.09.2016). Элементарные преобразования строк матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

'''Лекция 4''' (27.09.2016). Существование и единственность канонического вида матрицы. Обратная матрица.

'''Лекция 5''' (4.10.2016). Обратимость невырожденных матриц. Линейное пространство. Подпространства, линейные оболочки.

'''Лекция 6''' (11.10.2016). Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.

'''Лекция 7''' (18.10.2016). Столбцовый и строчный ранг матрицы, теорема об их равенстве. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

'''Лекция 8''' (1.11.2016). Теорема Кронекера-Капелли. Размерность линейного многообразия. Сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями.

'''Лекция 9''' (8.11.2016). Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм. Теорема о том, что все пространства одной конечной размерности изоморфны друг другу.

'''Лекция 10''' (15.11.2016). Матрица перехода между двумя базисами. Формула замены координат. Определитель матрицы порядка 2, ориентированная площадь. Подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

'''Лекция 11''' (22.11.2016). Определитель треугольной матрицы. Определитель как полилинейная функция строк. Умножение подстановок. Изменение знака подстановки при умножении на транспозицию. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы.

'''Лекция 12''' (29.11.2016). Определитель как единственная полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, равная 1 на единичной матрице. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Формула разложения определителя по строке. Знак произведения подстановок и знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 13''' (6.12.2016). Приложения определителей: формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений; формула обратной матрицы; определение ранга матрицы через миноры (ранг Фробениуса).

'''Лекция 14''' (13.12.2016). Комплексные числа.

'''Лекция 15''' (10.01.2017). Поле. Примеры полей. Линейные пространства над полем. Комплексификация и овеществление. Линейное отображение и линейный оператор: определение и геометрические примеры.

'''Лекция 16''' (17.01.2017). Новые примеры линейных отображений. Множество линейных отображений Hom(U,V) как линейное пространство. Линейные функционалы и двойственное пространство. Понятие двойственного базиса, размерность двойственного пространства. Идея теории категорий, категория линейных пространств. Контравариантные и ковариантные функторы.
Матрица линейного отображения: эквивалентность двух определений. Размерность линейного пространства Hom(U,V).

'''Лекция 17''' (25.01.2017).
Матрица композиции линейных отображений. Матрица изоморфизма. Замена координат и матрица линейного отображения. Замена координат в двойственном пространстве, понятие ковектора. Ядро и образ линейного отображения, их связи с матрицей линейного отображения. Короткая точная последовательность. Ранг, определитель и след линейного оператора.

'''Лекция 18''' (31.01.2017). Инвариантные пространства линейного оператора, инвариантность его ядра и образа. Прямая сумма нескольких подпространств. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство или прямую сумму таких подпространств. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен линейного оператора. Определитель и след и характеристический многочлен как инварианты линейного оператора.

'''Лекция 19''' (7.02.2017). Характеристический многочлен как инвариант линейного оператора. Алгебраически замкнутое поле. Кратности и количество корней многочлена над алгебраически замкнутым полем. Формулы Виета. Связь определителя и следа комплексного оператора с собственными значениями. Диагонализуемые операторы (операторы простой структуры). Оператор дифференцирования многочленов как пример не диагонализуемого оператора.

'''Лекция 20''' (14.02.2017). Корневые векторы и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

'''Лекция 21''' (21.02.2017). Теорема о приведении матрицы линейного оператора к верхнетреугольному виду. Формулировка теоремы о жордановой форме линейного оператора в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем. Единственность жордановой формы.

'''Лекция 22''' (28.02.2017). Существование аннулирующего многочлена линейного оператора над произвольным полем. Теорема Гамильтона--Кэли. Минимальный многочлен комплексного линейного оператора.

Евклидово пространство. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базис.

'''Лекция 23''' (7.3.2017). Связь матриц Грама различных базисов. Существование и единственность проекции и ортогональной составляющей вектора относительно подпространства. Существование и метод построения ортонормированного базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Объем k-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве, его связь с определителем матрицы Грама. Ориентированный объем n-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (15.3.2017). Эрмитово пространство, его сходство и различие с евклидовым пространством. Сопряженные линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. Самосопряженный (эрмитов) оператор. Нормальный оператор, его основное свойство.

'''На ближайших лекциях:''' Ортогональные и унитарные операторы. Ортогональные и унитарные матрицы. Канонический вид унитарного оператора и ортогонального оператора. QR разложение. Положительно определенный самосопряженный оператор. SU разложение. Сингулярное разложение.

=== Порядок формирования итоговой оценки для пилотного потока ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

==== 4-й модуль ====

== Информация для основного потока ==

=== Порядок формирования итоговой оценки ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,2 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

==== 4-й модуль ====

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

=== Краткое содержание лекций ===

==== 1-2 модули ====

'''Лекция 1''' (5.09.2016). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (12.09.2016). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (19.09.2016). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (26.09.2016). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Матричные единицы. Умножение на матричную единицу. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (3.10.2016). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении справа на элементарную транспозицию.

'''Лекция 6''' (10.10.2016). Изменение знака подстановки при умножении справа на произвольную транспозицию. Разложение подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов).

'''Лекция 7''' (17.10.2016). Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц.

'''Лекция 8''' (31.10.2016). Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

'''Лекция 9''' (7.11.2016). Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства.

'''Лекция 10''' (14.11.2016). Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

'''Лекция 11''' (21.11.2016). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

'''Лекция 12''' (28.11.2016). Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства, координаты вектора в базисе. Базис как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

'''Лекция 13''' (5.12.2016). Эквивалентные условия, определяющие конечномерное векторное пространство размерности n. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 14''' (12.12.2016). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

==== 3-4 модули ====

'''Лекция 15''' (19.12.2016). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

'''Лекция 16''' (16.01.2017). Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

'''Лекция 17''' (23.01.2017). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений.

'''Лекция 18''' (30.01.2017). Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры.

'''Лекция 19''' (6.02.2017). Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Утверждение о том, что всякое подпространство в F^n является множеством решений некоторой однородной системы линейных уравнений. Билинейные функции (формы) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису.

'''Лекция 20''' (13.02.2017). Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

'''Лекция 21''' (20.02.2017). Угловые миноры матрицы квадратичной формы. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры.

'''Лекция 22''' (27.02.2017). Следствие метода Якоби: вычисление отрицательного индекса инерции квадратичной формы над R. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

'''Лекция 23''' (6.03.2017). Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Ортогональные и ортонормированные системы векторов евклидова пространства, ортогональные и ортонормированные базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (13.03.2017). Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства.

=== Листки с задачами ===

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/f3epqb7rs71r995/LA_16-17_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

до 6 ноября включительно разрешается сдавать любое количество задач;

с 7 по 13 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более шести''' задач;

13 ноября — последний день приёма задач

[https://www.dropbox.com/s/wmhg3cqj7sop14l/LA_16-17_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

18 декабря — последний день приёма задач

с 12 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 6 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

[https://www.dropbox.com/s/c6dkx76ncb6ddre/LA_16-17_Stream2_Sheet3.pdf?dl=0 '''Листок 3''']. Конструкции, связанные с линейными отображениями

Сроки сдачи листка 3:

19 марта — последний день приёма задач

с 13 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 6 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более восьми''' задач

=== Лабораторные работы ===

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не затирайте условий задач. Задание должно быть выполнено на языке Python.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему [http://anytask.org AnyTask]. Инвайты для регистрации на курс:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 163 !! 164 !! 165 !! 166 !! 167 !! 168
|-
|| erCwXX3 || FjduzdE || 078wQmj || d8Lfn5Y || 5JCnwSR || HNJ3zEn
|}

Краткое руководство по работе с системой [https://www.dropbox.com/s/fl2pyq5fruxchyw/manual_student.pdf?dl=0 прилагается].

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду] (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [mailto:st-fedotov@yandex-team.ru st-fedotov@yandex-team.ru]

'''Внимание:''' тема письма должна начинаться с '''[ФКН - лабораторная N]''', где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

==== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ====

'''Срок:'''

5 декабря 23:30 для групп 164-168

7 декабря 23:30 для группы 163

[https://www.dropbox.com/s/gqvszs55cl5519o/HSE%20Linalg%20Lab%20Fall%202016.ipynb?dl=0 '''Условие''']

==== Лабораторная работа 2 (3-й модуль) ====

'''Срок:''' 5 апреля 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/p9zegynwx1kgt3d/AABjR9UCqD0aihbuzcnIobgAa?dl=0 '''тут'''].

=== Контрольные работы ===
==== 2-й модуль ====

Контрольная работа состоялась 19 ноября в 12:10 в аудиториях 622 и 509.

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/p5ceogf3zhaplra/LA_16-17_Stream2_Test1.pdf?dl=0 '''Условия задач из контрольной''']

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.
*Решение систем линейных уравнений [82--89, 567--581, 689--704, 712--720]
*Действия с матрицами [788--798, 801, 805, 822, 824, 836--845, 861--870, 937]
*Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
*Определители 2-го и 3-го порядка [1--12, 43--60]
*Определители произвольного порядка: определение [188--206]
*Вычисление определителей произвольного порядка [257--269, 279, 316]

=== Коллоквиумы ===
==== 2-й модуль ====

Даты коллоквиума: 9 и 10 декабря.

'''Формат проведения коллоквиума'''

Этап 1. Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат не выше 3 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат 4, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 1. Если результат 5, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 2.

Этап 2. Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего начинается разговор с принимающим (возможно, другим). По результатам разговора выставляется окончательная оценка.

[https://www.dropbox.com/s/yzxftul500urq29/LA_16-17_Stream2_Definitions1.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/m6lqqwff9p1bj9e/LA_16-17_Stream2_Questions1.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

=== Экзамен 2-й модуль ===

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 22 декабря, 10:30

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

[https://www.dropbox.com/s/jf2vnoht5e1f6qm/LA_16-17_Stream2_Exam1.pdf?dl=0 '''Условия задач с экзамена''']

Задачи для подготовки к экзамену (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Системы линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720, 724–732; К 8.1, 8.2, 8.4
*Действия с матрицами: П 788–798, 801, 805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.4, 18.1, 18.3, 18.8–18.11
*Подстановки: П 125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители: П 1–12, 43–60, 188–206, 212–214, 224– 232, 236–240, 257–269, 279, 316; К 9.1, 9.2, 10.1–10.4, 11.1–11.4, 12.1, 12.2, 13.1
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
*Векторные пространства, линейная зависимость, базис, подпространства: П 639–644, 665–669, 672–676, 679–681, 1285–1293, 1297–1304, 1308, 1310, 1311, 1824–1828; К 34.1–34.4, 35.1–35.3, 35.11
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, К 7.1, 7.2

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты контрольных работ'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=2074432488 168]
|}

==== 3-4 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=2074432488 168]
|}

== Кстати ==

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-03-15T11:07:29Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

== Преподаватели и учебные ассистенты ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ161 !! БПМИ162 !! БПМИ163 !! БПМИ164 !! БПМИ165 !! БПМИ166 !! БПМИ167 !! БПМИ168
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/org/persons/64913 Дмитрий Игоревич Пионтковский] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/35919212 Всеволод Леонидович Чернышев] || [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] ||colspan="2"| [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент ||colspan="2"| [mailto:beloppolina@gmail.com Полина Белопашенцева], [mailto:georgiy-sh@ya.ru Георгий Шумкин] || [mailto:rakhaydurov@edu.hse.ru Руслан Хайдуров] || [mailto:eterniusgrv@gmail.com Вадим Гринберг] || [mailto:pvl.kovalev@gmail.com Павел Ковалёв] || [mailto:n.v.bakaykina@gmail.com Наталья Бакайкина] || [mailto:alschernyavskiy@gmail.com Александр Чернявский] || [mailto:valerystar@inbox.ru Валерия Старичкова]
|}

== Расписание консультаций ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Дмитрий Игоревич Пионтковский || 15:30–16:30, ауд. 507 || 18:30–20, ауд. 507 || || || 15:10–16:30, Шаболовка 26, ауд. 5413
|-
| <center>2</center> || Всеволод Леонидович Чернышев || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>3</center> || Роман Сергеевич Авдеев || 15:40–17:40, ауд. 623 или 618 || || || ||
|-
| <center>4</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || || 9:00–10:30, ауд. 511
|-
| <center>5</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || || 13:00–15:00, ауд. 607
|-
| <center>6</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || 13:40–17:00, ауд. 607 || ||
|-
| <center>7</center> || Полина Белопашенцева || 15:10–16:30, ауд. 327 || || || ||
|-
| <center>8</center> || Георгий Шумкин || || || || || 13:40–15.00, ауд.  618
|-
| <center>9</center> || Руслан Хайдуров || || || 12:10–13:40, ауд. ?? || ||
|-
| <center>10</center> || Вадим Гринберг || || 16:40–18:10, ауд. ?? || || || 16:40–18:10, ауд. 308
|-
| <center>11</center> || Павел Ковалёв || || || 13:40–15:00, ауд. 310 || ||
|-
| <center>12</center> || Наталья Бакайкина || || || 15:00–16:30 || ||
|-
| <center>13</center> || Александр Чернявский || ||13:40–15:00, ауд. 302 || || ||
|-
| <center>14</center> || Валерия Старичкова || || ||15:40–17:00, ауд. 511 || ||
|}

== Формы контроля знаний студентов ==

*Контрольная работа
*Большие домашние задания
*Устная сдача задач из листков
*Активность и работа на семинарах
*Коллоквиум
*Экзамен

== Информация для пилотного потока ==

=== Краткое содержание лекций ===

'''Лекция 1''' (6.09.2016). Геометрия ''n''-мерного арифметического пространства.

'''Лекция 2''' (13.09.2016). Матрицы и основные операции над ними.

'''Лекция 3''' (20.09.2016). Элементарные преобразования строк матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

'''Лекция 4''' (27.09.2016). Существование и единственность канонического вида матрицы. Обратная матрица.

'''Лекция 5''' (4.10.2016). Обратимость невырожденных матриц. Линейное пространство. Подпространства, линейные оболочки.

'''Лекция 6''' (11.10.2016). Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.

'''Лекция 7''' (18.10.2016). Столбцовый и строчный ранг матрицы, теорема об их равенстве. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

'''Лекция 8''' (1.11.2016). Теорема Кронекера-Капелли. Размерность линейного многообразия. Сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями.

'''Лекция 9''' (8.11.2016). Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм. Теорема о том, что все пространства одной конечной размерности изоморфны друг другу.

'''Лекция 10''' (15.11.2016). Матрица перехода между двумя базисами. Формула замены координат. Определитель матрицы порядка 2, ориентированная площадь. Подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

'''Лекция 11''' (22.11.2016). Определитель треугольной матрицы. Определитель как полилинейная функция строк. Умножение подстановок. Изменение знака подстановки при умножении на транспозицию. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы.

'''Лекция 12''' (29.11.2016). Определитель как единственная полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, равная 1 на единичной матрице. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Формула разложения определителя по строке. Знак произведения подстановок и знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 13''' (6.12.2016). Приложения определителей: формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений; формула обратной матрицы; определение ранга матрицы через миноры (ранг Фробениуса).

'''Лекция 14''' (13.12.2016). Комплексные числа.

'''Лекция 15''' (10.01.2017). Поле. Примеры полей. Линейные пространства над полем. Комплексификация и овеществление. Линейное отображение и линейный оператор: определение и геометрические примеры.

'''Лекция 16''' (17.01.2017). Новые примеры линейных отображений. Множество линейных отображений Hom(U,V) как линейное пространство. Линейные функционалы и двойственное пространство. Понятие двойственного базиса, размерность двойственного пространства. Идея теории категорий, категория линейных пространств. Контравариантные и ковариантные функторы.
Матрица линейного отображения: эквивалентность двух определений. Размерность линейного пространства Hom(U,V).

'''Лекция 17''' (25.01.2017).
Матрица композиции линейных отображений. Матрица изоморфизма. Замена координат и матрица линейного отображения. Замена координат в двойственном пространстве, понятие ковектора. Ядро и образ линейного отображения, их связи с матрицей линейного отображения. Короткая точная последовательность. Ранг, определитель и след линейного оператора.

'''Лекция 18''' (31.01.2017). Инвариантные пространства линейного оператора, инвариантность его ядра и образа. Прямая сумма нескольких подпространств. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство или прямую сумму таких подпространств. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен линейного оператора. Определитель и след и характеристический многочлен как инварианты линейного оператора.

'''Лекция 19''' (7.02.2017). Характеристический многочлен как инвариант линейного оператора. Алгебраически замкнутое поле. Кратности и количество корней многочлена над алгебраически замкнутым полем. Формулы Виета. Связь определителя и следа комплексного оператора с собственными значениями. Диагонализуемые операторы (операторы простой структуры). Оператор дифференцирования многочленов как пример не диагонализуемого оператора.

'''Лекция 20''' (14.02.2017). Корневые векторы и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

'''Лекция 21''' (21.02.2017). Теорема о приведении матрицы линейного оператора к верхнетреугольному виду. Формулировка теоремы о жордановой форме линейного оператора в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем. Единственность жордановой формы.

'''Лекция 22''' (28.02.2017). Существование аннулирующего многочлена линейного оператора над произвольным полем. Теорема Гамильтона--Кэли. Минимальный многочлен комплексного линейного оператора.

Евклидово пространство. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базис.

'''Лекция 23''' (7.3.2017). Связь матриц Грама различных базисов. Существование и единственность проекции и ортогональной составляющей вектора относительно подпространства. Существование и метод построения ортонормированного базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Объем k-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве, его связь с определителем матрицы Грама. Ориентированный объем n-мерного параллепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (15.3.2017). Эрмитово пространство, его сходство и различие с евклидовым пространством. Сопряженные линейные операторы в пространстве со скалярным произведением. Самосопряженный (эрмитов) оператор. Нормальный оператор, его основное свойство.

'''Лекция 25''' (22.3.2017). [С продолжением на следующей лекции 5.4] Ортогональные и унитарные операторы. Ортогональные и унитарные матрицы. Канонический вид унитарного оператора и ортогонального оператора. QR разложение. Положительно определенный самосопряженный оператор. SU разложение. Сингулярное разложение.

=== Порядок формирования итоговой оценки для пилотного потока ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,3 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

==== 4-й модуль ====

== Информация для основного потока ==

=== Порядок формирования итоговой оценки ===
==== 2-й модуль ====

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,2 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,

где Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,75 * Oнакопленная + 0,25 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

==== 4-й модуль ====

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

=== Краткое содержание лекций ===

==== 1-2 модули ====

'''Лекция 1''' (5.09.2016). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

'''Лекция 2''' (12.09.2016). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

'''Лекция 3''' (19.09.2016). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (26.09.2016). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Матричные единицы. Умножение на матричную единицу. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

'''Лекция 5''' (3.10.2016). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении справа на элементарную транспозицию.

'''Лекция 6''' (10.10.2016). Изменение знака подстановки при умножении справа на произвольную транспозицию. Разложение подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов).

'''Лекция 7''' (17.10.2016). Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц.

'''Лекция 8''' (31.10.2016). Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

'''Лекция 9''' (7.11.2016). Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства.

'''Лекция 10''' (14.11.2016). Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

'''Лекция 11''' (21.11.2016). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

'''Лекция 12''' (28.11.2016). Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства, координаты вектора в базисе. Базис как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

'''Лекция 13''' (5.12.2016). Эквивалентные условия, определяющие конечномерное векторное пространство размерности n. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 14''' (12.12.2016). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

==== 3-4 модули ====

'''Лекция 15''' (19.12.2016). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

'''Лекция 16''' (16.01.2017). Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

'''Лекция 17''' (23.01.2017). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений.

'''Лекция 18''' (30.01.2017). Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Оценки на ранг произведения двух матриц. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры.

'''Лекция 19''' (6.02.2017). Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен некоторому базису исходного пространства. Утверждение о том, что всякое подпространство в F^n является множеством решений некоторой однородной системы линейных уравнений. Билинейные функции (формы) на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису.

'''Лекция 20''' (13.02.2017). Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Квадратичные формы. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

'''Лекция 21''' (20.02.2017). Угловые миноры матрицы квадратичной формы. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры.

'''Лекция 22''' (27.02.2017). Следствие метода Якоби: вычисление отрицательного индекса инерции квадратичной формы над R. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.

'''Лекция 23''' (6.03.2017). Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Ортогональные и ортонормированные системы векторов евклидова пространства, ортогональные и ортонормированные базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Описание всех ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса и матриц перехода. Ортогональные матрицы и их свойства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве.

'''Лекция 24''' (13.03.2017). Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства.

=== Листки с задачами ===

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://www.dropbox.com/s/f3epqb7rs71r995/LA_16-17_Stream2_Sheet1.pdf?dl=0 '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

до 6 ноября включительно разрешается сдавать любое количество задач;

с 7 по 13 ноября включительно одному студенту разрешается сдать '''не более шести''' задач;

13 ноября — последний день приёма задач

[https://www.dropbox.com/s/wmhg3cqj7sop14l/LA_16-17_Stream2_Sheet2.pdf?dl=0 '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

18 декабря — последний день приёма задач

с 12 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более пяти''' задач

с 6 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать '''не более десяти''' задач

[https://www.dropbox.com/s/c6dkx76ncb6ddre/LA_16-17_Stream2_Sheet3.pdf?dl=0 '''Листок 3''']. Конструкции, связанные с линейными отображениями

Сроки сдачи листка 3:

19 марта — последний день приёма задач

с 13 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более четырёх''' задач

с 6 по 19 марта включительно одному студенту разрешается сдать '''не более восьми''' задач

=== Лабораторные работы ===

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не затирайте условий задач. Задание должно быть выполнено на языке Python.

Готовые лабораторные нужно сдавать в систему [http://anytask.org AnyTask]. Инвайты для регистрации на курс:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 163 !! 164 !! 165 !! 166 !! 167 !! 168
|-
|| erCwXX3 || FjduzdE || 078wQmj || d8Lfn5Y || 5JCnwSR || HNJ3zEn
|}

Краткое руководство по работе с системой [https://www.dropbox.com/s/fl2pyq5fruxchyw/manual_student.pdf?dl=0 прилагается].

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать [https://www.continuum.io/downloads Анаконду] (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: [mailto:st-fedotov@yandex-team.ru st-fedotov@yandex-team.ru]

'''Внимание:''' тема письма должна начинаться с '''[ФКН - лабораторная N]''', где N — номер лабораторной работы.

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

==== Лабораторная работа 1 (2-й модуль) ====

'''Срок:'''

5 декабря 23:30 для групп 164-168

7 декабря 23:30 для группы 163

[https://www.dropbox.com/s/gqvszs55cl5519o/HSE%20Linalg%20Lab%20Fall%202016.ipynb?dl=0 '''Условие''']

==== Лабораторная работа 2 (3-й модуль) ====

'''Срок:''' 5 апреля 23:30 для всех групп

Файл с условием и остальные файлы лежат [https://www.dropbox.com/sh/p9zegynwx1kgt3d/AABjR9UCqD0aihbuzcnIobgAa?dl=0 '''тут'''].

=== Контрольные работы ===
==== 2-й модуль ====

Контрольная работа состоялась 19 ноября в 12:10 в аудиториях 622 и 509.

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://www.dropbox.com/s/p5ceogf3zhaplra/LA_16-17_Stream2_Test1.pdf?dl=0 '''Условия задач из контрольной''']

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.
*Решение систем линейных уравнений [82--89, 567--581, 689--704, 712--720]
*Действия с матрицами [788--798, 801, 805, 822, 824, 836--845, 861--870, 937]
*Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
*Определители 2-го и 3-го порядка [1--12, 43--60]
*Определители произвольного порядка: определение [188--206]
*Вычисление определителей произвольного порядка [257--269, 279, 316]

=== Коллоквиумы ===
==== 2-й модуль ====

Даты коллоквиума: 9 и 10 декабря.

'''Формат проведения коллоквиума'''

Этап 1. Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат не выше 3 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат 4, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 1. Если результат 5, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 2.

Этап 2. Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего начинается разговор с принимающим (возможно, другим). По результатам разговора выставляется окончательная оценка.

[https://www.dropbox.com/s/yzxftul500urq29/LA_16-17_Stream2_Definitions1.pdf?dl=0 '''Список определений и формулировок''']

[https://www.dropbox.com/s/m6lqqwff9p1bj9e/LA_16-17_Stream2_Questions1.pdf?dl=0 '''Список вопросов на доказательство''']

=== Экзамен 2-й модуль ===

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 22 декабря, 10:30

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

[https://www.dropbox.com/s/jf2vnoht5e1f6qm/LA_16-17_Stream2_Exam1.pdf?dl=0 '''Условия задач с экзамена''']

Задачи для подготовки к экзамену (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Системы линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720, 724–732; К 8.1, 8.2, 8.4
*Действия с матрицами: П 788–798, 801, 805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.4, 18.1, 18.3, 18.8–18.11
*Подстановки: П 125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители: П 1–12, 43–60, 188–206, 212–214, 224– 232, 236–240, 257–269, 279, 316; К 9.1, 9.2, 10.1–10.4, 11.1–11.4, 12.1, 12.2, 13.1
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
*Векторные пространства, линейная зависимость, базис, подпространства: П 639–644, 665–669, 672–676, 679–681, 1285–1293, 1297–1304, 1308, 1310, 1311, 1824–1828; К 34.1–34.4, 35.1–35.3, 35.11
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, К 7.1, 7.2

== Ведомости текущего контроля ==

==== 1-2 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1zquc6E_QRRPL2VZolZWwpyZcsjGZt_EJlhvDpgrlwlE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r5ZJ9ES_PrB4Ci9zzj1NyZofTpOKzKrv_1APBc42FEM/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты контрольных работ'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1cb9NvrtzTFu6xswhOUZ30RUlE--2IOF-f-1lTL_AdXk/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vIpvvjTdtBEibDDvaViGvHQZH0k3L9BTlmqnSy-9vmQ/edit#gid=2074432488 168]
|}

==== 3-4 модули ====
'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1c4icP-0paBPARxolG7Xjz5_oxisQBzjBbAx14k5W8iE/edit#gid=2074432488 168]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1196896000 161] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1418802091 162] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1697515667 163] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1370470393 164] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=816668604 165] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=458782119 166] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=1181982027 167] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Sbc-IOSPd0LN0BGUKuI0vr4zGD_PJB5e44OSxTXOE2U/edit#gid=2074432488 168]
|}

== Кстати ==

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

== Литература ==

=== Учебники ===

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
* И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

=== Сборники задач ===

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-03-09T21:40:36Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-02-28T16:08:46Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-02-15T12:06:45Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-02-15T12:05:05Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-02-08T13:06:48Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-01-30T21:35:13Z

Piont:

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-01-17T22:48:41Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-01-12T12:07:50Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-01-12T12:07:16Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-01-12T12:06:39Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-01-12T11:58:01Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-01-12T11:39:26Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-01-12T11:26:46Z

Piont:

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2017-01-11T00:30:19Z

Piont: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия 2016/2017

2016-12-20T14:34:47Z

Piont: