Wiki - Факультет компьютерных наук - Вклад [ru]

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-09-14T10:52:36Z

Ravdeev: /* 4-й модуль */

Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"

Telegram-канал: https://t.me/LA_25_AMI_osn_EDA

= Преподаватели и учебные ассистенты =

Обратите внимание, что учебный ассистент1 отвечает за регулярные домашние задания, а учебный ассистент2 -- за большие домашние задания.

== Основной поток ПМИ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/yzaitseva Юлия Зайцева] || [https://t.me/VVKikteva Вероника Киктева] || [https://t.me/iamilyaboldyrev Илья Болдырев] || [https://t.me/the_Man_of_Spade Виктор Лопаткин] ||colspan="2"| [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/aperep Александр Перепечко] || [https://t.me/Vitalique_Iudelevich Виталий Юделевич] || [https://t.me/t1som Алина Никитина]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/The_best_cat_okk Михаил Фомичев] || [https://t.me/its_me_arlek1n0 Виктор Васильев] || [https://t.me/iraayugay Ирина Югай] || [https://t.me/dzagonov Дмитрий Загонов] || [https://t.me/denkruuk Денис Круковер] || [https://t.me/Ne_klumaks Вячеслав Газизов] || [https://t.me/karbarkarrr Варвара Сажина] || [https://t.me/Anilaniklot Илья Кравчук] || [https://t.me/lesha_hse Алексей Веляев] || [https://t.me/ilmsomuch Артём Кузнецов]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/oretskiy_greshok Анастасия Козлова] || [https://t.me/psinapsinovna Дарья Храмова] || [https://t.me/tr1pl3d0ttt Даниил Гузь] || [https://t.me/poltorq Яна Босякова] || [https://t.me/Ivan_Ovs Иван Овсянников] || [https://t.me/morz24 Алексей Токарев] || [https://t.me/Kkicune Алина Бариева] || [https://t.me/ullmrv Юлия Муравьёва] || [https://t.me/katkaeva Айса Каткаева] || [https://t.me/artyom_kotov04 Артём Абросимов]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="10"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

== Поток ЭАД ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БЭАД251 !! БЭАД252 !! БЭАД253 !! БЭАД254 !! БЭАД255 !! БЭАД256
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://www.hse.ru/org/persons/306101187 Алёна Зароднюк] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров] || [https://t.me/Artyom_Martirosov Артём Мартиросов]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/georgeanenko Георгий Аненко] || [https://t.me/ananananananaaa Анна Гуськова] || [https://t.me/levrudanin Лев Руданин] || [https://t.me/banbutsuno_hoshi Арсений Черваков] || [https://t.me/arslanyam Арслан Ямалетдинов] || [https://t.me/hgfghgfgfd Юрий Дзюба]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/bazingapog Николай Баринов] || [https://t.me/seletarina Арина Селетникова] || [https://t.me/sxbntm Алиса Карпинская] || [https://t.me/foma253 Александр Фомин] || [https://t.me/petrovegor2005 Егор Петров] || [https://t.me/grebenchik Варвара Гребенщикова]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="6"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

= Расписание консультаций =

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =

== 2-й модуль ==
Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,35*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,15*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==
Итоговая оценка за 3-4 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,32*Oэкз + 0,23*Oколл + 0,17*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

= Краткое содержание лекций =
== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (3.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1zeSqzJcF9HCsLP8I5_6GDhLON_9Yg-G4/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

'''Лекция 2''' (8.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1ZnXLPHY-U5sm2B7ut3FcEQi5V__P8Cjr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы.

'''Лекция 3''' (15.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1-i_w_8eFOIbocpFwmxKSJwWZKUF-5Zj3/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (29.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1XQ7qsLAgoXZDmLN2O3gq_yo59Dla3EB5/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Определение обратной матрицы. Обратная матрица как решение уравнения AX=E (пока без доказательства). Перестановки на множестве {1,2,...,n}. Инверсии в перестановке. Знак и чётность перестановки.

'''Лекция 5''' (6.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1RXoHKZJFY_Qtb8A4PN9QCc9cwQb_kiaz/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Произведение перестановок. Ассоциативность произведения перестановок. Теорема о знаке произведения перестановок. Тождественная перестановка. Обратная перестановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 6''' (13.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/19Us0dF6pZ5AkIR0JKKcDpnE1zDrOAnGY/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей.

'''Лекция 7''' (20.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1VPnqK-pW7APin5-0Qbf-5mzwGuBMvcJI/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Определитель обратной матрицы. Невырожденные матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости квадратной матрицы. Формулы Крамера.

'''Лекция 8''' (3.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1sTebhBZ3GIvKgrH3W1G2D_0r8DZSlFS1/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра.

'''Лекция 9''' (10.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/12X_M36Jo_SJwWhS4ooh24bNvfJrfJUTH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей. Векторные пространства, примеры. Простейшие следствия из аксиом векторного пространства.

'''Лекция 10''' (17.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1F6qGTlaNaYAFQ61b1xZ3JZubjWLr3gwK/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства. Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

'''Лекция 11''' (24.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1INsbcwSZhW3PsXYPRVfGm9zIbZ3wIGFr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Характеризация базисов в терминах единственности линейного выражения векторов. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

'''Лекция 12''' (1.12.2025). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 13''' (8.12.2025). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

'''Лекция 14''' (15.12.2025). Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому. Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения.

== 3-4 модули ==

'''Лекция 15''' (12.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/14-3xV-Z0GCJrTlPfa3nBX-g1G37aJrw9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Проекция вектора на подпространство вдоль дополнительного подпространства. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств.

'''Лекция 16''' (19.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1LXqyyiV6XxMuWyGdksmppduLcKP5aC9r/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Отображение, обратное к изоморфизму векторных пространств. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Изоморфные векторные пространства. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств. Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры.

'''Лекция 17''' (26.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/145a2hZQXWsvw2pRHXmrk-y-GimaCOvap/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений. Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно умножения на квадратную невырожденную матрицу слева или справа.

'''Лекция 18''' (2.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1E8-poOd9l8Bfy0bs8C42bbkjqHcsM7vb/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры. Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен ровно одному базису исходного пространства. Билинейные формы на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису.

'''Лекция 19''' (9.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1s1tbdpIFbNI1AsOVwAmlzrhPpwcTQgve/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису. Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Теорема о диагонализации симметричной билинейной формы. Симметричные элементарные преобразования квадратной матрицы. Симметричный алгоритм Гаусса. Угловые миноры матрицы. Метод Якоби для симметричных билинейных форм (формулировка).

'''Лекция 20''' (16.02.2026). Доказательство метода Якоби для симметричных билинейных форм. Квадратичные формы на векторном пространстве. Примеры. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции.

'''Лекция 21''' (16.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/19G3HvmxwJKheFzYoat1P2tnh-cetPJd8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Следствие метода Якоби о вычислении индексов инерции квадратичной формы над R. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши–Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства.

'''Лекция 22''' (2.03.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WVcqOhp-LmUxrpKkzHM-X4lnsluoTvyF/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональные векторы. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базис. Координаты вектора в ортогональном (ортонормированном) базисе. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Метод ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные матрицы и их свойства.

'''Лекция 23''' (2.03.2026). Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального (ортонормированного) базиса. Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве. Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Псевдорешение несовместной системы линейных уравнений. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов.

'''Лекция 24''' (16.03.2026). Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства. Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Векторное произведение, его выражение в координатах.

'''Лекция 25''' (23.03.2026). Смешанное произведение трёх векторов, его свойства. Критерий компланарности трёх векторов. Критерий коллинеарности двух векторов в терминах векторного произведения. Геометрические свойства векторного произведения. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии.

'''Лекция 26''' (6.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1gjBdszpSQFx6jx3Fpc9w77ksfvINYX-8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса.

'''Лекция 27''' (13.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1n0YFaR6QHBmQRSE77it93jx69S5f6AQL/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя. Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, согласованном с разложением пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора.

'''Лекция 28''' (20.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1KSkTmOkECufHy_FNQ2Eqi38tMrkAJlUT/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора. Связь между алгебраической и геометрической кратностями собственного значения линейного оператора. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений.

'''Лекция 29''' (27.04.2026). Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве. Отображение, сопряжённое к линейному отображению между двумя евклидовыми пространствами: определение, существование и единственность. Матрица сопряжённого отображения в паре произвольных и паре ортонормированных базисов. Сопряжённый оператор в евклидовом пространстве. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, семь эквивалентных условий.

'''Лекция 30''' (27.04.2026). Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Теорема о сингулярных базисах для линейного отображения евклидовых пространств.

'''Лекция 31''' (18.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1JyR0GgUyc5QRN9G8srWiaLLxdbCCCCKC/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сингулярное разложение матрицы и её сингулярные значения. Усечённое сингулярное разложение матрицы. Представление матрицы в виде суммы компонент ранга 1, связанное с её сингулярным разложением. Фробениусова норма матрицы, её инвариантность относительно умножения на ортогональную матрицу слева или справа. Теорема Эккарта-Янга о низкоранговом приближении.

'''Лекция 32''' (25.05.2026). Прямоугольные декартовы системы координат в евклидовом пространстве. Формулы замены координат при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой. Квадрики (гиперповерхности 2-го порядка) в R^n. Теорема о каноническом виде уравнения квадрики в евклидовом пространстве. Метрическая классификация кривых 2-го порядка в R^2. Метрическая классификация поверхностей 2-го порядка в R^3.

'''Лекция 33''' (1.06.2026). Эллипс, гипербола, парабола: основные геометрические свойства (фокусы, директрисы, эксцентриситет, оптическое свойство). Теорема о жордановой нормальной форме линейного оператора (формулировка). Корневые подпространства линейного оператора. Теорема о разложении векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора (формулировка). Сведение доказательства теоремы о жордановой нормальной форме к случаю корневого подпространства. Нильпотентные линейные операторы. Циклическое подпространство нильпотентного оператора.

'''Лекция 34''' (8.06.2026). Конструкция жорданова базиса для нильпотентного оператора и формулы для числа жордановых клеток заданного размера. Обзор теории полуторалинейных форм и эрмитовых пространств.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

== 1-2 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1ihV-uQiZP9Fh9G3Sw3-uhX9hidE2xA5KZnWXtdxi3r8/edit?usp=sharing '''ИДЗ-1''']

[https://docs.google.com/document/d/1a9jbUnR4Z7X3JnRFTIIANgZyKBTUawXFk9oXLUMEYaw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1s-YEdgFk-OXKp3PLvZijI9jsOtgguEpTvxb9pFt26yE/edit?usp=sharing '''ИДЗ-3''']

[https://docs.google.com/document/d/1WQE4qZrVatcNPytB4nG1xOYzMB3H7ycKOdB1B139myI/edit?usp=sharing '''ИДЗ-4''']

== 3-4 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1_JHDKX8Sq1iMVCcnpt2lDLIVEdQMuLuhk-p0ghncp9U/edit?usp=sharing '''ИДЗ-5''']

[https://docs.google.com/document/d/14PWMZIQF0lnCNTWFe5Izf3aR0nu40HLgE3bOuz5NWwA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-6''']

[https://docs.google.com/document/d/16zdghtjup8Fqqf6pg8SRXFe9AYKnvhC6WzpVQu9XDOw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-7''']

[https://docs.google.com/document/d/1yjHURRAdZ8ifynzTD-lu0CMUljvdRQoqL6xtExL4nAk/edit?usp=sharing '''ИДЗ-8''']

[https://docs.google.com/document/d/17VGGhZIDKzv9Td_Zg2qim8zu7XPNlDUoHew82AipejA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-9''']

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

[https://docs.google.com/document/d/1k_Wt9P9aISwRhM_0mo4TQ8vHUjrn7N0j/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-1''']

[https://docs.google.com/document/d/11np0omXwFYVmrWuCJXMS9GSrBPBjU-OV/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1qTfG6PqNj1KB_96b2zgUzJhWyGeCXWWE/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-3''']

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата-время: 15 ноября, 15:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1V78nBf6w0Mb_Kz0fI_gETdwgK38DoIAShiVnpQjhHnw/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1Iv2V2flblwWIHQWPKem3SA2QBLA6E5jq/view?usp=sharing '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.
*Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
*Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8–18.11
*Перестановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
*Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
*Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316
Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

== 4-й модуль ==

Дата-время: 18 апреля, 18:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1bYjzRzkDHqGwziLEmBW7IdydmvTdGBipj-b7ayxwt7w/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1wnTJ11B4QIUeSnFxFbcOoLw7BMYOcCXH/view?usp=drive_link '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Задание подпространств системами линейных уравнений: П 1312, 1313, К 35.16

*Матрицы перехода, преобразование координат вектора при замене базиса: П 1280–1283, К 34.10–34.12; задача 2 из ИДЗ-5

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства, разложение в прямую сумму подпространств: П 1317, 1318, 1320–1322; К 35.14, 35.15; задачи 3–5 из ИДЗ-5

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434–1438, 1441–1446, 1449, 1450; К 36.3, 36.4, 39.15, 39.16; задачи 1,2 из ИДЗ-6

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения, приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали: К 39.5; задачи 3,4 из ИДЗ-6

*Линейные функции и двойственные базисы: К 36.9, 36.10; задача 5 из ИДЗ-6

*Билинейные и квадратичные формы, их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10, 38.15, 38.16

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175–1186; К 38.8, 38.18(а–г)

*Исследование квадратичных форм на положительную и отрицательную определённость, а также определение нормального вида в зависимости от значений параметра: П 1212–1216; К 38.11(а–г), 38.14(а,б) + для каждого номера определить нормальный вид квадратичной формы в зависимости от значений параметра

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357–1363; К 43.7(а–г), 43.15(а–в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370–1372; К 43.19(а–в)

*Объём k-мерного параллелепипеда: К 43.36

*Линейные многообразия: П 1374; К 43.21(а–г), 51.7

*Векторное и смешанное произведения в R^3: КК 25.5, 25.7, 25.17, 25.18, 25.24, 25.35–25.38, 25.49, 25.59, 25.61

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28–26.37, 26.39–26.47, 26.50, 27.34, 27.39–27.42, 31.1–31.3, 31.5–31.8, 31.21–31.25, 31.27–31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 31.13–31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 25.58, 32.28–32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38–32.40

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==
Даты: 10 декабря для ЭАД, 13 декабря для ПМИ

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1hFMODfRvZ51zYqkyJi5EKpipO5B613na/view?usp=sharing '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1u61pDMSL-3ImwtjMLNmle3WabfSMsBGd/view?usp=sharing '''Список вопросов на доказательство''']

'''Формат проведения:'''

Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, на написание которых даётся 10 минут, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4-5 вопросами на доказательство. На написание первых двух вопросов даётся 25 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности.

== 4-й модуль ==
Даты: 29-30 мая

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1TOFHODQwiBC8eAZ1RBSjpZ9W9qHXz2ld/view?usp=drive_link '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1oqRbzS_hovcZ6G_BqjLMxKSuaRn01pEc/view?usp=drive_link '''Список вопросов на доказательство''']

= Экзамены =

Формат проведения: письменная работа

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

== 2-й модуль ==

Дата-время: 26 декабря, 9:30

Продолжительность работы: 160 минут (2 часа 40 минут)

[https://drive.google.com/file/d/1Bi3phiOeLa_FwpoQU7DQDQkQL8T69NFF/view?usp=drive_link '''Условия задач с экзамена''']

[https://docs.google.com/document/d/196BdHN84U9suOqvrDva-jh5IebD828wZd385M50vEWE/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению экзамена''']

Материалы для подготовки к экзамену:

I: [https://drive.google.com/file/d/1zxh4S7wGLkrzdn_GL4ujySAgfJXkmadN/view?usp=sharing '''список определений и формулировок''']

II: список задач для подготовки к 1-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 21.9, 22.7
*Линейная зависимость в векторных пространствах: П 639–644, 646–650, 652–655, 1824–1828; К 34.2, 34.3
*Линейные комбинации, линейные оболочки: П 665–669, 679–681 (база = максимальная линейно независимая подсистема)
*Подпространства, базис, размерность: П 1297–1304, 1308, 1310–1313; К 34.14, 35.2, 35.3, 35.7(а,в,г), 35.8, 35.11, 35.16
*Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных экзаменов прошлых лет.

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

== 4-й модуль ==

Дата-время: 15 июня, 18:10

[https://drive.google.com/file/d/1psIqzJUvEjdKyGU2USVyzoGBrvfWe69Z/view?usp=drive_link '''Условия задач с экзамена''']

Материалы для подготовки к экзамену:

I: [https://drive.google.com/file/d/1DcaB4wLByfPXYrjvpQEvfyPcIBYIlO1O/view?usp=drive_link '''список определений и формулировок''']

II: список задач для подготовки ко 2-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова):
*Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису: П 1452--1454; К 39.19--39.21
*Собственные векторы и собственные значения линейных операторов: П 1465--1474; К 40.15
*Диагонализуемость линейных операторов: П 1479--1483; К 40.16
*Самосопряжённые линейные операторы, приведение квадратичной формы к главным осям: К 45.4, 45.19, П 1243–1246, 1248–1262, 1585, 1586
*Ортогональные линейные операторы: К 46.6, П 1571–1575
*Сингулярное разложение матриц и теорема о низкоранговом приближении ([https://www.dropbox.com/s/wkjqmpauc3ubwdk/SVD_examples.pdf?dl=0 '''примеры'''])
*Нахождение прямоугольной декартовой системы координат, в которой уравнение данной кривой или поверхности 2-го порядка принимает канонический вид, и определение типа данной кривой или поверхности (КК 35.24, 35.27, 38.10–38.12)
*Нахождение жордановой формы линейного оператора и соответствующего жорданова базиса (К 41.1, 41.10, П 1530–1536)

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных экзаменов прошлых лет.

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=798212250#gid=798212250 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1905063984#gid=1905063984 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1143931348#gid=1143931348 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1571389748#gid=1571389748 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1008226585#gid=1008226585 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=196141806#gid=196141806 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2082325635#gid=2082325635 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=141028840#gid=141028840 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1342717045#gid=1342717045 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=183207489#gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2014615374#gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1795822500#gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1130562098#gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2082037908#gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=91924820#gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1290636010#gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=877068035#gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1036271056#gid=1036271056 Э256]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=735451668#gid=735451668 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=669963605#gid=669963605 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1959871710#gid=1959871710 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=103812329#gid=103812329 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=944808823#gid=944808823 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1765292157#gid=1765292157 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=590665666#gid=590665666 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=455919933#gid=455919933 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1889630406#gid=1889630406 Э256]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=495362391#gid=495362391 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1018299486#gid=1018299486 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1364062586#gid=1364062586 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1423608094#gid=1423608094 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=96823731#gid=96823731 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=776758101#gid=776758101 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1608052002#gid=1608052002 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=689894434#gid=689894434 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=331922030#gid=331922030 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 2-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1036271056 Э256]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=306180384 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1788292251 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1130033710 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1074866345 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1715049091 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1626532296 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1671546472 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=981219186 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=490014071 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=34870869 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1156905827 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1829776196 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=548337066 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=771466034 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1752006868 Э256]
|}

= Кстати =

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

= Ссылки =

[https://t.me/LA_256_sem Telegram-канал семинаров в группе БПМИ256]

[https://t.me/linal258 Telegram-канал семинаров в группе БПМИ258]

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2026/2027 (основной поток)

2026-09-14T10:06:40Z

Ravdeev: /* Краткое содержание лекций */

Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"

Telegram-канал: https://t.me/LA_26_AMI_osn_EDA

= Преподаватели и учебные ассистенты =

Обратите внимание, что учебный ассистент1 отвечает за регулярные (семинарские) домашние задания, а учебный ассистент2 — за большие домашние задания.

== Основной поток ПМИ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ266 !! БПМИ267 !! БПМИ268 !! БПМИ269 !! БПМИ2610 !! БПМИ2611 !! БПМИ2612 !! БПМИ2613 !! БПМИ2614 !! БПМИ2615
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/yzaitseva Юлия Зайцева] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] ||colspan="2"| [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/VVKikteva Вероника Киктева] || [https://t.me/aperep Александр Перепечко] || [https://t.me/iamilyaboldyrev Илья Болдырев] || [https://t.me/Vitalique_Iudelevich Виталий Юделевич] || [https://t.me/ssmirnov1977 Сергей Смирнов]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/bdmitrij1143 Дмитрий Бузукин] || [https://t.me/its_me_arlek1n0 Виктор Щедрин] || [https://t.me/SofiOst29 София Осталкевич] || [https://t.me/flamesoda Богдан Глухов] || [https://t.me/pokorsky_n Никита Покорский] || [https://t.me/fkklx Михаил Пинских] || [https://t.me/ilmsomuch Артём Кузнецов] || [https://t.me/LilWavvy Богдан Корай] || [https://t.me/lesha_hse Алексей Веляев] || [https://t.me/ksushmp Ксения Лапкина]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/Karaseyka Владислав Чуприна] || [https://t.me/has_no_enemies Федор Петров] || [https://t.me/Ivan_Ovs Иван Овсянников] || [https://t.me/psinapsinovna Дарья Храмова] || [https://t.me/al3x_selivanov Александр Селиванов] || [https://t.me/bazingapog Николай Баринов] || [https://t.me/oretskiy_greshok Анастасия Козлова] || [https://t.me/kiselevka000 Эмиль Киселёв] || [https://t.me/tasetoon Филипп Саргиджян] || [https://t.me/Flash_ka7 Владимир Флегонтов]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="10"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

== Поток ЭАД ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БЭАД261 !! БЭАД262 !! БЭАД263 !! БЭАД264 !! БЭАД265 !! БЭАД266
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров] || [https://www.hse.ru/org/persons/306101187 Алёна Зароднюк] || [https://t.me/t1som Алина Никитина] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/maburnashev Макар Бурнашев] || [https://t.me/inflictedm Ксения Шейкина] || [https://t.me/anubBOS Алексей Морозов] || [https://t.me/sszpk Екатерина Кривцова] || [https://t.me/lesha_hse Алексей Веляев] || [https://t.me/dpilyasova Дарья Пилясова]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/fynt1q Андрей Кийло] || [https://t.me/dkrlyg Даниил Карелин] || [https://t.me/zaporozhskyy Артём Запорожский] || [https://t.me/ssneeak Всеволод Рябишин] || [https://t.me/iriskisskkiss Ирина Богданова] || [https://t.me/petrovegor2005 Егор Петров]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="6"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

= Расписание консультаций =

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =

Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,36*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,2*Oк/р + 0,12*Oбдз + 0,12*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

'''Лекция 1''' (7.09.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1TILgzYa6NIsbFjUFfqIqRVdswrlQo8t-/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры

'''Лекция 2''' (14.09.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1cj5pN4IX1Dgr0snfixSetakqtsFOwfnS/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1V1c9cj7j4BH93Qj8tZ3577rL2KaYvC65/view?usp=drive_link '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

= Контрольные работы =

= Коллоквиумы =

= Экзамены =

Формат проведения: письменная работа

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и калькулятор для арифметических операций с числами

= Ведомости текущего контроля =

= Ссылки =

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2026/2027 (основной поток)

2026-09-10T10:59:05Z

Ravdeev: /* Листки с задачами */

Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"

Telegram-канал: https://t.me/LA_26_AMI_osn_EDA

= Преподаватели и учебные ассистенты =

Обратите внимание, что учебный ассистент1 отвечает за регулярные (семинарские) домашние задания, а учебный ассистент2 — за большие домашние задания.

== Основной поток ПМИ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ266 !! БПМИ267 !! БПМИ268 !! БПМИ269 !! БПМИ2610 !! БПМИ2611 !! БПМИ2612 !! БПМИ2613 !! БПМИ2614 !! БПМИ2615
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/yzaitseva Юлия Зайцева] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] ||colspan="2"| [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/VVKikteva Вероника Киктева] || [https://t.me/aperep Александр Перепечко] || [https://t.me/iamilyaboldyrev Илья Болдырев] ||[https://t.me/Vitalique_Iudelevich Виталий Юделевич] || [https://t.me/ssmirnov1977 Сергей Смирнов]
|-
|| Ассистент1 || || || || || || || || || ||
|-
|| Ассистент2 || || || || || || || || || ||
|-
|| Ассистент курса ||colspan="10"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

== Поток ЭАД ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БЭАД261 !! БЭАД262 !! БЭАД263 !! БЭАД264 !! БЭАД265 !! БЭАД266
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров] || [https://www.hse.ru/org/persons/306101187 Алёна Зароднюк] || [https://t.me/t1som Алина Никитина] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров]
|-
|| Ассистент1 || || || || || ||
|-
|| Ассистент2 || || || || || ||
|-
|| Ассистент курса ||colspan="6"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

= Расписание консультаций =

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =

Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,36*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,2*Oк/р + 0,12*Oбдз + 0,12*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

'''Лекция 1''' (7.09.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1TILgzYa6NIsbFjUFfqIqRVdswrlQo8t-/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1V1c9cj7j4BH93Qj8tZ3577rL2KaYvC65/view?usp=drive_link '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

= Контрольные работы =

= Коллоквиумы =

= Экзамены =

Формат проведения: письменная работа

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и калькулятор для арифметических операций с числами

= Ведомости текущего контроля =

= Ссылки =

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2026/2027 (основной поток)

2026-09-07T13:19:33Z

Ravdeev: /* Краткое содержание лекций */

Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"

Telegram-канал: https://t.me/LA_26_AMI_osn_EDA

= Преподаватели и учебные ассистенты =

Обратите внимание, что учебный ассистент1 отвечает за регулярные (семинарские) домашние задания, а учебный ассистент2 — за большие домашние задания.

== Основной поток ПМИ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ266 !! БПМИ267 !! БПМИ268 !! БПМИ269 !! БПМИ2610 !! БПМИ2611 !! БПМИ2612 !! БПМИ2613 !! БПМИ2614 !! БПМИ2615
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/yzaitseva Юлия Зайцева] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] ||colspan="2"| [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/VVKikteva Вероника Киктева] || [https://t.me/aperep Александр Перепечко] || [https://t.me/iamilyaboldyrev Илья Болдырев] ||[https://t.me/Vitalique_Iudelevich Виталий Юделевич] || [https://t.me/ssmirnov1977 Сергей Смирнов]
|-
|| Ассистент1 || || || || || || || || || ||
|-
|| Ассистент2 || || || || || || || || || ||
|-
|| Ассистент курса ||colspan="10"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

== Поток ЭАД ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БЭАД261 !! БЭАД262 !! БЭАД263 !! БЭАД264 !! БЭАД265 !! БЭАД266
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров] || [https://www.hse.ru/org/persons/306101187 Алёна Зароднюк] || [https://t.me/t1som Алина Никитина] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров]
|-
|| Ассистент1 || || || || || ||
|-
|| Ассистент2 || || || || || ||
|-
|| Ассистент курса ||colspan="6"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

= Расписание консультаций =

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =

Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,36*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,2*Oк/р + 0,12*Oбдз + 0,12*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

'''Лекция 1''' (7.09.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1TILgzYa6NIsbFjUFfqIqRVdswrlQo8t-/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

= Индивидуальные домашние задания =

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

= Контрольные работы =

= Коллоквиумы =

= Экзамены =

Формат проведения: письменная работа

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и калькулятор для арифметических операций с числами

= Ведомости текущего контроля =

= Ссылки =

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007

Wiki ФКН

2026-09-01T13:18:14Z

Ravdeev: /* Курсы за 2026/27 учебный год */

__NOTOC__
= Учебные курсы факультета компьютерных наук =

{| class="wikitable"
|-
! colspan="2" | <div style="text-align: center;">'''Навигация'''</div>
|-
! [[#bachelors|Курсы бакалавриата ФКН]]
| <div style="text-align:center">[[#AMI|ПМИ]] · [[#SE|ПИ]] · [[#DSBA|ПАД]] · [[#compds|КНАД]] · [[#EDA|ЭАД]] · [[#DRIP|ДРИП]] · [[#RICP|РИЦП]] · [[#DIRS|ПИРС]] · [[#electives|майноры и факультативы]]</div>
|-
! colspan="2" | [[#DataCulture|Курсы в рамках проекта Data Culture]] · [[#masters|Курсы магистратуры ФКН]] · [[#other|Курсы других факультетов]] · [[#archive|Архив]]
|}

== Курсы за 2026/27 учебный год ==
{| class="wikitable courses"
|-

! width="21%" | 1 курс !! width="21%" | 2 курс !! width="21%" | 3 курс !! width="21%" | 4 курс !! rowspan="2" | '''майноры и факультативы'''
|-
| colspan="4" style="text-align: center;" | '''ПМИ'''
|-
|

'''М+'''

[[Линейная_алгебра_и_геометрия_на_ПМИ_2026/2027_(пилотный_поток) | Линейная алгебра и геометрия (пилотный поток)]]

[[Математический_анализ_1_2026/27_(пилотный_поток) | Математический анализ-1 (пилотный поток)]]

[[Дискретная математика_на_ПМИ_2026/2027_(пилотный_поток) | Дискретная математика (пилотный поток)]]

[[Теория_чисел_(пилотный_поток)_2026/27 | Теория чисел (пилотный поток)]]

[[Алгебра_на_ПМИ_2026/2027_(пилотный_поток) | Алгебра (пилотный поток)]]

'''М'''

[[Линейная_алгебра_и_геометрия_на_ПМИ_2026/2027_(основной_поток) | Линейная алгебра и геометрия (основной поток)]]

[[Математический_анализ_1_2026/27_(основной_поток) | Математический анализ-1 (ПМИ основной поток)]]

[[DM1PMIbase-2026-27 | Дискретная математика (ПМИ основной поток)]]

[[Теория_чисел_(основной_поток)_2026/27 | Теория чисел (основной поток)]]

[[Алгебра_на_ПМИ_2026/2027_(основной_поток) | Алгебра (основной поток)]]

'''П'''

[[Язык программирования Python 2026/27 (основной поток) ]]

[[Алгоритмы и структуры данных 1 (основной поток) (4 модуль) 2026/2027]]

'''П+'''

[[Язык программирования C++ (пилотный поток) ]]

[[Алгоритмы и структуры данных пилотный поток 2026/2027 | Алгоритмы и структуры данных (пилотный поток)]]

||

'''М+'''

[[Математический_Анализ_2_на_ПМИ_2026/27_(пилотный_поток) | Математический анализ 2 (пилотный поток)]]

[[Теория_вероятностей_2026/27_(пилотный_поток) | Теория вероятностей (пилотный поток)]]

[[Математическая_статистика-1_2026/27_(пилотный_поток) | Математическая статистика-1 (пилотный поток)]]

'''М'''

[[Теория_вероятностей_на_ПМИ_2026/2027_(основной_поток) | Теория вероятностей (основной поток)]]

[[Математический_анализ_-_2_(основной_поток)_ПМИ_и_ЭАД_2026/2027 | Математический анализ-2 (ПМИ + ЭАД)]]

[[Математическая_статистика_2026/27_(основной_поток) | Математическая статистика (основной поток)]]

 

'''П'''

[[Мachine Learning 1 | Машинное обучение 1]]

[[Язык_программирования_Python_(углубленный_курс) | Язык программирования Python (углубленный курс)]]
 

[[CAOS-2026/27 | Архитектура компьютеров и операционные системы]]

[[Инструменты_промышленной_разработки | Инструменты промышленной разработки]]

[[Алгоритмы_и_структуры_данных_2_2026/27 | Алгоритмы и структуры данных 2 2026/27]]

[[Язык_программирования_Go | Язык программирования Go]]

[[Комплексный анализ 2026/27]]

[[Функциональный анализ 2026/27]]

[[ Дискретная_математика_2_2026/27 | Дискретная математика 2 2026/27 ]]

[[Основы матричных вычислений 2026/27]]

[[Дифференциальные уравнения 2026/2027]]

||

[[ PE101-26-27 | Performance engineering 101 ]]

[[ Go PRO 2026/2027 | Промышленное программирование на языке Go ]]

[[ Стохастический_анализ_(весна_2027) | Стохастический анализ ]]

[[Функциональное_программирование_2026/2027 | Функциональное программирование]]

[[ Основы_тензорных_вычислений_(2026/27) | Основы тензорных вычислений ]]

[[Рекомендательные системы 2026/27 | Рекомендательные системы]]

[[Глубинное обучение 1 26/27 | Введение в глубинное обучение]]

[[ Types_26 | Типы в языках программирования ]]

[[ Безопасность_компьютерных_систем_26/27 | Безопасность компьютерных систем ]]

[[ Моделирование временных рядов 2026/27 | Моделирование временных рядов ]]

[[ Случайные_процессы_приложения_2026/27 | Случайные процессы и их приложения ]]

'''ПМИ / МОП'''

[[Машинное_обучение_1_26/27 | Машинное обучение 1]]

[[Математическая_статистика_2_2026/2027 | Математическая статистика 2]]

[[ML_Research_Seminar_1 | НИС Машинное Обучение и Приложения 1]]

[[Машинное_обучение_2/2026_2027 | Машинное обучение 2]]

'''ПМИ / РС'''

[https://docs.google.com/document/d/1sHfi9_m4hx4y0iIgQEueMCr4qokLxh2Bvyzw_MdE2iI/edit?usp=sharing Распределенные системы]

[https://docs.google.com/document/d/1Hqu7iVY0FpYVujjNpIClkIMOQy32YWJpJHZKPSrOtmA/edit?usp=sharing НИС Распределенные системы]

'''ПМИ / ТИ'''

[[ NIS-TCS-26-27 | НИС Теоретическая информатика ]]

[[KKTI-26-27 | Комбинаторные конструкции в теоретической информатике]]

 

||

[[ PE101-26-27 | Performance engineering 101 ]]

[[Генеративные модели на основе диффузии (26/27)]]

[[Большие_языковые_модели_26_27 | Большие языковые модели]]

[[Theory_of_computation_2026 | Theory of computation]]

[[Statistical_learning_theory_2027 | Statistical learning theory]]

[[Parameterized_complexity_2026 | Parameterized complexity]]

[[Теория_и_практика_онлайн-экспериментов_26/27 | Теория и практика онлайн-экспериментов]]

[[Современный_NLP_и_большие_языковые_модели_27 | Современный NLP и большие языковые модели]]

[[Эффективные_системы_глубинного_обучения_26/27 | Эффективные системы глубинного обучения 26/27]]

[[ Haskell_27 | Промышленное программирование на Haskell ]]

[[ zkSNARK_27 | Протоколы доказательств с нулевым разглашением ]]

[[ Развёртывание_ML-моделей_в_высоконагруженных_системах_27 | Развёртывание ML-моделей в высоконагруженных системах ]]

'''ПМИ / МОП'''

[[Глубинное обучение 2 2026| Глубинное обучение 2]]

[[ML_Research_Seminar_2 | НИС Машинное Обучение и Приложения 2]]

[[LSML 2026/2027 | Машинное обучение для больших данных]]

'''ПМИ / РС'''

[? НИС Распределенные системы 2]

[? Методы и системы обработки больших данных]

'''ПМИ / ТИ'''

[[ NIS-TCS-26-27 | НИС Теоретическая информатика ]]

[[ OWF-26-27 | Односторонние функции и их применения ]]

[[ ConvApprox27 | Выпуклое программирование и аппроксимационные алгоритмы ]]

[[AT-26-27 | Теория автоматов, формальные языки, регулярные выражения]]

 

| rowspan="15" |


[[Майнор_Биоинформатика_1_год_2026/27|Биоинформатика 1 год 2026/27]]

[[Майнор_Биоинформатика_2_год_2026/27|Биоинформатика 2 год 2026/27]]

[[Введение_в_программирование_26/27|Введение в программирование. Питон 26/27]]

[[Введение_в_базы_данных_26/27|Введение в базы данных 26/27]]

[[Основы_глубинного_обучения_26/27|Основы глубинного обучения 26/27]]

[[Основы_машинного_обучения/2027|Основы машинного обучения 26/27]]

[[Прикладные_задачи_анализа_данных/2027|Прикладные задачи анализа данных 26/27]]

[[Kolmogorov_complexity_fall2026|Introduction to Kolmogorov complexity]]

[[Complexity_theory_2027|Теория вычислений]]

|-
| colspan="4" style="text-align: center;" | '''ПИ'''
|-
|

[[Алгебра_ПИ_2026-2027|Алгебра 26/27]]

[[Дискретная_математика_26/27|Дискретная математика 26/27]]

[[Математический_анализ_26/27|Математический анализ 26/27]]

|
[[НИС_Методы_и_алгоритмы_защиты_информации_26/27|НИС Методы и алгоритмы защиты информации 26/27]]

[[Теория_вероятностей_26/27|Теория вероятностей 26/27]]

[[Математическая_статистика_26/27 | Математическая статистика 2026/27]]
|
 

||
 

|-
| colspan="4" style="text-align: center;" | '''ПАД'''
|-
|
'''1st year DSBA 2026/2027'''

[[Calculus 1 DSBA 2026/2027 | Calculus 1 (modules 1-4)]]

[[C++ Programming Language DSBA 2026/2027 | C++ Programming Language (modules 1-2)]]

[[English DSBA 2026/2027 | English Language (modules 1-4)]]

[[LAaG DSBA 2026/2027 | Linear Algebra and Geometry (modules 1-4)]]

[[Discrete Mathematics 1 DSBA 2026/2027 | Discrete Mathematics 1 (modules 1-3)]]

[[Russian History DSBA 2026/2027 | Russian History (modules 1-4)]]

[[Economics DSBA 2026/2027 | Economics (modules 2-3)]]

[[Foundations of Russian Statehood DSBA 2026/2027 | Foundations of Russian Statehood (module 3)]]

[[Python for Data Science DSBA 2026/2027 | Python for Data Science (module 3)]]

[[Algebra DSBA 2026/2027 | Algebra (module 4)]]

[[Algorithms and Data Structures 1 DSBA 2026/2027 | Algorithms and Data Structures 1 (module 4)]]

[[Fundamentals of Software Engineering DSBA 2026/2027 | Fundamentals of Software Engineering (module 4)]]

||
'''2nd year DSBA 2026/2027'''

[[Algorithms and Data Structures DSBA 2026/2027 | Algorithms and Data Structures (modules 1-3)]]

[[Discrete Mathematics 2 DSBA 2026/2027 | Discrete Mathematics 2 (modules 1-2)]]

[[Calculus 2 DSBA 2026/2027 | Calculus 2 (modules 1-2)]]

[[Probability Theory DSBA 2026/2027 | Probability Theory (modules 1-2)]]

[[Introduction to Micro and Macroeconomics DSBA 2026/2027 | Introduction to Micro and Macroeconomics (modules 1-4)]]

[[Computer Architecture and Operating Systems DSBA 2026/2027 | Computer Architecture and Operating Systems (modules 3-4)]]

[[Mathematical Statistics DSBA 2026/2027 | Mathematical Statistics (modules 3-4)]]

[[Machine Learning 1 DSBA 2026/2027 modules 3-4 | Machine Learning 1 (modules 3-4)]]

[[Differential Equations DSBA 2026/2027 | Differential Equations (modules (3-4)]]

'''Minors'''

[[Business and Management in Global Context DSBA 2026/2027 | Business and Management in Global Context (modules 1-4)]]

[[Introduction to Finance DSBA 2026/2027 | Introduction to Finance (modules 1-4)]]

||
'''3rd year DSBA 2026/2027'''

[[Databases DSBA 2026/2027 | Databases (modules 1-2)]]

[[Deep Learning DSBA 2026/2027 | Deep Learning (modules 1-2)]]

[[Optimization Methods DSBA 2026/2027 | Optimization Methods (modules 1-2)]]

[[Stochastic processes and applications DSBA 2026/2027 | Stochastic processes and applications (modules 1-2)]]

[[Time Series Analysis DSBA 2026/2027 | Time Series Analysis (modules 3-4)]]

'''Minors'''

[[Introduction to Entrepreneurship DSBA 2026/2027 | Introduction to Entrepreneurship (business minor, modules 1-2)]]

[[Information Systems Management DSBA 2026/2027 | Information Systems Management (business minor, modules 3-4)]]

[[Econometrics DSBA 2026/2027 | Elements of Econometrics (finance minor, modules 1-4)]]

'''Specialization Data Science in Business'''

[[Research Seminar "Data Analysis in Business" DSBA 2026/2027 | Research Seminar "Data Analysis in Business“ (modules 1-4)]]

[[Product Development: From Idea to Production DSBA 2026/2027 | Product Development: From Idea to Production (modules 1-2)]]

[[Investment Management for Business DSBA 2026/2027 | Investment Management for Business (modules 3-4)]]

'''Specialization Data Science in Finance'''

[[Research Seminar "Data Science in Finance" DSBA 2026/2027 | Research Seminar "Data Science in Finance" (modules 1-4)]]

[[Financial Mathematics DSBA 2026/2027 | Financial Mathematics (modules 1-2)]]

[[Risk Management in Bank DSBA 2026/2027 | Risk Management in Bank (modules 3-4)]]

'''Specialization Data Analysis in Applied Research'''

[[Research Seminar "Data Science in Applied Research" DSBA 2026/2027 | Research Seminar "Data Science in Applied Research" (modules 1-4)]]

[[Methods of Mathematical Modeling DSBA 2026/2027 | Methods of Mathematical Modeling (modules 1-2)]]

[[Applied Statistics for Machine Learning DSBA 2026/2027 | Applied Statistics for Machine Learning (modules 3-4)]]

'''Electives (modules 3-4)'''

[[Operations Research and Game Theory DSBA 2026/2027 | Operations Research and Game Theory]]

[[Advanced Statistical Methods DSBA 2026/2027 | Advanced Statistical Methods]]

[[Cоmputer Vision DSBA 2026/2027 | Cоmputer Vision]]

||
'''4th year DSBA 2026/2027'''

[[Strategy DSBA 2026/2027 | Strategy (modules 1-3)]]

[[Statistical Methods for Market Research DSBA 2026/2027 | Statistical Methods for Market Research (module 3)]]

'''Specialization Data Science in Business'''

[[Research Seminar "Data Analysis in Business 2" DSBA 2026/2027 | Research Seminar "Data Analysis in Business 2“ (modules 1-3)]]

[[Core Management Concepts DSBA 2026/2027 | Core Management Concepts (modules 1-3)]]

'''Specialization Data Science in Finance'''

[[Research Seminar "Data Science in Financial Markets" DSBA 2026/2027 | Research Seminar "Data Science in Financial Markets" (modules 1-3)]]

[[Asset Pricing and Financial Markets DSBA 2026/2027 | Asset Pricing and Financial Markets (modules 1-3)]]

'''Specialization Data Analysis in Applied Research'''

[[Research Seminar "Data Science in Applied Research 2" DSBA 2026/2027 | Research Seminar "Data Science in Applied Research 2" (modules 1-3)]]

[[Classical and Neural Modeling DSBA 2026/2027 | Classical and Neural Modeling (modules 1-3)]]

'''Electives block 1 (modules 1-2)'''

[[Introduction to the Study of Language for Computer Scientists DSBA 2026/2027 | Introduction to the Study of Language for Computer Scientists]]

[[Quantitative Finance DSBA 2026/2027 | Quantitative Finance]]

[[Information Security Risk Management DSBA 2026/2027 | Information Security Risk Management]]

[[Generative Models in Machine Learning DSBA 2026/2027 | Generative Models in Machine Learning]]

[[Natural Language Processing DSBA 2026/2027 | Natural Language Processing]]

'''Electives block 2 (module 3)'''

[[Information Systems DSBA 2026/2027 | Information Systems]]

[[Recommender Systems DSBA 2026/2027 | Recommender Systems]]

|-
| colspan="4" style="text-align: center;" | '''КНАД'''
|-
|
[[Программирование на С++ КНАД ВСН 26-27]]

[[Дискретная_Математика_КНАД_2026/27 | Дискретная математика 2026/27 (КНАД)]]

[[Программирование_на_Python_КНАД_26/27 | Программирование на Python 26/27 (КНАД)]]

[[Python_для_сбора_и_анализа_данных_КНАД_26/27 | Python для сбора и анализа данных КНАД 26/27]]

[[Алгоритмы и структуры данных - 1 2026/2027 2 модуль (КНАД)]]

[[Алгоритмы и структуры данных 2026/2027 4 модуль КНАД]]

[[Линейная алгебра КНАД 26/27]]

[[Математический Анализ КНАД 26/27]]

[[ИПР КНАД 26/27]]

||
[[Алгебра КНАД 2026/2027 | Алгебра]]

[[Алгоритмы_и_структуры_данных_2_КНАД_26/27 | Алгоритмы и структуры данных-2]]

[[Математический_анализ_2_КНАД_2026/27 | Математический анализ-2 2026/27 (КНАД)]]

[[Теория_вероятностей_КНАД_2026/27 | Теория вероятностей 2026/27 (КНАД)]]

[[ACOS_COMPDS_2026/27 | Архитектура Компьютера и Операционные Системы]]

[[Математическая_статистика_КНАД_2026/27 | Математическая статистика 2026/27 (КНАД)]]

||
 

||
 

|-
| colspan="4" style="text-align: center;" | '''ЭАД'''
|-
|
[[Алгоритмы и структуры данных-1 2026/2027 2 модуль (ЭАД)]]

[[Алгоритмы и структуры данных-1 2026/2027 4 модуль (ЭАД)]]

[[Программирование на С++ ЭАД 26/27]]

[[Язык программирования Python 2026/27 (ЭАД) ]]

[[DM1EAD-2026-27 | Дискретная математика 2026/27 (ЭАД)]]

[[Линейная_алгебра_и_геометрия_на_ПМИ_2026/2027_(основной_поток) | Линейная алгебра и геометрия]]

[[Математический_анализ_1_2026/27_(основной_поток)_ЭАД | Математический анализ-1 (ЭАД)]]
||

[[Алгоритмы и структуры данных 2 ЭАД 26/27 | Алгоритмы и структуры данных-2]]

||
 

||
 

|-
| colspan="4" style="text-align: center;" | '''ДРИП'''
|-
|
[[Алгоритмы и структуры данных-1 (ДРИП)]]

[[Ddip2630 | Линейная алгебра и геометрия]]

[[DM_DRIP-2026-27 | Дискретная математика 2026/27 (ДРИП)]]

||
[[Теория_вероятностей_ДРИП_26/27 | Теория вероятностей 2026/27 (ДРИП)]]

||
 

||
 

|-
| colspan="4" style="text-align: center;" | '''РИЦП'''
|-
|
[[Математика для компьютерной графики (РИЦП)]]

||
 

||
 

||
 

|-
| colspan="4" style="text-align: center;" | '''ПИРС'''
|-
|
[[Линейная алгебра ПИРС 26/27]]

||
 

||
 

||
 

|-
| colspan="4" style="text-align: center;" | '''СмолГУ'''
|-
|
[[Дискретная математика ВШЭ+СмолГУ 26/27]]

||
 

||
 

||
 

|}

== Курсы в рамках проекта [https://www.hse.ru/dataculture/ Data Culture] ==

{| class="wikitable"
|-
! Осенний семестр !! Весенний семестр
|-
| [[Основы_программирования_на_Python_(углубленный_курс)_Экономика | Основы программирования на Python (углубленный курс) Экономика]]
|
|}

== Курсы магистратуры ФКН ==
{| class="wikitable"
|-
! Ссылка !! Дисциплина !! Год обучения
|-
| [[ NIS-TCS-26-27 | НИС Теоретическая информатика ]] || НИС ТИ || СКН, 1-2 год
|-
| [[MOTV_2026 | Mathematical foundations of probability theory]] || Math of Machine Learning, MML || 1 year
|-
| [[MC_2026 | Markov Chains]] || Math of Machine Learning, MML || 1 year
|-
| [[Sample_2027 | Sampling and Generative Modeling ]] || Math of Machine Learning, MML || 1 year
|}

== Курсы других факультетов ==

{| class="wikitable"
|-
| [[econ_metrics_2026-27|Эконометрика ип 2026-27]] || фэн, фкн, 3 курс || 1-4 модуль
|-
|}

== Факультативы ==

{| class="wikitable"
|-
! Дисциплина !! Период
|-
| [[Аналитическая_теория_чисел:_приложения_комплексного_анализа_26/27 | Аналитическая теория чисел: приложения комплексного анализа 26/27]] || 1-2 модуль
|-
|}

= Архив до 2025/26 учебного года включительно =
[[Wiki ФКН/Архив]]

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2026/2027 (основной поток)

2026-09-01T12:57:38Z

Ravdeev: Новая страница: «Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных" Telegram-канал: https://t.me/LA_26_AMI_osn_EDA = Преподаватели и учебные ассистенты = Обратите внимание, что учебный ассистент1 отвечает за регулярные (семинарские) до...»

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-06-14T12:20:20Z

Ravdeev: /* Экзамен */

Telegram-канал: [https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn]

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/i_mihanya Михаил Игнатьев] || [https://t.me/Astana_G Дмитрий Гайфулин] || [https://t.me/sgayf Сергей Гайфуллин] || [https://t.me/t1som Алина Никитина] || [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александрóв] || [https://t.me/AlTal Алексей Таламбуца] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/lizkmrv Елизавета Комарова] || [https://t.me/w_wip Максим Грицан] || [https://t.me/vadkam Вадим Камалов] || [https://t.me/shierururu Марина Василькова] || [https://t.me/parsifal45 Данил Лисиенко] || [https://t.me/an_soc София Соленникова] || [https://t.me/repressedd Дамир Хасанов] || [https://t.me/PiP8PoP Полина Литвина] || [https://t.me/ice_fusion Максим Минин] || [https://t.me/cep3au Сергей Зайцев]
|}

= Порядок формирования оценок =

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

Oитоговая = 0,33 * Одз + 0,22*Ок/р + 0,45*Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

[https://drive.google.com/file/d/1H5KJWhhq0WZH7uxwebg0lmlD3ibmD3A-/view?usp=sharing '''Конспект лекций''']

'''Лекция 1''' (1.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1YKZjxhOuTmo7RVpQWG1INGz_BthCf6X9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Циклические группы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы

'''Лекция 2''' (3.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1biOHJcjQVXlFzG0LnQq9xD4YejS7M9sh/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Бинарная операция на множестве смежных классов по нормальной подгруппе

'''Лекция 3''' (8.04.2026). Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры

'''Лекция 4''' (15.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1yMicuzNtBfL_b9YU67Bgzv_CeuOFUi91/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности

'''Лекция 5''' (17.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WGv2WE_HdgOrRDd9WOjXGYJjQPWJOVGa/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы в коммутативном кольце

'''Лекция 6''' (22.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1lfYNhmJ_3q1Yb8Irc2PUXIx2VUcRZCjH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком в кольце K[x]. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении

'''Лекция 7''' (24.04.2026). Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Факторкольцо K[x]/(h). Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем

'''Лекция 8''' (29.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1tPS_edf59FGz7edl3FwLl0C0pC3yakeM/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Базис и размерность факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов

'''Лекция 9''' (13.05.2026). Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях

'''Лекция 10''' (20.05.2026). Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами

'''Лекция 11''' (22.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WIvHMPKbaWmATPPEB3Lh49CxACL7FxCw/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождаемое алгебраическим элементом

'''Лекция 12''' (27.05.2026). Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов

'''Лекция 13''' (3.06.2026). Единственность конечного поля заданного порядка. Описание подполей конечного поля. Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять.

'''Лекция 14''' (5.06.2026). Линейные коды. Проверочная матрица. Связь минимального расстояния линейного кода с его проверочной матрицей. Бинарный код Хэмминга, его минимальное расстояние и число ошибок, которые он может исправлять. Неравенство Синглтона. Код Рида–Соломона и его минимальное расстояние: классическая реализация и БЧХ-реализация.

'''Лекция 15''' (10.06.2026). Элементы криптографии с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль-Гамаля. Эллиптические кривые. Структура группы на эллиптической кривой. Общие свойства эллиптических кривых над конечными полями.

= Листки с задачами =

[https://drive.google.com/file/d/1U88IgabAITYVVFZ7rAmUhpAKveIVIIDa/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 1''']

[https://drive.google.com/file/d/1FKdxx1oTEz7UscP6dBcO-2sz9Q9mxw42/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 2''']

[https://drive.google.com/file/d/11LfEtsh0-YiF_OacBBEo30aJjMDXw-Rr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 3''']

[https://drive.google.com/file/d/14btFb7lAe2YM7NoWmedf4Fo_SsSjDcdJ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 4''']

[https://drive.google.com/file/d/1Vhl9sgQ7miwy9ZcJTHd9bTxF5Llg-b4s/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 5''']

[https://drive.google.com/file/d/1bcBsa4XoEm0oYEsoJS5G81qpg5KizblZ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 6''']

[https://drive.google.com/file/d/1p0zuuMje789FhJggSd9Y2hhzDN79xdPB/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 7''']

[https://drive.google.com/file/d/1fBfmGKC0a_QFSr8lRn0FRUsSWD3OMU8_/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 8''']

[https://drive.google.com/file/d/1cMwu7iVa7CjUA1Kj_gFbB50w5xdA24Cr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 9''']

[https://drive.google.com/file/d/1_7x51e20LBsE9BDbDU6aUoUAeL4LKvMf/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 10''']

[https://drive.google.com/file/d/1b4Qja9plAaRuYT8d8S3G18Z50DBRwFAu/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 11''']

[https://drive.google.com/file/d/1NvzM9rK8SxhKBX45E0okKAwWg-KtmSC-/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 12''']

[https://drive.google.com/file/d/1wlpwUCAy6F8JOODquJJjibqQKJlzvfRp/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 13''']

[https://drive.google.com/file/d/1mayVbjp7efy-3gAuImywYqYUPffL9Agt/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 14''']

[https://drive.google.com/file/d/1l2mCO9zgaM6-HlG5Ta3KQxTLovFssgvd/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 15''']

= Домашние задания =

[https://drive.google.com/file/d/1KCsB-i2zdH5J72G83GmGWXywglwGDEIb/view?usp=drive_link '''ДЗ-1''']

[https://drive.google.com/file/d/1zK-yCdm8CixRUSpttIBIfyjRxv2kCUPq/view?usp=drive_link '''ДЗ-2''']

[https://drive.google.com/file/d/1dQ1v_eEfLgVAwVW5_NTP1HVGgn3BJzoI/view?usp=drive_link '''ДЗ-3''']

[https://drive.google.com/file/d/1EP4kX6HqDf0ExCEBxQ1aZVQGqnqmSd9t/view?usp=drive_link '''ДЗ-4''']

[https://drive.google.com/file/d/1VcIG4pbalXF62m7XoLOfoqs1sgGbJFTd/view?usp=drive_link '''ДЗ-5''']

[https://drive.google.com/file/d/1-xGy82y154SWPBZjYhOjx6oLoUNR2qtY/view?usp=drive_link '''ДЗ-6''']

[https://drive.google.com/file/d/1EgyEDQ1WZWNP5b80L1QdvN4N4Fkoo-Tn/view?usp=drive_link '''ДЗ-7''']

[https://drive.google.com/file/d/1FXZ_GiAUmUi9k6G8PAYkaRDDdOcmokca/view?usp=drive_link '''ДЗ-8''']

[https://drive.google.com/file/d/1KmI_15fj2oCjS61NHZuj5O1LSlmD_byv/view?usp=drive_link '''ДЗ-9''']

= Контрольная работа =

Дата-время: 8 июня, 16:40

[https://docs.google.com/document/d/1x_5zbEs8ME2yyZ94RD9dArsmvklt6iDpFY3rPUxY9lM/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

[https://drive.google.com/file/d/1JttVmJmlPaEO7fZRsxuTA-lOof_lVXx4/view?usp=drive_link '''Условия задач с контрольной''']

'''Темы задач на контрольной работе'''

* Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] ("прямая сумма" = "прямое произведение")
* Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, [https://www.dropbox.com/s/6ugc0adjv4pv0h4/Quotients.pdf?dl=0 ещё задачи]]
* Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, [https://www.dropbox.com/s/hc5uz9iiiw201hl/Factorization_examples.pdf?dl=0 ещё примеры]]
* Базисы Грёбнера и их приложения [[https://www.dropbox.com/s/ssubw1mqn3hhqor/GB_examples.pdf?dl=0 примеры], задачи 5,9 из листка 10 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 2,3 из листка 8, задача 1 из ДЗ-6, задачи 4,5 из листка 11 и задача 1 из ДЗ-8]
* Вычисления в конечных полях [[https://www.dropbox.com/s/y8u27gr9kk5nw6b/FF_examples.pdf?dl=0 примеры]]

Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина)

Также стоит обратить внимание на задачи, предлагавшиеся на аналогичных контрольных прошлых лет

= Экзамен =

Формат экзамена: устный

Студент вытягивает билет с 4 вопросами из программы (два вопроса по 2 балла и ещё два по 3 балла; все вопросы на доказательства!). На подготовку к ответу даётся 50 минут, после чего происходит разговор с принимающим, по результатам которого выставляется оценка. Знание только определений и формулировок даёт не более 0,5 балла за вопрос и, следовательно, не более 2 баллов в сумме.

[https://drive.google.com/file/d/1pQ1Ke7Tj8aAcc9u4G_WRWnfYoGhBnRGq/view?usp=sharing '''Список вопросов для подготовки к экзамену''']

= Ведомости текущего контроля =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=658286564#gid=658286564 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=834516625#gid=834516625 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1692194870#gid=1692194870 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=241205604#gid=241205604 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1651735923#gid=1651735923 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=637903293#gid=637903293 2515]
|}

= Литература =

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988
* И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-06-10T20:40:46Z

Ravdeev: /* Листки с задачами */

Telegram-канал: [https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn]

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/i_mihanya Михаил Игнатьев] || [https://t.me/Astana_G Дмитрий Гайфулин] || [https://t.me/sgayf Сергей Гайфуллин] || [https://t.me/t1som Алина Никитина] || [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александрóв] || [https://t.me/AlTal Алексей Таламбуца] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/lizkmrv Елизавета Комарова] || [https://t.me/w_wip Максим Грицан] || [https://t.me/vadkam Вадим Камалов] || [https://t.me/shierururu Марина Василькова] || [https://t.me/parsifal45 Данил Лисиенко] || [https://t.me/an_soc София Соленникова] || [https://t.me/repressedd Дамир Хасанов] || [https://t.me/PiP8PoP Полина Литвина] || [https://t.me/ice_fusion Максим Минин] || [https://t.me/cep3au Сергей Зайцев]
|}

= Порядок формирования оценок =

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

Oитоговая = 0,33 * Одз + 0,22*Ок/р + 0,45*Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

[https://drive.google.com/file/d/1H5KJWhhq0WZH7uxwebg0lmlD3ibmD3A-/view?usp=sharing '''Конспект лекций''']

'''Лекция 1''' (1.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1YKZjxhOuTmo7RVpQWG1INGz_BthCf6X9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Циклические группы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы

'''Лекция 2''' (3.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1biOHJcjQVXlFzG0LnQq9xD4YejS7M9sh/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Бинарная операция на множестве смежных классов по нормальной подгруппе

'''Лекция 3''' (8.04.2026). Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры

'''Лекция 4''' (15.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1yMicuzNtBfL_b9YU67Bgzv_CeuOFUi91/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности

'''Лекция 5''' (17.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WGv2WE_HdgOrRDd9WOjXGYJjQPWJOVGa/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы в коммутативном кольце

'''Лекция 6''' (22.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1lfYNhmJ_3q1Yb8Irc2PUXIx2VUcRZCjH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком в кольце K[x]. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении

'''Лекция 7''' (24.04.2026). Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Факторкольцо K[x]/(h). Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем

'''Лекция 8''' (29.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1tPS_edf59FGz7edl3FwLl0C0pC3yakeM/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Базис и размерность факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов

'''Лекция 9''' (13.05.2026). Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях

'''Лекция 10''' (20.05.2026). Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами

'''Лекция 11''' (22.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WIvHMPKbaWmATPPEB3Lh49CxACL7FxCw/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождаемое алгебраическим элементом

'''Лекция 12''' (27.05.2026). Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов

'''Лекция 13''' (3.06.2026). Единственность конечного поля заданного порядка. Описание подполей конечного поля. Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять.

'''Лекция 14''' (5.06.2026). Линейные коды. Проверочная матрица. Связь минимального расстояния линейного кода с его проверочной матрицей. Бинарный код Хэмминга, его минимальное расстояние и число ошибок, которые он может исправлять. Неравенство Синглтона. Код Рида–Соломона и его минимальное расстояние: классическая реализация и БЧХ-реализация.

'''Лекция 15''' (10.06.2026). Элементы криптографии с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль-Гамаля. Эллиптические кривые. Структура группы на эллиптической кривой. Общие свойства эллиптических кривых над конечными полями.

= Листки с задачами =

[https://drive.google.com/file/d/1U88IgabAITYVVFZ7rAmUhpAKveIVIIDa/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 1''']

[https://drive.google.com/file/d/1FKdxx1oTEz7UscP6dBcO-2sz9Q9mxw42/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 2''']

[https://drive.google.com/file/d/11LfEtsh0-YiF_OacBBEo30aJjMDXw-Rr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 3''']

[https://drive.google.com/file/d/14btFb7lAe2YM7NoWmedf4Fo_SsSjDcdJ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 4''']

[https://drive.google.com/file/d/1Vhl9sgQ7miwy9ZcJTHd9bTxF5Llg-b4s/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 5''']

[https://drive.google.com/file/d/1bcBsa4XoEm0oYEsoJS5G81qpg5KizblZ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 6''']

[https://drive.google.com/file/d/1p0zuuMje789FhJggSd9Y2hhzDN79xdPB/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 7''']

[https://drive.google.com/file/d/1fBfmGKC0a_QFSr8lRn0FRUsSWD3OMU8_/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 8''']

[https://drive.google.com/file/d/1cMwu7iVa7CjUA1Kj_gFbB50w5xdA24Cr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 9''']

[https://drive.google.com/file/d/1_7x51e20LBsE9BDbDU6aUoUAeL4LKvMf/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 10''']

[https://drive.google.com/file/d/1b4Qja9plAaRuYT8d8S3G18Z50DBRwFAu/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 11''']

[https://drive.google.com/file/d/1NvzM9rK8SxhKBX45E0okKAwWg-KtmSC-/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 12''']

[https://drive.google.com/file/d/1wlpwUCAy6F8JOODquJJjibqQKJlzvfRp/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 13''']

[https://drive.google.com/file/d/1mayVbjp7efy-3gAuImywYqYUPffL9Agt/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 14''']

[https://drive.google.com/file/d/1l2mCO9zgaM6-HlG5Ta3KQxTLovFssgvd/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 15''']

= Домашние задания =

[https://drive.google.com/file/d/1KCsB-i2zdH5J72G83GmGWXywglwGDEIb/view?usp=drive_link '''ДЗ-1''']

[https://drive.google.com/file/d/1zK-yCdm8CixRUSpttIBIfyjRxv2kCUPq/view?usp=drive_link '''ДЗ-2''']

[https://drive.google.com/file/d/1dQ1v_eEfLgVAwVW5_NTP1HVGgn3BJzoI/view?usp=drive_link '''ДЗ-3''']

[https://drive.google.com/file/d/1EP4kX6HqDf0ExCEBxQ1aZVQGqnqmSd9t/view?usp=drive_link '''ДЗ-4''']

[https://drive.google.com/file/d/1VcIG4pbalXF62m7XoLOfoqs1sgGbJFTd/view?usp=drive_link '''ДЗ-5''']

[https://drive.google.com/file/d/1-xGy82y154SWPBZjYhOjx6oLoUNR2qtY/view?usp=drive_link '''ДЗ-6''']

[https://drive.google.com/file/d/1EgyEDQ1WZWNP5b80L1QdvN4N4Fkoo-Tn/view?usp=drive_link '''ДЗ-7''']

[https://drive.google.com/file/d/1FXZ_GiAUmUi9k6G8PAYkaRDDdOcmokca/view?usp=drive_link '''ДЗ-8''']

[https://drive.google.com/file/d/1KmI_15fj2oCjS61NHZuj5O1LSlmD_byv/view?usp=drive_link '''ДЗ-9''']

= Контрольная работа =

Дата-время: 8 июня, 16:40

[https://docs.google.com/document/d/1x_5zbEs8ME2yyZ94RD9dArsmvklt6iDpFY3rPUxY9lM/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

[https://drive.google.com/file/d/1JttVmJmlPaEO7fZRsxuTA-lOof_lVXx4/view?usp=drive_link '''Условия задач с контрольной''']

'''Темы задач на контрольной работе'''

* Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] ("прямая сумма" = "прямое произведение")
* Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, [https://www.dropbox.com/s/6ugc0adjv4pv0h4/Quotients.pdf?dl=0 ещё задачи]]
* Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, [https://www.dropbox.com/s/hc5uz9iiiw201hl/Factorization_examples.pdf?dl=0 ещё примеры]]
* Базисы Грёбнера и их приложения [[https://www.dropbox.com/s/ssubw1mqn3hhqor/GB_examples.pdf?dl=0 примеры], задачи 5,9 из листка 10 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 2,3 из листка 8, задача 1 из ДЗ-6, задачи 4,5 из листка 11 и задача 1 из ДЗ-8]
* Вычисления в конечных полях [[https://www.dropbox.com/s/y8u27gr9kk5nw6b/FF_examples.pdf?dl=0 примеры]]

Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина)

Также стоит обратить внимание на задачи, предлагавшиеся на аналогичных контрольных прошлых лет

= Экзамен =

Формат экзамена: устный

= Ведомости текущего контроля =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=658286564#gid=658286564 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=834516625#gid=834516625 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1692194870#gid=1692194870 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=241205604#gid=241205604 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1651735923#gid=1651735923 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=637903293#gid=637903293 2515]
|}

= Литература =

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988
* И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-06-10T20:39:41Z

Ravdeev: /* Краткое содержание лекций */

Telegram-канал: [https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn]

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/i_mihanya Михаил Игнатьев] || [https://t.me/Astana_G Дмитрий Гайфулин] || [https://t.me/sgayf Сергей Гайфуллин] || [https://t.me/t1som Алина Никитина] || [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александрóв] || [https://t.me/AlTal Алексей Таламбуца] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/lizkmrv Елизавета Комарова] || [https://t.me/w_wip Максим Грицан] || [https://t.me/vadkam Вадим Камалов] || [https://t.me/shierururu Марина Василькова] || [https://t.me/parsifal45 Данил Лисиенко] || [https://t.me/an_soc София Соленникова] || [https://t.me/repressedd Дамир Хасанов] || [https://t.me/PiP8PoP Полина Литвина] || [https://t.me/ice_fusion Максим Минин] || [https://t.me/cep3au Сергей Зайцев]
|}

= Порядок формирования оценок =

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

Oитоговая = 0,33 * Одз + 0,22*Ок/р + 0,45*Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

[https://drive.google.com/file/d/1H5KJWhhq0WZH7uxwebg0lmlD3ibmD3A-/view?usp=sharing '''Конспект лекций''']

'''Лекция 1''' (1.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1YKZjxhOuTmo7RVpQWG1INGz_BthCf6X9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Циклические группы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы

'''Лекция 2''' (3.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1biOHJcjQVXlFzG0LnQq9xD4YejS7M9sh/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Бинарная операция на множестве смежных классов по нормальной подгруппе

'''Лекция 3''' (8.04.2026). Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры

'''Лекция 4''' (15.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1yMicuzNtBfL_b9YU67Bgzv_CeuOFUi91/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности

'''Лекция 5''' (17.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WGv2WE_HdgOrRDd9WOjXGYJjQPWJOVGa/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы в коммутативном кольце

'''Лекция 6''' (22.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1lfYNhmJ_3q1Yb8Irc2PUXIx2VUcRZCjH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком в кольце K[x]. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении

'''Лекция 7''' (24.04.2026). Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Факторкольцо K[x]/(h). Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем

'''Лекция 8''' (29.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1tPS_edf59FGz7edl3FwLl0C0pC3yakeM/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Базис и размерность факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов

'''Лекция 9''' (13.05.2026). Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях

'''Лекция 10''' (20.05.2026). Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами

'''Лекция 11''' (22.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WIvHMPKbaWmATPPEB3Lh49CxACL7FxCw/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождаемое алгебраическим элементом

'''Лекция 12''' (27.05.2026). Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов

'''Лекция 13''' (3.06.2026). Единственность конечного поля заданного порядка. Описание подполей конечного поля. Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять.

'''Лекция 14''' (5.06.2026). Линейные коды. Проверочная матрица. Связь минимального расстояния линейного кода с его проверочной матрицей. Бинарный код Хэмминга, его минимальное расстояние и число ошибок, которые он может исправлять. Неравенство Синглтона. Код Рида–Соломона и его минимальное расстояние: классическая реализация и БЧХ-реализация.

'''Лекция 15''' (10.06.2026). Элементы криптографии с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль-Гамаля. Эллиптические кривые. Структура группы на эллиптической кривой. Общие свойства эллиптических кривых над конечными полями.

= Листки с задачами =

[https://drive.google.com/file/d/1U88IgabAITYVVFZ7rAmUhpAKveIVIIDa/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 1''']

[https://drive.google.com/file/d/1FKdxx1oTEz7UscP6dBcO-2sz9Q9mxw42/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 2''']

[https://drive.google.com/file/d/11LfEtsh0-YiF_OacBBEo30aJjMDXw-Rr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 3''']

[https://drive.google.com/file/d/14btFb7lAe2YM7NoWmedf4Fo_SsSjDcdJ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 4''']

[https://drive.google.com/file/d/1Vhl9sgQ7miwy9ZcJTHd9bTxF5Llg-b4s/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 5''']

[https://drive.google.com/file/d/1bcBsa4XoEm0oYEsoJS5G81qpg5KizblZ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 6''']

[https://drive.google.com/file/d/1p0zuuMje789FhJggSd9Y2hhzDN79xdPB/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 7''']

[https://drive.google.com/file/d/1fBfmGKC0a_QFSr8lRn0FRUsSWD3OMU8_/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 8''']

[https://drive.google.com/file/d/1cMwu7iVa7CjUA1Kj_gFbB50w5xdA24Cr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 9''']

[https://drive.google.com/file/d/1_7x51e20LBsE9BDbDU6aUoUAeL4LKvMf/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 10''']

[https://drive.google.com/file/d/1b4Qja9plAaRuYT8d8S3G18Z50DBRwFAu/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 11''']

[https://drive.google.com/file/d/1NvzM9rK8SxhKBX45E0okKAwWg-KtmSC-/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 12''']

[https://drive.google.com/file/d/1wlpwUCAy6F8JOODquJJjibqQKJlzvfRp/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 13''']

[https://drive.google.com/file/d/1mayVbjp7efy-3gAuImywYqYUPffL9Agt/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 14''']

= Домашние задания =

[https://drive.google.com/file/d/1KCsB-i2zdH5J72G83GmGWXywglwGDEIb/view?usp=drive_link '''ДЗ-1''']

[https://drive.google.com/file/d/1zK-yCdm8CixRUSpttIBIfyjRxv2kCUPq/view?usp=drive_link '''ДЗ-2''']

[https://drive.google.com/file/d/1dQ1v_eEfLgVAwVW5_NTP1HVGgn3BJzoI/view?usp=drive_link '''ДЗ-3''']

[https://drive.google.com/file/d/1EP4kX6HqDf0ExCEBxQ1aZVQGqnqmSd9t/view?usp=drive_link '''ДЗ-4''']

[https://drive.google.com/file/d/1VcIG4pbalXF62m7XoLOfoqs1sgGbJFTd/view?usp=drive_link '''ДЗ-5''']

[https://drive.google.com/file/d/1-xGy82y154SWPBZjYhOjx6oLoUNR2qtY/view?usp=drive_link '''ДЗ-6''']

[https://drive.google.com/file/d/1EgyEDQ1WZWNP5b80L1QdvN4N4Fkoo-Tn/view?usp=drive_link '''ДЗ-7''']

[https://drive.google.com/file/d/1FXZ_GiAUmUi9k6G8PAYkaRDDdOcmokca/view?usp=drive_link '''ДЗ-8''']

[https://drive.google.com/file/d/1KmI_15fj2oCjS61NHZuj5O1LSlmD_byv/view?usp=drive_link '''ДЗ-9''']

= Контрольная работа =

Дата-время: 8 июня, 16:40

[https://docs.google.com/document/d/1x_5zbEs8ME2yyZ94RD9dArsmvklt6iDpFY3rPUxY9lM/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

[https://drive.google.com/file/d/1JttVmJmlPaEO7fZRsxuTA-lOof_lVXx4/view?usp=drive_link '''Условия задач с контрольной''']

'''Темы задач на контрольной работе'''

* Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] ("прямая сумма" = "прямое произведение")
* Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, [https://www.dropbox.com/s/6ugc0adjv4pv0h4/Quotients.pdf?dl=0 ещё задачи]]
* Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, [https://www.dropbox.com/s/hc5uz9iiiw201hl/Factorization_examples.pdf?dl=0 ещё примеры]]
* Базисы Грёбнера и их приложения [[https://www.dropbox.com/s/ssubw1mqn3hhqor/GB_examples.pdf?dl=0 примеры], задачи 5,9 из листка 10 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 2,3 из листка 8, задача 1 из ДЗ-6, задачи 4,5 из листка 11 и задача 1 из ДЗ-8]
* Вычисления в конечных полях [[https://www.dropbox.com/s/y8u27gr9kk5nw6b/FF_examples.pdf?dl=0 примеры]]

Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина)

Также стоит обратить внимание на задачи, предлагавшиеся на аналогичных контрольных прошлых лет

= Экзамен =

Формат экзамена: устный

= Ведомости текущего контроля =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=658286564#gid=658286564 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=834516625#gid=834516625 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1692194870#gid=1692194870 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=241205604#gid=241205604 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1651735923#gid=1651735923 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=637903293#gid=637903293 2515]
|}

= Литература =

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988
* И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-06-09T15:40:08Z

Ravdeev: /* Контрольная работа */

Telegram-канал: [https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn]

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/i_mihanya Михаил Игнатьев] || [https://t.me/Astana_G Дмитрий Гайфулин] || [https://t.me/sgayf Сергей Гайфуллин] || [https://t.me/t1som Алина Никитина] || [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александрóв] || [https://t.me/AlTal Алексей Таламбуца] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/lizkmrv Елизавета Комарова] || [https://t.me/w_wip Максим Грицан] || [https://t.me/vadkam Вадим Камалов] || [https://t.me/shierururu Марина Василькова] || [https://t.me/parsifal45 Данил Лисиенко] || [https://t.me/an_soc София Соленникова] || [https://t.me/repressedd Дамир Хасанов] || [https://t.me/PiP8PoP Полина Литвина] || [https://t.me/ice_fusion Максим Минин] || [https://t.me/cep3au Сергей Зайцев]
|}

= Порядок формирования оценок =

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

Oитоговая = 0,33 * Одз + 0,22*Ок/р + 0,45*Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

[https://drive.google.com/file/d/1H5KJWhhq0WZH7uxwebg0lmlD3ibmD3A-/view?usp=sharing '''Конспект лекций''']

'''Лекция 1''' (1.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1YKZjxhOuTmo7RVpQWG1INGz_BthCf6X9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Циклические группы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы

'''Лекция 2''' (3.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1biOHJcjQVXlFzG0LnQq9xD4YejS7M9sh/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Бинарная операция на множестве смежных классов по нормальной подгруппе

'''Лекция 3''' (8.04.2026). Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры

'''Лекция 4''' (15.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1yMicuzNtBfL_b9YU67Bgzv_CeuOFUi91/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности

'''Лекция 5''' (17.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WGv2WE_HdgOrRDd9WOjXGYJjQPWJOVGa/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы в коммутативном кольце

'''Лекция 6''' (22.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1lfYNhmJ_3q1Yb8Irc2PUXIx2VUcRZCjH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком в кольце K[x]. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении

'''Лекция 7''' (24.04.2026). Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Факторкольцо K[x]/(h). Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем

'''Лекция 8''' (29.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1tPS_edf59FGz7edl3FwLl0C0pC3yakeM/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Базис и размерность факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов

'''Лекция 9''' (13.05.2026). Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях

'''Лекция 10''' (20.05.2026). Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами

'''Лекция 11''' (22.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WIvHMPKbaWmATPPEB3Lh49CxACL7FxCw/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождаемое алгебраическим элементом

'''Лекция 12''' (27.05.2026). Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов

'''Лекция 13''' (3.06.2026). Единственность конечного поля заданного порядка. Описание подполей конечного поля. Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять.

'''Лекция 14''' (5.06.2026). Линейные коды. Проверочная матрица. Связь минимального расстояния линейного кода с его проверочной матрицей. Бинарный код Хэмминга, его минимальное расстояние и число ошибок, которые он может исправлять. Неравенство Синглтона. Код Рида–Соломона и его минимальное расстояние: классическая реализация и БЧХ-реализация.

= Листки с задачами =

[https://drive.google.com/file/d/1U88IgabAITYVVFZ7rAmUhpAKveIVIIDa/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 1''']

[https://drive.google.com/file/d/1FKdxx1oTEz7UscP6dBcO-2sz9Q9mxw42/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 2''']

[https://drive.google.com/file/d/11LfEtsh0-YiF_OacBBEo30aJjMDXw-Rr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 3''']

[https://drive.google.com/file/d/14btFb7lAe2YM7NoWmedf4Fo_SsSjDcdJ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 4''']

[https://drive.google.com/file/d/1Vhl9sgQ7miwy9ZcJTHd9bTxF5Llg-b4s/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 5''']

[https://drive.google.com/file/d/1bcBsa4XoEm0oYEsoJS5G81qpg5KizblZ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 6''']

[https://drive.google.com/file/d/1p0zuuMje789FhJggSd9Y2hhzDN79xdPB/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 7''']

[https://drive.google.com/file/d/1fBfmGKC0a_QFSr8lRn0FRUsSWD3OMU8_/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 8''']

[https://drive.google.com/file/d/1cMwu7iVa7CjUA1Kj_gFbB50w5xdA24Cr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 9''']

[https://drive.google.com/file/d/1_7x51e20LBsE9BDbDU6aUoUAeL4LKvMf/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 10''']

[https://drive.google.com/file/d/1b4Qja9plAaRuYT8d8S3G18Z50DBRwFAu/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 11''']

[https://drive.google.com/file/d/1NvzM9rK8SxhKBX45E0okKAwWg-KtmSC-/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 12''']

[https://drive.google.com/file/d/1wlpwUCAy6F8JOODquJJjibqQKJlzvfRp/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 13''']

[https://drive.google.com/file/d/1mayVbjp7efy-3gAuImywYqYUPffL9Agt/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 14''']

= Домашние задания =

[https://drive.google.com/file/d/1KCsB-i2zdH5J72G83GmGWXywglwGDEIb/view?usp=drive_link '''ДЗ-1''']

[https://drive.google.com/file/d/1zK-yCdm8CixRUSpttIBIfyjRxv2kCUPq/view?usp=drive_link '''ДЗ-2''']

[https://drive.google.com/file/d/1dQ1v_eEfLgVAwVW5_NTP1HVGgn3BJzoI/view?usp=drive_link '''ДЗ-3''']

[https://drive.google.com/file/d/1EP4kX6HqDf0ExCEBxQ1aZVQGqnqmSd9t/view?usp=drive_link '''ДЗ-4''']

[https://drive.google.com/file/d/1VcIG4pbalXF62m7XoLOfoqs1sgGbJFTd/view?usp=drive_link '''ДЗ-5''']

[https://drive.google.com/file/d/1-xGy82y154SWPBZjYhOjx6oLoUNR2qtY/view?usp=drive_link '''ДЗ-6''']

[https://drive.google.com/file/d/1EgyEDQ1WZWNP5b80L1QdvN4N4Fkoo-Tn/view?usp=drive_link '''ДЗ-7''']

[https://drive.google.com/file/d/1FXZ_GiAUmUi9k6G8PAYkaRDDdOcmokca/view?usp=drive_link '''ДЗ-8''']

[https://drive.google.com/file/d/1KmI_15fj2oCjS61NHZuj5O1LSlmD_byv/view?usp=drive_link '''ДЗ-9''']

= Контрольная работа =

Дата-время: 8 июня, 16:40

[https://docs.google.com/document/d/1x_5zbEs8ME2yyZ94RD9dArsmvklt6iDpFY3rPUxY9lM/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

[https://drive.google.com/file/d/1JttVmJmlPaEO7fZRsxuTA-lOof_lVXx4/view?usp=drive_link '''Условия задач с контрольной''']

'''Темы задач на контрольной работе'''

* Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] ("прямая сумма" = "прямое произведение")
* Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, [https://www.dropbox.com/s/6ugc0adjv4pv0h4/Quotients.pdf?dl=0 ещё задачи]]
* Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, [https://www.dropbox.com/s/hc5uz9iiiw201hl/Factorization_examples.pdf?dl=0 ещё примеры]]
* Базисы Грёбнера и их приложения [[https://www.dropbox.com/s/ssubw1mqn3hhqor/GB_examples.pdf?dl=0 примеры], задачи 5,9 из листка 10 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 2,3 из листка 8, задача 1 из ДЗ-6, задачи 4,5 из листка 11 и задача 1 из ДЗ-8]
* Вычисления в конечных полях [[https://www.dropbox.com/s/y8u27gr9kk5nw6b/FF_examples.pdf?dl=0 примеры]]

Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина)

Также стоит обратить внимание на задачи, предлагавшиеся на аналогичных контрольных прошлых лет

= Экзамен =

Формат экзамена: устный

= Ведомости текущего контроля =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=658286564#gid=658286564 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=834516625#gid=834516625 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1692194870#gid=1692194870 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=241205604#gid=241205604 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1651735923#gid=1651735923 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=637903293#gid=637903293 2515]
|}

= Литература =

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988
* И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-06-08T18:21:15Z

Ravdeev: /* Экзамены */

Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"

Telegram-канал: https://t.me/LA_25_AMI_osn_EDA

= Преподаватели и учебные ассистенты =

Обратите внимание, что учебный ассистент1 отвечает за регулярные домашние задания, а учебный ассистент2 -- за большие домашние задания.

== Основной поток ПМИ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/yzaitseva Юлия Зайцева] || [https://t.me/VVKikteva Вероника Киктева] || [https://t.me/iamilyaboldyrev Илья Болдырев] || [https://t.me/the_Man_of_Spade Виктор Лопаткин] ||colspan="2"| [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/aperep Александр Перепечко] || [https://t.me/Vitalique_Iudelevich Виталий Юделевич] || [https://t.me/t1som Алина Никитина]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/The_best_cat_okk Михаил Фомичев] || [https://t.me/its_me_arlek1n0 Виктор Васильев] || [https://t.me/iraayugay Ирина Югай] || [https://t.me/dzagonov Дмитрий Загонов] || [https://t.me/denkruuk Денис Круковер] || [https://t.me/Ne_klumaks Вячеслав Газизов] || [https://t.me/karbarkarrr Варвара Сажина] || [https://t.me/Anilaniklot Илья Кравчук] || [https://t.me/lesha_hse Алексей Веляев] || [https://t.me/ilmsomuch Артём Кузнецов]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/oretskiy_greshok Анастасия Козлова] || [https://t.me/psinapsinovna Дарья Храмова] || [https://t.me/tr1pl3d0ttt Даниил Гузь] || [https://t.me/poltorq Яна Босякова] || [https://t.me/Ivan_Ovs Иван Овсянников] || [https://t.me/morz24 Алексей Токарев] || [https://t.me/Kkicune Алина Бариева] || [https://t.me/ullmrv Юлия Муравьёва] || [https://t.me/katkaeva Айса Каткаева] || [https://t.me/artyom_kotov04 Артём Абросимов]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="10"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

== Поток ЭАД ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БЭАД251 !! БЭАД252 !! БЭАД253 !! БЭАД254 !! БЭАД255 !! БЭАД256
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://www.hse.ru/org/persons/306101187 Алёна Зароднюк] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров] || [https://t.me/Artyom_Martirosov Артём Мартиросов]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/georgeanenko Георгий Аненко] || [https://t.me/ananananananaaa Анна Гуськова] || [https://t.me/levrudanin Лев Руданин] || [https://t.me/banbutsuno_hoshi Арсений Черваков] || [https://t.me/arslanyam Арслан Ямалетдинов] || [https://t.me/hgfghgfgfd Юрий Дзюба]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/bazingapog Николай Баринов] || [https://t.me/seletarina Арина Селетникова] || [https://t.me/sxbntm Алиса Карпинская] || [https://t.me/foma253 Александр Фомин] || [https://t.me/petrovegor2005 Егор Петров] || [https://t.me/grebenchik Варвара Гребенщикова]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="6"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

= Расписание консультаций =

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =

== 2-й модуль ==
Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,35*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,15*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==
Итоговая оценка за 3-4 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,32*Oэкз + 0,23*Oколл + 0,17*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

= Краткое содержание лекций =
== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (3.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1zeSqzJcF9HCsLP8I5_6GDhLON_9Yg-G4/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

'''Лекция 2''' (8.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1ZnXLPHY-U5sm2B7ut3FcEQi5V__P8Cjr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы.

'''Лекция 3''' (15.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1-i_w_8eFOIbocpFwmxKSJwWZKUF-5Zj3/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (29.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1XQ7qsLAgoXZDmLN2O3gq_yo59Dla3EB5/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Определение обратной матрицы. Обратная матрица как решение уравнения AX=E (пока без доказательства). Перестановки на множестве {1,2,...,n}. Инверсии в перестановке. Знак и чётность перестановки.

'''Лекция 5''' (6.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1RXoHKZJFY_Qtb8A4PN9QCc9cwQb_kiaz/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Произведение перестановок. Ассоциативность произведения перестановок. Теорема о знаке произведения перестановок. Тождественная перестановка. Обратная перестановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 6''' (13.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/19Us0dF6pZ5AkIR0JKKcDpnE1zDrOAnGY/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей.

'''Лекция 7''' (20.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1VPnqK-pW7APin5-0Qbf-5mzwGuBMvcJI/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Определитель обратной матрицы. Невырожденные матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости квадратной матрицы. Формулы Крамера.

'''Лекция 8''' (3.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1sTebhBZ3GIvKgrH3W1G2D_0r8DZSlFS1/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра.

'''Лекция 9''' (10.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/12X_M36Jo_SJwWhS4ooh24bNvfJrfJUTH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей. Векторные пространства, примеры. Простейшие следствия из аксиом векторного пространства.

'''Лекция 10''' (17.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1F6qGTlaNaYAFQ61b1xZ3JZubjWLr3gwK/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства. Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

'''Лекция 11''' (24.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1INsbcwSZhW3PsXYPRVfGm9zIbZ3wIGFr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Характеризация базисов в терминах единственности линейного выражения векторов. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

'''Лекция 12''' (1.12.2025). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 13''' (8.12.2025). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

'''Лекция 14''' (15.12.2025). Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому. Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения.

== 3-4 модули ==

'''Лекция 15''' (12.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/14-3xV-Z0GCJrTlPfa3nBX-g1G37aJrw9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Проекция вектора на подпространство вдоль дополнительного подпространства. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств.

'''Лекция 16''' (19.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1LXqyyiV6XxMuWyGdksmppduLcKP5aC9r/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Отображение, обратное к изоморфизму векторных пространств. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Изоморфные векторные пространства. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств. Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры.

'''Лекция 17''' (26.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/145a2hZQXWsvw2pRHXmrk-y-GimaCOvap/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений. Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно умножения на квадратную невырожденную матрицу слева или справа.

'''Лекция 18''' (2.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1E8-poOd9l8Bfy0bs8C42bbkjqHcsM7vb/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры. Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен ровно одному базису исходного пространства. Билинейные формы на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису.

'''Лекция 19''' (9.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1s1tbdpIFbNI1AsOVwAmlzrhPpwcTQgve/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису. Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Теорема о диагонализации симметричной билинейной формы. Симметричные элементарные преобразования квадратной матрицы. Симметричный алгоритм Гаусса. Угловые миноры матрицы. Метод Якоби для симметричных билинейных форм (формулировка).

'''Лекция 20''' (16.02.2026). Доказательство метода Якоби для симметричных билинейных форм. Квадратичные формы на векторном пространстве. Примеры. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции.

'''Лекция 21''' (16.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/19G3HvmxwJKheFzYoat1P2tnh-cetPJd8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Следствие метода Якоби о вычислении индексов инерции квадратичной формы над R. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши–Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства.

'''Лекция 22''' (2.03.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WVcqOhp-LmUxrpKkzHM-X4lnsluoTvyF/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональные векторы. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базис. Координаты вектора в ортогональном (ортонормированном) базисе. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Метод ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные матрицы и их свойства.

'''Лекция 23''' (2.03.2026). Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального (ортонормированного) базиса. Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве. Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Псевдорешение несовместной системы линейных уравнений. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов.

'''Лекция 24''' (16.03.2026). Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства. Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Векторное произведение, его выражение в координатах.

'''Лекция 25''' (23.03.2026). Смешанное произведение трёх векторов, его свойства. Критерий компланарности трёх векторов. Критерий коллинеарности двух векторов в терминах векторного произведения. Геометрические свойства векторного произведения. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии.

'''Лекция 26''' (6.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1gjBdszpSQFx6jx3Fpc9w77ksfvINYX-8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса.

'''Лекция 27''' (13.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1n0YFaR6QHBmQRSE77it93jx69S5f6AQL/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя. Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, согласованном с разложением пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора.

'''Лекция 28''' (20.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1KSkTmOkECufHy_FNQ2Eqi38tMrkAJlUT/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора. Связь между алгебраической и геометрической кратностями собственного значения линейного оператора. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений.

'''Лекция 29''' (27.04.2026). Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве. Отображение, сопряжённое к линейному отображению между двумя евклидовыми пространствами: определение, существование и единственность. Матрица сопряжённого отображения в паре произвольных и паре ортонормированных базисов. Сопряжённый оператор в евклидовом пространстве. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, семь эквивалентных условий.

'''Лекция 30''' (27.04.2026). Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Теорема о сингулярных базисах для линейного отображения евклидовых пространств.

'''Лекция 31''' (18.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1JyR0GgUyc5QRN9G8srWiaLLxdbCCCCKC/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сингулярное разложение матрицы и её сингулярные значения. Усечённое сингулярное разложение матрицы. Представление матрицы в виде суммы компонент ранга 1, связанное с её сингулярным разложением. Фробениусова норма матрицы, её инвариантность относительно умножения на ортогональную матрицу слева или справа. Теорема Эккарта-Янга о низкоранговом приближении.

'''Лекция 32''' (25.05.2026). Прямоугольные декартовы системы координат в евклидовом пространстве. Формулы замены координат при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой. Квадрики (гиперповерхности 2-го порядка) в R^n. Теорема о каноническом виде уравнения квадрики в евклидовом пространстве. Метрическая классификация кривых 2-го порядка в R^2. Метрическая классификация поверхностей 2-го порядка в R^3.

'''Лекция 33''' (1.06.2026). Эллипс, гипербола, парабола: основные геометрические свойства (фокусы, директрисы, эксцентриситет, оптическое свойство). Теорема о жордановой нормальной форме линейного оператора (формулировка). Корневые подпространства линейного оператора. Теорема о разложении векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора (формулировка). Сведение доказательства теоремы о жордановой нормальной форме к случаю корневого подпространства. Нильпотентные линейные операторы. Циклическое подпространство нильпотентного оператора.

'''Лекция 34''' (8.06.2026). Конструкция жорданова базиса для нильпотентного оператора и формулы для числа жордановых клеток заданного размера. Обзор теории полуторалинейных форм и эрмитовых пространств.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

== 1-2 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1ihV-uQiZP9Fh9G3Sw3-uhX9hidE2xA5KZnWXtdxi3r8/edit?usp=sharing '''ИДЗ-1''']

[https://docs.google.com/document/d/1a9jbUnR4Z7X3JnRFTIIANgZyKBTUawXFk9oXLUMEYaw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1s-YEdgFk-OXKp3PLvZijI9jsOtgguEpTvxb9pFt26yE/edit?usp=sharing '''ИДЗ-3''']

[https://docs.google.com/document/d/1WQE4qZrVatcNPytB4nG1xOYzMB3H7ycKOdB1B139myI/edit?usp=sharing '''ИДЗ-4''']

== 3-4 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1_JHDKX8Sq1iMVCcnpt2lDLIVEdQMuLuhk-p0ghncp9U/edit?usp=sharing '''ИДЗ-5''']

[https://docs.google.com/document/d/14PWMZIQF0lnCNTWFe5Izf3aR0nu40HLgE3bOuz5NWwA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-6''']

[https://docs.google.com/document/d/16zdghtjup8Fqqf6pg8SRXFe9AYKnvhC6WzpVQu9XDOw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-7''']

[https://docs.google.com/document/d/1yjHURRAdZ8ifynzTD-lu0CMUljvdRQoqL6xtExL4nAk/edit?usp=sharing '''ИДЗ-8''']

[https://docs.google.com/document/d/17VGGhZIDKzv9Td_Zg2qim8zu7XPNlDUoHew82AipejA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-9''']

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

[https://docs.google.com/document/d/1k_Wt9P9aISwRhM_0mo4TQ8vHUjrn7N0j/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-1''']

[https://docs.google.com/document/d/11np0omXwFYVmrWuCJXMS9GSrBPBjU-OV/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1qTfG6PqNj1KB_96b2zgUzJhWyGeCXWWE/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-3''']

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата-время: 15 ноября, 15:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1V78nBf6w0Mb_Kz0fI_gETdwgK38DoIAShiVnpQjhHnw/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1Iv2V2flblwWIHQWPKem3SA2QBLA6E5jq/view?usp=sharing '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.
*Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
*Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8–18.11
*Перестановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
*Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
*Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316
Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

== 4-й модуль ==

Дата-время: 18 апреля, 18:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1bYjzRzkDHqGwziLEmBW7IdydmvTdGBipj-b7ayxwt7w/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1wnTJ11B4QIUeSnFxFbcOoLw7BMYOcCXH/view?usp=drive_link '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Задание подпространств системами линейных уравнений: П 1312, 1313, К 35.16

*Матрицы перехода, преобразование координат вектора при замене базиса: П 1280–1283, К 34.10–34.12; задача 2 из ИДЗ-5

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства, разложение в прямую сумму подпространств: П 1317, 1318, 1320–1322; К 35.14, 35.15; задачи 3–5 из ИДЗ-5

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434–1438, 1441–1446, 1449, 1450; К 36.3, 36.4, 39.15, 39.16; задачи 1,2 из ИДЗ-6

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения, приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали: К 39.5; задачи 3,4 из ИДЗ-6

*Линейные функции и двойственные базисы: К 36.9, 36.10; задача 5 из ИДЗ-6

*Билинейные и квадратичные формы, их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10, 38.15, 38.16

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175–1186; К 38.8, 38.18(а–г)

*Исследование квадратичных форм на положительную и отрицательную определённость, а также определение нормального вида в зависимости от значений параметра: П 1212–1216; К 38.11(а–г), 38.14(а,б) + для каждого номера определить нормальный вид квадратичной формы в зависимости от значений параметра

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357–1363; К 43.7(а–г), 43.15(а–в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370–1372; К 43.19(а–в)

*Объём k-мерного параллелепипеда: К 43.36

*Линейные многообразия: П 1374; К 43.21(а–г), 51.7

*Векторное и смешанное произведения в R^3: КК 25.5, 25.7, 25.17, 25.18, 25.24, 25.35–25.38, 25.49, 25.59, 25.61

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28–26.37, 26.39–26.47, 26.50, 27.34, 27.39–27.42, 31.1–31.3, 31.5–31.8, 31.21–31.25, 31.27–31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 31.13–31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 25.58, 32.28–32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38–32.40

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==
Даты: 10 декабря для ЭАД, 13 декабря для ПМИ

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1hFMODfRvZ51zYqkyJi5EKpipO5B613na/view?usp=sharing '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1u61pDMSL-3ImwtjMLNmle3WabfSMsBGd/view?usp=sharing '''Список вопросов на доказательство''']

'''Формат проведения:'''

Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, на написание которых даётся 10 минут, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4-5 вопросами на доказательство. На написание первых двух вопросов даётся 25 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности.

== 4-й модуль ==
Даты: 29-30 мая

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1TOFHODQwiBC8eAZ1RBSjpZ9W9qHXz2ld/view?usp=drive_link '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1oqRbzS_hovcZ6G_BqjLMxKSuaRn01pEc/view?usp=drive_link '''Список вопросов на доказательство''']

= Экзамены =

Формат проведения: письменная работа

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

== 2-й модуль ==

Дата-время: 26 декабря, 9:30

Продолжительность работы: 160 минут (2 часа 40 минут)

[https://drive.google.com/file/d/1Bi3phiOeLa_FwpoQU7DQDQkQL8T69NFF/view?usp=drive_link '''Условия задач с экзамена''']

[https://docs.google.com/document/d/196BdHN84U9suOqvrDva-jh5IebD828wZd385M50vEWE/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению экзамена''']

Материалы для подготовки к экзамену:

I: [https://drive.google.com/file/d/1zxh4S7wGLkrzdn_GL4ujySAgfJXkmadN/view?usp=sharing '''список определений и формулировок''']

II: список задач для подготовки к 1-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 21.9, 22.7
*Линейная зависимость в векторных пространствах: П 639–644, 646–650, 652–655, 1824–1828; К 34.2, 34.3
*Линейные комбинации, линейные оболочки: П 665–669, 679–681 (база = максимальная линейно независимая подсистема)
*Подпространства, базис, размерность: П 1297–1304, 1308, 1310–1313; К 34.14, 35.2, 35.3, 35.7(а,в,г), 35.8, 35.11, 35.16
*Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных экзаменов прошлых лет.

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

== 4-й модуль ==

Дата-время: 15 июня, 18:10

Материалы для подготовки к экзамену:

I: [https://drive.google.com/file/d/1DcaB4wLByfPXYrjvpQEvfyPcIBYIlO1O/view?usp=drive_link '''список определений и формулировок''']

II: список задач для подготовки ко 2-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова):
*Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису: П 1452--1454; К 39.19--39.21
*Собственные векторы и собственные значения линейных операторов: П 1465--1474; К 40.15
*Диагонализуемость линейных операторов: П 1479--1483; К 40.16
*Самосопряжённые линейные операторы, приведение квадратичной формы к главным осям: К 45.4, 45.19, П 1243–1246, 1248–1262, 1585, 1586
*Ортогональные линейные операторы: К 46.6, П 1571–1575
*Сингулярное разложение матриц и теорема о низкоранговом приближении ([https://www.dropbox.com/s/wkjqmpauc3ubwdk/SVD_examples.pdf?dl=0 '''примеры'''])
*Нахождение прямоугольной декартовой системы координат, в которой уравнение данной кривой или поверхности 2-го порядка принимает канонический вид, и определение типа данной кривой или поверхности (КК 35.24, 35.27, 38.10–38.12)
*Нахождение жордановой формы линейного оператора и соответствующего жорданова базиса (К 41.1, 41.10, П 1530–1536)

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных экзаменов прошлых лет.

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=798212250#gid=798212250 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1905063984#gid=1905063984 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1143931348#gid=1143931348 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1571389748#gid=1571389748 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1008226585#gid=1008226585 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=196141806#gid=196141806 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2082325635#gid=2082325635 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=141028840#gid=141028840 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1342717045#gid=1342717045 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=183207489#gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2014615374#gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1795822500#gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1130562098#gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2082037908#gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=91924820#gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1290636010#gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=877068035#gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1036271056#gid=1036271056 Э256]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=735451668#gid=735451668 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=669963605#gid=669963605 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1959871710#gid=1959871710 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=103812329#gid=103812329 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=944808823#gid=944808823 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1765292157#gid=1765292157 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=590665666#gid=590665666 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=455919933#gid=455919933 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1889630406#gid=1889630406 Э256]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=495362391#gid=495362391 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1018299486#gid=1018299486 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1364062586#gid=1364062586 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1423608094#gid=1423608094 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=96823731#gid=96823731 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=776758101#gid=776758101 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1608052002#gid=1608052002 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=689894434#gid=689894434 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=331922030#gid=331922030 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 2-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1036271056 Э256]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=306180384 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1788292251 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1130033710 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1074866345 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1715049091 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1626532296 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1671546472 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=981219186 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=490014071 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=34870869 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1156905827 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1829776196 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=548337066 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=771466034 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1752006868 Э256]
|}

= Кстати =

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

= Ссылки =

[https://t.me/LA_256_sem Telegram-канал семинаров в группе БПМИ256]

[https://t.me/linal258 Telegram-канал семинаров в группе БПМИ258]

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (пилотный поток)

2026-06-08T16:31:30Z

Ravdeev: /* 3-4 модули */

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/305113883 Екатерина Нистюк] || [https://www.hse.ru/org/persons/304055991 Юля Зайцева] || [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/350789943 Антон Трушин] || [https://www.hse.ru/org/persons/350789943 Антон Трушин] || [https://www.hse.ru/org/persons/856267465/ Михаил Игнатьев]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/evisqq Хаким Вердиев] и [https://t.me/kalDima1218 Дмитрий Калугин] || [https://t.me/fynjybath Антон Ныйкин] и [https://t.me/thisariv Вова Родин] || [https://t.me/op_invalid Михаил Бугрышев] и [https://t.me/Semi4 Андрей Павлов] || [https://t.me/bibihoya Юлия Баранова] и [https://t.me/katyatyurr Катя Тюрина] || [https://t.me/elizazh Елизавета Жукова] и [https://t.me/olimpiadnyikomik Анастасия Одинцова]
|}

= Расписание консультаций =

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница !! суббота !! воскресенье
|-
| <center>1</center> || Дима Трушин || || || pending || || || ||
|-
| <center>2</center> || Юля Зайцева || || || || || || ||
|-
| <center>3</center> || Михаил Игнатьев || || || || || || ||
|-
| <center>4</center> || Антон Трушин || || || || || || ||
|}

* Просьба предупреждать, если планируете прийти, возможны изменения

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус к накопленной оценке:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =
== 2-й модуль ==

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

'''Итоговая оценка за курс -- оценка за 4-ый модуль.'''

= Краткое содержание лекций =

== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (03.09.2025). Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса. Матрицы и матричные операции.

'''Лекция 2''' (10.09.2025). Дефекты матричных операций. Связь с линейными уравнениями. Деление и обратимость матриц. Левая и правая обратная, двусторонняя обратимость только для квадратных матриц. Матрицы элементарных преобразований. Невырожденность матриц: 6 эквивалентных определений.

'''Лекция 3''' (17.09.2025) Следствия 6 эквивалентных определений. Массовое решение систем. Поиск обратной матрицы Гауссом. Блочные формулы умножения матриц. Метод восстановления главных переменных через множество решений. Единственность улучшенного ступенчатого вида матрицы. Классификация систем с одинаковым множеством решений.

'''Лекция 4''' (24.09.2024) Полиномиальное исчисление от матриц. Существование многочлена зануляющего матрицу. Спектр матрицы. Минимальный многочлен и его связь со спектром. Наивная оценка на степень минимального многочлена.

'''Лекция 5''' (01.10.2025) Перестановки. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки. Существование и единственность знака перестановки.

'''Лекция 6''' (08.10.2025) Три подхода к определителям: (I) явная формула с помощью перестановок, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) согласованность с умножением. Вычисление по явной формуле для верхнетреугольных матриц и в случае размерностей 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Полилинейность определителя (импликация (I)=>(II)). Определитель элементарных матриц. Классификация полилинейных отображений. Доказательство импликации (II)=>(I).

'''Лекция 7''' (15.10.2025) Мультипликативность определителя (импликация (II)=>(III)), определитель с углом нулей и определитель блочно верхнетреугольной матрицы. Импликация (III)=>(I). Миноры и алгебраические дополнения, присоединенная матрица. Разложение определителя по строке или столбцу. Явные формулы для обратной матрицы.

'''Лекция 8''' (22.10.2025) Формулы Крамера. Характеристический многочлен. Связь характеристического многочлена со спектром. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли.

'''Лекция 9''' (5.11.2025) Определение поля. Определение подполя и изоморфизма полей, изоморфизм над подполем. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Различные операции на комплексных числах, геометрическая модель. План доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

'''Лекция 10''' (12.11.2025) Доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

'''Лекция 11''' (19.11.2025) Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость. Примеры пространств и подпространств. Порождающая система, линейная оболочка.

'''Лекция 12''' (26.11.2025) Три эквивалентных определения базиса. Понятие размерности. Конечномерные векторные пространства. Понятие координат вектора. Описание всех базисов в терминах одного.

'''Лекция 13''' (3.12.2025) Фундаментальная система решений. Пять определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Неизменность первых четырех рангов при домножении на обратимую матрицу слева и справа и их совпадение. Совпадение минорного ранга с остальными.

'''Лекция 14''' (10.12.2025) Линейные отображения, примеры. Изоморфизмы. Операции на линейных отображениях, структура векторного пространства. Критерий существования линейного отображения в терминах базиса, критерий изоморфности векторных пространств. Матрица линейного отображения и ее связь с операциями на линейных отображениях. Замена матрицы линейного отображения при смене базисов. Образ и ядро. Критерий инъективности и сюръективности в их терминах.

'''Лекция 15''' (17.12.2025) Оценка ранга произведения матриц. Связь размерности ядра и образа линейного отображения. Классификация линейных отображений. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей. Линейная независимость подрпостранств. Внешние и внутренние прямые суммы (6 эквивалентных определений).

== 3-4 модули ==

'''Лекция 16''' (14.01.2026). Линейные операторы, определения и примеры, проекторы. Матрица линейного оператора, смена матрицы при замене базиса. Характеристики линейного оператора: след, определитель, характеристический многочлен, минимальный многочлен, спектр, ранг. Критерии обратимости линейного оператора.

'''Лекция 17''' (21.01.2026). Инвариантные подпространства и связь с углом нулей. Инвариантность ядра и образа относительно коммутирующего оператора. Собственные подпространства. Связь собственных значений со спектром. Корневые подпространства. Лемма о стабилизации образа и ядра степени линейного оператора.

'''Лекция 18''' (28.01.2026). Кратность собственных значений. Существование ненулевого собственного вектора над алгебраически замкнутым полем. Линейная независимость собственных и корневых подпространств. Критерий диагонализуемости линейного оператора.

'''Лекция 19''' (4.02.2026). Свойства ограничения оператора. Приведение к верхнетреугольному виду матрицы оператора. Утверждение о подстановке оператора во взаимно простые многочлены. Теорема о разложении через зануляющий многочлен. Разложение пространства в прямую сумму корневых. Описание инвариантных подпространств.

'''Лекция 20''' (11.02.2026). Идеальный спектр и его описание в терминах минимального многочлена, в терминах характеристического многочлена (БД). Обобщение корневых и собственных подпространств на идеальный спектр. Минимальные инвариантные подпространства в собственном подпространстве для идеального спектра.

'''Лекция 21''' (18.02.2026). Отношение равенства по модулю подпространства. Линейная независимость, порождающие и базис по модулю подпространства (определения и критерии). Определение жорданова базиса и жордановой нормальной формы (ЖНФ). Теорема о ЖНФ для нильпотентных операторов: единственность и формула для количества клеток.

'''Лекция 22''' (25.02.2026). Теорема о ЖНФ для произвольного оператора: существование и единственность. Классификация линейных операторов. Функционалы: двойственное (сопряжённое) пространство с примерами. Понятие о двойственном базисе. Связь размерности пространства и его двойственного.

'''Лекция 23''' (4.03.2026). Наличие функционала, не равного нулю на заданном векторе. Векторы -- это функции на функциях, изоморфизм векторного пространства на своё второе сопряжённое. Конструкция сопряжённого линейного отображения. Матрица сопряжённого линейного отображения в двойственном базисе. Согласованность изоморфизма векторного пространства с вторым сопряжённым и конструкции сопряжённого линейного отображения.

'''Лекция 24''' (11.03.2026). Билинейные формы, примеры, естественная билинейная форма между пространством и сопряжённым. Матрица билинейной формы. Конструирование билинейных форм по значениям на паре базисов. Смена матрицы билинейной формы. Билинейные формы и матричный формализм. Ранг билинейной формы. Левые и правые ортогональные дополнения, ядра формы, невырожденность в терминах ядра. Связь ранга с размерностями ядер.

'''Лекция 25''' (18.03.2026). Двойственность для подпространств относительно невырожденной билинейной формы. Двойственность для линейных отображений (альтернатива Фредгольма). Связь инвариантности подпространств для линейного оператора и сопряжённого к нему. Билинейные формы на одном пространстве. Симметричность и кососимметричность формы. Замечание про поле характеристики 2.

'''Лекция 26''' (1.04.2026). Матрицы симметричных и кососимметричных билинейных форм. Матричные характеристики билинейных форм. Разложение любой билинейной формы (на одном пространстве при обратимости двойки в поле) в сумму симметрической и кососимметрической. Ограничение билинейной формы на подпространство. Невырожденность ограничения. Диагонализуемость симметрических форм (замечание про характеристику 2). Симметричный Гаусс.

'''Лекция 27''' (8.04.2026). Метод Якоби. Алгоритм диагонализации на основе метода Якоби. Квадратичные формы. Связь квадратичных и билинейных форм. Классификация симметричных билинейных форм над алгебраически замкнутым полем. Классификация симметричных билинейных форм над полем вещественных чисел и сигнатура.

'''Лекция 28''' (15.04.2026). Геометрический смысл сигнатуры. Положительная и отрицательная определённость формы над полем вещественных чисел. Критерий Сильвестра. Графики квадратичных форм. Анализ поверхности. Евклидовы пространства и скалярные произведения. Понятие длины вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла в евклидовом пространстве. Классификация евклидовых пространств. Ортогональные и ортонормированные базисы. Ортогонализация Грама-Шмидта.

'''Лекция 29''' (21.04.2026). Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. Формула BABA для проектора. Формула Aтата для ортопроектора. Формула для ортогональной проекции в терминах ортогонального базиса подпространства. Расстояние в евклидовом пространстве. Утверждение о расстоянии и угле между вектором и подпространством. Метод наименьших квадратов.

'''Лекция 30''' (28.04.2026). Классификация ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса. Ортогональные матрицы. Теорема Пифагора. Матрица Грама и её свойства. k-мерные объёмы через матрицу Грама и рекуррентная формула. Изменение объёма при смене образующих параллелепипеда и при действии линейного оператора. Понятие ориентации в евклидовом пространстве. Ориентированный n-мерный объём.

'''Лекция 31''' (12.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1d0L4aCJgJxssURoVq3zsQSdbUpgCBnZp/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Изменение ориентированного объёма при смене образующих параллелепипеда. Связь ориентированного объёма с определителем. Изменение ориентированного объёма под действием оператора. Комплексные векторные пространства. Полуторалинейные формы, матрица полуторалинейной формы и формула её изменения при смене базиса. Эрмитово сопряжение матрицы. Ортогональные дополнения. Квадратичные формы для полуторалинейных форм. Поляризационная формула. Соответствие между полуторалинейными формами и квадратичными формами. Эрмитовы и косоэрмитовы формы, интерпретация этих свойств в терминах матриц. Вещественность значений квадратичной формы для эрмитовой полуторалинейной формы. Диагонализация эрмитовых и косоэрмитовых форм. Классификация эрмитовых форм. Положительная и отрицательная определённость эрмитовых форм. Метод Якоби. Критерий Сильвестра.

'''Лекция 32''' (18.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/18_R70_zPpkb62JywzWbkxS0D3zcuyAhz/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Эрмитово векторное пространство и эрмитово скалярное произведение. Понятие длины вектора, неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла между прямыми. Ортогональность и ортонормированность. Классификация ортонормированных базисов в терминах одного и матриц перехода. Унитарные матрицы. Классификация эрмитовых пространств. Ортогональные проекции, расстояния, метод наименьших квадратов, матрица Грама. Комплексификация векторного пространства, его базис и размерность. Комплексификация линейного отображения и билинейной формы, их матрицы. Операторы в евклидовом и эрмитовом пространствах. Движения, различные определения, описание движений с помощью матриц.

'''Лекция 33''' (25.05.2026). Свойства движений: спектр на окружности, ортогональность собственных подпространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству. Классификация движений в эрмитовом случае (диагонализуемость в ортонормированном базисе плюс спектр на окружности). Классификация движений в евклидовом случае (блочная диагонализуемость специального вида в ортонормированном базисе). Сопряжённое линейное отображение и его матрица. Сопряжённые и самосопряжённые операторы. Матрица самосопряжённого оператора. Свойства самосопряжённого оператора: вещественный непустой спектр, ортогональность собственных подпространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству.

'''Лекция 34''' (1.06.2026). Классификация самосопряжённых операторов в эрмитовом и евклидовом пространствах. Изоморфизм между операторами и билинейными (полуторалинейными) формами в евклидовом (эрмитовом) пространстве. Приведение формы к главным осям. Вычисление сигнатуры симметричной билинейной (эрмитовой полуторалинейной) формы через спектр её матрицы. Классификация линейных отображений между евклидовыми пространствами. Сингулярное разложение матрицы (SVD).

'''Лекция 35''' (8.06.2026). Усечённое сингулярное разложение матрицы. Представление матрицы в виде суммы компонент ранга 1, связанное с её сингулярным разложением. Фробениусова норма матрицы, её инвариантность относительно умножения на ортогональную матрицу слева или справа. Теорема Эккарта-Янга о низкоранговом приближении.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с основного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка до 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата контрольной работы -- 13 декабря. Время и правила проведения контрольной TBA.

== 4-й модуль ==

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==

Дата проведения коллоквиума -- 19 декабря. Точные условия и правила TBA.

== 4-й модуль ==

= Экзамен =

== 2-й модуль ==

== 4-й модуль ==

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1174728025#gid=1174728025 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1318652803#gid=1318652803 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=677514736#gid=677514736 255]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1995105946#gid=1995105946 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1174728025#gid=1174728025 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1318652803#gid=1318652803 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=677514736#gid=677514736 255]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

= Ссылки =

* Общие

# [https://t.me/+HFM6V67xD285ZThi Канал] в Telegram
# [https://github.com/DimaTrushin/LinearAlgebra Лекции] на github.
# [https://github.com/DimaTrushin/LinearAlgebraAlgorithms Алгоритмы] на github.

* Группы 251 и 253

# [https://t.me/+RVTRVbj6wlsxYmEy Группа] в Telegram
# [https://disk.yandex.ru/d/U10JdTvXCFR3Dg Материалы] семинаров и домашние задания

= Литература =

== Учебники ==

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* S. Axler. Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997 (или любое последующее издание)

== Сборники задач ==

* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-06-08T16:14:38Z

Ravdeev: /* 3-4 модули */

Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"

Telegram-канал: https://t.me/LA_25_AMI_osn_EDA

= Преподаватели и учебные ассистенты =

Обратите внимание, что учебный ассистент1 отвечает за регулярные домашние задания, а учебный ассистент2 -- за большие домашние задания.

== Основной поток ПМИ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/yzaitseva Юлия Зайцева] || [https://t.me/VVKikteva Вероника Киктева] || [https://t.me/iamilyaboldyrev Илья Болдырев] || [https://t.me/the_Man_of_Spade Виктор Лопаткин] ||colspan="2"| [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/aperep Александр Перепечко] || [https://t.me/Vitalique_Iudelevich Виталий Юделевич] || [https://t.me/t1som Алина Никитина]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/The_best_cat_okk Михаил Фомичев] || [https://t.me/its_me_arlek1n0 Виктор Васильев] || [https://t.me/iraayugay Ирина Югай] || [https://t.me/dzagonov Дмитрий Загонов] || [https://t.me/denkruuk Денис Круковер] || [https://t.me/Ne_klumaks Вячеслав Газизов] || [https://t.me/karbarkarrr Варвара Сажина] || [https://t.me/Anilaniklot Илья Кравчук] || [https://t.me/lesha_hse Алексей Веляев] || [https://t.me/ilmsomuch Артём Кузнецов]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/oretskiy_greshok Анастасия Козлова] || [https://t.me/psinapsinovna Дарья Храмова] || [https://t.me/tr1pl3d0ttt Даниил Гузь] || [https://t.me/poltorq Яна Босякова] || [https://t.me/Ivan_Ovs Иван Овсянников] || [https://t.me/morz24 Алексей Токарев] || [https://t.me/Kkicune Алина Бариева] || [https://t.me/ullmrv Юлия Муравьёва] || [https://t.me/katkaeva Айса Каткаева] || [https://t.me/artyom_kotov04 Артём Абросимов]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="10"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

== Поток ЭАД ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БЭАД251 !! БЭАД252 !! БЭАД253 !! БЭАД254 !! БЭАД255 !! БЭАД256
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://www.hse.ru/org/persons/306101187 Алёна Зароднюк] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров] || [https://t.me/Artyom_Martirosov Артём Мартиросов]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/georgeanenko Георгий Аненко] || [https://t.me/ananananananaaa Анна Гуськова] || [https://t.me/levrudanin Лев Руданин] || [https://t.me/banbutsuno_hoshi Арсений Черваков] || [https://t.me/arslanyam Арслан Ямалетдинов] || [https://t.me/hgfghgfgfd Юрий Дзюба]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/bazingapog Николай Баринов] || [https://t.me/seletarina Арина Селетникова] || [https://t.me/sxbntm Алиса Карпинская] || [https://t.me/foma253 Александр Фомин] || [https://t.me/petrovegor2005 Егор Петров] || [https://t.me/grebenchik Варвара Гребенщикова]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="6"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

= Расписание консультаций =

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =

== 2-й модуль ==
Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,35*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,15*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==
Итоговая оценка за 3-4 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,32*Oэкз + 0,23*Oколл + 0,17*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

= Краткое содержание лекций =
== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (3.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1zeSqzJcF9HCsLP8I5_6GDhLON_9Yg-G4/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

'''Лекция 2''' (8.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1ZnXLPHY-U5sm2B7ut3FcEQi5V__P8Cjr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы.

'''Лекция 3''' (15.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1-i_w_8eFOIbocpFwmxKSJwWZKUF-5Zj3/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (29.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1XQ7qsLAgoXZDmLN2O3gq_yo59Dla3EB5/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Определение обратной матрицы. Обратная матрица как решение уравнения AX=E (пока без доказательства). Перестановки на множестве {1,2,...,n}. Инверсии в перестановке. Знак и чётность перестановки.

'''Лекция 5''' (6.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1RXoHKZJFY_Qtb8A4PN9QCc9cwQb_kiaz/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Произведение перестановок. Ассоциативность произведения перестановок. Теорема о знаке произведения перестановок. Тождественная перестановка. Обратная перестановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 6''' (13.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/19Us0dF6pZ5AkIR0JKKcDpnE1zDrOAnGY/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей.

'''Лекция 7''' (20.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1VPnqK-pW7APin5-0Qbf-5mzwGuBMvcJI/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Определитель обратной матрицы. Невырожденные матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости квадратной матрицы. Формулы Крамера.

'''Лекция 8''' (3.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1sTebhBZ3GIvKgrH3W1G2D_0r8DZSlFS1/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра.

'''Лекция 9''' (10.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/12X_M36Jo_SJwWhS4ooh24bNvfJrfJUTH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей. Векторные пространства, примеры. Простейшие следствия из аксиом векторного пространства.

'''Лекция 10''' (17.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1F6qGTlaNaYAFQ61b1xZ3JZubjWLr3gwK/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства. Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

'''Лекция 11''' (24.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1INsbcwSZhW3PsXYPRVfGm9zIbZ3wIGFr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Характеризация базисов в терминах единственности линейного выражения векторов. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

'''Лекция 12''' (1.12.2025). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 13''' (8.12.2025). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

'''Лекция 14''' (15.12.2025). Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому. Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения.

== 3-4 модули ==

'''Лекция 15''' (12.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/14-3xV-Z0GCJrTlPfa3nBX-g1G37aJrw9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Проекция вектора на подпространство вдоль дополнительного подпространства. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств.

'''Лекция 16''' (19.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1LXqyyiV6XxMuWyGdksmppduLcKP5aC9r/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Отображение, обратное к изоморфизму векторных пространств. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Изоморфные векторные пространства. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств. Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры.

'''Лекция 17''' (26.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/145a2hZQXWsvw2pRHXmrk-y-GimaCOvap/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений. Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно умножения на квадратную невырожденную матрицу слева или справа.

'''Лекция 18''' (2.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1E8-poOd9l8Bfy0bs8C42bbkjqHcsM7vb/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры. Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен ровно одному базису исходного пространства. Билинейные формы на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису.

'''Лекция 19''' (9.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1s1tbdpIFbNI1AsOVwAmlzrhPpwcTQgve/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису. Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Теорема о диагонализации симметричной билинейной формы. Симметричные элементарные преобразования квадратной матрицы. Симметричный алгоритм Гаусса. Угловые миноры матрицы. Метод Якоби для симметричных билинейных форм (формулировка).

'''Лекция 20''' (16.02.2026). Доказательство метода Якоби для симметричных билинейных форм. Квадратичные формы на векторном пространстве. Примеры. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции.

'''Лекция 21''' (16.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/19G3HvmxwJKheFzYoat1P2tnh-cetPJd8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Следствие метода Якоби о вычислении индексов инерции квадратичной формы над R. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши–Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства.

'''Лекция 22''' (2.03.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WVcqOhp-LmUxrpKkzHM-X4lnsluoTvyF/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональные векторы. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базис. Координаты вектора в ортогональном (ортонормированном) базисе. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Метод ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные матрицы и их свойства.

'''Лекция 23''' (2.03.2026). Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального (ортонормированного) базиса. Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве. Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Псевдорешение несовместной системы линейных уравнений. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов.

'''Лекция 24''' (16.03.2026). Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства. Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Векторное произведение, его выражение в координатах.

'''Лекция 25''' (23.03.2026). Смешанное произведение трёх векторов, его свойства. Критерий компланарности трёх векторов. Критерий коллинеарности двух векторов в терминах векторного произведения. Геометрические свойства векторного произведения. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии.

'''Лекция 26''' (6.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1gjBdszpSQFx6jx3Fpc9w77ksfvINYX-8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса.

'''Лекция 27''' (13.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1n0YFaR6QHBmQRSE77it93jx69S5f6AQL/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя. Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, согласованном с разложением пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора.

'''Лекция 28''' (20.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1KSkTmOkECufHy_FNQ2Eqi38tMrkAJlUT/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора. Связь между алгебраической и геометрической кратностями собственного значения линейного оператора. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений.

'''Лекция 29''' (27.04.2026). Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве. Отображение, сопряжённое к линейному отображению между двумя евклидовыми пространствами: определение, существование и единственность. Матрица сопряжённого отображения в паре произвольных и паре ортонормированных базисов. Сопряжённый оператор в евклидовом пространстве. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, семь эквивалентных условий.

'''Лекция 30''' (27.04.2026). Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Теорема о сингулярных базисах для линейного отображения евклидовых пространств.

'''Лекция 31''' (18.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1JyR0GgUyc5QRN9G8srWiaLLxdbCCCCKC/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сингулярное разложение матрицы и её сингулярные значения. Усечённое сингулярное разложение матрицы. Представление матрицы в виде суммы компонент ранга 1, связанное с её сингулярным разложением. Фробениусова норма матрицы, её инвариантность относительно умножения на ортогональную матрицу слева или справа. Теорема Эккарта-Янга о низкоранговом приближении.

'''Лекция 32''' (25.05.2026). Прямоугольные декартовы системы координат в евклидовом пространстве. Формулы замены координат при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой. Квадрики (гиперповерхности 2-го порядка) в R^n. Теорема о каноническом виде уравнения квадрики в евклидовом пространстве. Метрическая классификация кривых 2-го порядка в R^2. Метрическая классификация поверхностей 2-го порядка в R^3.

'''Лекция 33''' (1.06.2026). Эллипс, гипербола, парабола: основные геометрические свойства (фокусы, директрисы, эксцентриситет, оптическое свойство). Теорема о жордановой нормальной форме линейного оператора (формулировка). Корневые подпространства линейного оператора. Теорема о разложении векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора (формулировка). Сведение доказательства теоремы о жордановой нормальной форме к случаю корневого подпространства. Нильпотентные линейные операторы. Циклическое подпространство нильпотентного оператора.

'''Лекция 34''' (8.06.2026). Конструкция жорданова базиса для нильпотентного оператора и формулы для числа жордановых клеток заданного размера. Обзор теории полуторалинейных форм и эрмитовых пространств.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

== 1-2 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1ihV-uQiZP9Fh9G3Sw3-uhX9hidE2xA5KZnWXtdxi3r8/edit?usp=sharing '''ИДЗ-1''']

[https://docs.google.com/document/d/1a9jbUnR4Z7X3JnRFTIIANgZyKBTUawXFk9oXLUMEYaw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1s-YEdgFk-OXKp3PLvZijI9jsOtgguEpTvxb9pFt26yE/edit?usp=sharing '''ИДЗ-3''']

[https://docs.google.com/document/d/1WQE4qZrVatcNPytB4nG1xOYzMB3H7ycKOdB1B139myI/edit?usp=sharing '''ИДЗ-4''']

== 3-4 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1_JHDKX8Sq1iMVCcnpt2lDLIVEdQMuLuhk-p0ghncp9U/edit?usp=sharing '''ИДЗ-5''']

[https://docs.google.com/document/d/14PWMZIQF0lnCNTWFe5Izf3aR0nu40HLgE3bOuz5NWwA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-6''']

[https://docs.google.com/document/d/16zdghtjup8Fqqf6pg8SRXFe9AYKnvhC6WzpVQu9XDOw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-7''']

[https://docs.google.com/document/d/1yjHURRAdZ8ifynzTD-lu0CMUljvdRQoqL6xtExL4nAk/edit?usp=sharing '''ИДЗ-8''']

[https://docs.google.com/document/d/17VGGhZIDKzv9Td_Zg2qim8zu7XPNlDUoHew82AipejA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-9''']

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

[https://docs.google.com/document/d/1k_Wt9P9aISwRhM_0mo4TQ8vHUjrn7N0j/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-1''']

[https://docs.google.com/document/d/11np0omXwFYVmrWuCJXMS9GSrBPBjU-OV/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1qTfG6PqNj1KB_96b2zgUzJhWyGeCXWWE/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-3''']

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата-время: 15 ноября, 15:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1V78nBf6w0Mb_Kz0fI_gETdwgK38DoIAShiVnpQjhHnw/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1Iv2V2flblwWIHQWPKem3SA2QBLA6E5jq/view?usp=sharing '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.
*Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
*Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8–18.11
*Перестановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
*Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
*Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316
Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

== 4-й модуль ==

Дата-время: 18 апреля, 18:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1bYjzRzkDHqGwziLEmBW7IdydmvTdGBipj-b7ayxwt7w/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1wnTJ11B4QIUeSnFxFbcOoLw7BMYOcCXH/view?usp=drive_link '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Задание подпространств системами линейных уравнений: П 1312, 1313, К 35.16

*Матрицы перехода, преобразование координат вектора при замене базиса: П 1280–1283, К 34.10–34.12; задача 2 из ИДЗ-5

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства, разложение в прямую сумму подпространств: П 1317, 1318, 1320–1322; К 35.14, 35.15; задачи 3–5 из ИДЗ-5

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434–1438, 1441–1446, 1449, 1450; К 36.3, 36.4, 39.15, 39.16; задачи 1,2 из ИДЗ-6

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения, приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали: К 39.5; задачи 3,4 из ИДЗ-6

*Линейные функции и двойственные базисы: К 36.9, 36.10; задача 5 из ИДЗ-6

*Билинейные и квадратичные формы, их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10, 38.15, 38.16

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175–1186; К 38.8, 38.18(а–г)

*Исследование квадратичных форм на положительную и отрицательную определённость, а также определение нормального вида в зависимости от значений параметра: П 1212–1216; К 38.11(а–г), 38.14(а,б) + для каждого номера определить нормальный вид квадратичной формы в зависимости от значений параметра

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357–1363; К 43.7(а–г), 43.15(а–в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370–1372; К 43.19(а–в)

*Объём k-мерного параллелепипеда: К 43.36

*Линейные многообразия: П 1374; К 43.21(а–г), 51.7

*Векторное и смешанное произведения в R^3: КК 25.5, 25.7, 25.17, 25.18, 25.24, 25.35–25.38, 25.49, 25.59, 25.61

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28–26.37, 26.39–26.47, 26.50, 27.34, 27.39–27.42, 31.1–31.3, 31.5–31.8, 31.21–31.25, 31.27–31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 31.13–31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 25.58, 32.28–32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38–32.40

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==
Даты: 10 декабря для ЭАД, 13 декабря для ПМИ

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1hFMODfRvZ51zYqkyJi5EKpipO5B613na/view?usp=sharing '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1u61pDMSL-3ImwtjMLNmle3WabfSMsBGd/view?usp=sharing '''Список вопросов на доказательство''']

'''Формат проведения:'''

Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, на написание которых даётся 10 минут, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4-5 вопросами на доказательство. На написание первых двух вопросов даётся 25 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности.

== 4-й модуль ==
Даты: 29-30 мая

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1TOFHODQwiBC8eAZ1RBSjpZ9W9qHXz2ld/view?usp=drive_link '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1oqRbzS_hovcZ6G_BqjLMxKSuaRn01pEc/view?usp=drive_link '''Список вопросов на доказательство''']

= Экзамены =

Формат проведения: письменная работа

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

== 2-й модуль ==

Дата-время: 26 декабря, 9:30

Продолжительность работы: 160 минут (2 часа 40 минут)

[https://drive.google.com/file/d/1Bi3phiOeLa_FwpoQU7DQDQkQL8T69NFF/view?usp=drive_link '''Условия задач с экзамена''']

[https://docs.google.com/document/d/196BdHN84U9suOqvrDva-jh5IebD828wZd385M50vEWE/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению экзамена''']

Материалы для подготовки к экзамену:

I: [https://drive.google.com/file/d/1zxh4S7wGLkrzdn_GL4ujySAgfJXkmadN/view?usp=sharing '''список определений и формулировок''']

II: список задач для подготовки к 1-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 21.9, 22.7
*Линейная зависимость в векторных пространствах: П 639–644, 646–650, 652–655, 1824–1828; К 34.2, 34.3
*Линейные комбинации, линейные оболочки: П 665–669, 679–681 (база = максимальная линейно независимая подсистема)
*Подпространства, базис, размерность: П 1297–1304, 1308, 1310–1313; К 34.14, 35.2, 35.3, 35.7(а,в,г), 35.8, 35.11, 35.16
*Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных экзаменов прошлых лет.

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=798212250#gid=798212250 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1905063984#gid=1905063984 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1143931348#gid=1143931348 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1571389748#gid=1571389748 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1008226585#gid=1008226585 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=196141806#gid=196141806 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2082325635#gid=2082325635 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=141028840#gid=141028840 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1342717045#gid=1342717045 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=183207489#gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2014615374#gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1795822500#gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1130562098#gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2082037908#gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=91924820#gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1290636010#gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=877068035#gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1036271056#gid=1036271056 Э256]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=735451668#gid=735451668 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=669963605#gid=669963605 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1959871710#gid=1959871710 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=103812329#gid=103812329 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=944808823#gid=944808823 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1765292157#gid=1765292157 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=590665666#gid=590665666 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=455919933#gid=455919933 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1889630406#gid=1889630406 Э256]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=495362391#gid=495362391 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1018299486#gid=1018299486 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1364062586#gid=1364062586 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1423608094#gid=1423608094 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=96823731#gid=96823731 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=776758101#gid=776758101 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1608052002#gid=1608052002 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=689894434#gid=689894434 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=331922030#gid=331922030 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 2-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1036271056 Э256]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=306180384 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1788292251 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1130033710 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1074866345 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1715049091 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1626532296 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1671546472 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=981219186 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=490014071 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=34870869 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1156905827 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1829776196 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=548337066 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=771466034 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1752006868 Э256]
|}

= Кстати =

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

= Ссылки =

[https://t.me/LA_256_sem Telegram-канал семинаров в группе БПМИ256]

[https://t.me/linal258 Telegram-канал семинаров в группе БПМИ258]

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-06-08T16:09:30Z

Ravdeev: /* Контрольная работа */

Telegram-канал: [https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn]

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/i_mihanya Михаил Игнатьев] || [https://t.me/Astana_G Дмитрий Гайфулин] || [https://t.me/sgayf Сергей Гайфуллин] || [https://t.me/t1som Алина Никитина] || [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александрóв] || [https://t.me/AlTal Алексей Таламбуца] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/lizkmrv Елизавета Комарова] || [https://t.me/w_wip Максим Грицан] || [https://t.me/vadkam Вадим Камалов] || [https://t.me/shierururu Марина Василькова] || [https://t.me/parsifal45 Данил Лисиенко] || [https://t.me/an_soc София Соленникова] || [https://t.me/repressedd Дамир Хасанов] || [https://t.me/PiP8PoP Полина Литвина] || [https://t.me/ice_fusion Максим Минин] || [https://t.me/cep3au Сергей Зайцев]
|}

= Порядок формирования оценок =

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

Oитоговая = 0,33 * Одз + 0,22*Ок/р + 0,45*Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

[https://drive.google.com/file/d/1H5KJWhhq0WZH7uxwebg0lmlD3ibmD3A-/view?usp=sharing '''Конспект лекций''']

'''Лекция 1''' (1.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1YKZjxhOuTmo7RVpQWG1INGz_BthCf6X9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Циклические группы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы

'''Лекция 2''' (3.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1biOHJcjQVXlFzG0LnQq9xD4YejS7M9sh/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Бинарная операция на множестве смежных классов по нормальной подгруппе

'''Лекция 3''' (8.04.2026). Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры

'''Лекция 4''' (15.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1yMicuzNtBfL_b9YU67Bgzv_CeuOFUi91/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности

'''Лекция 5''' (17.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WGv2WE_HdgOrRDd9WOjXGYJjQPWJOVGa/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы в коммутативном кольце

'''Лекция 6''' (22.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1lfYNhmJ_3q1Yb8Irc2PUXIx2VUcRZCjH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком в кольце K[x]. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении

'''Лекция 7''' (24.04.2026). Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Факторкольцо K[x]/(h). Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем

'''Лекция 8''' (29.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1tPS_edf59FGz7edl3FwLl0C0pC3yakeM/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Базис и размерность факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов

'''Лекция 9''' (13.05.2026). Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях

'''Лекция 10''' (20.05.2026). Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами

'''Лекция 11''' (22.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WIvHMPKbaWmATPPEB3Lh49CxACL7FxCw/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождаемое алгебраическим элементом

'''Лекция 12''' (27.05.2026). Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов

'''Лекция 13''' (3.06.2026). Единственность конечного поля заданного порядка. Описание подполей конечного поля. Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять.

'''Лекция 14''' (5.06.2026). Линейные коды. Проверочная матрица. Связь минимального расстояния линейного кода с его проверочной матрицей. Бинарный код Хэмминга, его минимальное расстояние и число ошибок, которые он может исправлять. Неравенство Синглтона. Код Рида–Соломона и его минимальное расстояние: классическая реализация и БЧХ-реализация.

= Листки с задачами =

[https://drive.google.com/file/d/1U88IgabAITYVVFZ7rAmUhpAKveIVIIDa/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 1''']

[https://drive.google.com/file/d/1FKdxx1oTEz7UscP6dBcO-2sz9Q9mxw42/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 2''']

[https://drive.google.com/file/d/11LfEtsh0-YiF_OacBBEo30aJjMDXw-Rr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 3''']

[https://drive.google.com/file/d/14btFb7lAe2YM7NoWmedf4Fo_SsSjDcdJ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 4''']

[https://drive.google.com/file/d/1Vhl9sgQ7miwy9ZcJTHd9bTxF5Llg-b4s/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 5''']

[https://drive.google.com/file/d/1bcBsa4XoEm0oYEsoJS5G81qpg5KizblZ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 6''']

[https://drive.google.com/file/d/1p0zuuMje789FhJggSd9Y2hhzDN79xdPB/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 7''']

[https://drive.google.com/file/d/1fBfmGKC0a_QFSr8lRn0FRUsSWD3OMU8_/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 8''']

[https://drive.google.com/file/d/1cMwu7iVa7CjUA1Kj_gFbB50w5xdA24Cr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 9''']

[https://drive.google.com/file/d/1_7x51e20LBsE9BDbDU6aUoUAeL4LKvMf/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 10''']

[https://drive.google.com/file/d/1b4Qja9plAaRuYT8d8S3G18Z50DBRwFAu/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 11''']

[https://drive.google.com/file/d/1NvzM9rK8SxhKBX45E0okKAwWg-KtmSC-/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 12''']

[https://drive.google.com/file/d/1wlpwUCAy6F8JOODquJJjibqQKJlzvfRp/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 13''']

[https://drive.google.com/file/d/1mayVbjp7efy-3gAuImywYqYUPffL9Agt/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 14''']

= Домашние задания =

[https://drive.google.com/file/d/1KCsB-i2zdH5J72G83GmGWXywglwGDEIb/view?usp=drive_link '''ДЗ-1''']

[https://drive.google.com/file/d/1zK-yCdm8CixRUSpttIBIfyjRxv2kCUPq/view?usp=drive_link '''ДЗ-2''']

[https://drive.google.com/file/d/1dQ1v_eEfLgVAwVW5_NTP1HVGgn3BJzoI/view?usp=drive_link '''ДЗ-3''']

[https://drive.google.com/file/d/1EP4kX6HqDf0ExCEBxQ1aZVQGqnqmSd9t/view?usp=drive_link '''ДЗ-4''']

[https://drive.google.com/file/d/1VcIG4pbalXF62m7XoLOfoqs1sgGbJFTd/view?usp=drive_link '''ДЗ-5''']

[https://drive.google.com/file/d/1-xGy82y154SWPBZjYhOjx6oLoUNR2qtY/view?usp=drive_link '''ДЗ-6''']

[https://drive.google.com/file/d/1EgyEDQ1WZWNP5b80L1QdvN4N4Fkoo-Tn/view?usp=drive_link '''ДЗ-7''']

[https://drive.google.com/file/d/1FXZ_GiAUmUi9k6G8PAYkaRDDdOcmokca/view?usp=drive_link '''ДЗ-8''']

[https://drive.google.com/file/d/1KmI_15fj2oCjS61NHZuj5O1LSlmD_byv/view?usp=drive_link '''ДЗ-9''']

= Контрольная работа =

Дата-время: 8 июня, 16:40

[https://docs.google.com/document/d/1x_5zbEs8ME2yyZ94RD9dArsmvklt6iDpFY3rPUxY9lM/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

'''Темы задач на контрольной работе'''

* Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] ("прямая сумма" = "прямое произведение")
* Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, [https://www.dropbox.com/s/6ugc0adjv4pv0h4/Quotients.pdf?dl=0 ещё задачи]]
* Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, [https://www.dropbox.com/s/hc5uz9iiiw201hl/Factorization_examples.pdf?dl=0 ещё примеры]]
* Базисы Грёбнера и их приложения [[https://www.dropbox.com/s/ssubw1mqn3hhqor/GB_examples.pdf?dl=0 примеры], задачи 5,9 из листка 10 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 2,3 из листка 8, задача 1 из ДЗ-6, задачи 4,5 из листка 11 и задача 1 из ДЗ-8]
* Вычисления в конечных полях [[https://www.dropbox.com/s/y8u27gr9kk5nw6b/FF_examples.pdf?dl=0 примеры]]

Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина)

Также стоит обратить внимание на задачи, предлагавшиеся на аналогичных контрольных прошлых лет

= Экзамен =

Формат экзамена: устный

= Ведомости текущего контроля =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=658286564#gid=658286564 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=834516625#gid=834516625 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1692194870#gid=1692194870 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=241205604#gid=241205604 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1651735923#gid=1651735923 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=637903293#gid=637903293 2515]
|}

= Литература =

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988
* И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-06-05T14:50:55Z

Ravdeev:

Telegram-канал: [https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn]

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/i_mihanya Михаил Игнатьев] || [https://t.me/Astana_G Дмитрий Гайфулин] || [https://t.me/sgayf Сергей Гайфуллин] || [https://t.me/t1som Алина Никитина] || [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александрóв] || [https://t.me/AlTal Алексей Таламбуца] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/lizkmrv Елизавета Комарова] || [https://t.me/w_wip Максим Грицан] || [https://t.me/vadkam Вадим Камалов] || [https://t.me/shierururu Марина Василькова] || [https://t.me/parsifal45 Данил Лисиенко] || [https://t.me/an_soc София Соленникова] || [https://t.me/repressedd Дамир Хасанов] || [https://t.me/PiP8PoP Полина Литвина] || [https://t.me/ice_fusion Максим Минин] || [https://t.me/cep3au Сергей Зайцев]
|}

= Порядок формирования оценок =

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

Oитоговая = 0,33 * Одз + 0,22*Ок/р + 0,45*Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

[https://drive.google.com/file/d/1H5KJWhhq0WZH7uxwebg0lmlD3ibmD3A-/view?usp=sharing '''Конспект лекций''']

'''Лекция 1''' (1.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1YKZjxhOuTmo7RVpQWG1INGz_BthCf6X9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Циклические группы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы

'''Лекция 2''' (3.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1biOHJcjQVXlFzG0LnQq9xD4YejS7M9sh/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Бинарная операция на множестве смежных классов по нормальной подгруппе

'''Лекция 3''' (8.04.2026). Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры

'''Лекция 4''' (15.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1yMicuzNtBfL_b9YU67Bgzv_CeuOFUi91/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности

'''Лекция 5''' (17.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WGv2WE_HdgOrRDd9WOjXGYJjQPWJOVGa/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы в коммутативном кольце

'''Лекция 6''' (22.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1lfYNhmJ_3q1Yb8Irc2PUXIx2VUcRZCjH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком в кольце K[x]. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении

'''Лекция 7''' (24.04.2026). Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Факторкольцо K[x]/(h). Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем

'''Лекция 8''' (29.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1tPS_edf59FGz7edl3FwLl0C0pC3yakeM/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Базис и размерность факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов

'''Лекция 9''' (13.05.2026). Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях

'''Лекция 10''' (20.05.2026). Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами

'''Лекция 11''' (22.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WIvHMPKbaWmATPPEB3Lh49CxACL7FxCw/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождаемое алгебраическим элементом

'''Лекция 12''' (27.05.2026). Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов

'''Лекция 13''' (3.06.2026). Единственность конечного поля заданного порядка. Описание подполей конечного поля. Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять.

'''Лекция 14''' (5.06.2026). Линейные коды. Проверочная матрица. Связь минимального расстояния линейного кода с его проверочной матрицей. Бинарный код Хэмминга, его минимальное расстояние и число ошибок, которые он может исправлять. Неравенство Синглтона. Код Рида–Соломона и его минимальное расстояние: классическая реализация и БЧХ-реализация.

= Листки с задачами =

[https://drive.google.com/file/d/1U88IgabAITYVVFZ7rAmUhpAKveIVIIDa/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 1''']

[https://drive.google.com/file/d/1FKdxx1oTEz7UscP6dBcO-2sz9Q9mxw42/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 2''']

[https://drive.google.com/file/d/11LfEtsh0-YiF_OacBBEo30aJjMDXw-Rr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 3''']

[https://drive.google.com/file/d/14btFb7lAe2YM7NoWmedf4Fo_SsSjDcdJ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 4''']

[https://drive.google.com/file/d/1Vhl9sgQ7miwy9ZcJTHd9bTxF5Llg-b4s/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 5''']

[https://drive.google.com/file/d/1bcBsa4XoEm0oYEsoJS5G81qpg5KizblZ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 6''']

[https://drive.google.com/file/d/1p0zuuMje789FhJggSd9Y2hhzDN79xdPB/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 7''']

[https://drive.google.com/file/d/1fBfmGKC0a_QFSr8lRn0FRUsSWD3OMU8_/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 8''']

[https://drive.google.com/file/d/1cMwu7iVa7CjUA1Kj_gFbB50w5xdA24Cr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 9''']

[https://drive.google.com/file/d/1_7x51e20LBsE9BDbDU6aUoUAeL4LKvMf/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 10''']

[https://drive.google.com/file/d/1b4Qja9plAaRuYT8d8S3G18Z50DBRwFAu/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 11''']

[https://drive.google.com/file/d/1NvzM9rK8SxhKBX45E0okKAwWg-KtmSC-/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 12''']

[https://drive.google.com/file/d/1wlpwUCAy6F8JOODquJJjibqQKJlzvfRp/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 13''']

[https://drive.google.com/file/d/1mayVbjp7efy-3gAuImywYqYUPffL9Agt/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 14''']

= Домашние задания =

[https://drive.google.com/file/d/1KCsB-i2zdH5J72G83GmGWXywglwGDEIb/view?usp=drive_link '''ДЗ-1''']

[https://drive.google.com/file/d/1zK-yCdm8CixRUSpttIBIfyjRxv2kCUPq/view?usp=drive_link '''ДЗ-2''']

[https://drive.google.com/file/d/1dQ1v_eEfLgVAwVW5_NTP1HVGgn3BJzoI/view?usp=drive_link '''ДЗ-3''']

[https://drive.google.com/file/d/1EP4kX6HqDf0ExCEBxQ1aZVQGqnqmSd9t/view?usp=drive_link '''ДЗ-4''']

[https://drive.google.com/file/d/1VcIG4pbalXF62m7XoLOfoqs1sgGbJFTd/view?usp=drive_link '''ДЗ-5''']

[https://drive.google.com/file/d/1-xGy82y154SWPBZjYhOjx6oLoUNR2qtY/view?usp=drive_link '''ДЗ-6''']

[https://drive.google.com/file/d/1EgyEDQ1WZWNP5b80L1QdvN4N4Fkoo-Tn/view?usp=drive_link '''ДЗ-7''']

[https://drive.google.com/file/d/1FXZ_GiAUmUi9k6G8PAYkaRDDdOcmokca/view?usp=drive_link '''ДЗ-8''']

[https://drive.google.com/file/d/1KmI_15fj2oCjS61NHZuj5O1LSlmD_byv/view?usp=drive_link '''ДЗ-9''']

= Контрольная работа =

Дата-время: 8 июня, 16:40

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

'''Темы задач на контрольной работе'''

* Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] ("прямая сумма" = "прямое произведение")
* Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, [https://www.dropbox.com/s/6ugc0adjv4pv0h4/Quotients.pdf?dl=0 ещё задачи]]
* Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, [https://www.dropbox.com/s/hc5uz9iiiw201hl/Factorization_examples.pdf?dl=0 ещё примеры]]
* Базисы Грёбнера и их приложения [[https://www.dropbox.com/s/ssubw1mqn3hhqor/GB_examples.pdf?dl=0 примеры], задачи 5,9 из листка 10 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 2,3 из листка 8, задача 1 из ДЗ-6, задачи 4,5 из листка 11 и задача 1 из ДЗ-8]
* Вычисления в конечных полях [[https://www.dropbox.com/s/y8u27gr9kk5nw6b/FF_examples.pdf?dl=0 примеры]]

Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина)

Также стоит обратить внимание на задачи, предлагавшиеся на аналогичных контрольных прошлых лет

= Экзамен =

Формат экзамена: устный

= Ведомости текущего контроля =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=658286564#gid=658286564 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=834516625#gid=834516625 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1692194870#gid=1692194870 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=241205604#gid=241205604 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1651735923#gid=1651735923 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=637903293#gid=637903293 2515]
|}

= Литература =

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988
* И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-06-03T19:03:11Z

Ravdeev: /* Домашние задания */

Telegram-канал: [https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn]

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/i_mihanya Михаил Игнатьев] || [https://t.me/Astana_G Дмитрий Гайфулин] || [https://t.me/sgayf Сергей Гайфуллин] || [https://t.me/t1som Алина Никитина] || [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александрóв] || [https://t.me/AlTal Алексей Таламбуца] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/lizkmrv Елизавета Комарова] || [https://t.me/w_wip Максим Грицан] || [https://t.me/vadkam Вадим Камалов] || [https://t.me/shierururu Марина Василькова] || [https://t.me/parsifal45 Данил Лисиенко] || [https://t.me/an_soc София Соленникова] || [https://t.me/repressedd Дамир Хасанов] || [https://t.me/PiP8PoP Полина Литвина] || [https://t.me/ice_fusion Максим Минин] || [https://t.me/cep3au Сергей Зайцев]
|}

= Порядок формирования оценок =

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

Oитоговая = 0,33 * Одз + 0,22*Ок/р + 0,45*Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

[https://drive.google.com/file/d/1H5KJWhhq0WZH7uxwebg0lmlD3ibmD3A-/view?usp=sharing '''Конспект лекций''']

'''Лекция 1''' (1.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1YKZjxhOuTmo7RVpQWG1INGz_BthCf6X9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Циклические группы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы

'''Лекция 2''' (3.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1biOHJcjQVXlFzG0LnQq9xD4YejS7M9sh/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Бинарная операция на множестве смежных классов по нормальной подгруппе

'''Лекция 3''' (8.04.2026). Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры

'''Лекция 4''' (15.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1yMicuzNtBfL_b9YU67Bgzv_CeuOFUi91/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности

'''Лекция 5''' (17.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WGv2WE_HdgOrRDd9WOjXGYJjQPWJOVGa/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы в коммутативном кольце

'''Лекция 6''' (22.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1lfYNhmJ_3q1Yb8Irc2PUXIx2VUcRZCjH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком в кольце K[x]. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении

'''Лекция 7''' (24.04.2026). Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Факторкольцо K[x]/(h). Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем

'''Лекция 8''' (29.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1tPS_edf59FGz7edl3FwLl0C0pC3yakeM/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Базис и размерность факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов

'''Лекция 9''' (13.05.2026). Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях

'''Лекция 10''' (20.05.2026). Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами

'''Лекция 11''' (22.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WIvHMPKbaWmATPPEB3Lh49CxACL7FxCw/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождаемое алгебраическим элементом

'''Лекция 12''' (27.05.2026). Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов

'''Лекция 13''' (3.06.2026). Единственность конечного поля заданного порядка. Описание подполей конечного поля. Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять.

= Листки с задачами =

[https://drive.google.com/file/d/1U88IgabAITYVVFZ7rAmUhpAKveIVIIDa/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 1''']

[https://drive.google.com/file/d/1FKdxx1oTEz7UscP6dBcO-2sz9Q9mxw42/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 2''']

[https://drive.google.com/file/d/11LfEtsh0-YiF_OacBBEo30aJjMDXw-Rr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 3''']

[https://drive.google.com/file/d/14btFb7lAe2YM7NoWmedf4Fo_SsSjDcdJ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 4''']

[https://drive.google.com/file/d/1Vhl9sgQ7miwy9ZcJTHd9bTxF5Llg-b4s/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 5''']

[https://drive.google.com/file/d/1bcBsa4XoEm0oYEsoJS5G81qpg5KizblZ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 6''']

[https://drive.google.com/file/d/1p0zuuMje789FhJggSd9Y2hhzDN79xdPB/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 7''']

[https://drive.google.com/file/d/1fBfmGKC0a_QFSr8lRn0FRUsSWD3OMU8_/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 8''']

[https://drive.google.com/file/d/1cMwu7iVa7CjUA1Kj_gFbB50w5xdA24Cr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 9''']

[https://drive.google.com/file/d/1_7x51e20LBsE9BDbDU6aUoUAeL4LKvMf/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 10''']

[https://drive.google.com/file/d/1b4Qja9plAaRuYT8d8S3G18Z50DBRwFAu/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 11''']

[https://drive.google.com/file/d/1NvzM9rK8SxhKBX45E0okKAwWg-KtmSC-/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 12''']

[https://drive.google.com/file/d/1wlpwUCAy6F8JOODquJJjibqQKJlzvfRp/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 13''']

= Домашние задания =

[https://drive.google.com/file/d/1KCsB-i2zdH5J72G83GmGWXywglwGDEIb/view?usp=drive_link '''ДЗ-1''']

[https://drive.google.com/file/d/1zK-yCdm8CixRUSpttIBIfyjRxv2kCUPq/view?usp=drive_link '''ДЗ-2''']

[https://drive.google.com/file/d/1dQ1v_eEfLgVAwVW5_NTP1HVGgn3BJzoI/view?usp=drive_link '''ДЗ-3''']

[https://drive.google.com/file/d/1EP4kX6HqDf0ExCEBxQ1aZVQGqnqmSd9t/view?usp=drive_link '''ДЗ-4''']

[https://drive.google.com/file/d/1VcIG4pbalXF62m7XoLOfoqs1sgGbJFTd/view?usp=drive_link '''ДЗ-5''']

[https://drive.google.com/file/d/1-xGy82y154SWPBZjYhOjx6oLoUNR2qtY/view?usp=drive_link '''ДЗ-6''']

[https://drive.google.com/file/d/1EgyEDQ1WZWNP5b80L1QdvN4N4Fkoo-Tn/view?usp=drive_link '''ДЗ-7''']

[https://drive.google.com/file/d/1FXZ_GiAUmUi9k6G8PAYkaRDDdOcmokca/view?usp=drive_link '''ДЗ-8''']

[https://drive.google.com/file/d/1KmI_15fj2oCjS61NHZuj5O1LSlmD_byv/view?usp=drive_link '''ДЗ-9''']

= Контрольная работа =

Дата-время: 8 июня, 16:40

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

'''Темы задач на контрольной работе'''

* Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] ("прямая сумма" = "прямое произведение")
* Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, [https://www.dropbox.com/s/6ugc0adjv4pv0h4/Quotients.pdf?dl=0 ещё задачи]]
* Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, [https://www.dropbox.com/s/hc5uz9iiiw201hl/Factorization_examples.pdf?dl=0 ещё примеры]]
* Базисы Грёбнера и их приложения [[https://www.dropbox.com/s/ssubw1mqn3hhqor/GB_examples.pdf?dl=0 примеры], задачи 5,9 из листка 10 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 2,3 из листка 8, задача 1 из ДЗ-6, задачи 4,5 из листка 11 и задача 1 из ДЗ-8]
* Вычисления в конечных полях [[https://www.dropbox.com/s/y8u27gr9kk5nw6b/FF_examples.pdf?dl=0 примеры]]

Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина)

Также стоит обратить внимание на задачи, предлагавшиеся на аналогичных контрольных прошлых лет

= Экзамен =

Формат экзамена: устный

= Ведомости текущего контроля =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=658286564#gid=658286564 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=834516625#gid=834516625 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1692194870#gid=1692194870 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=241205604#gid=241205604 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1651735923#gid=1651735923 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=637903293#gid=637903293 2515]
|}

= Литература =

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988
* И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-06-03T19:01:43Z

Ravdeev: /* Листки с задачами */

Telegram-канал: [https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn]

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/i_mihanya Михаил Игнатьев] || [https://t.me/Astana_G Дмитрий Гайфулин] || [https://t.me/sgayf Сергей Гайфуллин] || [https://t.me/t1som Алина Никитина] || [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александрóв] || [https://t.me/AlTal Алексей Таламбуца] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/lizkmrv Елизавета Комарова] || [https://t.me/w_wip Максим Грицан] || [https://t.me/vadkam Вадим Камалов] || [https://t.me/shierururu Марина Василькова] || [https://t.me/parsifal45 Данил Лисиенко] || [https://t.me/an_soc София Соленникова] || [https://t.me/repressedd Дамир Хасанов] || [https://t.me/PiP8PoP Полина Литвина] || [https://t.me/ice_fusion Максим Минин] || [https://t.me/cep3au Сергей Зайцев]
|}

= Порядок формирования оценок =

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

Oитоговая = 0,33 * Одз + 0,22*Ок/р + 0,45*Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

[https://drive.google.com/file/d/1H5KJWhhq0WZH7uxwebg0lmlD3ibmD3A-/view?usp=sharing '''Конспект лекций''']

'''Лекция 1''' (1.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1YKZjxhOuTmo7RVpQWG1INGz_BthCf6X9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Циклические группы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы

'''Лекция 2''' (3.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1biOHJcjQVXlFzG0LnQq9xD4YejS7M9sh/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Бинарная операция на множестве смежных классов по нормальной подгруппе

'''Лекция 3''' (8.04.2026). Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры

'''Лекция 4''' (15.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1yMicuzNtBfL_b9YU67Bgzv_CeuOFUi91/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности

'''Лекция 5''' (17.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WGv2WE_HdgOrRDd9WOjXGYJjQPWJOVGa/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы в коммутативном кольце

'''Лекция 6''' (22.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1lfYNhmJ_3q1Yb8Irc2PUXIx2VUcRZCjH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком в кольце K[x]. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении

'''Лекция 7''' (24.04.2026). Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Факторкольцо K[x]/(h). Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем

'''Лекция 8''' (29.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1tPS_edf59FGz7edl3FwLl0C0pC3yakeM/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Базис и размерность факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов

'''Лекция 9''' (13.05.2026). Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях

'''Лекция 10''' (20.05.2026). Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами

'''Лекция 11''' (22.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WIvHMPKbaWmATPPEB3Lh49CxACL7FxCw/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождаемое алгебраическим элементом

'''Лекция 12''' (27.05.2026). Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов

'''Лекция 13''' (3.06.2026). Единственность конечного поля заданного порядка. Описание подполей конечного поля. Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять.

= Листки с задачами =

[https://drive.google.com/file/d/1U88IgabAITYVVFZ7rAmUhpAKveIVIIDa/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 1''']

[https://drive.google.com/file/d/1FKdxx1oTEz7UscP6dBcO-2sz9Q9mxw42/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 2''']

[https://drive.google.com/file/d/11LfEtsh0-YiF_OacBBEo30aJjMDXw-Rr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 3''']

[https://drive.google.com/file/d/14btFb7lAe2YM7NoWmedf4Fo_SsSjDcdJ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 4''']

[https://drive.google.com/file/d/1Vhl9sgQ7miwy9ZcJTHd9bTxF5Llg-b4s/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 5''']

[https://drive.google.com/file/d/1bcBsa4XoEm0oYEsoJS5G81qpg5KizblZ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 6''']

[https://drive.google.com/file/d/1p0zuuMje789FhJggSd9Y2hhzDN79xdPB/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 7''']

[https://drive.google.com/file/d/1fBfmGKC0a_QFSr8lRn0FRUsSWD3OMU8_/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 8''']

[https://drive.google.com/file/d/1cMwu7iVa7CjUA1Kj_gFbB50w5xdA24Cr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 9''']

[https://drive.google.com/file/d/1_7x51e20LBsE9BDbDU6aUoUAeL4LKvMf/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 10''']

[https://drive.google.com/file/d/1b4Qja9plAaRuYT8d8S3G18Z50DBRwFAu/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 11''']

[https://drive.google.com/file/d/1NvzM9rK8SxhKBX45E0okKAwWg-KtmSC-/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 12''']

[https://drive.google.com/file/d/1wlpwUCAy6F8JOODquJJjibqQKJlzvfRp/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 13''']

= Домашние задания =

[https://drive.google.com/file/d/1KCsB-i2zdH5J72G83GmGWXywglwGDEIb/view?usp=drive_link '''ДЗ-1''']

[https://drive.google.com/file/d/1zK-yCdm8CixRUSpttIBIfyjRxv2kCUPq/view?usp=drive_link '''ДЗ-2''']

[https://drive.google.com/file/d/1dQ1v_eEfLgVAwVW5_NTP1HVGgn3BJzoI/view?usp=drive_link '''ДЗ-3''']

[https://drive.google.com/file/d/1EP4kX6HqDf0ExCEBxQ1aZVQGqnqmSd9t/view?usp=drive_link '''ДЗ-4''']

[https://drive.google.com/file/d/1VcIG4pbalXF62m7XoLOfoqs1sgGbJFTd/view?usp=drive_link '''ДЗ-5''']

[https://drive.google.com/file/d/1-xGy82y154SWPBZjYhOjx6oLoUNR2qtY/view?usp=drive_link '''ДЗ-6''']

[https://drive.google.com/file/d/1EgyEDQ1WZWNP5b80L1QdvN4N4Fkoo-Tn/view?usp=drive_link '''ДЗ-7''']

[https://drive.google.com/file/d/1FXZ_GiAUmUi9k6G8PAYkaRDDdOcmokca/view?usp=drive_link '''ДЗ-8''']

= Контрольная работа =

Дата-время: 8 июня, 16:40

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

'''Темы задач на контрольной работе'''

* Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] ("прямая сумма" = "прямое произведение")
* Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, [https://www.dropbox.com/s/6ugc0adjv4pv0h4/Quotients.pdf?dl=0 ещё задачи]]
* Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, [https://www.dropbox.com/s/hc5uz9iiiw201hl/Factorization_examples.pdf?dl=0 ещё примеры]]
* Базисы Грёбнера и их приложения [[https://www.dropbox.com/s/ssubw1mqn3hhqor/GB_examples.pdf?dl=0 примеры], задачи 5,9 из листка 10 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 2,3 из листка 8, задача 1 из ДЗ-6, задачи 4,5 из листка 11 и задача 1 из ДЗ-8]
* Вычисления в конечных полях [[https://www.dropbox.com/s/y8u27gr9kk5nw6b/FF_examples.pdf?dl=0 примеры]]

Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина)

Также стоит обратить внимание на задачи, предлагавшиеся на аналогичных контрольных прошлых лет

= Экзамен =

Формат экзамена: устный

= Ведомости текущего контроля =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=658286564#gid=658286564 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=834516625#gid=834516625 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1692194870#gid=1692194870 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=241205604#gid=241205604 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1651735923#gid=1651735923 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=637903293#gid=637903293 2515]
|}

= Литература =

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988
* И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-06-03T17:19:55Z

Ravdeev: /* Краткое содержание лекций */

Telegram-канал: [https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn]

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/i_mihanya Михаил Игнатьев] || [https://t.me/Astana_G Дмитрий Гайфулин] || [https://t.me/sgayf Сергей Гайфуллин] || [https://t.me/t1som Алина Никитина] || [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александрóв] || [https://t.me/AlTal Алексей Таламбуца] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/lizkmrv Елизавета Комарова] || [https://t.me/w_wip Максим Грицан] || [https://t.me/vadkam Вадим Камалов] || [https://t.me/shierururu Марина Василькова] || [https://t.me/parsifal45 Данил Лисиенко] || [https://t.me/an_soc София Соленникова] || [https://t.me/repressedd Дамир Хасанов] || [https://t.me/PiP8PoP Полина Литвина] || [https://t.me/ice_fusion Максим Минин] || [https://t.me/cep3au Сергей Зайцев]
|}

= Порядок формирования оценок =

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

Oитоговая = 0,33 * Одз + 0,22*Ок/р + 0,45*Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

[https://drive.google.com/file/d/1H5KJWhhq0WZH7uxwebg0lmlD3ibmD3A-/view?usp=sharing '''Конспект лекций''']

'''Лекция 1''' (1.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1YKZjxhOuTmo7RVpQWG1INGz_BthCf6X9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Циклические группы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы

'''Лекция 2''' (3.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1biOHJcjQVXlFzG0LnQq9xD4YejS7M9sh/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Бинарная операция на множестве смежных классов по нормальной подгруппе

'''Лекция 3''' (8.04.2026). Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры

'''Лекция 4''' (15.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1yMicuzNtBfL_b9YU67Bgzv_CeuOFUi91/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности

'''Лекция 5''' (17.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WGv2WE_HdgOrRDd9WOjXGYJjQPWJOVGa/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы в коммутативном кольце

'''Лекция 6''' (22.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1lfYNhmJ_3q1Yb8Irc2PUXIx2VUcRZCjH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком в кольце K[x]. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении

'''Лекция 7''' (24.04.2026). Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Факторкольцо K[x]/(h). Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем

'''Лекция 8''' (29.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1tPS_edf59FGz7edl3FwLl0C0pC3yakeM/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Базис и размерность факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов

'''Лекция 9''' (13.05.2026). Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях

'''Лекция 10''' (20.05.2026). Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами

'''Лекция 11''' (22.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WIvHMPKbaWmATPPEB3Lh49CxACL7FxCw/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождаемое алгебраическим элементом

'''Лекция 12''' (27.05.2026). Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов

'''Лекция 13''' (3.06.2026). Единственность конечного поля заданного порядка. Описание подполей конечного поля. Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять.

= Листки с задачами =

[https://drive.google.com/file/d/1U88IgabAITYVVFZ7rAmUhpAKveIVIIDa/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 1''']

[https://drive.google.com/file/d/1FKdxx1oTEz7UscP6dBcO-2sz9Q9mxw42/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 2''']

[https://drive.google.com/file/d/11LfEtsh0-YiF_OacBBEo30aJjMDXw-Rr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 3''']

[https://drive.google.com/file/d/14btFb7lAe2YM7NoWmedf4Fo_SsSjDcdJ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 4''']

[https://drive.google.com/file/d/1Vhl9sgQ7miwy9ZcJTHd9bTxF5Llg-b4s/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 5''']

[https://drive.google.com/file/d/1bcBsa4XoEm0oYEsoJS5G81qpg5KizblZ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 6''']

[https://drive.google.com/file/d/1p0zuuMje789FhJggSd9Y2hhzDN79xdPB/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 7''']

[https://drive.google.com/file/d/1fBfmGKC0a_QFSr8lRn0FRUsSWD3OMU8_/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 8''']

[https://drive.google.com/file/d/1cMwu7iVa7CjUA1Kj_gFbB50w5xdA24Cr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 9''']

[https://drive.google.com/file/d/1_7x51e20LBsE9BDbDU6aUoUAeL4LKvMf/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 10''']

[https://drive.google.com/file/d/1b4Qja9plAaRuYT8d8S3G18Z50DBRwFAu/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 11''']

[https://drive.google.com/file/d/1NvzM9rK8SxhKBX45E0okKAwWg-KtmSC-/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 12''']

= Домашние задания =

[https://drive.google.com/file/d/1KCsB-i2zdH5J72G83GmGWXywglwGDEIb/view?usp=drive_link '''ДЗ-1''']

[https://drive.google.com/file/d/1zK-yCdm8CixRUSpttIBIfyjRxv2kCUPq/view?usp=drive_link '''ДЗ-2''']

[https://drive.google.com/file/d/1dQ1v_eEfLgVAwVW5_NTP1HVGgn3BJzoI/view?usp=drive_link '''ДЗ-3''']

[https://drive.google.com/file/d/1EP4kX6HqDf0ExCEBxQ1aZVQGqnqmSd9t/view?usp=drive_link '''ДЗ-4''']

[https://drive.google.com/file/d/1VcIG4pbalXF62m7XoLOfoqs1sgGbJFTd/view?usp=drive_link '''ДЗ-5''']

[https://drive.google.com/file/d/1-xGy82y154SWPBZjYhOjx6oLoUNR2qtY/view?usp=drive_link '''ДЗ-6''']

[https://drive.google.com/file/d/1EgyEDQ1WZWNP5b80L1QdvN4N4Fkoo-Tn/view?usp=drive_link '''ДЗ-7''']

[https://drive.google.com/file/d/1FXZ_GiAUmUi9k6G8PAYkaRDDdOcmokca/view?usp=drive_link '''ДЗ-8''']

= Контрольная работа =

Дата-время: 8 июня, 16:40

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

'''Темы задач на контрольной работе'''

* Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] ("прямая сумма" = "прямое произведение")
* Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, [https://www.dropbox.com/s/6ugc0adjv4pv0h4/Quotients.pdf?dl=0 ещё задачи]]
* Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, [https://www.dropbox.com/s/hc5uz9iiiw201hl/Factorization_examples.pdf?dl=0 ещё примеры]]
* Базисы Грёбнера и их приложения [[https://www.dropbox.com/s/ssubw1mqn3hhqor/GB_examples.pdf?dl=0 примеры], задачи 5,9 из листка 10 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 2,3 из листка 8, задача 1 из ДЗ-6, задачи 4,5 из листка 11 и задача 1 из ДЗ-8]
* Вычисления в конечных полях [[https://www.dropbox.com/s/y8u27gr9kk5nw6b/FF_examples.pdf?dl=0 примеры]]

Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина)

Также стоит обратить внимание на задачи, предлагавшиеся на аналогичных контрольных прошлых лет

= Экзамен =

Формат экзамена: устный

= Ведомости текущего контроля =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=658286564#gid=658286564 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=834516625#gid=834516625 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1692194870#gid=1692194870 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=241205604#gid=241205604 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1651735923#gid=1651735923 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=637903293#gid=637903293 2515]
|}

= Литература =

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988
* И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (пилотный поток)

2026-06-01T15:09:35Z

Ravdeev: /* 3-4 модули */

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/305113883 Екатерина Нистюк] || [https://www.hse.ru/org/persons/304055991 Юля Зайцева] || [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/350789943 Антон Трушин] || [https://www.hse.ru/org/persons/350789943 Антон Трушин] || [https://www.hse.ru/org/persons/856267465/ Михаил Игнатьев]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/evisqq Хаким Вердиев] и [https://t.me/kalDima1218 Дмитрий Калугин] || [https://t.me/fynjybath Антон Ныйкин] и [https://t.me/thisariv Вова Родин] || [https://t.me/op_invalid Михаил Бугрышев] и [https://t.me/Semi4 Андрей Павлов] || [https://t.me/bibihoya Юлия Баранова] и [https://t.me/katyatyurr Катя Тюрина] || [https://t.me/elizazh Елизавета Жукова] и [https://t.me/olimpiadnyikomik Анастасия Одинцова]
|}

= Расписание консультаций =

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница !! суббота !! воскресенье
|-
| <center>1</center> || Дима Трушин || || || pending || || || ||
|-
| <center>2</center> || Юля Зайцева || || || || || || ||
|-
| <center>3</center> || Михаил Игнатьев || || || || || || ||
|-
| <center>4</center> || Антон Трушин || || || || || || ||
|}

* Просьба предупреждать, если планируете прийти, возможны изменения

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус к накопленной оценке:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =
== 2-й модуль ==

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

'''Итоговая оценка за курс -- оценка за 4-ый модуль.'''

= Краткое содержание лекций =

== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (03.09.2025). Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса. Матрицы и матричные операции.

'''Лекция 2''' (10.09.2025). Дефекты матричных операций. Связь с линейными уравнениями. Деление и обратимость матриц. Левая и правая обратная, двусторонняя обратимость только для квадратных матриц. Матрицы элементарных преобразований. Невырожденность матриц: 6 эквивалентных определений.

'''Лекция 3''' (17.09.2025) Следствия 6 эквивалентных определений. Массовое решение систем. Поиск обратной матрицы Гауссом. Блочные формулы умножения матриц. Метод восстановления главных переменных через множество решений. Единственность улучшенного ступенчатого вида матрицы. Классификация систем с одинаковым множеством решений.

'''Лекция 4''' (24.09.2024) Полиномиальное исчисление от матриц. Существование многочлена зануляющего матрицу. Спектр матрицы. Минимальный многочлен и его связь со спектром. Наивная оценка на степень минимального многочлена.

'''Лекция 5''' (01.10.2025) Перестановки. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки. Существование и единственность знака перестановки.

'''Лекция 6''' (08.10.2025) Три подхода к определителям: (I) явная формула с помощью перестановок, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) согласованность с умножением. Вычисление по явной формуле для верхнетреугольных матриц и в случае размерностей 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Полилинейность определителя (импликация (I)=>(II)). Определитель элементарных матриц. Классификация полилинейных отображений. Доказательство импликации (II)=>(I).

'''Лекция 7''' (15.10.2025) Мультипликативность определителя (импликация (II)=>(III)), определитель с углом нулей и определитель блочно верхнетреугольной матрицы. Импликация (III)=>(I). Миноры и алгебраические дополнения, присоединенная матрица. Разложение определителя по строке или столбцу. Явные формулы для обратной матрицы.

'''Лекция 8''' (22.10.2025) Формулы Крамера. Характеристический многочлен. Связь характеристического многочлена со спектром. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли.

'''Лекция 9''' (5.11.2025) Определение поля. Определение подполя и изоморфизма полей, изоморфизм над подполем. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Различные операции на комплексных числах, геометрическая модель. План доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

'''Лекция 10''' (12.11.2025) Доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

'''Лекция 11''' (19.11.2025) Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость. Примеры пространств и подпространств. Порождающая система, линейная оболочка.

'''Лекция 12''' (26.11.2025) Три эквивалентных определения базиса. Понятие размерности. Конечномерные векторные пространства. Понятие координат вектора. Описание всех базисов в терминах одного.

'''Лекция 13''' (3.12.2025) Фундаментальная система решений. Пять определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Неизменность первых четырех рангов при домножении на обратимую матрицу слева и справа и их совпадение. Совпадение минорного ранга с остальными.

'''Лекция 14''' (10.12.2025) Линейные отображения, примеры. Изоморфизмы. Операции на линейных отображениях, структура векторного пространства. Критерий существования линейного отображения в терминах базиса, критерий изоморфности векторных пространств. Матрица линейного отображения и ее связь с операциями на линейных отображениях. Замена матрицы линейного отображения при смене базисов. Образ и ядро. Критерий инъективности и сюръективности в их терминах.

'''Лекция 15''' (17.12.2025) Оценка ранга произведения матриц. Связь размерности ядра и образа линейного отображения. Классификация линейных отображений. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей. Линейная независимость подрпостранств. Внешние и внутренние прямые суммы (6 эквивалентных определений).

== 3-4 модули ==

'''Лекция 16''' (14.01.2026). Линейные операторы, определения и примеры, проекторы. Матрица линейного оператора, смена матрицы при замене базиса. Характеристики линейного оператора: след, определитель, характеристический многочлен, минимальный многочлен, спектр, ранг. Критерии обратимости линейного оператора.

'''Лекция 17''' (21.01.2026). Инвариантные подпространства и связь с углом нулей. Инвариантность ядра и образа относительно коммутирующего оператора. Собственные подпространства. Связь собственных значений со спектром. Корневые подпространства. Лемма о стабилизации образа и ядра степени линейного оператора.

'''Лекция 18''' (28.01.2026). Кратность собственных значений. Существование ненулевого собственного вектора над алгебраически замкнутым полем. Линейная независимость собственных и корневых подпространств. Критерий диагонализуемости линейного оператора.

'''Лекция 19''' (4.02.2026). Свойства ограничения оператора. Приведение к верхнетреугольному виду матрицы оператора. Утверждение о подстановке оператора во взаимно простые многочлены. Теорема о разложении через зануляющий многочлен. Разложение пространства в прямую сумму корневых. Описание инвариантных подпространств.

'''Лекция 20''' (11.02.2026). Идеальный спектр и его описание в терминах минимального многочлена, в терминах характеристического многочлена (БД). Обобщение корневых и собственных подпространств на идеальный спектр. Минимальные инвариантные подпространства в собственном подпространстве для идеального спектра.

'''Лекция 21''' (18.02.2026). Отношение равенства по модулю подпространства. Линейная независимость, порождающие и базис по модулю подпространства (определения и критерии). Определение жорданова базиса и жордановой нормальной формы (ЖНФ). Теорема о ЖНФ для нильпотентных операторов: единственность и формула для количества клеток.

'''Лекция 22''' (25.02.2026). Теорема о ЖНФ для произвольного оператора: существование и единственность. Классификация линейных операторов. Функционалы: двойственное (сопряжённое) пространство с примерами. Понятие о двойственном базисе. Связь размерности пространства и его двойственного.

'''Лекция 23''' (4.03.2026). Наличие функционала, не равного нулю на заданном векторе. Векторы -- это функции на функциях, изоморфизм векторного пространства на своё второе сопряжённое. Конструкция сопряжённого линейного отображения. Матрица сопряжённого линейного отображения в двойственном базисе. Согласованность изоморфизма векторного пространства с вторым сопряжённым и конструкции сопряжённого линейного отображения.

'''Лекция 24''' (11.03.2026). Билинейные формы, примеры, естественная билинейная форма между пространством и сопряжённым. Матрица билинейной формы. Конструирование билинейных форм по значениям на паре базисов. Смена матрицы билинейной формы. Билинейные формы и матричный формализм. Ранг билинейной формы. Левые и правые ортогональные дополнения, ядра формы, невырожденность в терминах ядра. Связь ранга с размерностями ядер.

'''Лекция 25''' (18.03.2026). Двойственность для подпространств относительно невырожденной билинейной формы. Двойственность для линейных отображений (альтернатива Фредгольма). Связь инвариантности подпространств для линейного оператора и сопряжённого к нему. Билинейные формы на одном пространстве. Симметричность и кососимметричность формы. Замечание про поле характеристики 2.

'''Лекция 26''' (1.04.2026). Матрицы симметричных и кососимметричных билинейных форм. Матричные характеристики билинейных форм. Разложение любой билинейной формы (на одном пространстве при обратимости двойки в поле) в сумму симметрической и кососимметрической. Ограничение билинейной формы на подпространство. Невырожденность ограничения. Диагонализуемость симметрических форм (замечание про характеристику 2). Симметричный Гаусс.

'''Лекция 27''' (8.04.2026). Метод Якоби. Алгоритм диагонализации на основе метода Якоби. Квадратичные формы. Связь квадратичных и билинейных форм. Классификация симметричных билинейных форм над алгебраически замкнутым полем. Классификация симметричных билинейных форм над полем вещественных чисел и сигнатура.

'''Лекция 28''' (15.04.2026). Геометрический смысл сигнатуры. Положительная и отрицательная определённость формы над полем вещественных чисел. Критерий Сильвестра. Графики квадратичных форм. Анализ поверхности. Евклидовы пространства и скалярные произведения. Понятие длины вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла в евклидовом пространстве. Классификация евклидовых пространств. Ортогональные и ортонормированные базисы. Ортогонализация Грама-Шмидта.

'''Лекция 29''' (21.04.2026). Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. Формула BABA для проектора. Формула Aтата для ортопроектора. Формула для ортогональной проекции в терминах ортогонального базиса подпространства. Расстояние в евклидовом пространстве. Утверждение о расстоянии и угле между вектором и подпространством. Метод наименьших квадратов.

'''Лекция 30''' (28.04.2026). Классификация ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса. Ортогональные матрицы. Теорема Пифагора. Матрица Грама и её свойства. k-мерные объёмы через матрицу Грама и рекуррентная формула. Изменение объёма при смене образующих параллелепипеда и при действии линейного оператора. Понятие ориентации в евклидовом пространстве. Ориентированный n-мерный объём.

'''Лекция 31''' (12.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1d0L4aCJgJxssURoVq3zsQSdbUpgCBnZp/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Изменение ориентированного объёма при смене образующих параллелепипеда. Связь ориентированного объёма с определителем. Изменение ориентированного объёма под действием оператора. Комплексные векторные пространства. Полуторалинейные формы, матрица полуторалинейной формы и формула её изменения при смене базиса. Эрмитово сопряжение матрицы. Ортогональные дополнения. Квадратичные формы для полуторалинейных форм. Поляризационная формула. Соответствие между полуторалинейными формами и квадратичными формами. Эрмитовы и косоэрмитовы формы, интерпретация этих свойств в терминах матриц. Вещественность значений квадратичной формы для эрмитовой полуторалинейной формы. Диагонализация эрмитовых и косоэрмитовых форм. Классификация эрмитовых форм. Положительная и отрицательная определённость эрмитовых форм. Метод Якоби. Критерий Сильвестра.

'''Лекция 32''' (18.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/18_R70_zPpkb62JywzWbkxS0D3zcuyAhz/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Эрмитово векторное пространство и эрмитово скалярное произведение. Понятие длины вектора, неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла между прямыми. Ортогональность и ортонормированность. Классификация ортонормированных базисов в терминах одного и матриц перехода. Унитарные матрицы. Классификация эрмитовых пространств. Ортогональные проекции, расстояния, метод наименьших квадратов, матрица Грама. Комплексификация векторного пространства, его базис и размерность. Комплексификация линейного отображения и билинейной формы, их матрицы. Операторы в евклидовом и эрмитовом пространствах. Движения, различные определения, описание движений с помощью матриц.

'''Лекция 33''' (25.05.2026). Свойства движений: спектр на окружности, ортогональность собственных подпространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству. Классификация движений в эрмитовом случае (диагонализуемость в ортонормированном базисе плюс спектр на окружности). Классификация движений в евклидовом случае (блочная диагонализуемость специального вида в ортонормированном базисе). Сопряжённое линейное отображение и его матрица. Сопряжённые и самосопряжённые операторы. Матрица самосопряжённого оператора. Свойства самосопряжённого оператора: вещественный непустой спектр, ортогональность собственных подпространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству.

'''Лекция 34''' (1.06.2026). Классификация самосопряжённых операторов в эрмитовом и евклидовом пространствах. Изоморфизм между операторами и билинейными (полуторалинейными) формами в евклидовом (эрмитовом) пространстве. Приведение формы к главным осям. Вычисление сигнатуры симметричной билинейной (эрмитовой полуторалинейной) формы через спектр её матрицы. Классификация линейных отображений между евклидовыми пространствами. Сингулярное разложение матрицы (SVD).

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с основного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка до 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата контрольной работы -- 13 декабря. Время и правила проведения контрольной TBA.

== 4-й модуль ==

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==

Дата проведения коллоквиума -- 19 декабря. Точные условия и правила TBA.

== 4-й модуль ==

= Экзамен =

== 2-й модуль ==

== 4-й модуль ==

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1174728025#gid=1174728025 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1318652803#gid=1318652803 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=677514736#gid=677514736 255]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1995105946#gid=1995105946 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1174728025#gid=1174728025 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1318652803#gid=1318652803 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=677514736#gid=677514736 255]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

= Ссылки =

* Общие

# [https://t.me/+HFM6V67xD285ZThi Канал] в Telegram
# [https://github.com/DimaTrushin/LinearAlgebra Лекции] на github.
# [https://github.com/DimaTrushin/LinearAlgebraAlgorithms Алгоритмы] на github.

* Группы 251 и 253

# [https://t.me/+RVTRVbj6wlsxYmEy Группа] в Telegram
# [https://disk.yandex.ru/d/U10JdTvXCFR3Dg Материалы] семинаров и домашние задания

= Литература =

== Учебники ==

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* S. Axler. Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997 (или любое последующее издание)

== Сборники задач ==

* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-06-01T14:56:26Z

Ravdeev: /* 3-4 модули */

Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"

Telegram-канал: https://t.me/LA_25_AMI_osn_EDA

= Преподаватели и учебные ассистенты =

Обратите внимание, что учебный ассистент1 отвечает за регулярные домашние задания, а учебный ассистент2 -- за большие домашние задания.

== Основной поток ПМИ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/yzaitseva Юлия Зайцева] || [https://t.me/VVKikteva Вероника Киктева] || [https://t.me/iamilyaboldyrev Илья Болдырев] || [https://t.me/the_Man_of_Spade Виктор Лопаткин] ||colspan="2"| [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/aperep Александр Перепечко] || [https://t.me/Vitalique_Iudelevich Виталий Юделевич] || [https://t.me/t1som Алина Никитина]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/The_best_cat_okk Михаил Фомичев] || [https://t.me/its_me_arlek1n0 Виктор Васильев] || [https://t.me/iraayugay Ирина Югай] || [https://t.me/dzagonov Дмитрий Загонов] || [https://t.me/denkruuk Денис Круковер] || [https://t.me/Ne_klumaks Вячеслав Газизов] || [https://t.me/karbarkarrr Варвара Сажина] || [https://t.me/Anilaniklot Илья Кравчук] || [https://t.me/lesha_hse Алексей Веляев] || [https://t.me/ilmsomuch Артём Кузнецов]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/oretskiy_greshok Анастасия Козлова] || [https://t.me/psinapsinovna Дарья Храмова] || [https://t.me/tr1pl3d0ttt Даниил Гузь] || [https://t.me/poltorq Яна Босякова] || [https://t.me/Ivan_Ovs Иван Овсянников] || [https://t.me/morz24 Алексей Токарев] || [https://t.me/Kkicune Алина Бариева] || [https://t.me/ullmrv Юлия Муравьёва] || [https://t.me/katkaeva Айса Каткаева] || [https://t.me/artyom_kotov04 Артём Абросимов]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="10"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

== Поток ЭАД ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БЭАД251 !! БЭАД252 !! БЭАД253 !! БЭАД254 !! БЭАД255 !! БЭАД256
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://www.hse.ru/org/persons/306101187 Алёна Зароднюк] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров] || [https://t.me/Artyom_Martirosov Артём Мартиросов]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/georgeanenko Георгий Аненко] || [https://t.me/ananananananaaa Анна Гуськова] || [https://t.me/levrudanin Лев Руданин] || [https://t.me/banbutsuno_hoshi Арсений Черваков] || [https://t.me/arslanyam Арслан Ямалетдинов] || [https://t.me/hgfghgfgfd Юрий Дзюба]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/bazingapog Николай Баринов] || [https://t.me/seletarina Арина Селетникова] || [https://t.me/sxbntm Алиса Карпинская] || [https://t.me/foma253 Александр Фомин] || [https://t.me/petrovegor2005 Егор Петров] || [https://t.me/grebenchik Варвара Гребенщикова]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="6"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

= Расписание консультаций =

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =

== 2-й модуль ==
Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,35*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,15*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==
Итоговая оценка за 3-4 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,32*Oэкз + 0,23*Oколл + 0,17*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

= Краткое содержание лекций =
== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (3.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1zeSqzJcF9HCsLP8I5_6GDhLON_9Yg-G4/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

'''Лекция 2''' (8.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1ZnXLPHY-U5sm2B7ut3FcEQi5V__P8Cjr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы.

'''Лекция 3''' (15.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1-i_w_8eFOIbocpFwmxKSJwWZKUF-5Zj3/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (29.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1XQ7qsLAgoXZDmLN2O3gq_yo59Dla3EB5/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Определение обратной матрицы. Обратная матрица как решение уравнения AX=E (пока без доказательства). Перестановки на множестве {1,2,...,n}. Инверсии в перестановке. Знак и чётность перестановки.

'''Лекция 5''' (6.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1RXoHKZJFY_Qtb8A4PN9QCc9cwQb_kiaz/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Произведение перестановок. Ассоциативность произведения перестановок. Теорема о знаке произведения перестановок. Тождественная перестановка. Обратная перестановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 6''' (13.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/19Us0dF6pZ5AkIR0JKKcDpnE1zDrOAnGY/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей.

'''Лекция 7''' (20.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1VPnqK-pW7APin5-0Qbf-5mzwGuBMvcJI/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Определитель обратной матрицы. Невырожденные матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости квадратной матрицы. Формулы Крамера.

'''Лекция 8''' (3.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1sTebhBZ3GIvKgrH3W1G2D_0r8DZSlFS1/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра.

'''Лекция 9''' (10.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/12X_M36Jo_SJwWhS4ooh24bNvfJrfJUTH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей. Векторные пространства, примеры. Простейшие следствия из аксиом векторного пространства.

'''Лекция 10''' (17.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1F6qGTlaNaYAFQ61b1xZ3JZubjWLr3gwK/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства. Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

'''Лекция 11''' (24.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1INsbcwSZhW3PsXYPRVfGm9zIbZ3wIGFr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Характеризация базисов в терминах единственности линейного выражения векторов. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

'''Лекция 12''' (1.12.2025). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 13''' (8.12.2025). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

'''Лекция 14''' (15.12.2025). Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому. Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения.

== 3-4 модули ==

'''Лекция 15''' (12.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/14-3xV-Z0GCJrTlPfa3nBX-g1G37aJrw9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Проекция вектора на подпространство вдоль дополнительного подпространства. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств.

'''Лекция 16''' (19.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1LXqyyiV6XxMuWyGdksmppduLcKP5aC9r/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Отображение, обратное к изоморфизму векторных пространств. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Изоморфные векторные пространства. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств. Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры.

'''Лекция 17''' (26.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/145a2hZQXWsvw2pRHXmrk-y-GimaCOvap/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений. Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно умножения на квадратную невырожденную матрицу слева или справа.

'''Лекция 18''' (2.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1E8-poOd9l8Bfy0bs8C42bbkjqHcsM7vb/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры. Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен ровно одному базису исходного пространства. Билинейные формы на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису.

'''Лекция 19''' (9.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1s1tbdpIFbNI1AsOVwAmlzrhPpwcTQgve/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису. Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Теорема о диагонализации симметричной билинейной формы. Симметричные элементарные преобразования квадратной матрицы. Симметричный алгоритм Гаусса. Угловые миноры матрицы. Метод Якоби для симметричных билинейных форм (формулировка).

'''Лекция 20''' (16.02.2026). Доказательство метода Якоби для симметричных билинейных форм. Квадратичные формы на векторном пространстве. Примеры. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции.

'''Лекция 21''' (16.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/19G3HvmxwJKheFzYoat1P2tnh-cetPJd8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Следствие метода Якоби о вычислении индексов инерции квадратичной формы над R. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши–Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства.

'''Лекция 22''' (2.03.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WVcqOhp-LmUxrpKkzHM-X4lnsluoTvyF/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональные векторы. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базис. Координаты вектора в ортогональном (ортонормированном) базисе. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Метод ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные матрицы и их свойства.

'''Лекция 23''' (2.03.2026). Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального (ортонормированного) базиса. Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве. Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Псевдорешение несовместной системы линейных уравнений. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов.

'''Лекция 24''' (16.03.2026). Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства. Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Векторное произведение, его выражение в координатах.

'''Лекция 25''' (23.03.2026). Смешанное произведение трёх векторов, его свойства. Критерий компланарности трёх векторов. Критерий коллинеарности двух векторов в терминах векторного произведения. Геометрические свойства векторного произведения. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии.

'''Лекция 26''' (6.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1gjBdszpSQFx6jx3Fpc9w77ksfvINYX-8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса.

'''Лекция 27''' (13.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1n0YFaR6QHBmQRSE77it93jx69S5f6AQL/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя. Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, согласованном с разложением пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора.

'''Лекция 28''' (20.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1KSkTmOkECufHy_FNQ2Eqi38tMrkAJlUT/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора. Связь между алгебраической и геометрической кратностями собственного значения линейного оператора. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений.

'''Лекция 29''' (27.04.2026). Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве. Отображение, сопряжённое к линейному отображению между двумя евклидовыми пространствами: определение, существование и единственность. Матрица сопряжённого отображения в паре произвольных и паре ортонормированных базисов. Сопряжённый оператор в евклидовом пространстве. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, семь эквивалентных условий.

'''Лекция 30''' (27.04.2026). Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Теорема о сингулярных базисах для линейного отображения евклидовых пространств.

'''Лекция 31''' (18.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1JyR0GgUyc5QRN9G8srWiaLLxdbCCCCKC/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сингулярное разложение матрицы и её сингулярные значения. Усечённое сингулярное разложение матрицы. Представление матрицы в виде суммы компонент ранга 1, связанное с её сингулярным разложением. Фробениусова норма матрицы, её инвариантность относительно умножения на ортогональную матрицу слева или справа. Теорема Эккарта-Янга о низкоранговом приближении.

'''Лекция 32''' (25.05.2026). Прямоугольные декартовы системы координат в евклидовом пространстве. Формулы замены координат при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой. Квадрики (гиперповерхности 2-го порядка) в R^n. Теорема о каноническом виде уравнения квадрики в евклидовом пространстве. Метрическая классификация кривых 2-го порядка в R^2. Метрическая классификация поверхностей 2-го порядка в R^3.

'''Лекция 33''' (1.06.2026). Эллипс, гипербола, парабола: основные геометрические свойства (фокусы, директрисы, эксцентриситет, оптическое свойство). Теорема о жордановой нормальной форме линейного оператора (формулировка). Корневые подпространства линейного оператора. Теорема о разложении векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора (формулировка). Сведение доказательства теоремы о жордановой нормальной форме к случаю корневого подпространства. Нильпотентные линейные операторы. Циклическое подпространство нильпотентного оператора.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

== 1-2 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1ihV-uQiZP9Fh9G3Sw3-uhX9hidE2xA5KZnWXtdxi3r8/edit?usp=sharing '''ИДЗ-1''']

[https://docs.google.com/document/d/1a9jbUnR4Z7X3JnRFTIIANgZyKBTUawXFk9oXLUMEYaw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1s-YEdgFk-OXKp3PLvZijI9jsOtgguEpTvxb9pFt26yE/edit?usp=sharing '''ИДЗ-3''']

[https://docs.google.com/document/d/1WQE4qZrVatcNPytB4nG1xOYzMB3H7ycKOdB1B139myI/edit?usp=sharing '''ИДЗ-4''']

== 3-4 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1_JHDKX8Sq1iMVCcnpt2lDLIVEdQMuLuhk-p0ghncp9U/edit?usp=sharing '''ИДЗ-5''']

[https://docs.google.com/document/d/14PWMZIQF0lnCNTWFe5Izf3aR0nu40HLgE3bOuz5NWwA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-6''']

[https://docs.google.com/document/d/16zdghtjup8Fqqf6pg8SRXFe9AYKnvhC6WzpVQu9XDOw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-7''']

[https://docs.google.com/document/d/1yjHURRAdZ8ifynzTD-lu0CMUljvdRQoqL6xtExL4nAk/edit?usp=sharing '''ИДЗ-8''']

[https://docs.google.com/document/d/17VGGhZIDKzv9Td_Zg2qim8zu7XPNlDUoHew82AipejA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-9''']

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

[https://docs.google.com/document/d/1k_Wt9P9aISwRhM_0mo4TQ8vHUjrn7N0j/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-1''']

[https://docs.google.com/document/d/11np0omXwFYVmrWuCJXMS9GSrBPBjU-OV/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1qTfG6PqNj1KB_96b2zgUzJhWyGeCXWWE/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-3''']

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата-время: 15 ноября, 15:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1V78nBf6w0Mb_Kz0fI_gETdwgK38DoIAShiVnpQjhHnw/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1Iv2V2flblwWIHQWPKem3SA2QBLA6E5jq/view?usp=sharing '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.
*Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
*Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8–18.11
*Перестановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
*Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
*Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316
Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

== 4-й модуль ==

Дата-время: 18 апреля, 18:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1bYjzRzkDHqGwziLEmBW7IdydmvTdGBipj-b7ayxwt7w/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1wnTJ11B4QIUeSnFxFbcOoLw7BMYOcCXH/view?usp=drive_link '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Задание подпространств системами линейных уравнений: П 1312, 1313, К 35.16

*Матрицы перехода, преобразование координат вектора при замене базиса: П 1280–1283, К 34.10–34.12; задача 2 из ИДЗ-5

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства, разложение в прямую сумму подпространств: П 1317, 1318, 1320–1322; К 35.14, 35.15; задачи 3–5 из ИДЗ-5

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434–1438, 1441–1446, 1449, 1450; К 36.3, 36.4, 39.15, 39.16; задачи 1,2 из ИДЗ-6

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения, приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали: К 39.5; задачи 3,4 из ИДЗ-6

*Линейные функции и двойственные базисы: К 36.9, 36.10; задача 5 из ИДЗ-6

*Билинейные и квадратичные формы, их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10, 38.15, 38.16

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175–1186; К 38.8, 38.18(а–г)

*Исследование квадратичных форм на положительную и отрицательную определённость, а также определение нормального вида в зависимости от значений параметра: П 1212–1216; К 38.11(а–г), 38.14(а,б) + для каждого номера определить нормальный вид квадратичной формы в зависимости от значений параметра

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357–1363; К 43.7(а–г), 43.15(а–в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370–1372; К 43.19(а–в)

*Объём k-мерного параллелепипеда: К 43.36

*Линейные многообразия: П 1374; К 43.21(а–г), 51.7

*Векторное и смешанное произведения в R^3: КК 25.5, 25.7, 25.17, 25.18, 25.24, 25.35–25.38, 25.49, 25.59, 25.61

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28–26.37, 26.39–26.47, 26.50, 27.34, 27.39–27.42, 31.1–31.3, 31.5–31.8, 31.21–31.25, 31.27–31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 31.13–31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 25.58, 32.28–32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38–32.40

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==
Даты: 10 декабря для ЭАД, 13 декабря для ПМИ

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1hFMODfRvZ51zYqkyJi5EKpipO5B613na/view?usp=sharing '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1u61pDMSL-3ImwtjMLNmle3WabfSMsBGd/view?usp=sharing '''Список вопросов на доказательство''']

'''Формат проведения:'''

Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, на написание которых даётся 10 минут, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4-5 вопросами на доказательство. На написание первых двух вопросов даётся 25 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности.

== 4-й модуль ==
Даты: 29-30 мая

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1TOFHODQwiBC8eAZ1RBSjpZ9W9qHXz2ld/view?usp=drive_link '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1oqRbzS_hovcZ6G_BqjLMxKSuaRn01pEc/view?usp=drive_link '''Список вопросов на доказательство''']

= Экзамены =

Формат проведения: письменная работа

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

== 2-й модуль ==

Дата-время: 26 декабря, 9:30

Продолжительность работы: 160 минут (2 часа 40 минут)

[https://drive.google.com/file/d/1Bi3phiOeLa_FwpoQU7DQDQkQL8T69NFF/view?usp=drive_link '''Условия задач с экзамена''']

[https://docs.google.com/document/d/196BdHN84U9suOqvrDva-jh5IebD828wZd385M50vEWE/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению экзамена''']

Материалы для подготовки к экзамену:

I: [https://drive.google.com/file/d/1zxh4S7wGLkrzdn_GL4ujySAgfJXkmadN/view?usp=sharing '''список определений и формулировок''']

II: список задач для подготовки к 1-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 21.9, 22.7
*Линейная зависимость в векторных пространствах: П 639–644, 646–650, 652–655, 1824–1828; К 34.2, 34.3
*Линейные комбинации, линейные оболочки: П 665–669, 679–681 (база = максимальная линейно независимая подсистема)
*Подпространства, базис, размерность: П 1297–1304, 1308, 1310–1313; К 34.14, 35.2, 35.3, 35.7(а,в,г), 35.8, 35.11, 35.16
*Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных экзаменов прошлых лет.

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=798212250#gid=798212250 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1905063984#gid=1905063984 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1143931348#gid=1143931348 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1571389748#gid=1571389748 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1008226585#gid=1008226585 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=196141806#gid=196141806 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2082325635#gid=2082325635 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=141028840#gid=141028840 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1342717045#gid=1342717045 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=183207489#gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2014615374#gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1795822500#gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1130562098#gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2082037908#gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=91924820#gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1290636010#gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=877068035#gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1036271056#gid=1036271056 Э256]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=735451668#gid=735451668 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=669963605#gid=669963605 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1959871710#gid=1959871710 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=103812329#gid=103812329 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=944808823#gid=944808823 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1765292157#gid=1765292157 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=590665666#gid=590665666 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=455919933#gid=455919933 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1889630406#gid=1889630406 Э256]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=495362391#gid=495362391 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1018299486#gid=1018299486 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1364062586#gid=1364062586 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1423608094#gid=1423608094 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=96823731#gid=96823731 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=776758101#gid=776758101 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1608052002#gid=1608052002 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=689894434#gid=689894434 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=331922030#gid=331922030 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 2-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1036271056 Э256]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=306180384 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1788292251 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1130033710 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1074866345 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1715049091 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1626532296 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1671546472 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=981219186 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=490014071 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=34870869 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1156905827 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1829776196 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=548337066 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=771466034 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1752006868 Э256]
|}

= Кстати =

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

= Ссылки =

[https://t.me/LA_256_sem Telegram-канал семинаров в группе БПМИ256]

[https://t.me/linal258 Telegram-канал семинаров в группе БПМИ258]

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-30T15:24:50Z

Ravdeev: /* Ведомости текущего контроля */

Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"

Telegram-канал: https://t.me/LA_25_AMI_osn_EDA

= Преподаватели и учебные ассистенты =

Обратите внимание, что учебный ассистент1 отвечает за регулярные домашние задания, а учебный ассистент2 -- за большие домашние задания.

== Основной поток ПМИ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/yzaitseva Юлия Зайцева] || [https://t.me/VVKikteva Вероника Киктева] || [https://t.me/iamilyaboldyrev Илья Болдырев] || [https://t.me/the_Man_of_Spade Виктор Лопаткин] ||colspan="2"| [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/aperep Александр Перепечко] || [https://t.me/Vitalique_Iudelevich Виталий Юделевич] || [https://t.me/t1som Алина Никитина]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/The_best_cat_okk Михаил Фомичев] || [https://t.me/its_me_arlek1n0 Виктор Васильев] || [https://t.me/iraayugay Ирина Югай] || [https://t.me/dzagonov Дмитрий Загонов] || [https://t.me/denkruuk Денис Круковер] || [https://t.me/Ne_klumaks Вячеслав Газизов] || [https://t.me/karbarkarrr Варвара Сажина] || [https://t.me/Anilaniklot Илья Кравчук] || [https://t.me/lesha_hse Алексей Веляев] || [https://t.me/ilmsomuch Артём Кузнецов]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/oretskiy_greshok Анастасия Козлова] || [https://t.me/psinapsinovna Дарья Храмова] || [https://t.me/tr1pl3d0ttt Даниил Гузь] || [https://t.me/poltorq Яна Босякова] || [https://t.me/Ivan_Ovs Иван Овсянников] || [https://t.me/morz24 Алексей Токарев] || [https://t.me/Kkicune Алина Бариева] || [https://t.me/ullmrv Юлия Муравьёва] || [https://t.me/katkaeva Айса Каткаева] || [https://t.me/artyom_kotov04 Артём Абросимов]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="10"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

== Поток ЭАД ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БЭАД251 !! БЭАД252 !! БЭАД253 !! БЭАД254 !! БЭАД255 !! БЭАД256
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://www.hse.ru/org/persons/306101187 Алёна Зароднюк] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров] || [https://t.me/Artyom_Martirosov Артём Мартиросов]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/georgeanenko Георгий Аненко] || [https://t.me/ananananananaaa Анна Гуськова] || [https://t.me/levrudanin Лев Руданин] || [https://t.me/banbutsuno_hoshi Арсений Черваков] || [https://t.me/arslanyam Арслан Ямалетдинов] || [https://t.me/hgfghgfgfd Юрий Дзюба]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/bazingapog Николай Баринов] || [https://t.me/seletarina Арина Селетникова] || [https://t.me/sxbntm Алиса Карпинская] || [https://t.me/foma253 Александр Фомин] || [https://t.me/petrovegor2005 Егор Петров] || [https://t.me/grebenchik Варвара Гребенщикова]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="6"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

= Расписание консультаций =

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =

== 2-й модуль ==
Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,35*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,15*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==
Итоговая оценка за 3-4 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,32*Oэкз + 0,23*Oколл + 0,17*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

= Краткое содержание лекций =
== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (3.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1zeSqzJcF9HCsLP8I5_6GDhLON_9Yg-G4/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

'''Лекция 2''' (8.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1ZnXLPHY-U5sm2B7ut3FcEQi5V__P8Cjr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы.

'''Лекция 3''' (15.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1-i_w_8eFOIbocpFwmxKSJwWZKUF-5Zj3/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (29.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1XQ7qsLAgoXZDmLN2O3gq_yo59Dla3EB5/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Определение обратной матрицы. Обратная матрица как решение уравнения AX=E (пока без доказательства). Перестановки на множестве {1,2,...,n}. Инверсии в перестановке. Знак и чётность перестановки.

'''Лекция 5''' (6.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1RXoHKZJFY_Qtb8A4PN9QCc9cwQb_kiaz/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Произведение перестановок. Ассоциативность произведения перестановок. Теорема о знаке произведения перестановок. Тождественная перестановка. Обратная перестановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 6''' (13.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/19Us0dF6pZ5AkIR0JKKcDpnE1zDrOAnGY/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей.

'''Лекция 7''' (20.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1VPnqK-pW7APin5-0Qbf-5mzwGuBMvcJI/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Определитель обратной матрицы. Невырожденные матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости квадратной матрицы. Формулы Крамера.

'''Лекция 8''' (3.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1sTebhBZ3GIvKgrH3W1G2D_0r8DZSlFS1/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра.

'''Лекция 9''' (10.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/12X_M36Jo_SJwWhS4ooh24bNvfJrfJUTH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей. Векторные пространства, примеры. Простейшие следствия из аксиом векторного пространства.

'''Лекция 10''' (17.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1F6qGTlaNaYAFQ61b1xZ3JZubjWLr3gwK/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства. Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

'''Лекция 11''' (24.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1INsbcwSZhW3PsXYPRVfGm9zIbZ3wIGFr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Характеризация базисов в терминах единственности линейного выражения векторов. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

'''Лекция 12''' (1.12.2025). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 13''' (8.12.2025). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

'''Лекция 14''' (15.12.2025). Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому. Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения.

== 3-4 модули ==

'''Лекция 15''' (12.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/14-3xV-Z0GCJrTlPfa3nBX-g1G37aJrw9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Проекция вектора на подпространство вдоль дополнительного подпространства. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств.

'''Лекция 16''' (19.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1LXqyyiV6XxMuWyGdksmppduLcKP5aC9r/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Отображение, обратное к изоморфизму векторных пространств. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Изоморфные векторные пространства. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств. Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры.

'''Лекция 17''' (26.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/145a2hZQXWsvw2pRHXmrk-y-GimaCOvap/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений. Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно умножения на квадратную невырожденную матрицу слева или справа.

'''Лекция 18''' (2.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1E8-poOd9l8Bfy0bs8C42bbkjqHcsM7vb/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры. Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен ровно одному базису исходного пространства. Билинейные формы на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису.

'''Лекция 19''' (9.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1s1tbdpIFbNI1AsOVwAmlzrhPpwcTQgve/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису. Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Теорема о диагонализации симметричной билинейной формы. Симметричные элементарные преобразования квадратной матрицы. Симметричный алгоритм Гаусса. Угловые миноры матрицы. Метод Якоби для симметричных билинейных форм (формулировка).

'''Лекция 20''' (16.02.2026). Доказательство метода Якоби для симметричных билинейных форм. Квадратичные формы на векторном пространстве. Примеры. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции.

'''Лекция 21''' (16.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/19G3HvmxwJKheFzYoat1P2tnh-cetPJd8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Следствие метода Якоби о вычислении индексов инерции квадратичной формы над R. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши–Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства.

'''Лекция 22''' (2.03.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WVcqOhp-LmUxrpKkzHM-X4lnsluoTvyF/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональные векторы. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базис. Координаты вектора в ортогональном (ортонормированном) базисе. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Метод ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные матрицы и их свойства.

'''Лекция 23''' (2.03.2026). Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального (ортонормированного) базиса. Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве. Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Псевдорешение несовместной системы линейных уравнений. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов.

'''Лекция 24''' (16.03.2026). Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства. Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Векторное произведение, его выражение в координатах.

'''Лекция 25''' (23.03.2026). Смешанное произведение трёх векторов, его свойства. Критерий компланарности трёх векторов. Критерий коллинеарности двух векторов в терминах векторного произведения. Геометрические свойства векторного произведения. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии.

'''Лекция 26''' (6.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1gjBdszpSQFx6jx3Fpc9w77ksfvINYX-8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса.

'''Лекция 27''' (13.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1n0YFaR6QHBmQRSE77it93jx69S5f6AQL/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя. Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, согласованном с разложением пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора.

'''Лекция 28''' (20.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1KSkTmOkECufHy_FNQ2Eqi38tMrkAJlUT/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора. Связь между алгебраической и геометрической кратностями собственного значения линейного оператора. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений.

'''Лекция 29''' (27.04.2026). Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве. Отображение, сопряжённое к линейному отображению между двумя евклидовыми пространствами: определение, существование и единственность. Матрица сопряжённого отображения в паре произвольных и паре ортонормированных базисов. Сопряжённый оператор в евклидовом пространстве. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, семь эквивалентных условий.

'''Лекция 30''' (27.04.2026). Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Теорема о сингулярных базисах для линейного отображения евклидовых пространств.

'''Лекция 31''' (18.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1JyR0GgUyc5QRN9G8srWiaLLxdbCCCCKC/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сингулярное разложение матрицы и её сингулярные значения. Усечённое сингулярное разложение матрицы. Представление матрицы в виде суммы компонент ранга 1, связанное с её сингулярным разложением. Фробениусова норма матрицы, её инвариантность относительно умножения на ортогональную матрицу слева или справа. Теорема Эккарта-Янга о низкоранговом приближении.

'''Лекция 32''' (25.05.2026). Прямоугольные декартовы системы координат в евклидовом пространстве. Формулы замены координат при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой. Квадрики (гиперповерхности 2-го порядка) в R^n. Теорема о каноническом виде уравнения квадрики в евклидовом пространстве. Метрическая классификация кривых 2-го порядка в R^2. Метрическая классификация поверхностей 2-го порядка в R^3.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

== 1-2 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1ihV-uQiZP9Fh9G3Sw3-uhX9hidE2xA5KZnWXtdxi3r8/edit?usp=sharing '''ИДЗ-1''']

[https://docs.google.com/document/d/1a9jbUnR4Z7X3JnRFTIIANgZyKBTUawXFk9oXLUMEYaw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1s-YEdgFk-OXKp3PLvZijI9jsOtgguEpTvxb9pFt26yE/edit?usp=sharing '''ИДЗ-3''']

[https://docs.google.com/document/d/1WQE4qZrVatcNPytB4nG1xOYzMB3H7ycKOdB1B139myI/edit?usp=sharing '''ИДЗ-4''']

== 3-4 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1_JHDKX8Sq1iMVCcnpt2lDLIVEdQMuLuhk-p0ghncp9U/edit?usp=sharing '''ИДЗ-5''']

[https://docs.google.com/document/d/14PWMZIQF0lnCNTWFe5Izf3aR0nu40HLgE3bOuz5NWwA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-6''']

[https://docs.google.com/document/d/16zdghtjup8Fqqf6pg8SRXFe9AYKnvhC6WzpVQu9XDOw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-7''']

[https://docs.google.com/document/d/1yjHURRAdZ8ifynzTD-lu0CMUljvdRQoqL6xtExL4nAk/edit?usp=sharing '''ИДЗ-8''']

[https://docs.google.com/document/d/17VGGhZIDKzv9Td_Zg2qim8zu7XPNlDUoHew82AipejA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-9''']

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

[https://docs.google.com/document/d/1k_Wt9P9aISwRhM_0mo4TQ8vHUjrn7N0j/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-1''']

[https://docs.google.com/document/d/11np0omXwFYVmrWuCJXMS9GSrBPBjU-OV/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1qTfG6PqNj1KB_96b2zgUzJhWyGeCXWWE/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-3''']

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата-время: 15 ноября, 15:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1V78nBf6w0Mb_Kz0fI_gETdwgK38DoIAShiVnpQjhHnw/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1Iv2V2flblwWIHQWPKem3SA2QBLA6E5jq/view?usp=sharing '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.
*Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
*Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8–18.11
*Перестановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
*Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
*Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316
Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

== 4-й модуль ==

Дата-время: 18 апреля, 18:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1bYjzRzkDHqGwziLEmBW7IdydmvTdGBipj-b7ayxwt7w/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1wnTJ11B4QIUeSnFxFbcOoLw7BMYOcCXH/view?usp=drive_link '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Задание подпространств системами линейных уравнений: П 1312, 1313, К 35.16

*Матрицы перехода, преобразование координат вектора при замене базиса: П 1280–1283, К 34.10–34.12; задача 2 из ИДЗ-5

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства, разложение в прямую сумму подпространств: П 1317, 1318, 1320–1322; К 35.14, 35.15; задачи 3–5 из ИДЗ-5

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434–1438, 1441–1446, 1449, 1450; К 36.3, 36.4, 39.15, 39.16; задачи 1,2 из ИДЗ-6

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения, приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали: К 39.5; задачи 3,4 из ИДЗ-6

*Линейные функции и двойственные базисы: К 36.9, 36.10; задача 5 из ИДЗ-6

*Билинейные и квадратичные формы, их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10, 38.15, 38.16

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175–1186; К 38.8, 38.18(а–г)

*Исследование квадратичных форм на положительную и отрицательную определённость, а также определение нормального вида в зависимости от значений параметра: П 1212–1216; К 38.11(а–г), 38.14(а,б) + для каждого номера определить нормальный вид квадратичной формы в зависимости от значений параметра

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357–1363; К 43.7(а–г), 43.15(а–в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370–1372; К 43.19(а–в)

*Объём k-мерного параллелепипеда: К 43.36

*Линейные многообразия: П 1374; К 43.21(а–г), 51.7

*Векторное и смешанное произведения в R^3: КК 25.5, 25.7, 25.17, 25.18, 25.24, 25.35–25.38, 25.49, 25.59, 25.61

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28–26.37, 26.39–26.47, 26.50, 27.34, 27.39–27.42, 31.1–31.3, 31.5–31.8, 31.21–31.25, 31.27–31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 31.13–31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 25.58, 32.28–32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38–32.40

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==
Даты: 10 декабря для ЭАД, 13 декабря для ПМИ

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1hFMODfRvZ51zYqkyJi5EKpipO5B613na/view?usp=sharing '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1u61pDMSL-3ImwtjMLNmle3WabfSMsBGd/view?usp=sharing '''Список вопросов на доказательство''']

'''Формат проведения:'''

Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, на написание которых даётся 10 минут, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4-5 вопросами на доказательство. На написание первых двух вопросов даётся 25 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности.

== 4-й модуль ==
Даты: 29-30 мая

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1TOFHODQwiBC8eAZ1RBSjpZ9W9qHXz2ld/view?usp=drive_link '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1oqRbzS_hovcZ6G_BqjLMxKSuaRn01pEc/view?usp=drive_link '''Список вопросов на доказательство''']

= Экзамены =

Формат проведения: письменная работа

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

== 2-й модуль ==

Дата-время: 26 декабря, 9:30

Продолжительность работы: 160 минут (2 часа 40 минут)

[https://drive.google.com/file/d/1Bi3phiOeLa_FwpoQU7DQDQkQL8T69NFF/view?usp=drive_link '''Условия задач с экзамена''']

[https://docs.google.com/document/d/196BdHN84U9suOqvrDva-jh5IebD828wZd385M50vEWE/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению экзамена''']

Материалы для подготовки к экзамену:

I: [https://drive.google.com/file/d/1zxh4S7wGLkrzdn_GL4ujySAgfJXkmadN/view?usp=sharing '''список определений и формулировок''']

II: список задач для подготовки к 1-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 21.9, 22.7
*Линейная зависимость в векторных пространствах: П 639–644, 646–650, 652–655, 1824–1828; К 34.2, 34.3
*Линейные комбинации, линейные оболочки: П 665–669, 679–681 (база = максимальная линейно независимая подсистема)
*Подпространства, базис, размерность: П 1297–1304, 1308, 1310–1313; К 34.14, 35.2, 35.3, 35.7(а,в,г), 35.8, 35.11, 35.16
*Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных экзаменов прошлых лет.

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=798212250#gid=798212250 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1905063984#gid=1905063984 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1143931348#gid=1143931348 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1571389748#gid=1571389748 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1008226585#gid=1008226585 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=196141806#gid=196141806 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2082325635#gid=2082325635 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=141028840#gid=141028840 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1342717045#gid=1342717045 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=183207489#gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2014615374#gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1795822500#gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1130562098#gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2082037908#gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=91924820#gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1290636010#gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=877068035#gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1036271056#gid=1036271056 Э256]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=735451668#gid=735451668 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=669963605#gid=669963605 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1959871710#gid=1959871710 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=103812329#gid=103812329 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=944808823#gid=944808823 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1765292157#gid=1765292157 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=590665666#gid=590665666 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=455919933#gid=455919933 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1889630406#gid=1889630406 Э256]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=495362391#gid=495362391 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1018299486#gid=1018299486 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1364062586#gid=1364062586 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1423608094#gid=1423608094 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=96823731#gid=96823731 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=776758101#gid=776758101 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1608052002#gid=1608052002 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=689894434#gid=689894434 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=331922030#gid=331922030 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 2-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1036271056 Э256]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=306180384 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1788292251 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1130033710 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1074866345 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1715049091 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1626532296 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1671546472 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=981219186 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=490014071 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=34870869 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1156905827 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1829776196 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=548337066 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=771466034 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Hw1QpusUz5nHkgxEr6s78UxnGOIMdikFaQDjY63xlxI/edit?gid=1752006868 Э256]
|}

= Кстати =

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

= Ссылки =

[https://t.me/LA_256_sem Telegram-канал семинаров в группе БПМИ256]

[https://t.me/linal258 Telegram-канал семинаров в группе БПМИ258]

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-27T21:00:02Z

Ravdeev: /* Контрольная работа */

Telegram-канал: [https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn]

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/i_mihanya Михаил Игнатьев] || [https://t.me/Astana_G Дмитрий Гайфулин] || [https://t.me/sgayf Сергей Гайфуллин] || [https://t.me/t1som Алина Никитина] || [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александрóв] || [https://t.me/AlTal Алексей Таламбуца] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/lizkmrv Елизавета Комарова] || [https://t.me/w_wip Максим Грицан] || [https://t.me/vadkam Вадим Камалов] || [https://t.me/shierururu Марина Василькова] || [https://t.me/parsifal45 Данил Лисиенко] || [https://t.me/an_soc София Соленникова] || [https://t.me/repressedd Дамир Хасанов] || [https://t.me/PiP8PoP Полина Литвина] || [https://t.me/ice_fusion Максим Минин] || [https://t.me/cep3au Сергей Зайцев]
|}

= Порядок формирования оценок =

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

Oитоговая = 0,33 * Одз + 0,22*Ок/р + 0,45*Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

[https://drive.google.com/file/d/1H5KJWhhq0WZH7uxwebg0lmlD3ibmD3A-/view?usp=sharing '''Конспект лекций''']

'''Лекция 1''' (1.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1YKZjxhOuTmo7RVpQWG1INGz_BthCf6X9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Циклические группы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы

'''Лекция 2''' (3.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1biOHJcjQVXlFzG0LnQq9xD4YejS7M9sh/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Бинарная операция на множестве смежных классов по нормальной подгруппе

'''Лекция 3''' (8.04.2026). Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры

'''Лекция 4''' (15.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1yMicuzNtBfL_b9YU67Bgzv_CeuOFUi91/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности

'''Лекция 5''' (17.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WGv2WE_HdgOrRDd9WOjXGYJjQPWJOVGa/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы в коммутативном кольце

'''Лекция 6''' (22.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1lfYNhmJ_3q1Yb8Irc2PUXIx2VUcRZCjH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком в кольце K[x]. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении

'''Лекция 7''' (24.04.2026). Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Факторкольцо K[x]/(h). Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем

'''Лекция 8''' (29.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1tPS_edf59FGz7edl3FwLl0C0pC3yakeM/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Базис и размерность факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов

'''Лекция 9''' (13.05.2026). Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях

'''Лекция 10''' (20.05.2026). Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами

'''Лекция 11''' (22.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WIvHMPKbaWmATPPEB3Lh49CxACL7FxCw/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождаемое алгебраическим элементом

'''Лекция 12''' (27.05.2026). Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов

= Листки с задачами =

[https://drive.google.com/file/d/1U88IgabAITYVVFZ7rAmUhpAKveIVIIDa/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 1''']

[https://drive.google.com/file/d/1FKdxx1oTEz7UscP6dBcO-2sz9Q9mxw42/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 2''']

[https://drive.google.com/file/d/11LfEtsh0-YiF_OacBBEo30aJjMDXw-Rr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 3''']

[https://drive.google.com/file/d/14btFb7lAe2YM7NoWmedf4Fo_SsSjDcdJ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 4''']

[https://drive.google.com/file/d/1Vhl9sgQ7miwy9ZcJTHd9bTxF5Llg-b4s/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 5''']

[https://drive.google.com/file/d/1bcBsa4XoEm0oYEsoJS5G81qpg5KizblZ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 6''']

[https://drive.google.com/file/d/1p0zuuMje789FhJggSd9Y2hhzDN79xdPB/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 7''']

[https://drive.google.com/file/d/1fBfmGKC0a_QFSr8lRn0FRUsSWD3OMU8_/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 8''']

[https://drive.google.com/file/d/1cMwu7iVa7CjUA1Kj_gFbB50w5xdA24Cr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 9''']

[https://drive.google.com/file/d/1_7x51e20LBsE9BDbDU6aUoUAeL4LKvMf/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 10''']

[https://drive.google.com/file/d/1b4Qja9plAaRuYT8d8S3G18Z50DBRwFAu/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 11''']

[https://drive.google.com/file/d/1NvzM9rK8SxhKBX45E0okKAwWg-KtmSC-/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 12''']

= Домашние задания =

[https://drive.google.com/file/d/1KCsB-i2zdH5J72G83GmGWXywglwGDEIb/view?usp=drive_link '''ДЗ-1''']

[https://drive.google.com/file/d/1zK-yCdm8CixRUSpttIBIfyjRxv2kCUPq/view?usp=drive_link '''ДЗ-2''']

[https://drive.google.com/file/d/1dQ1v_eEfLgVAwVW5_NTP1HVGgn3BJzoI/view?usp=drive_link '''ДЗ-3''']

[https://drive.google.com/file/d/1EP4kX6HqDf0ExCEBxQ1aZVQGqnqmSd9t/view?usp=drive_link '''ДЗ-4''']

[https://drive.google.com/file/d/1VcIG4pbalXF62m7XoLOfoqs1sgGbJFTd/view?usp=drive_link '''ДЗ-5''']

[https://drive.google.com/file/d/1-xGy82y154SWPBZjYhOjx6oLoUNR2qtY/view?usp=drive_link '''ДЗ-6''']

[https://drive.google.com/file/d/1EgyEDQ1WZWNP5b80L1QdvN4N4Fkoo-Tn/view?usp=drive_link '''ДЗ-7''']

[https://drive.google.com/file/d/1FXZ_GiAUmUi9k6G8PAYkaRDDdOcmokca/view?usp=drive_link '''ДЗ-8''']

= Контрольная работа =

Дата-время: 8 июня, 16:40

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

'''Темы задач на контрольной работе'''

* Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] ("прямая сумма" = "прямое произведение")
* Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, [https://www.dropbox.com/s/6ugc0adjv4pv0h4/Quotients.pdf?dl=0 ещё задачи]]
* Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, [https://www.dropbox.com/s/hc5uz9iiiw201hl/Factorization_examples.pdf?dl=0 ещё примеры]]
* Базисы Грёбнера и их приложения [[https://www.dropbox.com/s/ssubw1mqn3hhqor/GB_examples.pdf?dl=0 примеры], задачи 5,9 из листка 10 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 2,3 из листка 8, задача 1 из ДЗ-6, задачи 4,5 из листка 11 и задача 1 из ДЗ-8]
* Вычисления в конечных полях [[https://www.dropbox.com/s/y8u27gr9kk5nw6b/FF_examples.pdf?dl=0 примеры]]

Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина)

Также стоит обратить внимание на задачи, предлагавшиеся на аналогичных контрольных прошлых лет

= Экзамен =

Формат экзамена: устный

= Ведомости текущего контроля =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=658286564#gid=658286564 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=834516625#gid=834516625 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1692194870#gid=1692194870 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=241205604#gid=241205604 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1651735923#gid=1651735923 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=637903293#gid=637903293 2515]
|}

= Литература =

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988
* И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-27T20:55:20Z

Ravdeev: /* Контрольная работа */

Telegram-канал: [https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn]

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/i_mihanya Михаил Игнатьев] || [https://t.me/Astana_G Дмитрий Гайфулин] || [https://t.me/sgayf Сергей Гайфуллин] || [https://t.me/t1som Алина Никитина] || [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александрóв] || [https://t.me/AlTal Алексей Таламбуца] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/lizkmrv Елизавета Комарова] || [https://t.me/w_wip Максим Грицан] || [https://t.me/vadkam Вадим Камалов] || [https://t.me/shierururu Марина Василькова] || [https://t.me/parsifal45 Данил Лисиенко] || [https://t.me/an_soc София Соленникова] || [https://t.me/repressedd Дамир Хасанов] || [https://t.me/PiP8PoP Полина Литвина] || [https://t.me/ice_fusion Максим Минин] || [https://t.me/cep3au Сергей Зайцев]
|}

= Порядок формирования оценок =

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

Oитоговая = 0,33 * Одз + 0,22*Ок/р + 0,45*Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

[https://drive.google.com/file/d/1H5KJWhhq0WZH7uxwebg0lmlD3ibmD3A-/view?usp=sharing '''Конспект лекций''']

'''Лекция 1''' (1.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1YKZjxhOuTmo7RVpQWG1INGz_BthCf6X9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Циклические группы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы

'''Лекция 2''' (3.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1biOHJcjQVXlFzG0LnQq9xD4YejS7M9sh/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Бинарная операция на множестве смежных классов по нормальной подгруппе

'''Лекция 3''' (8.04.2026). Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры

'''Лекция 4''' (15.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1yMicuzNtBfL_b9YU67Bgzv_CeuOFUi91/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности

'''Лекция 5''' (17.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WGv2WE_HdgOrRDd9WOjXGYJjQPWJOVGa/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы в коммутативном кольце

'''Лекция 6''' (22.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1lfYNhmJ_3q1Yb8Irc2PUXIx2VUcRZCjH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком в кольце K[x]. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении

'''Лекция 7''' (24.04.2026). Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Факторкольцо K[x]/(h). Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем

'''Лекция 8''' (29.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1tPS_edf59FGz7edl3FwLl0C0pC3yakeM/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Базис и размерность факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов

'''Лекция 9''' (13.05.2026). Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях

'''Лекция 10''' (20.05.2026). Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами

'''Лекция 11''' (22.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WIvHMPKbaWmATPPEB3Lh49CxACL7FxCw/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождаемое алгебраическим элементом

'''Лекция 12''' (27.05.2026). Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов

= Листки с задачами =

[https://drive.google.com/file/d/1U88IgabAITYVVFZ7rAmUhpAKveIVIIDa/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 1''']

[https://drive.google.com/file/d/1FKdxx1oTEz7UscP6dBcO-2sz9Q9mxw42/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 2''']

[https://drive.google.com/file/d/11LfEtsh0-YiF_OacBBEo30aJjMDXw-Rr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 3''']

[https://drive.google.com/file/d/14btFb7lAe2YM7NoWmedf4Fo_SsSjDcdJ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 4''']

[https://drive.google.com/file/d/1Vhl9sgQ7miwy9ZcJTHd9bTxF5Llg-b4s/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 5''']

[https://drive.google.com/file/d/1bcBsa4XoEm0oYEsoJS5G81qpg5KizblZ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 6''']

[https://drive.google.com/file/d/1p0zuuMje789FhJggSd9Y2hhzDN79xdPB/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 7''']

[https://drive.google.com/file/d/1fBfmGKC0a_QFSr8lRn0FRUsSWD3OMU8_/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 8''']

[https://drive.google.com/file/d/1cMwu7iVa7CjUA1Kj_gFbB50w5xdA24Cr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 9''']

[https://drive.google.com/file/d/1_7x51e20LBsE9BDbDU6aUoUAeL4LKvMf/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 10''']

[https://drive.google.com/file/d/1b4Qja9plAaRuYT8d8S3G18Z50DBRwFAu/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 11''']

[https://drive.google.com/file/d/1NvzM9rK8SxhKBX45E0okKAwWg-KtmSC-/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 12''']

= Домашние задания =

[https://drive.google.com/file/d/1KCsB-i2zdH5J72G83GmGWXywglwGDEIb/view?usp=drive_link '''ДЗ-1''']

[https://drive.google.com/file/d/1zK-yCdm8CixRUSpttIBIfyjRxv2kCUPq/view?usp=drive_link '''ДЗ-2''']

[https://drive.google.com/file/d/1dQ1v_eEfLgVAwVW5_NTP1HVGgn3BJzoI/view?usp=drive_link '''ДЗ-3''']

[https://drive.google.com/file/d/1EP4kX6HqDf0ExCEBxQ1aZVQGqnqmSd9t/view?usp=drive_link '''ДЗ-4''']

[https://drive.google.com/file/d/1VcIG4pbalXF62m7XoLOfoqs1sgGbJFTd/view?usp=drive_link '''ДЗ-5''']

[https://drive.google.com/file/d/1-xGy82y154SWPBZjYhOjx6oLoUNR2qtY/view?usp=drive_link '''ДЗ-6''']

[https://drive.google.com/file/d/1EgyEDQ1WZWNP5b80L1QdvN4N4Fkoo-Tn/view?usp=drive_link '''ДЗ-7''']

[https://drive.google.com/file/d/1FXZ_GiAUmUi9k6G8PAYkaRDDdOcmokca/view?usp=drive_link '''ДЗ-8''']

= Контрольная работа =

Дата-время: 8 июня, 16:30

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

'''Темы задач на контрольной работе'''

* Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] ("прямая сумма" = "прямое произведение")
* Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, [https://www.dropbox.com/s/6ugc0adjv4pv0h4/Quotients.pdf?dl=0 ещё задачи]]
* Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, [https://www.dropbox.com/s/hc5uz9iiiw201hl/Factorization_examples.pdf?dl=0 ещё примеры]]
* Базисы Грёбнера и их приложения [[https://www.dropbox.com/s/ssubw1mqn3hhqor/GB_examples.pdf?dl=0 примеры], задачи 5,9 из листка 10 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 2,3 из листка 8, задача 1 из ДЗ-6, задачи 4,5 из листка 11 и задача 1 из ДЗ-8]
* Вычисления в конечных полях [[https://www.dropbox.com/s/y8u27gr9kk5nw6b/FF_examples.pdf?dl=0 примеры]]

Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина)

Также стоит обратить внимание на задачи, предлагавшиеся на аналогичных контрольных прошлых лет

= Экзамен =

Формат экзамена: устный

= Ведомости текущего контроля =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=658286564#gid=658286564 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=834516625#gid=834516625 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1692194870#gid=1692194870 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=241205604#gid=241205604 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1651735923#gid=1651735923 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=637903293#gid=637903293 2515]
|}

= Литература =

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988
* И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-27T20:52:56Z

Ravdeev: /* Краткое содержание лекций */

Telegram-канал: [https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn]

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/i_mihanya Михаил Игнатьев] || [https://t.me/Astana_G Дмитрий Гайфулин] || [https://t.me/sgayf Сергей Гайфуллин] || [https://t.me/t1som Алина Никитина] || [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александрóв] || [https://t.me/AlTal Алексей Таламбуца] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/lizkmrv Елизавета Комарова] || [https://t.me/w_wip Максим Грицан] || [https://t.me/vadkam Вадим Камалов] || [https://t.me/shierururu Марина Василькова] || [https://t.me/parsifal45 Данил Лисиенко] || [https://t.me/an_soc София Соленникова] || [https://t.me/repressedd Дамир Хасанов] || [https://t.me/PiP8PoP Полина Литвина] || [https://t.me/ice_fusion Максим Минин] || [https://t.me/cep3au Сергей Зайцев]
|}

= Порядок формирования оценок =

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

Oитоговая = 0,33 * Одз + 0,22*Ок/р + 0,45*Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

[https://drive.google.com/file/d/1H5KJWhhq0WZH7uxwebg0lmlD3ibmD3A-/view?usp=sharing '''Конспект лекций''']

'''Лекция 1''' (1.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1YKZjxhOuTmo7RVpQWG1INGz_BthCf6X9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Циклические группы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы

'''Лекция 2''' (3.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1biOHJcjQVXlFzG0LnQq9xD4YejS7M9sh/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Бинарная операция на множестве смежных классов по нормальной подгруппе

'''Лекция 3''' (8.04.2026). Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры

'''Лекция 4''' (15.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1yMicuzNtBfL_b9YU67Bgzv_CeuOFUi91/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности

'''Лекция 5''' (17.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WGv2WE_HdgOrRDd9WOjXGYJjQPWJOVGa/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы в коммутативном кольце

'''Лекция 6''' (22.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1lfYNhmJ_3q1Yb8Irc2PUXIx2VUcRZCjH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком в кольце K[x]. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении

'''Лекция 7''' (24.04.2026). Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Факторкольцо K[x]/(h). Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем

'''Лекция 8''' (29.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1tPS_edf59FGz7edl3FwLl0C0pC3yakeM/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Базис и размерность факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов

'''Лекция 9''' (13.05.2026). Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях

'''Лекция 10''' (20.05.2026). Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами

'''Лекция 11''' (22.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WIvHMPKbaWmATPPEB3Lh49CxACL7FxCw/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождаемое алгебраическим элементом

'''Лекция 12''' (27.05.2026). Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов

= Листки с задачами =

[https://drive.google.com/file/d/1U88IgabAITYVVFZ7rAmUhpAKveIVIIDa/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 1''']

[https://drive.google.com/file/d/1FKdxx1oTEz7UscP6dBcO-2sz9Q9mxw42/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 2''']

[https://drive.google.com/file/d/11LfEtsh0-YiF_OacBBEo30aJjMDXw-Rr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 3''']

[https://drive.google.com/file/d/14btFb7lAe2YM7NoWmedf4Fo_SsSjDcdJ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 4''']

[https://drive.google.com/file/d/1Vhl9sgQ7miwy9ZcJTHd9bTxF5Llg-b4s/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 5''']

[https://drive.google.com/file/d/1bcBsa4XoEm0oYEsoJS5G81qpg5KizblZ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 6''']

[https://drive.google.com/file/d/1p0zuuMje789FhJggSd9Y2hhzDN79xdPB/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 7''']

[https://drive.google.com/file/d/1fBfmGKC0a_QFSr8lRn0FRUsSWD3OMU8_/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 8''']

[https://drive.google.com/file/d/1cMwu7iVa7CjUA1Kj_gFbB50w5xdA24Cr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 9''']

[https://drive.google.com/file/d/1_7x51e20LBsE9BDbDU6aUoUAeL4LKvMf/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 10''']

[https://drive.google.com/file/d/1b4Qja9plAaRuYT8d8S3G18Z50DBRwFAu/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 11''']

[https://drive.google.com/file/d/1NvzM9rK8SxhKBX45E0okKAwWg-KtmSC-/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 12''']

= Домашние задания =

[https://drive.google.com/file/d/1KCsB-i2zdH5J72G83GmGWXywglwGDEIb/view?usp=drive_link '''ДЗ-1''']

[https://drive.google.com/file/d/1zK-yCdm8CixRUSpttIBIfyjRxv2kCUPq/view?usp=drive_link '''ДЗ-2''']

[https://drive.google.com/file/d/1dQ1v_eEfLgVAwVW5_NTP1HVGgn3BJzoI/view?usp=drive_link '''ДЗ-3''']

[https://drive.google.com/file/d/1EP4kX6HqDf0ExCEBxQ1aZVQGqnqmSd9t/view?usp=drive_link '''ДЗ-4''']

[https://drive.google.com/file/d/1VcIG4pbalXF62m7XoLOfoqs1sgGbJFTd/view?usp=drive_link '''ДЗ-5''']

[https://drive.google.com/file/d/1-xGy82y154SWPBZjYhOjx6oLoUNR2qtY/view?usp=drive_link '''ДЗ-6''']

[https://drive.google.com/file/d/1EgyEDQ1WZWNP5b80L1QdvN4N4Fkoo-Tn/view?usp=drive_link '''ДЗ-7''']

[https://drive.google.com/file/d/1FXZ_GiAUmUi9k6G8PAYkaRDDdOcmokca/view?usp=drive_link '''ДЗ-8''']

= Контрольная работа =

Дата-время: 8 июня, 16:30

= Экзамен =

Формат экзамена: устный

= Ведомости текущего контроля =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=658286564#gid=658286564 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=834516625#gid=834516625 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1692194870#gid=1692194870 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=241205604#gid=241205604 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1651735923#gid=1651735923 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=637903293#gid=637903293 2515]
|}

= Литература =

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988
* И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-27T20:51:47Z

Ravdeev: /* Краткое содержание лекций */

Telegram-канал: [https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn]

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/i_mihanya Михаил Игнатьев] || [https://t.me/Astana_G Дмитрий Гайфулин] || [https://t.me/sgayf Сергей Гайфуллин] || [https://t.me/t1som Алина Никитина] || [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александрóв] || [https://t.me/AlTal Алексей Таламбуца] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/lizkmrv Елизавета Комарова] || [https://t.me/w_wip Максим Грицан] || [https://t.me/vadkam Вадим Камалов] || [https://t.me/shierururu Марина Василькова] || [https://t.me/parsifal45 Данил Лисиенко] || [https://t.me/an_soc София Соленникова] || [https://t.me/repressedd Дамир Хасанов] || [https://t.me/PiP8PoP Полина Литвина] || [https://t.me/ice_fusion Максим Минин] || [https://t.me/cep3au Сергей Зайцев]
|}

= Порядок формирования оценок =

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

Oитоговая = 0,33 * Одз + 0,22*Ок/р + 0,45*Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

[https://drive.google.com/file/d/1H5KJWhhq0WZH7uxwebg0lmlD3ibmD3A-/view?usp=sharing '''Конспект лекций''']

'''Лекция 1''' (1.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1YKZjxhOuTmo7RVpQWG1INGz_BthCf6X9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Циклические группы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы

'''Лекция 2''' (3.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1biOHJcjQVXlFzG0LnQq9xD4YejS7M9sh/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Бинарная операция на множестве смежных классов по нормальной подгруппе

'''Лекция 3''' (8.04.2026). Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры

'''Лекция 4''' (15.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1yMicuzNtBfL_b9YU67Bgzv_CeuOFUi91/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности

'''Лекция 5''' (17.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WGv2WE_HdgOrRDd9WOjXGYJjQPWJOVGa/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы в коммутативном кольце

'''Лекция 6''' (22.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1lfYNhmJ_3q1Yb8Irc2PUXIx2VUcRZCjH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком в кольце K[x]. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении

'''Лекция 7''' (24.04.2026). Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Факторкольцо K[x]/(h). Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем

'''Лекция 8''' (29.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1tPS_edf59FGz7edl3FwLl0C0pC3yakeM/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Базис и размерность факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов

'''Лекция 9''' (13.05.2026). Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях

'''Лекция 10''' (20.05.2026). Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами

'''Лекция 11''' (22.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WIvHMPKbaWmATPPEB3Lh49CxACL7FxCw/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождаемое алгебраическим элементом

'''Лекция 12''' (20.05.2026). Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов

= Листки с задачами =

[https://drive.google.com/file/d/1U88IgabAITYVVFZ7rAmUhpAKveIVIIDa/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 1''']

[https://drive.google.com/file/d/1FKdxx1oTEz7UscP6dBcO-2sz9Q9mxw42/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 2''']

[https://drive.google.com/file/d/11LfEtsh0-YiF_OacBBEo30aJjMDXw-Rr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 3''']

[https://drive.google.com/file/d/14btFb7lAe2YM7NoWmedf4Fo_SsSjDcdJ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 4''']

[https://drive.google.com/file/d/1Vhl9sgQ7miwy9ZcJTHd9bTxF5Llg-b4s/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 5''']

[https://drive.google.com/file/d/1bcBsa4XoEm0oYEsoJS5G81qpg5KizblZ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 6''']

[https://drive.google.com/file/d/1p0zuuMje789FhJggSd9Y2hhzDN79xdPB/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 7''']

[https://drive.google.com/file/d/1fBfmGKC0a_QFSr8lRn0FRUsSWD3OMU8_/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 8''']

[https://drive.google.com/file/d/1cMwu7iVa7CjUA1Kj_gFbB50w5xdA24Cr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 9''']

[https://drive.google.com/file/d/1_7x51e20LBsE9BDbDU6aUoUAeL4LKvMf/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 10''']

[https://drive.google.com/file/d/1b4Qja9plAaRuYT8d8S3G18Z50DBRwFAu/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 11''']

[https://drive.google.com/file/d/1NvzM9rK8SxhKBX45E0okKAwWg-KtmSC-/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 12''']

= Домашние задания =

[https://drive.google.com/file/d/1KCsB-i2zdH5J72G83GmGWXywglwGDEIb/view?usp=drive_link '''ДЗ-1''']

[https://drive.google.com/file/d/1zK-yCdm8CixRUSpttIBIfyjRxv2kCUPq/view?usp=drive_link '''ДЗ-2''']

[https://drive.google.com/file/d/1dQ1v_eEfLgVAwVW5_NTP1HVGgn3BJzoI/view?usp=drive_link '''ДЗ-3''']

[https://drive.google.com/file/d/1EP4kX6HqDf0ExCEBxQ1aZVQGqnqmSd9t/view?usp=drive_link '''ДЗ-4''']

[https://drive.google.com/file/d/1VcIG4pbalXF62m7XoLOfoqs1sgGbJFTd/view?usp=drive_link '''ДЗ-5''']

[https://drive.google.com/file/d/1-xGy82y154SWPBZjYhOjx6oLoUNR2qtY/view?usp=drive_link '''ДЗ-6''']

[https://drive.google.com/file/d/1EgyEDQ1WZWNP5b80L1QdvN4N4Fkoo-Tn/view?usp=drive_link '''ДЗ-7''']

[https://drive.google.com/file/d/1FXZ_GiAUmUi9k6G8PAYkaRDDdOcmokca/view?usp=drive_link '''ДЗ-8''']

= Контрольная работа =

Дата-время: 8 июня, 16:30

= Экзамен =

Формат экзамена: устный

= Ведомости текущего контроля =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=658286564#gid=658286564 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=834516625#gid=834516625 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1692194870#gid=1692194870 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=241205604#gid=241205604 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1651735923#gid=1651735923 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=637903293#gid=637903293 2515]
|}

= Литература =

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988
* И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-27T20:50:07Z

Ravdeev: /* Домашние задания */

Telegram-канал: [https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn https://t.me/Alg_25_26_AMI_osn]

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/i_mihanya Михаил Игнатьев] || [https://t.me/Astana_G Дмитрий Гайфулин] || [https://t.me/sgayf Сергей Гайфуллин] || [https://t.me/t1som Алина Никитина] || [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александрóв] || [https://t.me/AlTal Алексей Таламбуца] || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/lizkmrv Елизавета Комарова] || [https://t.me/w_wip Максим Грицан] || [https://t.me/vadkam Вадим Камалов] || [https://t.me/shierururu Марина Василькова] || [https://t.me/parsifal45 Данил Лисиенко] || [https://t.me/an_soc София Соленникова] || [https://t.me/repressedd Дамир Хасанов] || [https://t.me/PiP8PoP Полина Литвина] || [https://t.me/ice_fusion Максим Минин] || [https://t.me/cep3au Сергей Зайцев]
|}

= Порядок формирования оценок =

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

Oитоговая = 0,33 * Одз + 0,22*Ок/р + 0,45*Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

[https://drive.google.com/file/d/1H5KJWhhq0WZH7uxwebg0lmlD3ibmD3A-/view?usp=sharing '''Конспект лекций''']

'''Лекция 1''' (1.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1YKZjxhOuTmo7RVpQWG1INGz_BthCf6X9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Циклические группы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы

'''Лекция 2''' (3.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1biOHJcjQVXlFzG0LnQq9xD4YejS7M9sh/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Бинарная операция на множестве смежных классов по нормальной подгруппе

'''Лекция 3''' (8.04.2026). Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры

'''Лекция 4''' (15.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1yMicuzNtBfL_b9YU67Bgzv_CeuOFUi91/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности

'''Лекция 5''' (17.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WGv2WE_HdgOrRDd9WOjXGYJjQPWJOVGa/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце. Главные идеалы в коммутативном кольце

'''Лекция 6''' (22.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1lfYNhmJ_3q1Yb8Irc2PUXIx2VUcRZCjH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком в кольце K[x]. Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении

'''Лекция 7''' (24.04.2026). Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Факторкольцо K[x]/(h). Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем

'''Лекция 8''' (29.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1tPS_edf59FGz7edl3FwLl0C0pC3yakeM/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Базис и размерность факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов

'''Лекция 9''' (13.05.2026). Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях

'''Лекция 10''' (20.05.2026). Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами

'''Лекция 11''' (22.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WIvHMPKbaWmATPPEB3Lh49CxACL7FxCw/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождаемое алгебраическим элементом

= Листки с задачами =

[https://drive.google.com/file/d/1U88IgabAITYVVFZ7rAmUhpAKveIVIIDa/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 1''']

[https://drive.google.com/file/d/1FKdxx1oTEz7UscP6dBcO-2sz9Q9mxw42/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 2''']

[https://drive.google.com/file/d/11LfEtsh0-YiF_OacBBEo30aJjMDXw-Rr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 3''']

[https://drive.google.com/file/d/14btFb7lAe2YM7NoWmedf4Fo_SsSjDcdJ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 4''']

[https://drive.google.com/file/d/1Vhl9sgQ7miwy9ZcJTHd9bTxF5Llg-b4s/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 5''']

[https://drive.google.com/file/d/1bcBsa4XoEm0oYEsoJS5G81qpg5KizblZ/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 6''']

[https://drive.google.com/file/d/1p0zuuMje789FhJggSd9Y2hhzDN79xdPB/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 7''']

[https://drive.google.com/file/d/1fBfmGKC0a_QFSr8lRn0FRUsSWD3OMU8_/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 8''']

[https://drive.google.com/file/d/1cMwu7iVa7CjUA1Kj_gFbB50w5xdA24Cr/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 9''']

[https://drive.google.com/file/d/1_7x51e20LBsE9BDbDU6aUoUAeL4LKvMf/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 10''']

[https://drive.google.com/file/d/1b4Qja9plAaRuYT8d8S3G18Z50DBRwFAu/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 11''']

[https://drive.google.com/file/d/1NvzM9rK8SxhKBX45E0okKAwWg-KtmSC-/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 12''']

= Домашние задания =

[https://drive.google.com/file/d/1KCsB-i2zdH5J72G83GmGWXywglwGDEIb/view?usp=drive_link '''ДЗ-1''']

[https://drive.google.com/file/d/1zK-yCdm8CixRUSpttIBIfyjRxv2kCUPq/view?usp=drive_link '''ДЗ-2''']

[https://drive.google.com/file/d/1dQ1v_eEfLgVAwVW5_NTP1HVGgn3BJzoI/view?usp=drive_link '''ДЗ-3''']

[https://drive.google.com/file/d/1EP4kX6HqDf0ExCEBxQ1aZVQGqnqmSd9t/view?usp=drive_link '''ДЗ-4''']

[https://drive.google.com/file/d/1VcIG4pbalXF62m7XoLOfoqs1sgGbJFTd/view?usp=drive_link '''ДЗ-5''']

[https://drive.google.com/file/d/1-xGy82y154SWPBZjYhOjx6oLoUNR2qtY/view?usp=drive_link '''ДЗ-6''']

[https://drive.google.com/file/d/1EgyEDQ1WZWNP5b80L1QdvN4N4Fkoo-Tn/view?usp=drive_link '''ДЗ-7''']

[https://drive.google.com/file/d/1FXZ_GiAUmUi9k6G8PAYkaRDDdOcmokca/view?usp=drive_link '''ДЗ-8''']

= Контрольная работа =

Дата-время: 8 июня, 16:30

= Экзамен =

Формат экзамена: устный

= Ведомости текущего контроля =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=658286564#gid=658286564 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=834516625#gid=834516625 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1692194870#gid=1692194870 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=241205604#gid=241205604 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1651735923#gid=1651735923 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=637903293#gid=637903293 2515]
|}

= Литература =

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988
* И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-27T20:48:40Z

Ravdeev: /* Листки с задачами */

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (пилотный поток)

2026-05-25T17:52:51Z

Ravdeev: /* 3-4 модули */

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/305113883 Екатерина Нистюк] || [https://www.hse.ru/org/persons/304055991 Юля Зайцева] || [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/350789943 Антон Трушин] || [https://www.hse.ru/org/persons/350789943 Антон Трушин] || [https://www.hse.ru/org/persons/856267465/ Михаил Игнатьев]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/evisqq Хаким Вердиев] и [https://t.me/kalDima1218 Дмитрий Калугин] || [https://t.me/fynjybath Антон Ныйкин] и [https://t.me/thisariv Вова Родин] || [https://t.me/op_invalid Михаил Бугрышев] и [https://t.me/Semi4 Андрей Павлов] || [https://t.me/bibihoya Юлия Баранова] и [https://t.me/katyatyurr Катя Тюрина] || [https://t.me/elizazh Елизавета Жукова] и [https://t.me/olimpiadnyikomik Анастасия Одинцова]
|}

= Расписание консультаций =

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница !! суббота !! воскресенье
|-
| <center>1</center> || Дима Трушин || || || pending || || || ||
|-
| <center>2</center> || Юля Зайцева || || || || || || ||
|-
| <center>3</center> || Михаил Игнатьев || || || || || || ||
|-
| <center>4</center> || Антон Трушин || || || || || || ||
|}

* Просьба предупреждать, если планируете прийти, возможны изменения

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус к накопленной оценке:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =
== 2-й модуль ==

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

'''Итоговая оценка за курс -- оценка за 4-ый модуль.'''

= Краткое содержание лекций =

== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (03.09.2025). Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса. Матрицы и матричные операции.

'''Лекция 2''' (10.09.2025). Дефекты матричных операций. Связь с линейными уравнениями. Деление и обратимость матриц. Левая и правая обратная, двусторонняя обратимость только для квадратных матриц. Матрицы элементарных преобразований. Невырожденность матриц: 6 эквивалентных определений.

'''Лекция 3''' (17.09.2025) Следствия 6 эквивалентных определений. Массовое решение систем. Поиск обратной матрицы Гауссом. Блочные формулы умножения матриц. Метод восстановления главных переменных через множество решений. Единственность улучшенного ступенчатого вида матрицы. Классификация систем с одинаковым множеством решений.

'''Лекция 4''' (24.09.2024) Полиномиальное исчисление от матриц. Существование многочлена зануляющего матрицу. Спектр матрицы. Минимальный многочлен и его связь со спектром. Наивная оценка на степень минимального многочлена.

'''Лекция 5''' (01.10.2025) Перестановки. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки. Существование и единственность знака перестановки.

'''Лекция 6''' (08.10.2025) Три подхода к определителям: (I) явная формула с помощью перестановок, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) согласованность с умножением. Вычисление по явной формуле для верхнетреугольных матриц и в случае размерностей 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Полилинейность определителя (импликация (I)=>(II)). Определитель элементарных матриц. Классификация полилинейных отображений. Доказательство импликации (II)=>(I).

'''Лекция 7''' (15.10.2025) Мультипликативность определителя (импликация (II)=>(III)), определитель с углом нулей и определитель блочно верхнетреугольной матрицы. Импликация (III)=>(I). Миноры и алгебраические дополнения, присоединенная матрица. Разложение определителя по строке или столбцу. Явные формулы для обратной матрицы.

'''Лекция 8''' (22.10.2025) Формулы Крамера. Характеристический многочлен. Связь характеристического многочлена со спектром. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли.

'''Лекция 9''' (5.11.2025) Определение поля. Определение подполя и изоморфизма полей, изоморфизм над подполем. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Различные операции на комплексных числах, геометрическая модель. План доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

'''Лекция 10''' (12.11.2025) Доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

'''Лекция 11''' (19.11.2025) Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость. Примеры пространств и подпространств. Порождающая система, линейная оболочка.

'''Лекция 12''' (26.11.2025) Три эквивалентных определения базиса. Понятие размерности. Конечномерные векторные пространства. Понятие координат вектора. Описание всех базисов в терминах одного.

'''Лекция 13''' (3.12.2025) Фундаментальная система решений. Пять определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Неизменность первых четырех рангов при домножении на обратимую матрицу слева и справа и их совпадение. Совпадение минорного ранга с остальными.

'''Лекция 14''' (10.12.2025) Линейные отображения, примеры. Изоморфизмы. Операции на линейных отображениях, структура векторного пространства. Критерий существования линейного отображения в терминах базиса, критерий изоморфности векторных пространств. Матрица линейного отображения и ее связь с операциями на линейных отображениях. Замена матрицы линейного отображения при смене базисов. Образ и ядро. Критерий инъективности и сюръективности в их терминах.

'''Лекция 15''' (17.12.2025) Оценка ранга произведения матриц. Связь размерности ядра и образа линейного отображения. Классификация линейных отображений. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей. Линейная независимость подрпостранств. Внешние и внутренние прямые суммы (6 эквивалентных определений).

== 3-4 модули ==

'''Лекция 16''' (14.01.2026). Линейные операторы, определения и примеры, проекторы. Матрица линейного оператора, смена матрицы при замене базиса. Характеристики линейного оператора: след, определитель, характеристический многочлен, минимальный многочлен, спектр, ранг. Критерии обратимости линейного оператора.

'''Лекция 17''' (21.01.2026). Инвариантные подпространства и связь с углом нулей. Инвариантность ядра и образа относительно коммутирующего оператора. Собственные подпространства. Связь собственных значений со спектром. Корневые подпространства. Лемма о стабилизации образа и ядра степени линейного оператора.

'''Лекция 18''' (28.01.2026). Кратность собственных значений. Существование ненулевого собственного вектора над алгебраически замкнутым полем. Линейная независимость собственных и корневых подпространств. Критерий диагонализуемости линейного оператора.

'''Лекция 19''' (4.02.2026). Свойства ограничения оператора. Приведение к верхнетреугольному виду матрицы оператора. Утверждение о подстановке оператора во взаимно простые многочлены. Теорема о разложении через зануляющий многочлен. Разложение пространства в прямую сумму корневых. Описание инвариантных подпространств.

'''Лекция 20''' (11.02.2026). Идеальный спектр и его описание в терминах минимального многочлена, в терминах характеристического многочлена (БД). Обобщение корневых и собственных подпространств на идеальный спектр. Минимальные инвариантные подпространства в собственном подпространстве для идеального спектра.

'''Лекция 21''' (18.02.2026). Отношение равенства по модулю подпространства. Линейная независимость, порождающие и базис по модулю подпространства (определения и критерии). Определение жорданова базиса и жордановой нормальной формы (ЖНФ). Теорема о ЖНФ для нильпотентных операторов: единственность и формула для количества клеток.

'''Лекция 22''' (25.02.2026). Теорема о ЖНФ для произвольного оператора: существование и единственность. Классификация линейных операторов. Функционалы: двойственное (сопряжённое) пространство с примерами. Понятие о двойственном базисе. Связь размерности пространства и его двойственного.

'''Лекция 23''' (4.03.2026). Наличие функционала, не равного нулю на заданном векторе. Векторы -- это функции на функциях, изоморфизм векторного пространства на своё второе сопряжённое. Конструкция сопряжённого линейного отображения. Матрица сопряжённого линейного отображения в двойственном базисе. Согласованность изоморфизма векторного пространства с вторым сопряжённым и конструкции сопряжённого линейного отображения.

'''Лекция 24''' (11.03.2026). Билинейные формы, примеры, естественная билинейная форма между пространством и сопряжённым. Матрица билинейной формы. Конструирование билинейных форм по значениям на паре базисов. Смена матрицы билинейной формы. Билинейные формы и матричный формализм. Ранг билинейной формы. Левые и правые ортогональные дополнения, ядра формы, невырожденность в терминах ядра. Связь ранга с размерностями ядер.

'''Лекция 25''' (18.03.2026). Двойственность для подпространств относительно невырожденной билинейной формы. Двойственность для линейных отображений (альтернатива Фредгольма). Связь инвариантности подпространств для линейного оператора и сопряжённого к нему. Билинейные формы на одном пространстве. Симметричность и кососимметричность формы. Замечание про поле характеристики 2.

'''Лекция 26''' (1.04.2026). Матрицы симметричных и кососимметричных билинейных форм. Матричные характеристики билинейных форм. Разложение любой билинейной формы (на одном пространстве при обратимости двойки в поле) в сумму симметрической и кососимметрической. Ограничение билинейной формы на подпространство. Невырожденность ограничения. Диагонализуемость симметрических форм (замечание про характеристику 2). Симметричный Гаусс.

'''Лекция 27''' (8.04.2026). Метод Якоби. Алгоритм диагонализации на основе метода Якоби. Квадратичные формы. Связь квадратичных и билинейных форм. Классификация симметричных билинейных форм над алгебраически замкнутым полем. Классификация симметричных билинейных форм над полем вещественных чисел и сигнатура.

'''Лекция 28''' (15.04.2026). Геометрический смысл сигнатуры. Положительная и отрицательная определённость формы над полем вещественных чисел. Критерий Сильвестра. Графики квадратичных форм. Анализ поверхности. Евклидовы пространства и скалярные произведения. Понятие длины вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла в евклидовом пространстве. Классификация евклидовых пространств. Ортогональные и ортонормированные базисы. Ортогонализация Грама-Шмидта.

'''Лекция 29''' (21.04.2026). Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. Формула BABA для проектора. Формула Aтата для ортопроектора. Формула для ортогональной проекции в терминах ортогонального базиса подпространства. Расстояние в евклидовом пространстве. Утверждение о расстоянии и угле между вектором и подпространством. Метод наименьших квадратов.

'''Лекция 30''' (28.04.2026). Классификация ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса. Ортогональные матрицы. Теорема Пифагора. Матрица Грама и её свойства. k-мерные объёмы через матрицу Грама и рекуррентная формула. Изменение объёма при смене образующих параллелепипеда и при действии линейного оператора. Понятие ориентации в евклидовом пространстве. Ориентированный n-мерный объём.

'''Лекция 31''' (12.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1d0L4aCJgJxssURoVq3zsQSdbUpgCBnZp/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Изменение ориентированного объёма при смене образующих параллелепипеда. Связь ориентированного объёма с определителем. Изменение ориентированного объёма под действием оператора. Комплексные векторные пространства. Полуторалинейные формы, матрица полуторалинейной формы и формула её изменения при смене базиса. Эрмитово сопряжение матрицы. Ортогональные дополнения. Квадратичные формы для полуторалинейных форм. Поляризационная формула. Соответствие между полуторалинейными формами и квадратичными формами. Эрмитовы и косоэрмитовы формы, интерпретация этих свойств в терминах матриц. Вещественность значений квадратичной формы для эрмитовой полуторалинейной формы. Диагонализация эрмитовых и косоэрмитовых форм. Классификация эрмитовых форм. Положительная и отрицательная определённость эрмитовых форм. Метод Якоби. Критерий Сильвестра.

'''Лекция 32''' (18.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/18_R70_zPpkb62JywzWbkxS0D3zcuyAhz/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Эрмитово векторное пространство и эрмитово скалярное произведение. Понятие длины вектора, неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла между прямыми. Ортогональность и ортонормированность. Классификация ортонормированных базисов в терминах одного и матриц перехода. Унитарные матрицы. Классификация эрмитовых пространств. Ортогональные проекции, расстояния, метод наименьших квадратов, матрица Грама. Комплексификация векторного пространства, его базис и размерность. Комплексификация линейного отображения и билинейной формы, их матрицы. Операторы в евклидовом и эрмитовом пространствах. Движения, различные определения, описание движений с помощью матриц.

'''Лекция 33''' (25.05.2026). Свойства движений: спектр на окружности, ортогональность собственных подпространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству. Классификация движений в эрмитовом случае (диагонализуемость в ортонормированном базисе плюс спектр на окружности). Классификация движений в евклидовом случае (блочная диагонализуемость специального вида в ортонормированном базисе). Сопряжённое линейное отображение и его матрица. Сопряжённые и самосопряжённые операторы. Матрица самосопряжённого оператора. Свойства самосопряжённого оператора: вещественный непустой спектр, ортогональность собственных подпространств, инвариантность ортогонального дополнения к инвариантному подпространству.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с основного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка до 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата контрольной работы -- 13 декабря. Время и правила проведения контрольной TBA.

== 4-й модуль ==

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==

Дата проведения коллоквиума -- 19 декабря. Точные условия и правила TBA.

== 4-й модуль ==

= Экзамен =

== 2-й модуль ==

== 4-й модуль ==

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1174728025#gid=1174728025 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1318652803#gid=1318652803 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=677514736#gid=677514736 255]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1995105946#gid=1995105946 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1174728025#gid=1174728025 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1318652803#gid=1318652803 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=677514736#gid=677514736 255]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

= Ссылки =

* Общие

# [https://t.me/+HFM6V67xD285ZThi Канал] в Telegram
# [https://github.com/DimaTrushin/LinearAlgebra Лекции] на github.
# [https://github.com/DimaTrushin/LinearAlgebraAlgorithms Алгоритмы] на github.

* Группы 251 и 253

# [https://t.me/+RVTRVbj6wlsxYmEy Группа] в Telegram
# [https://disk.yandex.ru/d/U10JdTvXCFR3Dg Материалы] семинаров и домашние задания

= Литература =

== Учебники ==

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* S. Axler. Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997 (или любое последующее издание)

== Сборники задач ==

* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-25T16:24:16Z

Ravdeev: /* Лабораторные работы */

Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"

Telegram-канал: https://t.me/LA_25_AMI_osn_EDA

= Преподаватели и учебные ассистенты =

Обратите внимание, что учебный ассистент1 отвечает за регулярные домашние задания, а учебный ассистент2 -- за большие домашние задания.

== Основной поток ПМИ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/yzaitseva Юлия Зайцева] || [https://t.me/VVKikteva Вероника Киктева] || [https://t.me/iamilyaboldyrev Илья Болдырев] || [https://t.me/the_Man_of_Spade Виктор Лопаткин] ||colspan="2"| [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/aperep Александр Перепечко] || [https://t.me/Vitalique_Iudelevich Виталий Юделевич] || [https://t.me/t1som Алина Никитина]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/The_best_cat_okk Михаил Фомичев] || [https://t.me/its_me_arlek1n0 Виктор Васильев] || [https://t.me/iraayugay Ирина Югай] || [https://t.me/dzagonov Дмитрий Загонов] || [https://t.me/denkruuk Денис Круковер] || [https://t.me/Ne_klumaks Вячеслав Газизов] || [https://t.me/karbarkarrr Варвара Сажина] || [https://t.me/Anilaniklot Илья Кравчук] || [https://t.me/lesha_hse Алексей Веляев] || [https://t.me/ilmsomuch Артём Кузнецов]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/oretskiy_greshok Анастасия Козлова] || [https://t.me/psinapsinovna Дарья Храмова] || [https://t.me/tr1pl3d0ttt Даниил Гузь] || [https://t.me/poltorq Яна Босякова] || [https://t.me/Ivan_Ovs Иван Овсянников] || [https://t.me/morz24 Алексей Токарев] || [https://t.me/Kkicune Алина Бариева] || [https://t.me/ullmrv Юлия Муравьёва] || [https://t.me/katkaeva Айса Каткаева] || [https://t.me/artyom_kotov04 Артём Абросимов]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="10"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

== Поток ЭАД ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БЭАД251 !! БЭАД252 !! БЭАД253 !! БЭАД254 !! БЭАД255 !! БЭАД256
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://www.hse.ru/org/persons/306101187 Алёна Зароднюк] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров] || [https://t.me/Artyom_Martirosov Артём Мартиросов]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/georgeanenko Георгий Аненко] || [https://t.me/ananananananaaa Анна Гуськова] || [https://t.me/levrudanin Лев Руданин] || [https://t.me/banbutsuno_hoshi Арсений Черваков] || [https://t.me/arslanyam Арслан Ямалетдинов] || [https://t.me/hgfghgfgfd Юрий Дзюба]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/bazingapog Николай Баринов] || [https://t.me/seletarina Арина Селетникова] || [https://t.me/sxbntm Алиса Карпинская] || [https://t.me/foma253 Александр Фомин] || [https://t.me/petrovegor2005 Егор Петров] || [https://t.me/grebenchik Варвара Гребенщикова]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="6"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

= Расписание консультаций =

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =

== 2-й модуль ==
Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,35*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,15*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==
Итоговая оценка за 3-4 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,32*Oэкз + 0,23*Oколл + 0,17*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

= Краткое содержание лекций =
== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (3.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1zeSqzJcF9HCsLP8I5_6GDhLON_9Yg-G4/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

'''Лекция 2''' (8.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1ZnXLPHY-U5sm2B7ut3FcEQi5V__P8Cjr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы.

'''Лекция 3''' (15.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1-i_w_8eFOIbocpFwmxKSJwWZKUF-5Zj3/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (29.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1XQ7qsLAgoXZDmLN2O3gq_yo59Dla3EB5/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Определение обратной матрицы. Обратная матрица как решение уравнения AX=E (пока без доказательства). Перестановки на множестве {1,2,...,n}. Инверсии в перестановке. Знак и чётность перестановки.

'''Лекция 5''' (6.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1RXoHKZJFY_Qtb8A4PN9QCc9cwQb_kiaz/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Произведение перестановок. Ассоциативность произведения перестановок. Теорема о знаке произведения перестановок. Тождественная перестановка. Обратная перестановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 6''' (13.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/19Us0dF6pZ5AkIR0JKKcDpnE1zDrOAnGY/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей.

'''Лекция 7''' (20.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1VPnqK-pW7APin5-0Qbf-5mzwGuBMvcJI/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Определитель обратной матрицы. Невырожденные матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости квадратной матрицы. Формулы Крамера.

'''Лекция 8''' (3.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1sTebhBZ3GIvKgrH3W1G2D_0r8DZSlFS1/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра.

'''Лекция 9''' (10.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/12X_M36Jo_SJwWhS4ooh24bNvfJrfJUTH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей. Векторные пространства, примеры. Простейшие следствия из аксиом векторного пространства.

'''Лекция 10''' (17.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1F6qGTlaNaYAFQ61b1xZ3JZubjWLr3gwK/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства. Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

'''Лекция 11''' (24.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1INsbcwSZhW3PsXYPRVfGm9zIbZ3wIGFr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Характеризация базисов в терминах единственности линейного выражения векторов. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

'''Лекция 12''' (1.12.2025). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 13''' (8.12.2025). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

'''Лекция 14''' (15.12.2025). Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому. Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения.

== 3-4 модули ==

'''Лекция 15''' (12.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/14-3xV-Z0GCJrTlPfa3nBX-g1G37aJrw9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Проекция вектора на подпространство вдоль дополнительного подпространства. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств.

'''Лекция 16''' (19.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1LXqyyiV6XxMuWyGdksmppduLcKP5aC9r/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Отображение, обратное к изоморфизму векторных пространств. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Изоморфные векторные пространства. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств. Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры.

'''Лекция 17''' (26.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/145a2hZQXWsvw2pRHXmrk-y-GimaCOvap/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений. Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно умножения на квадратную невырожденную матрицу слева или справа.

'''Лекция 18''' (2.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1E8-poOd9l8Bfy0bs8C42bbkjqHcsM7vb/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры. Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен ровно одному базису исходного пространства. Билинейные формы на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису.

'''Лекция 19''' (9.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1s1tbdpIFbNI1AsOVwAmlzrhPpwcTQgve/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису. Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Теорема о диагонализации симметричной билинейной формы. Симметричные элементарные преобразования квадратной матрицы. Симметричный алгоритм Гаусса. Угловые миноры матрицы. Метод Якоби для симметричных билинейных форм (формулировка).

'''Лекция 20''' (16.02.2026). Доказательство метода Якоби для симметричных билинейных форм. Квадратичные формы на векторном пространстве. Примеры. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции.

'''Лекция 21''' (16.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/19G3HvmxwJKheFzYoat1P2tnh-cetPJd8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Следствие метода Якоби о вычислении индексов инерции квадратичной формы над R. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши–Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства.

'''Лекция 22''' (2.03.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WVcqOhp-LmUxrpKkzHM-X4lnsluoTvyF/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональные векторы. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базис. Координаты вектора в ортогональном (ортонормированном) базисе. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Метод ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные матрицы и их свойства.

'''Лекция 23''' (2.03.2026). Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального (ортонормированного) базиса. Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве. Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Псевдорешение несовместной системы линейных уравнений. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов.

'''Лекция 24''' (16.03.2026). Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства. Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Векторное произведение, его выражение в координатах.

'''Лекция 25''' (23.03.2026). Смешанное произведение трёх векторов, его свойства. Критерий компланарности трёх векторов. Критерий коллинеарности двух векторов в терминах векторного произведения. Геометрические свойства векторного произведения. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии.

'''Лекция 26''' (6.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1gjBdszpSQFx6jx3Fpc9w77ksfvINYX-8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса.

'''Лекция 27''' (13.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1n0YFaR6QHBmQRSE77it93jx69S5f6AQL/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя. Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, согласованном с разложением пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора.

'''Лекция 28''' (20.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1KSkTmOkECufHy_FNQ2Eqi38tMrkAJlUT/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора. Связь между алгебраической и геометрической кратностями собственного значения линейного оператора. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений.

'''Лекция 29''' (27.04.2026). Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве. Отображение, сопряжённое к линейному отображению между двумя евклидовыми пространствами: определение, существование и единственность. Матрица сопряжённого отображения в паре произвольных и паре ортонормированных базисов. Сопряжённый оператор в евклидовом пространстве. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, семь эквивалентных условий.

'''Лекция 30''' (27.04.2026). Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Теорема о сингулярных базисах для линейного отображения евклидовых пространств.

'''Лекция 31''' (18.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1JyR0GgUyc5QRN9G8srWiaLLxdbCCCCKC/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сингулярное разложение матрицы и её сингулярные значения. Усечённое сингулярное разложение матрицы. Представление матрицы в виде суммы компонент ранга 1, связанное с её сингулярным разложением. Фробениусова норма матрицы, её инвариантность относительно умножения на ортогональную матрицу слева или справа. Теорема Эккарта-Янга о низкоранговом приближении.

'''Лекция 32''' (25.05.2026). Прямоугольные декартовы системы координат в евклидовом пространстве. Формулы замены координат при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой. Квадрики (гиперповерхности 2-го порядка) в R^n. Теорема о каноническом виде уравнения квадрики в евклидовом пространстве. Метрическая классификация кривых 2-го порядка в R^2. Метрическая классификация поверхностей 2-го порядка в R^3.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

== 1-2 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1ihV-uQiZP9Fh9G3Sw3-uhX9hidE2xA5KZnWXtdxi3r8/edit?usp=sharing '''ИДЗ-1''']

[https://docs.google.com/document/d/1a9jbUnR4Z7X3JnRFTIIANgZyKBTUawXFk9oXLUMEYaw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1s-YEdgFk-OXKp3PLvZijI9jsOtgguEpTvxb9pFt26yE/edit?usp=sharing '''ИДЗ-3''']

[https://docs.google.com/document/d/1WQE4qZrVatcNPytB4nG1xOYzMB3H7ycKOdB1B139myI/edit?usp=sharing '''ИДЗ-4''']

== 3-4 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1_JHDKX8Sq1iMVCcnpt2lDLIVEdQMuLuhk-p0ghncp9U/edit?usp=sharing '''ИДЗ-5''']

[https://docs.google.com/document/d/14PWMZIQF0lnCNTWFe5Izf3aR0nu40HLgE3bOuz5NWwA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-6''']

[https://docs.google.com/document/d/16zdghtjup8Fqqf6pg8SRXFe9AYKnvhC6WzpVQu9XDOw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-7''']

[https://docs.google.com/document/d/1yjHURRAdZ8ifynzTD-lu0CMUljvdRQoqL6xtExL4nAk/edit?usp=sharing '''ИДЗ-8''']

[https://docs.google.com/document/d/17VGGhZIDKzv9Td_Zg2qim8zu7XPNlDUoHew82AipejA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-9''']

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

[https://docs.google.com/document/d/1k_Wt9P9aISwRhM_0mo4TQ8vHUjrn7N0j/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-1''']

[https://docs.google.com/document/d/11np0omXwFYVmrWuCJXMS9GSrBPBjU-OV/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1qTfG6PqNj1KB_96b2zgUzJhWyGeCXWWE/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-3''']

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата-время: 15 ноября, 15:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1V78nBf6w0Mb_Kz0fI_gETdwgK38DoIAShiVnpQjhHnw/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1Iv2V2flblwWIHQWPKem3SA2QBLA6E5jq/view?usp=sharing '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.
*Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
*Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8–18.11
*Перестановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
*Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
*Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316
Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

== 4-й модуль ==

Дата-время: 18 апреля, 18:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1bYjzRzkDHqGwziLEmBW7IdydmvTdGBipj-b7ayxwt7w/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1wnTJ11B4QIUeSnFxFbcOoLw7BMYOcCXH/view?usp=drive_link '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Задание подпространств системами линейных уравнений: П 1312, 1313, К 35.16

*Матрицы перехода, преобразование координат вектора при замене базиса: П 1280–1283, К 34.10–34.12; задача 2 из ИДЗ-5

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства, разложение в прямую сумму подпространств: П 1317, 1318, 1320–1322; К 35.14, 35.15; задачи 3–5 из ИДЗ-5

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434–1438, 1441–1446, 1449, 1450; К 36.3, 36.4, 39.15, 39.16; задачи 1,2 из ИДЗ-6

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения, приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали: К 39.5; задачи 3,4 из ИДЗ-6

*Линейные функции и двойственные базисы: К 36.9, 36.10; задача 5 из ИДЗ-6

*Билинейные и квадратичные формы, их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10, 38.15, 38.16

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175–1186; К 38.8, 38.18(а–г)

*Исследование квадратичных форм на положительную и отрицательную определённость, а также определение нормального вида в зависимости от значений параметра: П 1212–1216; К 38.11(а–г), 38.14(а,б) + для каждого номера определить нормальный вид квадратичной формы в зависимости от значений параметра

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357–1363; К 43.7(а–г), 43.15(а–в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370–1372; К 43.19(а–в)

*Объём k-мерного параллелепипеда: К 43.36

*Линейные многообразия: П 1374; К 43.21(а–г), 51.7

*Векторное и смешанное произведения в R^3: КК 25.5, 25.7, 25.17, 25.18, 25.24, 25.35–25.38, 25.49, 25.59, 25.61

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28–26.37, 26.39–26.47, 26.50, 27.34, 27.39–27.42, 31.1–31.3, 31.5–31.8, 31.21–31.25, 31.27–31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 31.13–31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 25.58, 32.28–32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38–32.40

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==
Даты: 10 декабря для ЭАД, 13 декабря для ПМИ

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1hFMODfRvZ51zYqkyJi5EKpipO5B613na/view?usp=sharing '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1u61pDMSL-3ImwtjMLNmle3WabfSMsBGd/view?usp=sharing '''Список вопросов на доказательство''']

'''Формат проведения:'''

Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, на написание которых даётся 10 минут, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4-5 вопросами на доказательство. На написание первых двух вопросов даётся 25 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности.

== 4-й модуль ==
Даты: 29-30 мая

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1TOFHODQwiBC8eAZ1RBSjpZ9W9qHXz2ld/view?usp=drive_link '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1oqRbzS_hovcZ6G_BqjLMxKSuaRn01pEc/view?usp=drive_link '''Список вопросов на доказательство''']

= Экзамены =

Формат проведения: письменная работа

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

== 2-й модуль ==

Дата-время: 26 декабря, 9:30

Продолжительность работы: 160 минут (2 часа 40 минут)

[https://drive.google.com/file/d/1Bi3phiOeLa_FwpoQU7DQDQkQL8T69NFF/view?usp=drive_link '''Условия задач с экзамена''']

[https://docs.google.com/document/d/196BdHN84U9suOqvrDva-jh5IebD828wZd385M50vEWE/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению экзамена''']

Материалы для подготовки к экзамену:

I: [https://drive.google.com/file/d/1zxh4S7wGLkrzdn_GL4ujySAgfJXkmadN/view?usp=sharing '''список определений и формулировок''']

II: список задач для подготовки к 1-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 21.9, 22.7
*Линейная зависимость в векторных пространствах: П 639–644, 646–650, 652–655, 1824–1828; К 34.2, 34.3
*Линейные комбинации, линейные оболочки: П 665–669, 679–681 (база = максимальная линейно независимая подсистема)
*Подпространства, базис, размерность: П 1297–1304, 1308, 1310–1313; К 34.14, 35.2, 35.3, 35.7(а,в,г), 35.8, 35.11, 35.16
*Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных экзаменов прошлых лет.

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=798212250#gid=798212250 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1905063984#gid=1905063984 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1143931348#gid=1143931348 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1571389748#gid=1571389748 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1008226585#gid=1008226585 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=196141806#gid=196141806 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2082325635#gid=2082325635 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=141028840#gid=141028840 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1342717045#gid=1342717045 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=183207489#gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2014615374#gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1795822500#gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1130562098#gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2082037908#gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=91924820#gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1290636010#gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=877068035#gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1036271056#gid=1036271056 Э256]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=735451668#gid=735451668 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=669963605#gid=669963605 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1959871710#gid=1959871710 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=103812329#gid=103812329 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=944808823#gid=944808823 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1765292157#gid=1765292157 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=590665666#gid=590665666 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=455919933#gid=455919933 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1889630406#gid=1889630406 Э256]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=495362391#gid=495362391 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1018299486#gid=1018299486 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1364062586#gid=1364062586 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1423608094#gid=1423608094 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=96823731#gid=96823731 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=776758101#gid=776758101 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1608052002#gid=1608052002 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=689894434#gid=689894434 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=331922030#gid=331922030 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 2-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1036271056 Э256]
|}

= Кстати =

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

= Ссылки =

[https://t.me/LA_256_sem Telegram-канал семинаров в группе БПМИ256]

[https://t.me/linal258 Telegram-канал семинаров в группе БПМИ258]

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-25T14:24:39Z

Ravdeev: /* 3-4 модули */

Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"

Telegram-канал: https://t.me/LA_25_AMI_osn_EDA

= Преподаватели и учебные ассистенты =

Обратите внимание, что учебный ассистент1 отвечает за регулярные домашние задания, а учебный ассистент2 -- за большие домашние задания.

== Основной поток ПМИ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/yzaitseva Юлия Зайцева] || [https://t.me/VVKikteva Вероника Киктева] || [https://t.me/iamilyaboldyrev Илья Болдырев] || [https://t.me/the_Man_of_Spade Виктор Лопаткин] ||colspan="2"| [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/aperep Александр Перепечко] || [https://t.me/Vitalique_Iudelevich Виталий Юделевич] || [https://t.me/t1som Алина Никитина]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/The_best_cat_okk Михаил Фомичев] || [https://t.me/its_me_arlek1n0 Виктор Васильев] || [https://t.me/iraayugay Ирина Югай] || [https://t.me/dzagonov Дмитрий Загонов] || [https://t.me/denkruuk Денис Круковер] || [https://t.me/Ne_klumaks Вячеслав Газизов] || [https://t.me/karbarkarrr Варвара Сажина] || [https://t.me/Anilaniklot Илья Кравчук] || [https://t.me/lesha_hse Алексей Веляев] || [https://t.me/ilmsomuch Артём Кузнецов]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/oretskiy_greshok Анастасия Козлова] || [https://t.me/psinapsinovna Дарья Храмова] || [https://t.me/tr1pl3d0ttt Даниил Гузь] || [https://t.me/poltorq Яна Босякова] || [https://t.me/Ivan_Ovs Иван Овсянников] || [https://t.me/morz24 Алексей Токарев] || [https://t.me/Kkicune Алина Бариева] || [https://t.me/ullmrv Юлия Муравьёва] || [https://t.me/katkaeva Айса Каткаева] || [https://t.me/artyom_kotov04 Артём Абросимов]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="10"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

== Поток ЭАД ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БЭАД251 !! БЭАД252 !! БЭАД253 !! БЭАД254 !! БЭАД255 !! БЭАД256
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://www.hse.ru/org/persons/306101187 Алёна Зароднюк] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров] || [https://t.me/Artyom_Martirosov Артём Мартиросов]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/georgeanenko Георгий Аненко] || [https://t.me/ananananananaaa Анна Гуськова] || [https://t.me/levrudanin Лев Руданин] || [https://t.me/banbutsuno_hoshi Арсений Черваков] || [https://t.me/arslanyam Арслан Ямалетдинов] || [https://t.me/hgfghgfgfd Юрий Дзюба]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/bazingapog Николай Баринов] || [https://t.me/seletarina Арина Селетникова] || [https://t.me/sxbntm Алиса Карпинская] || [https://t.me/foma253 Александр Фомин] || [https://t.me/petrovegor2005 Егор Петров] || [https://t.me/grebenchik Варвара Гребенщикова]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="6"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

= Расписание консультаций =

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =

== 2-й модуль ==
Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,35*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,15*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==
Итоговая оценка за 3-4 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,32*Oэкз + 0,23*Oколл + 0,17*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

= Краткое содержание лекций =
== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (3.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1zeSqzJcF9HCsLP8I5_6GDhLON_9Yg-G4/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

'''Лекция 2''' (8.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1ZnXLPHY-U5sm2B7ut3FcEQi5V__P8Cjr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы.

'''Лекция 3''' (15.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1-i_w_8eFOIbocpFwmxKSJwWZKUF-5Zj3/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (29.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1XQ7qsLAgoXZDmLN2O3gq_yo59Dla3EB5/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Определение обратной матрицы. Обратная матрица как решение уравнения AX=E (пока без доказательства). Перестановки на множестве {1,2,...,n}. Инверсии в перестановке. Знак и чётность перестановки.

'''Лекция 5''' (6.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1RXoHKZJFY_Qtb8A4PN9QCc9cwQb_kiaz/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Произведение перестановок. Ассоциативность произведения перестановок. Теорема о знаке произведения перестановок. Тождественная перестановка. Обратная перестановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 6''' (13.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/19Us0dF6pZ5AkIR0JKKcDpnE1zDrOAnGY/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей.

'''Лекция 7''' (20.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1VPnqK-pW7APin5-0Qbf-5mzwGuBMvcJI/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Определитель обратной матрицы. Невырожденные матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости квадратной матрицы. Формулы Крамера.

'''Лекция 8''' (3.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1sTebhBZ3GIvKgrH3W1G2D_0r8DZSlFS1/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра.

'''Лекция 9''' (10.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/12X_M36Jo_SJwWhS4ooh24bNvfJrfJUTH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей. Векторные пространства, примеры. Простейшие следствия из аксиом векторного пространства.

'''Лекция 10''' (17.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1F6qGTlaNaYAFQ61b1xZ3JZubjWLr3gwK/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства. Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

'''Лекция 11''' (24.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1INsbcwSZhW3PsXYPRVfGm9zIbZ3wIGFr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Характеризация базисов в терминах единственности линейного выражения векторов. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

'''Лекция 12''' (1.12.2025). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 13''' (8.12.2025). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

'''Лекция 14''' (15.12.2025). Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому. Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения.

== 3-4 модули ==

'''Лекция 15''' (12.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/14-3xV-Z0GCJrTlPfa3nBX-g1G37aJrw9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Проекция вектора на подпространство вдоль дополнительного подпространства. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств.

'''Лекция 16''' (19.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1LXqyyiV6XxMuWyGdksmppduLcKP5aC9r/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Отображение, обратное к изоморфизму векторных пространств. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Изоморфные векторные пространства. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств. Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры.

'''Лекция 17''' (26.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/145a2hZQXWsvw2pRHXmrk-y-GimaCOvap/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений. Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно умножения на квадратную невырожденную матрицу слева или справа.

'''Лекция 18''' (2.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1E8-poOd9l8Bfy0bs8C42bbkjqHcsM7vb/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры. Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен ровно одному базису исходного пространства. Билинейные формы на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису.

'''Лекция 19''' (9.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1s1tbdpIFbNI1AsOVwAmlzrhPpwcTQgve/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису. Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Теорема о диагонализации симметричной билинейной формы. Симметричные элементарные преобразования квадратной матрицы. Симметричный алгоритм Гаусса. Угловые миноры матрицы. Метод Якоби для симметричных билинейных форм (формулировка).

'''Лекция 20''' (16.02.2026). Доказательство метода Якоби для симметричных билинейных форм. Квадратичные формы на векторном пространстве. Примеры. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции.

'''Лекция 21''' (16.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/19G3HvmxwJKheFzYoat1P2tnh-cetPJd8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Следствие метода Якоби о вычислении индексов инерции квадратичной формы над R. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши–Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства.

'''Лекция 22''' (2.03.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WVcqOhp-LmUxrpKkzHM-X4lnsluoTvyF/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональные векторы. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базис. Координаты вектора в ортогональном (ортонормированном) базисе. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Метод ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные матрицы и их свойства.

'''Лекция 23''' (2.03.2026). Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального (ортонормированного) базиса. Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве. Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Псевдорешение несовместной системы линейных уравнений. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов.

'''Лекция 24''' (16.03.2026). Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства. Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Векторное произведение, его выражение в координатах.

'''Лекция 25''' (23.03.2026). Смешанное произведение трёх векторов, его свойства. Критерий компланарности трёх векторов. Критерий коллинеарности двух векторов в терминах векторного произведения. Геометрические свойства векторного произведения. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии.

'''Лекция 26''' (6.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1gjBdszpSQFx6jx3Fpc9w77ksfvINYX-8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса.

'''Лекция 27''' (13.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1n0YFaR6QHBmQRSE77it93jx69S5f6AQL/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя. Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, согласованном с разложением пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора.

'''Лекция 28''' (20.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1KSkTmOkECufHy_FNQ2Eqi38tMrkAJlUT/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора. Связь между алгебраической и геометрической кратностями собственного значения линейного оператора. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений.

'''Лекция 29''' (27.04.2026). Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве. Отображение, сопряжённое к линейному отображению между двумя евклидовыми пространствами: определение, существование и единственность. Матрица сопряжённого отображения в паре произвольных и паре ортонормированных базисов. Сопряжённый оператор в евклидовом пространстве. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, семь эквивалентных условий.

'''Лекция 30''' (27.04.2026). Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Теорема о сингулярных базисах для линейного отображения евклидовых пространств.

'''Лекция 31''' (18.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1JyR0GgUyc5QRN9G8srWiaLLxdbCCCCKC/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сингулярное разложение матрицы и её сингулярные значения. Усечённое сингулярное разложение матрицы. Представление матрицы в виде суммы компонент ранга 1, связанное с её сингулярным разложением. Фробениусова норма матрицы, её инвариантность относительно умножения на ортогональную матрицу слева или справа. Теорема Эккарта-Янга о низкоранговом приближении.

'''Лекция 32''' (25.05.2026). Прямоугольные декартовы системы координат в евклидовом пространстве. Формулы замены координат при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой. Квадрики (гиперповерхности 2-го порядка) в R^n. Теорема о каноническом виде уравнения квадрики в евклидовом пространстве. Метрическая классификация кривых 2-го порядка в R^2. Метрическая классификация поверхностей 2-го порядка в R^3.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

== 1-2 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1ihV-uQiZP9Fh9G3Sw3-uhX9hidE2xA5KZnWXtdxi3r8/edit?usp=sharing '''ИДЗ-1''']

[https://docs.google.com/document/d/1a9jbUnR4Z7X3JnRFTIIANgZyKBTUawXFk9oXLUMEYaw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1s-YEdgFk-OXKp3PLvZijI9jsOtgguEpTvxb9pFt26yE/edit?usp=sharing '''ИДЗ-3''']

[https://docs.google.com/document/d/1WQE4qZrVatcNPytB4nG1xOYzMB3H7ycKOdB1B139myI/edit?usp=sharing '''ИДЗ-4''']

== 3-4 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1_JHDKX8Sq1iMVCcnpt2lDLIVEdQMuLuhk-p0ghncp9U/edit?usp=sharing '''ИДЗ-5''']

[https://docs.google.com/document/d/14PWMZIQF0lnCNTWFe5Izf3aR0nu40HLgE3bOuz5NWwA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-6''']

[https://docs.google.com/document/d/16zdghtjup8Fqqf6pg8SRXFe9AYKnvhC6WzpVQu9XDOw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-7''']

[https://docs.google.com/document/d/1yjHURRAdZ8ifynzTD-lu0CMUljvdRQoqL6xtExL4nAk/edit?usp=sharing '''ИДЗ-8''']

[https://docs.google.com/document/d/17VGGhZIDKzv9Td_Zg2qim8zu7XPNlDUoHew82AipejA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-9''']

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

[https://docs.google.com/document/d/1k_Wt9P9aISwRhM_0mo4TQ8vHUjrn7N0j/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-1''']

[https://docs.google.com/document/d/11np0omXwFYVmrWuCJXMS9GSrBPBjU-OV/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-2''']

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата-время: 15 ноября, 15:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1V78nBf6w0Mb_Kz0fI_gETdwgK38DoIAShiVnpQjhHnw/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1Iv2V2flblwWIHQWPKem3SA2QBLA6E5jq/view?usp=sharing '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.
*Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
*Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8–18.11
*Перестановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
*Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
*Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316
Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

== 4-й модуль ==

Дата-время: 18 апреля, 18:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1bYjzRzkDHqGwziLEmBW7IdydmvTdGBipj-b7ayxwt7w/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1wnTJ11B4QIUeSnFxFbcOoLw7BMYOcCXH/view?usp=drive_link '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Задание подпространств системами линейных уравнений: П 1312, 1313, К 35.16

*Матрицы перехода, преобразование координат вектора при замене базиса: П 1280–1283, К 34.10–34.12; задача 2 из ИДЗ-5

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства, разложение в прямую сумму подпространств: П 1317, 1318, 1320–1322; К 35.14, 35.15; задачи 3–5 из ИДЗ-5

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434–1438, 1441–1446, 1449, 1450; К 36.3, 36.4, 39.15, 39.16; задачи 1,2 из ИДЗ-6

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения, приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали: К 39.5; задачи 3,4 из ИДЗ-6

*Линейные функции и двойственные базисы: К 36.9, 36.10; задача 5 из ИДЗ-6

*Билинейные и квадратичные формы, их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10, 38.15, 38.16

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175–1186; К 38.8, 38.18(а–г)

*Исследование квадратичных форм на положительную и отрицательную определённость, а также определение нормального вида в зависимости от значений параметра: П 1212–1216; К 38.11(а–г), 38.14(а,б) + для каждого номера определить нормальный вид квадратичной формы в зависимости от значений параметра

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357–1363; К 43.7(а–г), 43.15(а–в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370–1372; К 43.19(а–в)

*Объём k-мерного параллелепипеда: К 43.36

*Линейные многообразия: П 1374; К 43.21(а–г), 51.7

*Векторное и смешанное произведения в R^3: КК 25.5, 25.7, 25.17, 25.18, 25.24, 25.35–25.38, 25.49, 25.59, 25.61

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28–26.37, 26.39–26.47, 26.50, 27.34, 27.39–27.42, 31.1–31.3, 31.5–31.8, 31.21–31.25, 31.27–31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 31.13–31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 25.58, 32.28–32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38–32.40

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==
Даты: 10 декабря для ЭАД, 13 декабря для ПМИ

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1hFMODfRvZ51zYqkyJi5EKpipO5B613na/view?usp=sharing '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1u61pDMSL-3ImwtjMLNmle3WabfSMsBGd/view?usp=sharing '''Список вопросов на доказательство''']

'''Формат проведения:'''

Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, на написание которых даётся 10 минут, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4-5 вопросами на доказательство. На написание первых двух вопросов даётся 25 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности.

== 4-й модуль ==
Даты: 29-30 мая

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1TOFHODQwiBC8eAZ1RBSjpZ9W9qHXz2ld/view?usp=drive_link '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1oqRbzS_hovcZ6G_BqjLMxKSuaRn01pEc/view?usp=drive_link '''Список вопросов на доказательство''']

= Экзамены =

Формат проведения: письменная работа

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

== 2-й модуль ==

Дата-время: 26 декабря, 9:30

Продолжительность работы: 160 минут (2 часа 40 минут)

[https://drive.google.com/file/d/1Bi3phiOeLa_FwpoQU7DQDQkQL8T69NFF/view?usp=drive_link '''Условия задач с экзамена''']

[https://docs.google.com/document/d/196BdHN84U9suOqvrDva-jh5IebD828wZd385M50vEWE/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению экзамена''']

Материалы для подготовки к экзамену:

I: [https://drive.google.com/file/d/1zxh4S7wGLkrzdn_GL4ujySAgfJXkmadN/view?usp=sharing '''список определений и формулировок''']

II: список задач для подготовки к 1-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 21.9, 22.7
*Линейная зависимость в векторных пространствах: П 639–644, 646–650, 652–655, 1824–1828; К 34.2, 34.3
*Линейные комбинации, линейные оболочки: П 665–669, 679–681 (база = максимальная линейно независимая подсистема)
*Подпространства, базис, размерность: П 1297–1304, 1308, 1310–1313; К 34.14, 35.2, 35.3, 35.7(а,в,г), 35.8, 35.11, 35.16
*Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных экзаменов прошлых лет.

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=798212250#gid=798212250 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1905063984#gid=1905063984 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1143931348#gid=1143931348 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1571389748#gid=1571389748 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1008226585#gid=1008226585 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=196141806#gid=196141806 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2082325635#gid=2082325635 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=141028840#gid=141028840 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1342717045#gid=1342717045 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=183207489#gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2014615374#gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1795822500#gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1130562098#gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2082037908#gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=91924820#gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1290636010#gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=877068035#gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1036271056#gid=1036271056 Э256]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=735451668#gid=735451668 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=669963605#gid=669963605 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1959871710#gid=1959871710 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=103812329#gid=103812329 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=944808823#gid=944808823 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1765292157#gid=1765292157 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=590665666#gid=590665666 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=455919933#gid=455919933 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1889630406#gid=1889630406 Э256]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=495362391#gid=495362391 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1018299486#gid=1018299486 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1364062586#gid=1364062586 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1423608094#gid=1423608094 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=96823731#gid=96823731 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=776758101#gid=776758101 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1608052002#gid=1608052002 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=689894434#gid=689894434 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=331922030#gid=331922030 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 2-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1036271056 Э256]
|}

= Кстати =

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

= Ссылки =

[https://t.me/LA_256_sem Telegram-канал семинаров в группе БПМИ256]

[https://t.me/linal258 Telegram-канал семинаров в группе БПМИ258]

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-22T15:34:28Z

Ravdeev: /* Листки с задачами */

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-22T15:33:18Z

Ravdeev: /* Краткое содержание лекций */

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-20T13:53:12Z

Ravdeev: /* Домашние задания */

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-20T13:52:27Z

Ravdeev: /* Листки с задачами */

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-20T13:50:46Z

Ravdeev: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (пилотный поток)

2026-05-18T18:49:57Z

Ravdeev: /* 3-4 модули */

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/305113883 Екатерина Нистюк] || [https://www.hse.ru/org/persons/304055991 Юля Зайцева] || [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/350789943 Антон Трушин] || [https://www.hse.ru/org/persons/350789943 Антон Трушин] || [https://www.hse.ru/org/persons/856267465/ Михаил Игнатьев]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/evisqq Хаким Вердиев] и [https://t.me/kalDima1218 Дмитрий Калугин] || [https://t.me/fynjybath Антон Ныйкин] и [https://t.me/thisariv Вова Родин] || [https://t.me/op_invalid Михаил Бугрышев] и [https://t.me/Semi4 Андрей Павлов] || [https://t.me/bibihoya Юлия Баранова] и [https://t.me/katyatyurr Катя Тюрина] || [https://t.me/elizazh Елизавета Жукова] и [https://t.me/olimpiadnyikomik Анастасия Одинцова]
|}

= Расписание консультаций =

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница !! суббота !! воскресенье
|-
| <center>1</center> || Дима Трушин || || || pending || || || ||
|-
| <center>2</center> || Юля Зайцева || || || || || || ||
|-
| <center>3</center> || Михаил Игнатьев || || || || || || ||
|-
| <center>4</center> || Антон Трушин || || || || || || ||
|}

* Просьба предупреждать, если планируете прийти, возможны изменения

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус к накопленной оценке:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =
== 2-й модуль ==

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

'''Итоговая оценка за курс -- оценка за 4-ый модуль.'''

= Краткое содержание лекций =

== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (03.09.2025). Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса. Матрицы и матричные операции.

'''Лекция 2''' (10.09.2025). Дефекты матричных операций. Связь с линейными уравнениями. Деление и обратимость матриц. Левая и правая обратная, двусторонняя обратимость только для квадратных матриц. Матрицы элементарных преобразований. Невырожденность матриц: 6 эквивалентных определений.

'''Лекция 3''' (17.09.2025) Следствия 6 эквивалентных определений. Массовое решение систем. Поиск обратной матрицы Гауссом. Блочные формулы умножения матриц. Метод восстановления главных переменных через множество решений. Единственность улучшенного ступенчатого вида матрицы. Классификация систем с одинаковым множеством решений.

'''Лекция 4''' (24.09.2024) Полиномиальное исчисление от матриц. Существование многочлена зануляющего матрицу. Спектр матрицы. Минимальный многочлен и его связь со спектром. Наивная оценка на степень минимального многочлена.

'''Лекция 5''' (01.10.2025) Перестановки. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки. Существование и единственность знака перестановки.

'''Лекция 6''' (08.10.2025) Три подхода к определителям: (I) явная формула с помощью перестановок, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) согласованность с умножением. Вычисление по явной формуле для верхнетреугольных матриц и в случае размерностей 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Полилинейность определителя (импликация (I)=>(II)). Определитель элементарных матриц. Классификация полилинейных отображений. Доказательство импликации (II)=>(I).

'''Лекция 7''' (15.10.2025) Мультипликативность определителя (импликация (II)=>(III)), определитель с углом нулей и определитель блочно верхнетреугольной матрицы. Импликация (III)=>(I). Миноры и алгебраические дополнения, присоединенная матрица. Разложение определителя по строке или столбцу. Явные формулы для обратной матрицы.

'''Лекция 8''' (22.10.2025) Формулы Крамера. Характеристический многочлен. Связь характеристического многочлена со спектром. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли.

'''Лекция 9''' (5.11.2025) Определение поля. Определение подполя и изоморфизма полей, изоморфизм над подполем. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Различные операции на комплексных числах, геометрическая модель. План доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

'''Лекция 10''' (12.11.2025) Доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

'''Лекция 11''' (19.11.2025) Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость. Примеры пространств и подпространств. Порождающая система, линейная оболочка.

'''Лекция 12''' (26.11.2025) Три эквивалентных определения базиса. Понятие размерности. Конечномерные векторные пространства. Понятие координат вектора. Описание всех базисов в терминах одного.

'''Лекция 13''' (3.12.2025) Фундаментальная система решений. Пять определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Неизменность первых четырех рангов при домножении на обратимую матрицу слева и справа и их совпадение. Совпадение минорного ранга с остальными.

'''Лекция 14''' (10.12.2025) Линейные отображения, примеры. Изоморфизмы. Операции на линейных отображениях, структура векторного пространства. Критерий существования линейного отображения в терминах базиса, критерий изоморфности векторных пространств. Матрица линейного отображения и ее связь с операциями на линейных отображениях. Замена матрицы линейного отображения при смене базисов. Образ и ядро. Критерий инъективности и сюръективности в их терминах.

'''Лекция 15''' (17.12.2025) Оценка ранга произведения матриц. Связь размерности ядра и образа линейного отображения. Классификация линейных отображений. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей. Линейная независимость подрпостранств. Внешние и внутренние прямые суммы (6 эквивалентных определений).

== 3-4 модули ==

'''Лекция 16''' (14.01.2026). Линейные операторы, определения и примеры, проекторы. Матрица линейного оператора, смена матрицы при замене базиса. Характеристики линейного оператора: след, определитель, характеристический многочлен, минимальный многочлен, спектр, ранг. Критерии обратимости линейного оператора.

'''Лекция 17''' (21.01.2026). Инвариантные подпространства и связь с углом нулей. Инвариантность ядра и образа относительно коммутирующего оператора. Собственные подпространства. Связь собственных значений со спектром. Корневые подпространства. Лемма о стабилизации образа и ядра степени линейного оператора.

'''Лекция 18''' (28.01.2026). Кратность собственных значений. Существование ненулевого собственного вектора над алгебраически замкнутым полем. Линейная независимость собственных и корневых подпространств. Критерий диагонализуемости линейного оператора.

'''Лекция 19''' (4.02.2026). Свойства ограничения оператора. Приведение к верхнетреугольному виду матрицы оператора. Утверждение о подстановке оператора во взаимно простые многочлены. Теорема о разложении через зануляющий многочлен. Разложение пространства в прямую сумму корневых. Описание инвариантных подпространств.

'''Лекция 20''' (11.02.2026). Идеальный спектр и его описание в терминах минимального многочлена, в терминах характеристического многочлена (БД). Обобщение корневых и собственных подпространств на идеальный спектр. Минимальные инвариантные подпространства в собственном подпространстве для идеального спектра.

'''Лекция 21''' (18.02.2026). Отношение равенства по модулю подпространства. Линейная независимость, порождающие и базис по модулю подпространства (определения и критерии). Определение жорданова базиса и жордановой нормальной формы (ЖНФ). Теорема о ЖНФ для нильпотентных операторов: единственность и формула для количества клеток.

'''Лекция 22''' (25.02.2026). Теорема о ЖНФ для произвольного оператора: существование и единственность. Классификация линейных операторов. Функционалы: двойственное (сопряжённое) пространство с примерами. Понятие о двойственном базисе. Связь размерности пространства и его двойственного.

'''Лекция 23''' (4.03.2026). Наличие функционала, не равного нулю на заданном векторе. Векторы -- это функции на функциях, изоморфизм векторного пространства на своё второе сопряжённое. Конструкция сопряжённого линейного отображения. Матрица сопряжённого линейного отображения в двойственном базисе. Согласованность изоморфизма векторного пространства с вторым сопряжённым и конструкции сопряжённого линейного отображения.

'''Лекция 24''' (11.03.2026). Билинейные формы, примеры, естественная билинейная форма между пространством и сопряжённым. Матрица билинейной формы. Конструирование билинейных форм по значениям на паре базисов. Смена матрицы билинейной формы. Билинейные формы и матричный формализм. Ранг билинейной формы. Левые и правые ортогональные дополнения, ядра формы, невырожденность в терминах ядра. Связь ранга с размерностями ядер.

'''Лекция 25''' (18.03.2026). Двойственность для подпространств относительно невырожденной билинейной формы. Двойственность для линейных отображений (альтернатива Фредгольма). Связь инвариантности подпространств для линейного оператора и сопряжённого к нему. Билинейные формы на одном пространстве. Симметричность и кососимметричность формы. Замечание про поле характеристики 2.

'''Лекция 26''' (1.04.2026). Матрицы симметричных и кососимметричных билинейных форм. Матричные характеристики билинейных форм. Разложение любой билинейной формы (на одном пространстве при обратимости двойки в поле) в сумму симметрической и кососимметрической. Ограничение билинейной формы на подпространство. Невырожденность ограничения. Диагонализуемость симметрических форм (замечание про характеристику 2). Симметричный Гаусс.

'''Лекция 27''' (8.04.2026). Метод Якоби. Алгоритм диагонализации на основе метода Якоби. Квадратичные формы. Связь квадратичных и билинейных форм. Классификация симметричных билинейных форм над алгебраически замкнутым полем. Классификация симметричных билинейных форм над полем вещественных чисел и сигнатура.

'''Лекция 28''' (15.04.2026). Геометрический смысл сигнатуры. Положительная и отрицательная определённость формы над полем вещественных чисел. Критерий Сильвестра. Графики квадратичных форм. Анализ поверхности. Евклидовы пространства и скалярные произведения. Понятие длины вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла в евклидовом пространстве. Классификация евклидовых пространств. Ортогональные и ортонормированные базисы. Ортогонализация Грама-Шмидта.

'''Лекция 29''' (21.04.2026). Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. Формула BABA для проектора. Формула Aтата для ортопроектора. Формула для ортогональной проекции в терминах ортогонального базиса подпространства. Расстояние в евклидовом пространстве. Утверждение о расстоянии и угле между вектором и подпространством. Метод наименьших квадратов.

'''Лекция 30''' (28.04.2026). Классификация ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса. Ортогональные матрицы. Теорема Пифагора. Матрица Грама и её свойства. k-мерные объёмы через матрицу Грама и рекуррентная формула. Изменение объёма при смене образующих параллелепипеда и при действии линейного оператора. Понятие ориентации в евклидовом пространстве. Ориентированный n-мерный объём.

'''Лекция 31''' (12.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1d0L4aCJgJxssURoVq3zsQSdbUpgCBnZp/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Изменение ориентированного объёма при смене образующих параллелепипеда. Связь ориентированного объёма с определителем. Изменение ориентированного объёма под действием оператора. Комплексные векторные пространства. Полуторалинейные формы, матрица полуторалинейной формы и формула её изменения при смене базиса. Эрмитово сопряжение матрицы. Ортогональные дополнения. Квадратичные формы для полуторалинейных форм. Поляризационная формула. Соответствие между полуторалинейными формами и квадратичными формами. Эрмитовы и косоэрмитовы формы, интерпретация этих свойств в терминах матриц. Вещественность значений квадратичной формы для эрмитовой полуторалинейной формы. Диагонализация эрмитовых и косоэрмитовых форм. Классификация эрмитовых форм. Положительная и отрицательная определённость эрмитовых форм. Метод Якоби. Критерий Сильвестра.

'''Лекция 32''' (18.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/18_R70_zPpkb62JywzWbkxS0D3zcuyAhz/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Эрмитово векторное пространство и эрмитово скалярное произведение. Понятие длины вектора, неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла между прямыми. Ортогональность и ортонормированность. Классификация ортонормированных базисов в терминах одного и матриц перехода. Унитарные матрицы. Классификация эрмитовых пространств. Ортогональные проекции, расстояния, метод наименьших квадратов, матрица Грама. Комплексификация векторного пространства, его базис и размерность. Комплексификация линейного отображения и билинейной формы, их матрицы. Операторы в евклидовом и эрмитовом пространствах. Движения, различные определения, описание движений с помощью матриц.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с основного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка до 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата контрольной работы -- 13 декабря. Время и правила проведения контрольной TBA.

== 4-й модуль ==

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==

Дата проведения коллоквиума -- 19 декабря. Точные условия и правила TBA.

== 4-й модуль ==

= Экзамен =

== 2-й модуль ==

== 4-й модуль ==

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1174728025#gid=1174728025 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1318652803#gid=1318652803 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=677514736#gid=677514736 255]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1995105946#gid=1995105946 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1174728025#gid=1174728025 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1318652803#gid=1318652803 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=677514736#gid=677514736 255]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

= Ссылки =

* Общие

# [https://t.me/+HFM6V67xD285ZThi Канал] в Telegram
# [https://github.com/DimaTrushin/LinearAlgebra Лекции] на github.
# [https://github.com/DimaTrushin/LinearAlgebraAlgorithms Алгоритмы] на github.

* Группы 251 и 253

# [https://t.me/+RVTRVbj6wlsxYmEy Группа] в Telegram
# [https://disk.yandex.ru/d/U10JdTvXCFR3Dg Материалы] семинаров и домашние задания

= Литература =

== Учебники ==

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* S. Axler. Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997 (или любое последующее издание)

== Сборники задач ==

* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-18T18:48:18Z

Ravdeev: /* 3-4 модули */

Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"

Telegram-канал: https://t.me/LA_25_AMI_osn_EDA

= Преподаватели и учебные ассистенты =

Обратите внимание, что учебный ассистент1 отвечает за регулярные домашние задания, а учебный ассистент2 -- за большие домашние задания.

== Основной поток ПМИ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/yzaitseva Юлия Зайцева] || [https://t.me/VVKikteva Вероника Киктева] || [https://t.me/iamilyaboldyrev Илья Болдырев] || [https://t.me/the_Man_of_Spade Виктор Лопаткин] ||colspan="2"| [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/aperep Александр Перепечко] || [https://t.me/Vitalique_Iudelevich Виталий Юделевич] || [https://t.me/t1som Алина Никитина]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/The_best_cat_okk Михаил Фомичев] || [https://t.me/its_me_arlek1n0 Виктор Васильев] || [https://t.me/iraayugay Ирина Югай] || [https://t.me/dzagonov Дмитрий Загонов] || [https://t.me/denkruuk Денис Круковер] || [https://t.me/Ne_klumaks Вячеслав Газизов] || [https://t.me/karbarkarrr Варвара Сажина] || [https://t.me/Anilaniklot Илья Кравчук] || [https://t.me/lesha_hse Алексей Веляев] || [https://t.me/ilmsomuch Артём Кузнецов]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/oretskiy_greshok Анастасия Козлова] || [https://t.me/psinapsinovna Дарья Храмова] || [https://t.me/tr1pl3d0ttt Даниил Гузь] || [https://t.me/poltorq Яна Босякова] || [https://t.me/Ivan_Ovs Иван Овсянников] || [https://t.me/morz24 Алексей Токарев] || [https://t.me/Kkicune Алина Бариева] || [https://t.me/ullmrv Юлия Муравьёва] || [https://t.me/katkaeva Айса Каткаева] || [https://t.me/artyom_kotov04 Артём Абросимов]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="10"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

== Поток ЭАД ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БЭАД251 !! БЭАД252 !! БЭАД253 !! БЭАД254 !! БЭАД255 !! БЭАД256
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://www.hse.ru/org/persons/306101187 Алёна Зароднюк] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров] || [https://t.me/Artyom_Martirosov Артём Мартиросов]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/georgeanenko Георгий Аненко] || [https://t.me/ananananananaaa Анна Гуськова] || [https://t.me/levrudanin Лев Руданин] || [https://t.me/banbutsuno_hoshi Арсений Черваков] || [https://t.me/arslanyam Арслан Ямалетдинов] || [https://t.me/hgfghgfgfd Юрий Дзюба]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/bazingapog Николай Баринов] || [https://t.me/seletarina Арина Селетникова] || [https://t.me/sxbntm Алиса Карпинская] || [https://t.me/foma253 Александр Фомин] || [https://t.me/petrovegor2005 Егор Петров] || [https://t.me/grebenchik Варвара Гребенщикова]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="6"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

= Расписание консультаций =

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =

== 2-й модуль ==
Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,35*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,15*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==
Итоговая оценка за 3-4 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,32*Oэкз + 0,23*Oколл + 0,17*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

= Краткое содержание лекций =
== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (3.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1zeSqzJcF9HCsLP8I5_6GDhLON_9Yg-G4/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

'''Лекция 2''' (8.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1ZnXLPHY-U5sm2B7ut3FcEQi5V__P8Cjr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы.

'''Лекция 3''' (15.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1-i_w_8eFOIbocpFwmxKSJwWZKUF-5Zj3/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (29.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1XQ7qsLAgoXZDmLN2O3gq_yo59Dla3EB5/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Определение обратной матрицы. Обратная матрица как решение уравнения AX=E (пока без доказательства). Перестановки на множестве {1,2,...,n}. Инверсии в перестановке. Знак и чётность перестановки.

'''Лекция 5''' (6.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1RXoHKZJFY_Qtb8A4PN9QCc9cwQb_kiaz/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Произведение перестановок. Ассоциативность произведения перестановок. Теорема о знаке произведения перестановок. Тождественная перестановка. Обратная перестановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 6''' (13.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/19Us0dF6pZ5AkIR0JKKcDpnE1zDrOAnGY/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей.

'''Лекция 7''' (20.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1VPnqK-pW7APin5-0Qbf-5mzwGuBMvcJI/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Определитель обратной матрицы. Невырожденные матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости квадратной матрицы. Формулы Крамера.

'''Лекция 8''' (3.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1sTebhBZ3GIvKgrH3W1G2D_0r8DZSlFS1/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра.

'''Лекция 9''' (10.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/12X_M36Jo_SJwWhS4ooh24bNvfJrfJUTH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей. Векторные пространства, примеры. Простейшие следствия из аксиом векторного пространства.

'''Лекция 10''' (17.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1F6qGTlaNaYAFQ61b1xZ3JZubjWLr3gwK/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства. Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

'''Лекция 11''' (24.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1INsbcwSZhW3PsXYPRVfGm9zIbZ3wIGFr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Характеризация базисов в терминах единственности линейного выражения векторов. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

'''Лекция 12''' (1.12.2025). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 13''' (8.12.2025). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

'''Лекция 14''' (15.12.2025). Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому. Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения.

== 3-4 модули ==

'''Лекция 15''' (12.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/14-3xV-Z0GCJrTlPfa3nBX-g1G37aJrw9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Проекция вектора на подпространство вдоль дополнительного подпространства. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств.

'''Лекция 16''' (19.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1LXqyyiV6XxMuWyGdksmppduLcKP5aC9r/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Отображение, обратное к изоморфизму векторных пространств. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Изоморфные векторные пространства. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств. Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры.

'''Лекция 17''' (26.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/145a2hZQXWsvw2pRHXmrk-y-GimaCOvap/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений. Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно умножения на квадратную невырожденную матрицу слева или справа.

'''Лекция 18''' (2.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1E8-poOd9l8Bfy0bs8C42bbkjqHcsM7vb/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры. Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен ровно одному базису исходного пространства. Билинейные формы на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису.

'''Лекция 19''' (9.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1s1tbdpIFbNI1AsOVwAmlzrhPpwcTQgve/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису. Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Теорема о диагонализации симметричной билинейной формы. Симметричные элементарные преобразования квадратной матрицы. Симметричный алгоритм Гаусса. Угловые миноры матрицы. Метод Якоби для симметричных билинейных форм (формулировка).

'''Лекция 20''' (16.02.2026). Доказательство метода Якоби для симметричных билинейных форм. Квадратичные формы на векторном пространстве. Примеры. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции.

'''Лекция 21''' (16.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/19G3HvmxwJKheFzYoat1P2tnh-cetPJd8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Следствие метода Якоби о вычислении индексов инерции квадратичной формы над R. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши–Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства.

'''Лекция 22''' (2.03.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WVcqOhp-LmUxrpKkzHM-X4lnsluoTvyF/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональные векторы. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базис. Координаты вектора в ортогональном (ортонормированном) базисе. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Метод ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные матрицы и их свойства.

'''Лекция 23''' (2.03.2026). Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального (ортонормированного) базиса. Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве. Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Псевдорешение несовместной системы линейных уравнений. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов.

'''Лекция 24''' (16.03.2026). Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства. Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Векторное произведение, его выражение в координатах.

'''Лекция 25''' (23.03.2026). Смешанное произведение трёх векторов, его свойства. Критерий компланарности трёх векторов. Критерий коллинеарности двух векторов в терминах векторного произведения. Геометрические свойства векторного произведения. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии.

'''Лекция 26''' (6.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1gjBdszpSQFx6jx3Fpc9w77ksfvINYX-8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса.

'''Лекция 27''' (13.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1n0YFaR6QHBmQRSE77it93jx69S5f6AQL/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя. Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, согласованном с разложением пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора.

'''Лекция 28''' (20.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1KSkTmOkECufHy_FNQ2Eqi38tMrkAJlUT/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора. Связь между алгебраической и геометрической кратностями собственного значения линейного оператора. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений.

'''Лекция 29''' (27.04.2026). Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве. Отображение, сопряжённое к линейному отображению между двумя евклидовыми пространствами: определение, существование и единственность. Матрица сопряжённого отображения в паре произвольных и паре ортонормированных базисов. Сопряжённый оператор в евклидовом пространстве. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, семь эквивалентных условий.

'''Лекция 30''' (27.04.2026). Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Теорема о сингулярных базисах для линейного отображения евклидовых пространств.

'''Лекция 31''' (18.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1JyR0GgUyc5QRN9G8srWiaLLxdbCCCCKC/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сингулярное разложение матрицы и её сингулярные значения. Усечённое сингулярное разложение матрицы. Представление матрицы в виде суммы компонент ранга 1, связанное с её сингулярным разложением. Фробениусова норма матрицы, её инвариантность относительно умножения на ортогональную матрицу слева или справа. Теорема Эккарта-Янга о низкоранговом приближении.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

== 1-2 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1ihV-uQiZP9Fh9G3Sw3-uhX9hidE2xA5KZnWXtdxi3r8/edit?usp=sharing '''ИДЗ-1''']

[https://docs.google.com/document/d/1a9jbUnR4Z7X3JnRFTIIANgZyKBTUawXFk9oXLUMEYaw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1s-YEdgFk-OXKp3PLvZijI9jsOtgguEpTvxb9pFt26yE/edit?usp=sharing '''ИДЗ-3''']

[https://docs.google.com/document/d/1WQE4qZrVatcNPytB4nG1xOYzMB3H7ycKOdB1B139myI/edit?usp=sharing '''ИДЗ-4''']

== 3-4 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1_JHDKX8Sq1iMVCcnpt2lDLIVEdQMuLuhk-p0ghncp9U/edit?usp=sharing '''ИДЗ-5''']

[https://docs.google.com/document/d/14PWMZIQF0lnCNTWFe5Izf3aR0nu40HLgE3bOuz5NWwA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-6''']

[https://docs.google.com/document/d/16zdghtjup8Fqqf6pg8SRXFe9AYKnvhC6WzpVQu9XDOw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-7''']

[https://docs.google.com/document/d/1yjHURRAdZ8ifynzTD-lu0CMUljvdRQoqL6xtExL4nAk/edit?usp=sharing '''ИДЗ-8''']

[https://docs.google.com/document/d/17VGGhZIDKzv9Td_Zg2qim8zu7XPNlDUoHew82AipejA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-9''']

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

[https://docs.google.com/document/d/1k_Wt9P9aISwRhM_0mo4TQ8vHUjrn7N0j/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-1''']

[https://docs.google.com/document/d/11np0omXwFYVmrWuCJXMS9GSrBPBjU-OV/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-2''']

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата-время: 15 ноября, 15:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1V78nBf6w0Mb_Kz0fI_gETdwgK38DoIAShiVnpQjhHnw/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1Iv2V2flblwWIHQWPKem3SA2QBLA6E5jq/view?usp=sharing '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.
*Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
*Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8–18.11
*Перестановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
*Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
*Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316
Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

== 4-й модуль ==

Дата-время: 18 апреля, 18:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1bYjzRzkDHqGwziLEmBW7IdydmvTdGBipj-b7ayxwt7w/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1wnTJ11B4QIUeSnFxFbcOoLw7BMYOcCXH/view?usp=drive_link '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Задание подпространств системами линейных уравнений: П 1312, 1313, К 35.16

*Матрицы перехода, преобразование координат вектора при замене базиса: П 1280–1283, К 34.10–34.12; задача 2 из ИДЗ-5

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства, разложение в прямую сумму подпространств: П 1317, 1318, 1320–1322; К 35.14, 35.15; задачи 3–5 из ИДЗ-5

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434–1438, 1441–1446, 1449, 1450; К 36.3, 36.4, 39.15, 39.16; задачи 1,2 из ИДЗ-6

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения, приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали: К 39.5; задачи 3,4 из ИДЗ-6

*Линейные функции и двойственные базисы: К 36.9, 36.10; задача 5 из ИДЗ-6

*Билинейные и квадратичные формы, их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10, 38.15, 38.16

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175–1186; К 38.8, 38.18(а–г)

*Исследование квадратичных форм на положительную и отрицательную определённость, а также определение нормального вида в зависимости от значений параметра: П 1212–1216; К 38.11(а–г), 38.14(а,б) + для каждого номера определить нормальный вид квадратичной формы в зависимости от значений параметра

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357–1363; К 43.7(а–г), 43.15(а–в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370–1372; К 43.19(а–в)

*Объём k-мерного параллелепипеда: К 43.36

*Линейные многообразия: П 1374; К 43.21(а–г), 51.7

*Векторное и смешанное произведения в R^3: КК 25.5, 25.7, 25.17, 25.18, 25.24, 25.35–25.38, 25.49, 25.59, 25.61

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28–26.37, 26.39–26.47, 26.50, 27.34, 27.39–27.42, 31.1–31.3, 31.5–31.8, 31.21–31.25, 31.27–31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 31.13–31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 25.58, 32.28–32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38–32.40

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==
Даты: 10 декабря для ЭАД, 13 декабря для ПМИ

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1hFMODfRvZ51zYqkyJi5EKpipO5B613na/view?usp=sharing '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1u61pDMSL-3ImwtjMLNmle3WabfSMsBGd/view?usp=sharing '''Список вопросов на доказательство''']

'''Формат проведения:'''

Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, на написание которых даётся 10 минут, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4-5 вопросами на доказательство. На написание первых двух вопросов даётся 25 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности.

== 4-й модуль ==
Даты: 29-30 мая

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1TOFHODQwiBC8eAZ1RBSjpZ9W9qHXz2ld/view?usp=drive_link '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1oqRbzS_hovcZ6G_BqjLMxKSuaRn01pEc/view?usp=drive_link '''Список вопросов на доказательство''']

= Экзамены =

Формат проведения: письменная работа

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

== 2-й модуль ==

Дата-время: 26 декабря, 9:30

Продолжительность работы: 160 минут (2 часа 40 минут)

[https://drive.google.com/file/d/1Bi3phiOeLa_FwpoQU7DQDQkQL8T69NFF/view?usp=drive_link '''Условия задач с экзамена''']

[https://docs.google.com/document/d/196BdHN84U9suOqvrDva-jh5IebD828wZd385M50vEWE/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению экзамена''']

Материалы для подготовки к экзамену:

I: [https://drive.google.com/file/d/1zxh4S7wGLkrzdn_GL4ujySAgfJXkmadN/view?usp=sharing '''список определений и формулировок''']

II: список задач для подготовки к 1-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 21.9, 22.7
*Линейная зависимость в векторных пространствах: П 639–644, 646–650, 652–655, 1824–1828; К 34.2, 34.3
*Линейные комбинации, линейные оболочки: П 665–669, 679–681 (база = максимальная линейно независимая подсистема)
*Подпространства, базис, размерность: П 1297–1304, 1308, 1310–1313; К 34.14, 35.2, 35.3, 35.7(а,в,г), 35.8, 35.11, 35.16
*Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных экзаменов прошлых лет.

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=798212250#gid=798212250 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1905063984#gid=1905063984 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1143931348#gid=1143931348 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1571389748#gid=1571389748 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1008226585#gid=1008226585 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=196141806#gid=196141806 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2082325635#gid=2082325635 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=141028840#gid=141028840 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1342717045#gid=1342717045 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=183207489#gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2014615374#gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1795822500#gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1130562098#gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2082037908#gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=91924820#gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1290636010#gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=877068035#gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1036271056#gid=1036271056 Э256]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=735451668#gid=735451668 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=669963605#gid=669963605 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1959871710#gid=1959871710 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=103812329#gid=103812329 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=944808823#gid=944808823 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1765292157#gid=1765292157 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=590665666#gid=590665666 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=455919933#gid=455919933 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1889630406#gid=1889630406 Э256]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=495362391#gid=495362391 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1018299486#gid=1018299486 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1364062586#gid=1364062586 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1423608094#gid=1423608094 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=96823731#gid=96823731 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=776758101#gid=776758101 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1608052002#gid=1608052002 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=689894434#gid=689894434 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=331922030#gid=331922030 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 2-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1036271056 Э256]
|}

= Кстати =

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

= Ссылки =

[https://t.me/LA_256_sem Telegram-канал семинаров в группе БПМИ256]

[https://t.me/linal258 Telegram-канал семинаров в группе БПМИ258]

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (пилотный поток)

2026-05-18T18:47:10Z

Ravdeev: /* 3-4 модули */

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/305113883 Екатерина Нистюк] || [https://www.hse.ru/org/persons/304055991 Юля Зайцева] || [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/350789943 Антон Трушин] || [https://www.hse.ru/org/persons/350789943 Антон Трушин] || [https://www.hse.ru/org/persons/856267465/ Михаил Игнатьев]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/evisqq Хаким Вердиев] и [https://t.me/kalDima1218 Дмитрий Калугин] || [https://t.me/fynjybath Антон Ныйкин] и [https://t.me/thisariv Вова Родин] || [https://t.me/op_invalid Михаил Бугрышев] и [https://t.me/Semi4 Андрей Павлов] || [https://t.me/bibihoya Юлия Баранова] и [https://t.me/katyatyurr Катя Тюрина] || [https://t.me/elizazh Елизавета Жукова] и [https://t.me/olimpiadnyikomik Анастасия Одинцова]
|}

= Расписание консультаций =

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница !! суббота !! воскресенье
|-
| <center>1</center> || Дима Трушин || || || pending || || || ||
|-
| <center>2</center> || Юля Зайцева || || || || || || ||
|-
| <center>3</center> || Михаил Игнатьев || || || || || || ||
|-
| <center>4</center> || Антон Трушин || || || || || || ||
|}

* Просьба предупреждать, если планируете прийти, возможны изменения

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус к накопленной оценке:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =
== 2-й модуль ==

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

'''Итоговая оценка за курс -- оценка за 4-ый модуль.'''

= Краткое содержание лекций =

== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (03.09.2025). Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса. Матрицы и матричные операции.

'''Лекция 2''' (10.09.2025). Дефекты матричных операций. Связь с линейными уравнениями. Деление и обратимость матриц. Левая и правая обратная, двусторонняя обратимость только для квадратных матриц. Матрицы элементарных преобразований. Невырожденность матриц: 6 эквивалентных определений.

'''Лекция 3''' (17.09.2025) Следствия 6 эквивалентных определений. Массовое решение систем. Поиск обратной матрицы Гауссом. Блочные формулы умножения матриц. Метод восстановления главных переменных через множество решений. Единственность улучшенного ступенчатого вида матрицы. Классификация систем с одинаковым множеством решений.

'''Лекция 4''' (24.09.2024) Полиномиальное исчисление от матриц. Существование многочлена зануляющего матрицу. Спектр матрицы. Минимальный многочлен и его связь со спектром. Наивная оценка на степень минимального многочлена.

'''Лекция 5''' (01.10.2025) Перестановки. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки. Существование и единственность знака перестановки.

'''Лекция 6''' (08.10.2025) Три подхода к определителям: (I) явная формула с помощью перестановок, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) согласованность с умножением. Вычисление по явной формуле для верхнетреугольных матриц и в случае размерностей 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Полилинейность определителя (импликация (I)=>(II)). Определитель элементарных матриц. Классификация полилинейных отображений. Доказательство импликации (II)=>(I).

'''Лекция 7''' (15.10.2025) Мультипликативность определителя (импликация (II)=>(III)), определитель с углом нулей и определитель блочно верхнетреугольной матрицы. Импликация (III)=>(I). Миноры и алгебраические дополнения, присоединенная матрица. Разложение определителя по строке или столбцу. Явные формулы для обратной матрицы.

'''Лекция 8''' (22.10.2025) Формулы Крамера. Характеристический многочлен. Связь характеристического многочлена со спектром. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли.

'''Лекция 9''' (5.11.2025) Определение поля. Определение подполя и изоморфизма полей, изоморфизм над подполем. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Различные операции на комплексных числах, геометрическая модель. План доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

'''Лекция 10''' (12.11.2025) Доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

'''Лекция 11''' (19.11.2025) Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость. Примеры пространств и подпространств. Порождающая система, линейная оболочка.

'''Лекция 12''' (26.11.2025) Три эквивалентных определения базиса. Понятие размерности. Конечномерные векторные пространства. Понятие координат вектора. Описание всех базисов в терминах одного.

'''Лекция 13''' (3.12.2025) Фундаментальная система решений. Пять определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Неизменность первых четырех рангов при домножении на обратимую матрицу слева и справа и их совпадение. Совпадение минорного ранга с остальными.

'''Лекция 14''' (10.12.2025) Линейные отображения, примеры. Изоморфизмы. Операции на линейных отображениях, структура векторного пространства. Критерий существования линейного отображения в терминах базиса, критерий изоморфности векторных пространств. Матрица линейного отображения и ее связь с операциями на линейных отображениях. Замена матрицы линейного отображения при смене базисов. Образ и ядро. Критерий инъективности и сюръективности в их терминах.

'''Лекция 15''' (17.12.2025) Оценка ранга произведения матриц. Связь размерности ядра и образа линейного отображения. Классификация линейных отображений. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей. Линейная независимость подрпостранств. Внешние и внутренние прямые суммы (6 эквивалентных определений).

== 3-4 модули ==

'''Лекция 16''' (14.01.2026). Линейные операторы, определения и примеры, проекторы. Матрица линейного оператора, смена матрицы при замене базиса. Характеристики линейного оператора: след, определитель, характеристический многочлен, минимальный многочлен, спектр, ранг. Критерии обратимости линейного оператора.

'''Лекция 17''' (21.01.2026). Инвариантные подпространства и связь с углом нулей. Инвариантность ядра и образа относительно коммутирующего оператора. Собственные подпространства. Связь собственных значений со спектром. Корневые подпространства. Лемма о стабилизации образа и ядра степени линейного оператора.

'''Лекция 18''' (28.01.2026). Кратность собственных значений. Существование ненулевого собственного вектора над алгебраически замкнутым полем. Линейная независимость собственных и корневых подпространств. Критерий диагонализуемости линейного оператора.

'''Лекция 19''' (4.02.2026). Свойства ограничения оператора. Приведение к верхнетреугольному виду матрицы оператора. Утверждение о подстановке оператора во взаимно простые многочлены. Теорема о разложении через зануляющий многочлен. Разложение пространства в прямую сумму корневых. Описание инвариантных подпространств.

'''Лекция 20''' (11.02.2026). Идеальный спектр и его описание в терминах минимального многочлена, в терминах характеристического многочлена (БД). Обобщение корневых и собственных подпространств на идеальный спектр. Минимальные инвариантные подпространства в собственном подпространстве для идеального спектра.

'''Лекция 21''' (18.02.2026). Отношение равенства по модулю подпространства. Линейная независимость, порождающие и базис по модулю подпространства (определения и критерии). Определение жорданова базиса и жордановой нормальной формы (ЖНФ). Теорема о ЖНФ для нильпотентных операторов: единственность и формула для количества клеток.

'''Лекция 22''' (25.02.2026). Теорема о ЖНФ для произвольного оператора: существование и единственность. Классификация линейных операторов. Функционалы: двойственное (сопряжённое) пространство с примерами. Понятие о двойственном базисе. Связь размерности пространства и его двойственного.

'''Лекция 23''' (4.03.2026). Наличие функционала, не равного нулю на заданном векторе. Векторы -- это функции на функциях, изоморфизм векторного пространства на своё второе сопряжённое. Конструкция сопряжённого линейного отображения. Матрица сопряжённого линейного отображения в двойственном базисе. Согласованность изоморфизма векторного пространства с вторым сопряжённым и конструкции сопряжённого линейного отображения.

'''Лекция 24''' (11.03.2026). Билинейные формы, примеры, естественная билинейная форма между пространством и сопряжённым. Матрица билинейной формы. Конструирование билинейных форм по значениям на паре базисов. Смена матрицы билинейной формы. Билинейные формы и матричный формализм. Ранг билинейной формы. Левые и правые ортогональные дополнения, ядра формы, невырожденность в терминах ядра. Связь ранга с размерностями ядер.

'''Лекция 25''' (18.03.2026). Двойственность для подпространств относительно невырожденной билинейной формы. Двойственность для линейных отображений (альтернатива Фредгольма). Связь инвариантности подпространств для линейного оператора и сопряжённого к нему. Билинейные формы на одном пространстве. Симметричность и кососимметричность формы. Замечание про поле характеристики 2.

'''Лекция 26''' (1.04.2026). Матрицы симметричных и кососимметричных билинейных форм. Матричные характеристики билинейных форм. Разложение любой билинейной формы (на одном пространстве при обратимости двойки в поле) в сумму симметрической и кососимметрической. Ограничение билинейной формы на подпространство. Невырожденность ограничения. Диагонализуемость симметрических форм (замечание про характеристику 2). Симметричный Гаусс.

'''Лекция 27''' (8.04.2026). Метод Якоби. Алгоритм диагонализации на основе метода Якоби. Квадратичные формы. Связь квадратичных и билинейных форм. Классификация симметричных билинейных форм над алгебраически замкнутым полем. Классификация симметричных билинейных форм над полем вещественных чисел и сигнатура.

'''Лекция 28''' (15.04.2026). Геометрический смысл сигнатуры. Положительная и отрицательная определённость формы над полем вещественных чисел. Критерий Сильвестра. Графики квадратичных форм. Анализ поверхности. Евклидовы пространства и скалярные произведения. Понятие длины вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла в евклидовом пространстве. Классификация евклидовых пространств. Ортогональные и ортонормированные базисы. Ортогонализация Грама-Шмидта.

'''Лекция 29''' (21.04.2026). Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. Формула BABA для проектора. Формула Aтата для ортопроектора. Формула для ортогональной проекции в терминах ортогонального базиса подпространства. Расстояние в евклидовом пространстве. Утверждение о расстоянии и угле между вектором и подпространством. Метод наименьших квадратов.

'''Лекция 30''' (28.04.2026). Классификация ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса. Ортогональные матрицы. Теорема Пифагора. Матрица Грама и её свойства. k-мерные объёмы через матрицу Грама и рекуррентная формула. Изменение объёма при смене образующих параллелепипеда и при действии линейного оператора. Понятие ориентации в евклидовом пространстве. Ориентированный n-мерный объём.

'''Лекция 31''' (12.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1d0L4aCJgJxssURoVq3zsQSdbUpgCBnZp/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Изменение ориентированного объёма при смене образующих параллелепипеда. Связь ориентированного объёма с определителем. Изменение ориентированного объёма под действием оператора. Комплексные векторные пространства. Полуторалинейные формы, матрица полуторалинейной формы и формула её изменения при смене базиса. Эрмитово сопряжение матрицы. Ортогональные дополнения. Квадратичные формы для полуторалинейных форм. Поляризационная формула. Соответствие между полуторалинейными формами и квадратичными формами. Эрмитовы и косоэрмитовы формы, интерпретация этих свойств в терминах матриц. Вещественность значений квадратичной формы для эрмитовой полуторалинейной формы. Диагонализация эрмитовых и косоэрмитовых форм. Классификация эрмитовых форм. Положительная и отрицательная определённость эрмитовых форм. Метод Якоби. Критерий Сильвестра.

'''Лекция 32''' (18.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/18_R70_zPpkb62JywzWbkxS0D3zcuyAhz/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Эрмитово векторное пространство и эрмитово скалярное произведение. Понятие длины вектора, неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла между прямыми. Ортогональность и ортонормированность. Классификация ортонормированных базисов в терминах одного и матриц перехода. Унитарные матрицы. Классификация эрмитовых пространств. Ортогональные проекции, расстояния, метод наименьших квадратов, матрица Грама. Комплексификация векторного пространства, его базис и размерность. Комплексификация линейного отображения и билинейной формы, их матрицы. Операторы в еклидовом и эрмитовом пространствах. Движения, различные определения, описание движений с помощью матриц.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с основного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка до 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата контрольной работы -- 13 декабря. Время и правила проведения контрольной TBA.

== 4-й модуль ==

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==

Дата проведения коллоквиума -- 19 декабря. Точные условия и правила TBA.

== 4-й модуль ==

= Экзамен =

== 2-й модуль ==

== 4-й модуль ==

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1174728025#gid=1174728025 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1318652803#gid=1318652803 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=677514736#gid=677514736 255]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1995105946#gid=1995105946 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1174728025#gid=1174728025 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1318652803#gid=1318652803 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=677514736#gid=677514736 255]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

= Ссылки =

* Общие

# [https://t.me/+HFM6V67xD285ZThi Канал] в Telegram
# [https://github.com/DimaTrushin/LinearAlgebra Лекции] на github.
# [https://github.com/DimaTrushin/LinearAlgebraAlgorithms Алгоритмы] на github.

* Группы 251 и 253

# [https://t.me/+RVTRVbj6wlsxYmEy Группа] в Telegram
# [https://disk.yandex.ru/d/U10JdTvXCFR3Dg Материалы] семинаров и домашние задания

= Литература =

== Учебники ==

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* S. Axler. Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997 (или любое последующее издание)

== Сборники задач ==

* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-18T16:19:07Z

Ravdeev: /* 3-4 модули */

Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"

Telegram-канал: https://t.me/LA_25_AMI_osn_EDA

= Преподаватели и учебные ассистенты =

Обратите внимание, что учебный ассистент1 отвечает за регулярные домашние задания, а учебный ассистент2 -- за большие домашние задания.

== Основной поток ПМИ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/yzaitseva Юлия Зайцева] || [https://t.me/VVKikteva Вероника Киктева] || [https://t.me/iamilyaboldyrev Илья Болдырев] || [https://t.me/the_Man_of_Spade Виктор Лопаткин] ||colspan="2"| [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/aperep Александр Перепечко] || [https://t.me/Vitalique_Iudelevich Виталий Юделевич] || [https://t.me/t1som Алина Никитина]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/The_best_cat_okk Михаил Фомичев] || [https://t.me/its_me_arlek1n0 Виктор Васильев] || [https://t.me/iraayugay Ирина Югай] || [https://t.me/dzagonov Дмитрий Загонов] || [https://t.me/denkruuk Денис Круковер] || [https://t.me/Ne_klumaks Вячеслав Газизов] || [https://t.me/karbarkarrr Варвара Сажина] || [https://t.me/Anilaniklot Илья Кравчук] || [https://t.me/lesha_hse Алексей Веляев] || [https://t.me/ilmsomuch Артём Кузнецов]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/oretskiy_greshok Анастасия Козлова] || [https://t.me/psinapsinovna Дарья Храмова] || [https://t.me/tr1pl3d0ttt Даниил Гузь] || [https://t.me/poltorq Яна Босякова] || [https://t.me/Ivan_Ovs Иван Овсянников] || [https://t.me/morz24 Алексей Токарев] || [https://t.me/Kkicune Алина Бариева] || [https://t.me/ullmrv Юлия Муравьёва] || [https://t.me/katkaeva Айса Каткаева] || [https://t.me/artyom_kotov04 Артём Абросимов]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="10"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

== Поток ЭАД ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БЭАД251 !! БЭАД252 !! БЭАД253 !! БЭАД254 !! БЭАД255 !! БЭАД256
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://www.hse.ru/org/persons/306101187 Алёна Зароднюк] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров] || [https://t.me/Artyom_Martirosov Артём Мартиросов]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/georgeanenko Георгий Аненко] || [https://t.me/ananananananaaa Анна Гуськова] || [https://t.me/levrudanin Лев Руданин] || [https://t.me/banbutsuno_hoshi Арсений Черваков] || [https://t.me/arslanyam Арслан Ямалетдинов] || [https://t.me/hgfghgfgfd Юрий Дзюба]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/bazingapog Николай Баринов] || [https://t.me/seletarina Арина Селетникова] || [https://t.me/sxbntm Алиса Карпинская] || [https://t.me/foma253 Александр Фомин] || [https://t.me/petrovegor2005 Егор Петров] || [https://t.me/grebenchik Варвара Гребенщикова]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="6"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

= Расписание консультаций =

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =

== 2-й модуль ==
Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,35*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,15*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==
Итоговая оценка за 3-4 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,32*Oэкз + 0,23*Oколл + 0,17*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

= Краткое содержание лекций =
== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (3.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1zeSqzJcF9HCsLP8I5_6GDhLON_9Yg-G4/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

'''Лекция 2''' (8.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1ZnXLPHY-U5sm2B7ut3FcEQi5V__P8Cjr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы.

'''Лекция 3''' (15.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1-i_w_8eFOIbocpFwmxKSJwWZKUF-5Zj3/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (29.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1XQ7qsLAgoXZDmLN2O3gq_yo59Dla3EB5/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Определение обратной матрицы. Обратная матрица как решение уравнения AX=E (пока без доказательства). Перестановки на множестве {1,2,...,n}. Инверсии в перестановке. Знак и чётность перестановки.

'''Лекция 5''' (6.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1RXoHKZJFY_Qtb8A4PN9QCc9cwQb_kiaz/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Произведение перестановок. Ассоциативность произведения перестановок. Теорема о знаке произведения перестановок. Тождественная перестановка. Обратная перестановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 6''' (13.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/19Us0dF6pZ5AkIR0JKKcDpnE1zDrOAnGY/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей.

'''Лекция 7''' (20.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1VPnqK-pW7APin5-0Qbf-5mzwGuBMvcJI/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Определитель обратной матрицы. Невырожденные матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости квадратной матрицы. Формулы Крамера.

'''Лекция 8''' (3.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1sTebhBZ3GIvKgrH3W1G2D_0r8DZSlFS1/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра.

'''Лекция 9''' (10.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/12X_M36Jo_SJwWhS4ooh24bNvfJrfJUTH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей. Векторные пространства, примеры. Простейшие следствия из аксиом векторного пространства.

'''Лекция 10''' (17.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1F6qGTlaNaYAFQ61b1xZ3JZubjWLr3gwK/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства. Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

'''Лекция 11''' (24.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1INsbcwSZhW3PsXYPRVfGm9zIbZ3wIGFr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Характеризация базисов в терминах единственности линейного выражения векторов. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

'''Лекция 12''' (1.12.2025). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 13''' (8.12.2025). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

'''Лекция 14''' (15.12.2025). Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому. Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения.

== 3-4 модули ==

'''Лекция 15''' (12.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/14-3xV-Z0GCJrTlPfa3nBX-g1G37aJrw9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Проекция вектора на подпространство вдоль дополнительного подпространства. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств.

'''Лекция 16''' (19.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1LXqyyiV6XxMuWyGdksmppduLcKP5aC9r/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Отображение, обратное к изоморфизму векторных пространств. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Изоморфные векторные пространства. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств. Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры.

'''Лекция 17''' (26.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/145a2hZQXWsvw2pRHXmrk-y-GimaCOvap/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений. Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно умножения на квадратную невырожденную матрицу слева или справа.

'''Лекция 18''' (2.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1E8-poOd9l8Bfy0bs8C42bbkjqHcsM7vb/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры. Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен ровно одному базису исходного пространства. Билинейные формы на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису.

'''Лекция 19''' (9.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1s1tbdpIFbNI1AsOVwAmlzrhPpwcTQgve/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису. Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Теорема о диагонализации симметричной билинейной формы. Симметричные элементарные преобразования квадратной матрицы. Симметричный алгоритм Гаусса. Угловые миноры матрицы. Метод Якоби для симметричных билинейных форм (формулировка).

'''Лекция 20''' (16.02.2026). Доказательство метода Якоби для симметричных билинейных форм. Квадратичные формы на векторном пространстве. Примеры. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции.

'''Лекция 21''' (16.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/19G3HvmxwJKheFzYoat1P2tnh-cetPJd8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Следствие метода Якоби о вычислении индексов инерции квадратичной формы над R. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши–Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства.

'''Лекция 22''' (2.03.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WVcqOhp-LmUxrpKkzHM-X4lnsluoTvyF/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональные векторы. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базис. Координаты вектора в ортогональном (ортонормированном) базисе. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Метод ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные матрицы и их свойства.

'''Лекция 23''' (2.03.2026). Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального (ортонормированного) базиса. Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве. Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Псевдорешение несовместной системы линейных уравнений. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов.

'''Лекция 24''' (16.03.2026). Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства. Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Векторное произведение, его выражение в координатах.

'''Лекция 25''' (23.03.2026). Смешанное произведение трёх векторов, его свойства. Критерий компланарности трёх векторов. Критерий коллинеарности двух векторов в терминах векторного произведения. Геометрические свойства векторного произведения. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии.

'''Лекция 26''' (6.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1gjBdszpSQFx6jx3Fpc9w77ksfvINYX-8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса.

'''Лекция 27''' (13.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1n0YFaR6QHBmQRSE77it93jx69S5f6AQL/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя. Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, согласованном с разложением пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора.

'''Лекция 28''' (20.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1KSkTmOkECufHy_FNQ2Eqi38tMrkAJlUT/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора. Связь между алгебраической и геометрической кратностями собственного значения линейного оператора. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений.

'''Лекция 29''' (27.04.2026). Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве. Отображение, сопряжённое к линейному отображению между двумя евклидовыми пространствами: определение, существование и единственность. Матрица сопряжённого отображения в паре произвольных и паре ортонормированных базисов. Сопряжённый оператор в евклидовом пространстве. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, семь эквивалентных условий.

'''Лекция 30''' (27.04.2026). Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Теорема о сингулярных базисах для линейного отображения евклидовых пространств.

'''Лекция 31''' (28.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1JyR0GgUyc5QRN9G8srWiaLLxdbCCCCKC/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сингулярное разложение матрицы и её сингулярные значения. Усечённое сингулярное разложение матрицы. Представление матрицы в виде суммы компонент ранга 1, связанное с её сингулярным разложением. Фробениусова норма матрицы, её инвариантность относительно умножения на ортогональную матрицу слева или справа. Теорема Эккарта-Янга о низкоранговом приближении.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

== 1-2 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1ihV-uQiZP9Fh9G3Sw3-uhX9hidE2xA5KZnWXtdxi3r8/edit?usp=sharing '''ИДЗ-1''']

[https://docs.google.com/document/d/1a9jbUnR4Z7X3JnRFTIIANgZyKBTUawXFk9oXLUMEYaw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1s-YEdgFk-OXKp3PLvZijI9jsOtgguEpTvxb9pFt26yE/edit?usp=sharing '''ИДЗ-3''']

[https://docs.google.com/document/d/1WQE4qZrVatcNPytB4nG1xOYzMB3H7ycKOdB1B139myI/edit?usp=sharing '''ИДЗ-4''']

== 3-4 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1_JHDKX8Sq1iMVCcnpt2lDLIVEdQMuLuhk-p0ghncp9U/edit?usp=sharing '''ИДЗ-5''']

[https://docs.google.com/document/d/14PWMZIQF0lnCNTWFe5Izf3aR0nu40HLgE3bOuz5NWwA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-6''']

[https://docs.google.com/document/d/16zdghtjup8Fqqf6pg8SRXFe9AYKnvhC6WzpVQu9XDOw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-7''']

[https://docs.google.com/document/d/1yjHURRAdZ8ifynzTD-lu0CMUljvdRQoqL6xtExL4nAk/edit?usp=sharing '''ИДЗ-8''']

[https://docs.google.com/document/d/17VGGhZIDKzv9Td_Zg2qim8zu7XPNlDUoHew82AipejA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-9''']

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

[https://docs.google.com/document/d/1k_Wt9P9aISwRhM_0mo4TQ8vHUjrn7N0j/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-1''']

[https://docs.google.com/document/d/11np0omXwFYVmrWuCJXMS9GSrBPBjU-OV/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-2''']

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата-время: 15 ноября, 15:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1V78nBf6w0Mb_Kz0fI_gETdwgK38DoIAShiVnpQjhHnw/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1Iv2V2flblwWIHQWPKem3SA2QBLA6E5jq/view?usp=sharing '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.
*Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
*Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8–18.11
*Перестановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
*Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
*Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316
Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

== 4-й модуль ==

Дата-время: 18 апреля, 18:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1bYjzRzkDHqGwziLEmBW7IdydmvTdGBipj-b7ayxwt7w/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1wnTJ11B4QIUeSnFxFbcOoLw7BMYOcCXH/view?usp=drive_link '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Задание подпространств системами линейных уравнений: П 1312, 1313, К 35.16

*Матрицы перехода, преобразование координат вектора при замене базиса: П 1280–1283, К 34.10–34.12; задача 2 из ИДЗ-5

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства, разложение в прямую сумму подпространств: П 1317, 1318, 1320–1322; К 35.14, 35.15; задачи 3–5 из ИДЗ-5

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434–1438, 1441–1446, 1449, 1450; К 36.3, 36.4, 39.15, 39.16; задачи 1,2 из ИДЗ-6

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения, приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали: К 39.5; задачи 3,4 из ИДЗ-6

*Линейные функции и двойственные базисы: К 36.9, 36.10; задача 5 из ИДЗ-6

*Билинейные и квадратичные формы, их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10, 38.15, 38.16

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175–1186; К 38.8, 38.18(а–г)

*Исследование квадратичных форм на положительную и отрицательную определённость, а также определение нормального вида в зависимости от значений параметра: П 1212–1216; К 38.11(а–г), 38.14(а,б) + для каждого номера определить нормальный вид квадратичной формы в зависимости от значений параметра

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357–1363; К 43.7(а–г), 43.15(а–в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370–1372; К 43.19(а–в)

*Объём k-мерного параллелепипеда: К 43.36

*Линейные многообразия: П 1374; К 43.21(а–г), 51.7

*Векторное и смешанное произведения в R^3: КК 25.5, 25.7, 25.17, 25.18, 25.24, 25.35–25.38, 25.49, 25.59, 25.61

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28–26.37, 26.39–26.47, 26.50, 27.34, 27.39–27.42, 31.1–31.3, 31.5–31.8, 31.21–31.25, 31.27–31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 31.13–31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 25.58, 32.28–32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38–32.40

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==
Даты: 10 декабря для ЭАД, 13 декабря для ПМИ

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1hFMODfRvZ51zYqkyJi5EKpipO5B613na/view?usp=sharing '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1u61pDMSL-3ImwtjMLNmle3WabfSMsBGd/view?usp=sharing '''Список вопросов на доказательство''']

'''Формат проведения:'''

Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, на написание которых даётся 10 минут, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4-5 вопросами на доказательство. На написание первых двух вопросов даётся 25 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности.

== 4-й модуль ==
Даты: 29-30 мая

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1TOFHODQwiBC8eAZ1RBSjpZ9W9qHXz2ld/view?usp=drive_link '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1oqRbzS_hovcZ6G_BqjLMxKSuaRn01pEc/view?usp=drive_link '''Список вопросов на доказательство''']

= Экзамены =

Формат проведения: письменная работа

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

== 2-й модуль ==

Дата-время: 26 декабря, 9:30

Продолжительность работы: 160 минут (2 часа 40 минут)

[https://drive.google.com/file/d/1Bi3phiOeLa_FwpoQU7DQDQkQL8T69NFF/view?usp=drive_link '''Условия задач с экзамена''']

[https://docs.google.com/document/d/196BdHN84U9suOqvrDva-jh5IebD828wZd385M50vEWE/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению экзамена''']

Материалы для подготовки к экзамену:

I: [https://drive.google.com/file/d/1zxh4S7wGLkrzdn_GL4ujySAgfJXkmadN/view?usp=sharing '''список определений и формулировок''']

II: список задач для подготовки к 1-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 21.9, 22.7
*Линейная зависимость в векторных пространствах: П 639–644, 646–650, 652–655, 1824–1828; К 34.2, 34.3
*Линейные комбинации, линейные оболочки: П 665–669, 679–681 (база = максимальная линейно независимая подсистема)
*Подпространства, базис, размерность: П 1297–1304, 1308, 1310–1313; К 34.14, 35.2, 35.3, 35.7(а,в,г), 35.8, 35.11, 35.16
*Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных экзаменов прошлых лет.

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=798212250#gid=798212250 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1905063984#gid=1905063984 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1143931348#gid=1143931348 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1571389748#gid=1571389748 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1008226585#gid=1008226585 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=196141806#gid=196141806 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2082325635#gid=2082325635 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=141028840#gid=141028840 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1342717045#gid=1342717045 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=183207489#gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2014615374#gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1795822500#gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1130562098#gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2082037908#gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=91924820#gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1290636010#gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=877068035#gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1036271056#gid=1036271056 Э256]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=735451668#gid=735451668 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=669963605#gid=669963605 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1959871710#gid=1959871710 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=103812329#gid=103812329 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=944808823#gid=944808823 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1765292157#gid=1765292157 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=590665666#gid=590665666 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=455919933#gid=455919933 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1889630406#gid=1889630406 Э256]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=495362391#gid=495362391 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1018299486#gid=1018299486 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1364062586#gid=1364062586 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1423608094#gid=1423608094 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=96823731#gid=96823731 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=776758101#gid=776758101 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1608052002#gid=1608052002 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=689894434#gid=689894434 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=331922030#gid=331922030 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 2-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1036271056 Э256]
|}

= Кстати =

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

= Ссылки =

[https://t.me/LA_256_sem Telegram-канал семинаров в группе БПМИ256]

[https://t.me/linal258 Telegram-канал семинаров в группе БПМИ258]

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-13T21:58:55Z

Ravdeev: /* Контрольная работа */

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-13T21:54:37Z

Ravdeev: /* Домашние задания */

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-13T21:54:03Z

Ravdeev: /* Листки с задачами */

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-13T21:52:43Z

Ravdeev: /* Краткое содержание лекций */

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (пилотный поток)

2026-05-12T16:13:34Z

Ravdeev: /* 3-4 модули */

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/305113883 Екатерина Нистюк] || [https://www.hse.ru/org/persons/304055991 Юля Зайцева] || [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/350789943 Антон Трушин] || [https://www.hse.ru/org/persons/350789943 Антон Трушин] || [https://www.hse.ru/org/persons/856267465/ Михаил Игнатьев]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/evisqq Хаким Вердиев] и [https://t.me/kalDima1218 Дмитрий Калугин] || [https://t.me/fynjybath Антон Ныйкин] и [https://t.me/thisariv Вова Родин] || [https://t.me/op_invalid Михаил Бугрышев] и [https://t.me/Semi4 Андрей Павлов] || [https://t.me/bibihoya Юлия Баранова] и [https://t.me/katyatyurr Катя Тюрина] || [https://t.me/elizazh Елизавета Жукова] и [https://t.me/olimpiadnyikomik Анастасия Одинцова]
|}

= Расписание консультаций =

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница !! суббота !! воскресенье
|-
| <center>1</center> || Дима Трушин || || || pending || || || ||
|-
| <center>2</center> || Юля Зайцева || || || || || || ||
|-
| <center>3</center> || Михаил Игнатьев || || || || || || ||
|-
| <center>4</center> || Антон Трушин || || || || || || ||
|}

* Просьба предупреждать, если планируете прийти, возможны изменения

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус к накопленной оценке:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =
== 2-й модуль ==

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

'''Итоговая оценка за курс -- оценка за 4-ый модуль.'''

= Краткое содержание лекций =

== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (03.09.2025). Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса. Матрицы и матричные операции.

'''Лекция 2''' (10.09.2025). Дефекты матричных операций. Связь с линейными уравнениями. Деление и обратимость матриц. Левая и правая обратная, двусторонняя обратимость только для квадратных матриц. Матрицы элементарных преобразований. Невырожденность матриц: 6 эквивалентных определений.

'''Лекция 3''' (17.09.2025) Следствия 6 эквивалентных определений. Массовое решение систем. Поиск обратной матрицы Гауссом. Блочные формулы умножения матриц. Метод восстановления главных переменных через множество решений. Единственность улучшенного ступенчатого вида матрицы. Классификация систем с одинаковым множеством решений.

'''Лекция 4''' (24.09.2024) Полиномиальное исчисление от матриц. Существование многочлена зануляющего матрицу. Спектр матрицы. Минимальный многочлен и его связь со спектром. Наивная оценка на степень минимального многочлена.

'''Лекция 5''' (01.10.2025) Перестановки. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки. Существование и единственность знака перестановки.

'''Лекция 6''' (08.10.2025) Три подхода к определителям: (I) явная формула с помощью перестановок, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) согласованность с умножением. Вычисление по явной формуле для верхнетреугольных матриц и в случае размерностей 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Полилинейность определителя (импликация (I)=>(II)). Определитель элементарных матриц. Классификация полилинейных отображений. Доказательство импликации (II)=>(I).

'''Лекция 7''' (15.10.2025) Мультипликативность определителя (импликация (II)=>(III)), определитель с углом нулей и определитель блочно верхнетреугольной матрицы. Импликация (III)=>(I). Миноры и алгебраические дополнения, присоединенная матрица. Разложение определителя по строке или столбцу. Явные формулы для обратной матрицы.

'''Лекция 8''' (22.10.2025) Формулы Крамера. Характеристический многочлен. Связь характеристического многочлена со спектром. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли.

'''Лекция 9''' (5.11.2025) Определение поля. Определение подполя и изоморфизма полей, изоморфизм над подполем. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Различные операции на комплексных числах, геометрическая модель. План доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

'''Лекция 10''' (12.11.2025) Доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

'''Лекция 11''' (19.11.2025) Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость. Примеры пространств и подпространств. Порождающая система, линейная оболочка.

'''Лекция 12''' (26.11.2025) Три эквивалентных определения базиса. Понятие размерности. Конечномерные векторные пространства. Понятие координат вектора. Описание всех базисов в терминах одного.

'''Лекция 13''' (3.12.2025) Фундаментальная система решений. Пять определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Неизменность первых четырех рангов при домножении на обратимую матрицу слева и справа и их совпадение. Совпадение минорного ранга с остальными.

'''Лекция 14''' (10.12.2025) Линейные отображения, примеры. Изоморфизмы. Операции на линейных отображениях, структура векторного пространства. Критерий существования линейного отображения в терминах базиса, критерий изоморфности векторных пространств. Матрица линейного отображения и ее связь с операциями на линейных отображениях. Замена матрицы линейного отображения при смене базисов. Образ и ядро. Критерий инъективности и сюръективности в их терминах.

'''Лекция 15''' (17.12.2025) Оценка ранга произведения матриц. Связь размерности ядра и образа линейного отображения. Классификация линейных отображений. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей. Линейная независимость подрпостранств. Внешние и внутренние прямые суммы (6 эквивалентных определений).

== 3-4 модули ==

'''Лекция 16''' (14.01.2026). Линейные операторы, определения и примеры, проекторы. Матрица линейного оператора, смена матрицы при замене базиса. Характеристики линейного оператора: след, определитель, характеристический многочлен, минимальный многочлен, спектр, ранг. Критерии обратимости линейного оператора.

'''Лекция 17''' (21.01.2026). Инвариантные подпространства и связь с углом нулей. Инвариантность ядра и образа относительно коммутирующего оператора. Собственные подпространства. Связь собственных значений со спектром. Корневые подпространства. Лемма о стабилизации образа и ядра степени линейного оператора.

'''Лекция 18''' (28.01.2026). Кратность собственных значений. Существование ненулевого собственного вектора над алгебраически замкнутым полем. Линейная независимость собственных и корневых подпространств. Критерий диагонализуемости линейного оператора.

'''Лекция 19''' (4.02.2026). Свойства ограничения оператора. Приведение к верхнетреугольному виду матрицы оператора. Утверждение о подстановке оператора во взаимно простые многочлены. Теорема о разложении через зануляющий многочлен. Разложение пространства в прямую сумму корневых. Описание инвариантных подпространств.

'''Лекция 20''' (11.02.2026). Идеальный спектр и его описание в терминах минимального многочлена, в терминах характеристического многочлена (БД). Обобщение корневых и собственных подпространств на идеальный спектр. Минимальные инвариантные подпространства в собственном подпространстве для идеального спектра.

'''Лекция 21''' (18.02.2026). Отношение равенства по модулю подпространства. Линейная независимость, порождающие и базис по модулю подпространства (определения и критерии). Определение жорданова базиса и жордановой нормальной формы (ЖНФ). Теорема о ЖНФ для нильпотентных операторов: единственность и формула для количества клеток.

'''Лекция 22''' (25.02.2026). Теорема о ЖНФ для произвольного оператора: существование и единственность. Классификация линейных операторов. Функционалы: двойственное (сопряжённое) пространство с примерами. Понятие о двойственном базисе. Связь размерности пространства и его двойственного.

'''Лекция 23''' (4.03.2026). Наличие функционала, не равного нулю на заданном векторе. Векторы -- это функции на функциях, изоморфизм векторного пространства на своё второе сопряжённое. Конструкция сопряжённого линейного отображения. Матрица сопряжённого линейного отображения в двойственном базисе. Согласованность изоморфизма векторного пространства с вторым сопряжённым и конструкции сопряжённого линейного отображения.

'''Лекция 24''' (11.03.2026). Билинейные формы, примеры, естественная билинейная форма между пространством и сопряжённым. Матрица билинейной формы. Конструирование билинейных форм по значениям на паре базисов. Смена матрицы билинейной формы. Билинейные формы и матричный формализм. Ранг билинейной формы. Левые и правые ортогональные дополнения, ядра формы, невырожденность в терминах ядра. Связь ранга с размерностями ядер.

'''Лекция 25''' (18.03.2026). Двойственность для подпространств относительно невырожденной билинейной формы. Двойственность для линейных отображений (альтернатива Фредгольма). Связь инвариантности подпространств для линейного оператора и сопряжённого к нему. Билинейные формы на одном пространстве. Симметричность и кососимметричность формы. Замечание про поле характеристики 2.

'''Лекция 26''' (1.04.2026). Матрицы симметричных и кососимметричных билинейных форм. Матричные характеристики билинейных форм. Разложение любой билинейной формы (на одном пространстве при обратимости двойки в поле) в сумму симметрической и кососимметрической. Ограничение билинейной формы на подпространство. Невырожденность ограничения. Диагонализуемость симметрических форм (замечание про характеристику 2). Симметричный Гаусс.

'''Лекция 27''' (8.04.2026). Метод Якоби. Алгоритм диагонализации на основе метода Якоби. Квадратичные формы. Связь квадратичных и билинейных форм. Классификация симметричных билинейных форм над алгебраически замкнутым полем. Классификация симметричных билинейных форм над полем вещественных чисел и сигнатура.

'''Лекция 28''' (15.04.2026). Геометрический смысл сигнатуры. Положительная и отрицательная определённость формы над полем вещественных чисел. Критерий Сильвестра. Графики квадратичных форм. Анализ поверхности. Евклидовы пространства и скалярные произведения. Понятие длины вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла в евклидовом пространстве. Классификация евклидовых пространств. Ортогональные и ортонормированные базисы. Ортогонализация Грама-Шмидта.

'''Лекция 29''' (21.04.2026). Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. Формула BABA для проектора. Формула Aтата для ортопроектора. Формула для ортогональной проекции в терминах ортогонального базиса подпространства. Расстояние в евклидовом пространстве. Утверждение о расстоянии и угле между вектором и подпространством. Метод наименьших квадратов.

'''Лекция 30''' (28.04.2026). Классификация ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса. Ортогональные матрицы. Теорема Пифагора. Матрица Грама и её свойства. k-мерные объёмы через матрицу Грама и рекуррентная формула. Изменение объёма при смене образующих параллелепипеда и при действии линейного оператора. Понятие ориентации в евклидовом пространстве. Ориентированный n-мерный объём.

'''Лекция 31''' (12.05.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1d0L4aCJgJxssURoVq3zsQSdbUpgCBnZp/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Изменение ориентированного объёма при смене образующих параллелепипеда. Связь ориентированного объёма с определителем. Изменение ориентированного объёма под действием оператора. Комплексные векторные пространства. Полуторалинейные формы, матрица полуторалинейной формы и формула её изменения при смене базиса. Эрмитово сопряжение матрицы. Ортогональные дополнения. Квадратичные формы для полуторалинейных форм. Поляризационная формула. Соответствие между полуторалинейными формами и квадратичными формами. Эрмитовы и косоэрмитовы формы, интерпретация этих свойств в терминах матриц. Вещественность значений квадратичной формы для эрмитовой полуторалинейной формы. Диагонализация эрмитовых и косоэрмитовых форм. Классификация эрмитовых форм. Положительная и отрицательная определённость эрмитовых форм. Метод Якоби. Критерий Сильвестра.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с основного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка до 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата контрольной работы -- 13 декабря. Время и правила проведения контрольной TBA.

== 4-й модуль ==

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==

Дата проведения коллоквиума -- 19 декабря. Точные условия и правила TBA.

== 4-й модуль ==

= Экзамен =

== 2-й модуль ==

== 4-й модуль ==

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1174728025#gid=1174728025 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1318652803#gid=1318652803 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=677514736#gid=677514736 255]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1995105946#gid=1995105946 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1174728025#gid=1174728025 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1318652803#gid=1318652803 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=677514736#gid=677514736 255]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

= Ссылки =

* Общие

# [https://t.me/+HFM6V67xD285ZThi Канал] в Telegram
# [https://github.com/DimaTrushin/LinearAlgebra Лекции] на github.
# [https://github.com/DimaTrushin/LinearAlgebraAlgorithms Алгоритмы] на github.

* Группы 251 и 253

# [https://t.me/+RVTRVbj6wlsxYmEy Группа] в Telegram
# [https://disk.yandex.ru/d/U10JdTvXCFR3Dg Материалы] семинаров и домашние задания

= Литература =

== Учебники ==

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* S. Axler. Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997 (или любое последующее издание)

== Сборники задач ==

* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (пилотный поток)

2026-05-12T16:04:58Z

Ravdeev: /* Преподаватели и учебные ассистенты */

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/305113883 Екатерина Нистюк] || [https://www.hse.ru/org/persons/304055991 Юля Зайцева] || [https://www.hse.ru/org/persons/209508745 Дима Трушин], [https://www.hse.ru/org/persons/350789943 Антон Трушин] || [https://www.hse.ru/org/persons/350789943 Антон Трушин] || [https://www.hse.ru/org/persons/856267465/ Михаил Игнатьев]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/evisqq Хаким Вердиев] и [https://t.me/kalDima1218 Дмитрий Калугин] || [https://t.me/fynjybath Антон Ныйкин] и [https://t.me/thisariv Вова Родин] || [https://t.me/op_invalid Михаил Бугрышев] и [https://t.me/Semi4 Андрей Павлов] || [https://t.me/bibihoya Юлия Баранова] и [https://t.me/katyatyurr Катя Тюрина] || [https://t.me/elizazh Елизавета Жукова] и [https://t.me/olimpiadnyikomik Анастасия Одинцова]
|}

= Расписание консультаций =

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница !! суббота !! воскресенье
|-
| <center>1</center> || Дима Трушин || || || pending || || || ||
|-
| <center>2</center> || Юля Зайцева || || || || || || ||
|-
| <center>3</center> || Михаил Игнатьев || || || || || || ||
|-
| <center>4</center> || Антон Трушин || || || || || || ||
|}

* Просьба предупреждать, если планируете прийти, возможны изменения

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус к накопленной оценке:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =
== 2-й модуль ==

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==

Формула для накопленной оценки:

Oнакопленная = 0,36 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,25 * Oд/з + 0,14 * Oсем + 0,1 * Oл,

где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.

В этой формуле используется ''неокруглённое'' значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

'''Итоговая оценка за курс -- оценка за 4-ый модуль.'''

= Краткое содержание лекций =

== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (03.09.2025). Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса. Матрицы и матричные операции.

'''Лекция 2''' (10.09.2025). Дефекты матричных операций. Связь с линейными уравнениями. Деление и обратимость матриц. Левая и правая обратная, двусторонняя обратимость только для квадратных матриц. Матрицы элементарных преобразований. Невырожденность матриц: 6 эквивалентных определений.

'''Лекция 3''' (17.09.2025) Следствия 6 эквивалентных определений. Массовое решение систем. Поиск обратной матрицы Гауссом. Блочные формулы умножения матриц. Метод восстановления главных переменных через множество решений. Единственность улучшенного ступенчатого вида матрицы. Классификация систем с одинаковым множеством решений.

'''Лекция 4''' (24.09.2024) Полиномиальное исчисление от матриц. Существование многочлена зануляющего матрицу. Спектр матрицы. Минимальный многочлен и его связь со спектром. Наивная оценка на степень минимального многочлена.

'''Лекция 5''' (01.10.2025) Перестановки. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки. Существование и единственность знака перестановки.

'''Лекция 6''' (08.10.2025) Три подхода к определителям: (I) явная формула с помощью перестановок, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) согласованность с умножением. Вычисление по явной формуле для верхнетреугольных матриц и в случае размерностей 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Полилинейность определителя (импликация (I)=>(II)). Определитель элементарных матриц. Классификация полилинейных отображений. Доказательство импликации (II)=>(I).

'''Лекция 7''' (15.10.2025) Мультипликативность определителя (импликация (II)=>(III)), определитель с углом нулей и определитель блочно верхнетреугольной матрицы. Импликация (III)=>(I). Миноры и алгебраические дополнения, присоединенная матрица. Разложение определителя по строке или столбцу. Явные формулы для обратной матрицы.

'''Лекция 8''' (22.10.2025) Формулы Крамера. Характеристический многочлен. Связь характеристического многочлена со спектром. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли.

'''Лекция 9''' (5.11.2025) Определение поля. Определение подполя и изоморфизма полей, изоморфизм над подполем. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Различные операции на комплексных числах, геометрическая модель. План доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

'''Лекция 10''' (12.11.2025) Доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

'''Лекция 11''' (19.11.2025) Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость. Примеры пространств и подпространств. Порождающая система, линейная оболочка.

'''Лекция 12''' (26.11.2025) Три эквивалентных определения базиса. Понятие размерности. Конечномерные векторные пространства. Понятие координат вектора. Описание всех базисов в терминах одного.

'''Лекция 13''' (3.12.2025) Фундаментальная система решений. Пять определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Неизменность первых четырех рангов при домножении на обратимую матрицу слева и справа и их совпадение. Совпадение минорного ранга с остальными.

'''Лекция 14''' (10.12.2025) Линейные отображения, примеры. Изоморфизмы. Операции на линейных отображениях, структура векторного пространства. Критерий существования линейного отображения в терминах базиса, критерий изоморфности векторных пространств. Матрица линейного отображения и ее связь с операциями на линейных отображениях. Замена матрицы линейного отображения при смене базисов. Образ и ядро. Критерий инъективности и сюръективности в их терминах.

'''Лекция 15''' (17.12.2025) Оценка ранга произведения матриц. Связь размерности ядра и образа линейного отображения. Классификация линейных отображений. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей. Линейная независимость подрпостранств. Внешние и внутренние прямые суммы (6 эквивалентных определений).

== 3-4 модули ==

'''Лекция 16''' (14.01.2026). Линейные операторы, определения и примеры, проекторы. Матрица линейного оператора, смена матрицы при замене базиса. Характеристики линейного оператора: след, определитель, характеристический многочлен, минимальный многочлен, спектр, ранг. Критерии обратимости линейного оператора.

'''Лекция 17''' (21.01.2026). Инвариантные подпространства и связь с углом нулей. Инвариантность ядра и образа относительно коммутирующего оператора. Собственные подпространства. Связь собственных значений со спектром. Корневые подпространства. Лемма о стабилизации образа и ядра степени линейного оператора.

'''Лекция 18''' (28.01.2026). Кратность собственных значений. Существование ненулевого собственного вектора над алгебраически замкнутым полем. Линейная независимость собственных и корневых подпространств. Критерий диагонализуемости линейного оператора.

'''Лекция 19''' (4.02.2026). Свойства ограничения оператора. Приведение к верхнетреугольному виду матрицы оператора. Утверждение о подстановке оператора во взаимно простые многочлены. Теорема о разложении через зануляющий многочлен. Разложение пространства в прямую сумму корневых. Описание инвариантных подпространств.

'''Лекция 20''' (11.02.2026). Идеальный спектр и его описание в терминах минимального многочлена, в терминах характеристического многочлена (БД). Обобщение корневых и собственных подпространств на идеальный спектр. Минимальные инвариантные подпространства в собственном подпространстве для идеального спектра.

'''Лекция 21''' (18.02.2026). Отношение равенства по модулю подпространства. Линейная независимость, порождающие и базис по модулю подпространства (определения и критерии). Определение жорданова базиса и жордановой нормальной формы (ЖНФ). Теорема о ЖНФ для нильпотентных операторов: единственность и формула для количества клеток.

'''Лекция 22''' (25.02.2026). Теорема о ЖНФ для произвольного оператора: существование и единственность. Классификация линейных операторов. Функционалы: двойственное (сопряжённое) пространство с примерами. Понятие о двойственном базисе. Связь размерности пространства и его двойственного.

'''Лекция 23''' (4.03.2026). Наличие функционала, не равного нулю на заданном векторе. Векторы -- это функции на функциях, изоморфизм векторного пространства на своё второе сопряжённое. Конструкция сопряжённого линейного отображения. Матрица сопряжённого линейного отображения в двойственном базисе. Согласованность изоморфизма векторного пространства с вторым сопряжённым и конструкции сопряжённого линейного отображения.

'''Лекция 24''' (11.03.2026). Билинейные формы, примеры, естественная билинейная форма между пространством и сопряжённым. Матрица билинейной формы. Конструирование билинейных форм по значениям на паре базисов. Смена матрицы билинейной формы. Билинейные формы и матричный формализм. Ранг билинейной формы. Левые и правые ортогональные дополнения, ядра формы, невырожденность в терминах ядра. Связь ранга с размерностями ядер.

'''Лекция 25''' (18.03.2026). Двойственность для подпространств относительно невырожденной билинейной формы. Двойственность для линейных отображений (альтернатива Фредгольма). Связь инвариантности подпространств для линейного оператора и сопряжённого к нему. Билинейные формы на одном пространстве. Симметричность и кососимметричность формы. Замечание про поле характеристики 2.

'''Лекция 26''' (1.04.2026). Матрицы симметричных и кососимметричных билинейных форм. Матричные характеристики билинейных форм. Разложение любой билинейной формы (на одном пространстве при обратимости двойки в поле) в сумму симметрической и кососимметрической. Ограничение билинейной формы на подпространство. Невырожденность ограничения. Диагонализуемость симметрических форм (замечание про характеристику 2). Симметричный Гаусс.

'''Лекция 27''' (8.04.2026). Метод Якоби. Алгоритм диагонализации на основе метода Якоби. Квадратичные формы. Связь квадратичных и билинейных форм. Классификация симметричных билинейных форм над алгебраически замкнутым полем. Классификация симметричных билинейных форм над полем вещественных чисел и сигнатура.

'''Лекция 28''' (15.04.2026). Геометрический смысл сигнатуры. Положительная и отрицательная определённость формы над полем вещественных чисел. Критерий Сильвестра. Графики квадратичных форм. Анализ поверхности. Евклидовы пространства и скалярные произведения. Понятие длины вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие угла в евклидовом пространстве. Классификация евклидовых пространств. Ортогональные и ортонормированные базисы. Ортогонализация Грама-Шмидта.

'''Лекция 29''' (21.04.2026). Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. Формула BABA для проектора. Формула Aтата для ортопроектора. Формула для ортогональной проекции в терминах ортогонального базиса подпространства. Расстояние в евклидовом пространстве. Утверждение о расстоянии и угле между вектором и подпространством. Метод наименьших квадратов.

'''Лекция 30''' (28.04.2026). Классификация ортонормированных базисов в терминах одного ортонормированного базиса. Ортогональные матрицы. Теорема Пифагора. Матрица Грама и её свойства. k-мерные объёмы через матрицу Грама и рекуррентная формула. Изменение объёма при смене образующих параллелепипеда и при действии линейного оператора. Понятие ориентации в евклидовом пространстве. Ориентированный n-мерный объём.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с основного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка до 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата контрольной работы -- 13 декабря. Время и правила проведения контрольной TBA.

== 4-й модуль ==

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==

Дата проведения коллоквиума -- 19 декабря. Точные условия и правила TBA.

== 4-й модуль ==

= Экзамен =

== 2-й модуль ==

== 4-й модуль ==

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1174728025#gid=1174728025 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1318652803#gid=1318652803 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=677514736#gid=677514736 255]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1995105946#gid=1995105946 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1174728025#gid=1174728025 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1318652803#gid=1318652803 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=677514736#gid=677514736 255]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=816668604#gid=816668604 255]
|}

= Ссылки =

* Общие

# [https://t.me/+HFM6V67xD285ZThi Канал] в Telegram
# [https://github.com/DimaTrushin/LinearAlgebra Лекции] на github.
# [https://github.com/DimaTrushin/LinearAlgebraAlgorithms Алгоритмы] на github.

* Группы 251 и 253

# [https://t.me/+RVTRVbj6wlsxYmEy Группа] в Telegram
# [https://disk.yandex.ru/d/U10JdTvXCFR3Dg Материалы] семинаров и домашние задания

= Литература =

== Учебники ==

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* S. Axler. Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997 (или любое последующее издание)

== Сборники задач ==

* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-07T21:05:14Z

Ravdeev: /* 3-4 модули */

Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"

Telegram-канал: https://t.me/LA_25_AMI_osn_EDA

= Преподаватели и учебные ассистенты =

Обратите внимание, что учебный ассистент1 отвечает за регулярные домашние задания, а учебный ассистент2 -- за большие домашние задания.

== Основной поток ПМИ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/yzaitseva Юлия Зайцева] || [https://t.me/VVKikteva Вероника Киктева] || [https://t.me/iamilyaboldyrev Илья Болдырев] || [https://t.me/the_Man_of_Spade Виктор Лопаткин] ||colspan="2"| [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/aperep Александр Перепечко] || [https://t.me/Vitalique_Iudelevich Виталий Юделевич] || [https://t.me/t1som Алина Никитина]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/The_best_cat_okk Михаил Фомичев] || [https://t.me/its_me_arlek1n0 Виктор Васильев] || [https://t.me/iraayugay Ирина Югай] || [https://t.me/dzagonov Дмитрий Загонов] || [https://t.me/denkruuk Денис Круковер] || [https://t.me/Ne_klumaks Вячеслав Газизов] || [https://t.me/karbarkarrr Варвара Сажина] || [https://t.me/Anilaniklot Илья Кравчук] || [https://t.me/lesha_hse Алексей Веляев] || [https://t.me/ilmsomuch Артём Кузнецов]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/oretskiy_greshok Анастасия Козлова] || [https://t.me/psinapsinovna Дарья Храмова] || [https://t.me/tr1pl3d0ttt Даниил Гузь] || [https://t.me/poltorq Яна Босякова] || [https://t.me/Ivan_Ovs Иван Овсянников] || [https://t.me/morz24 Алексей Токарев] || [https://t.me/Kkicune Алина Бариева] || [https://t.me/ullmrv Юлия Муравьёва] || [https://t.me/katkaeva Айса Каткаева] || [https://t.me/artyom_kotov04 Артём Абросимов]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="10"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

== Поток ЭАД ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БЭАД251 !! БЭАД252 !! БЭАД253 !! БЭАД254 !! БЭАД255 !! БЭАД256
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://www.hse.ru/org/persons/306101187 Алёна Зароднюк] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров] || [https://t.me/Artyom_Martirosov Артём Мартиросов]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/georgeanenko Георгий Аненко] || [https://t.me/ananananananaaa Анна Гуськова] || [https://t.me/levrudanin Лев Руданин] || [https://t.me/banbutsuno_hoshi Арсений Черваков] || [https://t.me/arslanyam Арслан Ямалетдинов] || [https://t.me/hgfghgfgfd Юрий Дзюба]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/bazingapog Николай Баринов] || [https://t.me/seletarina Арина Селетникова] || [https://t.me/sxbntm Алиса Карпинская] || [https://t.me/foma253 Александр Фомин] || [https://t.me/petrovegor2005 Егор Петров] || [https://t.me/grebenchik Варвара Гребенщикова]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="6"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

= Расписание консультаций =

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =

== 2-й модуль ==
Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,35*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,15*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==
Итоговая оценка за 3-4 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,32*Oэкз + 0,23*Oколл + 0,17*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

= Краткое содержание лекций =
== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (3.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1zeSqzJcF9HCsLP8I5_6GDhLON_9Yg-G4/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

'''Лекция 2''' (8.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1ZnXLPHY-U5sm2B7ut3FcEQi5V__P8Cjr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы.

'''Лекция 3''' (15.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1-i_w_8eFOIbocpFwmxKSJwWZKUF-5Zj3/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (29.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1XQ7qsLAgoXZDmLN2O3gq_yo59Dla3EB5/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Определение обратной матрицы. Обратная матрица как решение уравнения AX=E (пока без доказательства). Перестановки на множестве {1,2,...,n}. Инверсии в перестановке. Знак и чётность перестановки.

'''Лекция 5''' (6.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1RXoHKZJFY_Qtb8A4PN9QCc9cwQb_kiaz/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Произведение перестановок. Ассоциативность произведения перестановок. Теорема о знаке произведения перестановок. Тождественная перестановка. Обратная перестановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 6''' (13.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/19Us0dF6pZ5AkIR0JKKcDpnE1zDrOAnGY/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей.

'''Лекция 7''' (20.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1VPnqK-pW7APin5-0Qbf-5mzwGuBMvcJI/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Определитель обратной матрицы. Невырожденные матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости квадратной матрицы. Формулы Крамера.

'''Лекция 8''' (3.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1sTebhBZ3GIvKgrH3W1G2D_0r8DZSlFS1/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра.

'''Лекция 9''' (10.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/12X_M36Jo_SJwWhS4ooh24bNvfJrfJUTH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей. Векторные пространства, примеры. Простейшие следствия из аксиом векторного пространства.

'''Лекция 10''' (17.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1F6qGTlaNaYAFQ61b1xZ3JZubjWLr3gwK/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства. Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

'''Лекция 11''' (24.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1INsbcwSZhW3PsXYPRVfGm9zIbZ3wIGFr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Характеризация базисов в терминах единственности линейного выражения векторов. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

'''Лекция 12''' (1.12.2025). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 13''' (8.12.2025). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

'''Лекция 14''' (15.12.2025). Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому. Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения.

== 3-4 модули ==

'''Лекция 15''' (12.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/14-3xV-Z0GCJrTlPfa3nBX-g1G37aJrw9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Проекция вектора на подпространство вдоль дополнительного подпространства. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств.

'''Лекция 16''' (19.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1LXqyyiV6XxMuWyGdksmppduLcKP5aC9r/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Отображение, обратное к изоморфизму векторных пространств. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Изоморфные векторные пространства. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств. Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры.

'''Лекция 17''' (26.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/145a2hZQXWsvw2pRHXmrk-y-GimaCOvap/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений. Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно умножения на квадратную невырожденную матрицу слева или справа.

'''Лекция 18''' (2.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1E8-poOd9l8Bfy0bs8C42bbkjqHcsM7vb/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры. Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен ровно одному базису исходного пространства. Билинейные формы на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису.

'''Лекция 19''' (9.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1s1tbdpIFbNI1AsOVwAmlzrhPpwcTQgve/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису. Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Теорема о диагонализации симметричной билинейной формы. Симметричные элементарные преобразования квадратной матрицы. Симметричный алгоритм Гаусса. Угловые миноры матрицы. Метод Якоби для симметричных билинейных форм (формулировка).

'''Лекция 20''' (16.02.2026). Доказательство метода Якоби для симметричных билинейных форм. Квадратичные формы на векторном пространстве. Примеры. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции.

'''Лекция 21''' (16.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/19G3HvmxwJKheFzYoat1P2tnh-cetPJd8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Следствие метода Якоби о вычислении индексов инерции квадратичной формы над R. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши–Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства.

'''Лекция 22''' (2.03.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WVcqOhp-LmUxrpKkzHM-X4lnsluoTvyF/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональные векторы. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базис. Координаты вектора в ортогональном (ортонормированном) базисе. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Метод ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные матрицы и их свойства.

'''Лекция 23''' (2.03.2026). Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального (ортонормированного) базиса. Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве. Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Псевдорешение несовместной системы линейных уравнений. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов.

'''Лекция 24''' (16.03.2026). Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства. Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Векторное произведение, его выражение в координатах.

'''Лекция 25''' (23.03.2026). Смешанное произведение трёх векторов, его свойства. Критерий компланарности трёх векторов. Критерий коллинеарности двух векторов в терминах векторного произведения. Геометрические свойства векторного произведения. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии.

'''Лекция 26''' (6.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1gjBdszpSQFx6jx3Fpc9w77ksfvINYX-8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса.

'''Лекция 27''' (13.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1n0YFaR6QHBmQRSE77it93jx69S5f6AQL/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя. Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, согласованном с разложением пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора.

'''Лекция 28''' (20.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1KSkTmOkECufHy_FNQ2Eqi38tMrkAJlUT/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора. Связь между алгебраической и геометрической кратностями собственного значения линейного оператора. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений.

'''Лекция 29''' (27.04.2026). Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве. Отображение, сопряжённое к линейному отображению между двумя евклидовыми пространствами: определение, существование и единственность. Матрица сопряжённого отображения в паре произвольных и паре ортонормированных базисов. Сопряжённый оператор в евклидовом пространстве. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, семь эквивалентных условий.

'''Лекция 30''' (27.04.2026). Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Теорема о сингулярных базисах для линейного отображения евклидовых пространств.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

== 1-2 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1ihV-uQiZP9Fh9G3Sw3-uhX9hidE2xA5KZnWXtdxi3r8/edit?usp=sharing '''ИДЗ-1''']

[https://docs.google.com/document/d/1a9jbUnR4Z7X3JnRFTIIANgZyKBTUawXFk9oXLUMEYaw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1s-YEdgFk-OXKp3PLvZijI9jsOtgguEpTvxb9pFt26yE/edit?usp=sharing '''ИДЗ-3''']

[https://docs.google.com/document/d/1WQE4qZrVatcNPytB4nG1xOYzMB3H7ycKOdB1B139myI/edit?usp=sharing '''ИДЗ-4''']

== 3-4 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1_JHDKX8Sq1iMVCcnpt2lDLIVEdQMuLuhk-p0ghncp9U/edit?usp=sharing '''ИДЗ-5''']

[https://docs.google.com/document/d/14PWMZIQF0lnCNTWFe5Izf3aR0nu40HLgE3bOuz5NWwA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-6''']

[https://docs.google.com/document/d/16zdghtjup8Fqqf6pg8SRXFe9AYKnvhC6WzpVQu9XDOw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-7''']

[https://docs.google.com/document/d/1yjHURRAdZ8ifynzTD-lu0CMUljvdRQoqL6xtExL4nAk/edit?usp=sharing '''ИДЗ-8''']

[https://docs.google.com/document/d/17VGGhZIDKzv9Td_Zg2qim8zu7XPNlDUoHew82AipejA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-9''']

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

[https://docs.google.com/document/d/1k_Wt9P9aISwRhM_0mo4TQ8vHUjrn7N0j/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-1''']

[https://docs.google.com/document/d/11np0omXwFYVmrWuCJXMS9GSrBPBjU-OV/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-2''']

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата-время: 15 ноября, 15:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1V78nBf6w0Mb_Kz0fI_gETdwgK38DoIAShiVnpQjhHnw/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1Iv2V2flblwWIHQWPKem3SA2QBLA6E5jq/view?usp=sharing '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.
*Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
*Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8–18.11
*Перестановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
*Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
*Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316
Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

== 4-й модуль ==

Дата-время: 18 апреля, 18:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1bYjzRzkDHqGwziLEmBW7IdydmvTdGBipj-b7ayxwt7w/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1wnTJ11B4QIUeSnFxFbcOoLw7BMYOcCXH/view?usp=drive_link '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Задание подпространств системами линейных уравнений: П 1312, 1313, К 35.16

*Матрицы перехода, преобразование координат вектора при замене базиса: П 1280–1283, К 34.10–34.12; задача 2 из ИДЗ-5

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства, разложение в прямую сумму подпространств: П 1317, 1318, 1320–1322; К 35.14, 35.15; задачи 3–5 из ИДЗ-5

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434–1438, 1441–1446, 1449, 1450; К 36.3, 36.4, 39.15, 39.16; задачи 1,2 из ИДЗ-6

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения, приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали: К 39.5; задачи 3,4 из ИДЗ-6

*Линейные функции и двойственные базисы: К 36.9, 36.10; задача 5 из ИДЗ-6

*Билинейные и квадратичные формы, их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10, 38.15, 38.16

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175–1186; К 38.8, 38.18(а–г)

*Исследование квадратичных форм на положительную и отрицательную определённость, а также определение нормального вида в зависимости от значений параметра: П 1212–1216; К 38.11(а–г), 38.14(а,б) + для каждого номера определить нормальный вид квадратичной формы в зависимости от значений параметра

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357–1363; К 43.7(а–г), 43.15(а–в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370–1372; К 43.19(а–в)

*Объём k-мерного параллелепипеда: К 43.36

*Линейные многообразия: П 1374; К 43.21(а–г), 51.7

*Векторное и смешанное произведения в R^3: КК 25.5, 25.7, 25.17, 25.18, 25.24, 25.35–25.38, 25.49, 25.59, 25.61

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28–26.37, 26.39–26.47, 26.50, 27.34, 27.39–27.42, 31.1–31.3, 31.5–31.8, 31.21–31.25, 31.27–31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 31.13–31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 25.58, 32.28–32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38–32.40

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==
Даты: 10 декабря для ЭАД, 13 декабря для ПМИ

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1hFMODfRvZ51zYqkyJi5EKpipO5B613na/view?usp=sharing '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1u61pDMSL-3ImwtjMLNmle3WabfSMsBGd/view?usp=sharing '''Список вопросов на доказательство''']

'''Формат проведения:'''

Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, на написание которых даётся 10 минут, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4-5 вопросами на доказательство. На написание первых двух вопросов даётся 25 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности.

== 4-й модуль ==
Даты: 29-30 мая

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1TOFHODQwiBC8eAZ1RBSjpZ9W9qHXz2ld/view?usp=drive_link '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1oqRbzS_hovcZ6G_BqjLMxKSuaRn01pEc/view?usp=drive_link '''Список вопросов на доказательство''']

= Экзамены =

Формат проведения: письменная работа

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

== 2-й модуль ==

Дата-время: 26 декабря, 9:30

Продолжительность работы: 160 минут (2 часа 40 минут)

[https://drive.google.com/file/d/1Bi3phiOeLa_FwpoQU7DQDQkQL8T69NFF/view?usp=drive_link '''Условия задач с экзамена''']

[https://docs.google.com/document/d/196BdHN84U9suOqvrDva-jh5IebD828wZd385M50vEWE/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению экзамена''']

Материалы для подготовки к экзамену:

I: [https://drive.google.com/file/d/1zxh4S7wGLkrzdn_GL4ujySAgfJXkmadN/view?usp=sharing '''список определений и формулировок''']

II: список задач для подготовки к 1-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 21.9, 22.7
*Линейная зависимость в векторных пространствах: П 639–644, 646–650, 652–655, 1824–1828; К 34.2, 34.3
*Линейные комбинации, линейные оболочки: П 665–669, 679–681 (база = максимальная линейно независимая подсистема)
*Подпространства, базис, размерность: П 1297–1304, 1308, 1310–1313; К 34.14, 35.2, 35.3, 35.7(а,в,г), 35.8, 35.11, 35.16
*Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных экзаменов прошлых лет.

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=798212250#gid=798212250 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1905063984#gid=1905063984 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1143931348#gid=1143931348 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1571389748#gid=1571389748 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1008226585#gid=1008226585 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=196141806#gid=196141806 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2082325635#gid=2082325635 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=141028840#gid=141028840 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1342717045#gid=1342717045 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=183207489#gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2014615374#gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1795822500#gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1130562098#gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2082037908#gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=91924820#gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1290636010#gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=877068035#gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1036271056#gid=1036271056 Э256]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=735451668#gid=735451668 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=669963605#gid=669963605 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1959871710#gid=1959871710 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=103812329#gid=103812329 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=944808823#gid=944808823 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1765292157#gid=1765292157 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=590665666#gid=590665666 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=455919933#gid=455919933 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1889630406#gid=1889630406 Э256]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=495362391#gid=495362391 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1018299486#gid=1018299486 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1364062586#gid=1364062586 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1423608094#gid=1423608094 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=96823731#gid=96823731 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=776758101#gid=776758101 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1608052002#gid=1608052002 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=689894434#gid=689894434 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=331922030#gid=331922030 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 2-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1036271056 Э256]
|}

= Кстати =

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

= Ссылки =

[https://t.me/LA_256_sem Telegram-канал семинаров в группе БПМИ256]

[https://t.me/linal258 Telegram-канал семинаров в группе БПМИ258]

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-05-01T19:14:41Z

Ravdeev: /* Ведомости текущего контроля */

Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"

Telegram-канал: https://t.me/LA_25_AMI_osn_EDA

= Преподаватели и учебные ассистенты =

Обратите внимание, что учебный ассистент1 отвечает за регулярные домашние задания, а учебный ассистент2 -- за большие домашние задания.

== Основной поток ПМИ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/yzaitseva Юлия Зайцева] || [https://t.me/VVKikteva Вероника Киктева] || [https://t.me/iamilyaboldyrev Илья Болдырев] || [https://t.me/the_Man_of_Spade Виктор Лопаткин] ||colspan="2"| [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/aperep Александр Перепечко] || [https://t.me/Vitalique_Iudelevich Виталий Юделевич] || [https://t.me/t1som Алина Никитина]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/The_best_cat_okk Михаил Фомичев] || [https://t.me/its_me_arlek1n0 Виктор Васильев] || [https://t.me/iraayugay Ирина Югай] || [https://t.me/dzagonov Дмитрий Загонов] || [https://t.me/denkruuk Денис Круковер] || [https://t.me/Ne_klumaks Вячеслав Газизов] || [https://t.me/karbarkarrr Варвара Сажина] || [https://t.me/Anilaniklot Илья Кравчук] || [https://t.me/lesha_hse Алексей Веляев] || [https://t.me/ilmsomuch Артём Кузнецов]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/oretskiy_greshok Анастасия Козлова] || [https://t.me/psinapsinovna Дарья Храмова] || [https://t.me/tr1pl3d0ttt Даниил Гузь] || [https://t.me/poltorq Яна Босякова] || [https://t.me/Ivan_Ovs Иван Овсянников] || [https://t.me/morz24 Алексей Токарев] || [https://t.me/Kkicune Алина Бариева] || [https://t.me/ullmrv Юлия Муравьёва] || [https://t.me/katkaeva Айса Каткаева] || [https://t.me/artyom_kotov04 Артём Абросимов]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="10"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

== Поток ЭАД ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БЭАД251 !! БЭАД252 !! БЭАД253 !! БЭАД254 !! БЭАД255 !! БЭАД256
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://www.hse.ru/org/persons/306101187 Алёна Зароднюк] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров] || [https://t.me/Artyom_Martirosov Артём Мартиросов]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/georgeanenko Георгий Аненко] || [https://t.me/ananananananaaa Анна Гуськова] || [https://t.me/levrudanin Лев Руданин] || [https://t.me/banbutsuno_hoshi Арсений Черваков] || [https://t.me/arslanyam Арслан Ямалетдинов] || [https://t.me/hgfghgfgfd Юрий Дзюба]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/bazingapog Николай Баринов] || [https://t.me/seletarina Арина Селетникова] || [https://t.me/sxbntm Алиса Карпинская] || [https://t.me/foma253 Александр Фомин] || [https://t.me/petrovegor2005 Егор Петров] || [https://t.me/grebenchik Варвара Гребенщикова]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="6"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

= Расписание консультаций =

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =

== 2-й модуль ==
Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,35*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,15*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==
Итоговая оценка за 3-4 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,32*Oэкз + 0,23*Oколл + 0,17*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

= Краткое содержание лекций =
== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (3.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1zeSqzJcF9HCsLP8I5_6GDhLON_9Yg-G4/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

'''Лекция 2''' (8.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1ZnXLPHY-U5sm2B7ut3FcEQi5V__P8Cjr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы.

'''Лекция 3''' (15.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1-i_w_8eFOIbocpFwmxKSJwWZKUF-5Zj3/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (29.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1XQ7qsLAgoXZDmLN2O3gq_yo59Dla3EB5/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Определение обратной матрицы. Обратная матрица как решение уравнения AX=E (пока без доказательства). Перестановки на множестве {1,2,...,n}. Инверсии в перестановке. Знак и чётность перестановки.

'''Лекция 5''' (6.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1RXoHKZJFY_Qtb8A4PN9QCc9cwQb_kiaz/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Произведение перестановок. Ассоциативность произведения перестановок. Теорема о знаке произведения перестановок. Тождественная перестановка. Обратная перестановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 6''' (13.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/19Us0dF6pZ5AkIR0JKKcDpnE1zDrOAnGY/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей.

'''Лекция 7''' (20.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1VPnqK-pW7APin5-0Qbf-5mzwGuBMvcJI/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Определитель обратной матрицы. Невырожденные матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости квадратной матрицы. Формулы Крамера.

'''Лекция 8''' (3.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1sTebhBZ3GIvKgrH3W1G2D_0r8DZSlFS1/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра.

'''Лекция 9''' (10.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/12X_M36Jo_SJwWhS4ooh24bNvfJrfJUTH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей. Векторные пространства, примеры. Простейшие следствия из аксиом векторного пространства.

'''Лекция 10''' (17.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1F6qGTlaNaYAFQ61b1xZ3JZubjWLr3gwK/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства. Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

'''Лекция 11''' (24.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1INsbcwSZhW3PsXYPRVfGm9zIbZ3wIGFr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Характеризация базисов в терминах единственности линейного выражения векторов. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

'''Лекция 12''' (1.12.2025). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 13''' (8.12.2025). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

'''Лекция 14''' (15.12.2025). Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому. Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения.

== 3-4 модули ==

'''Лекция 15''' (12.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/14-3xV-Z0GCJrTlPfa3nBX-g1G37aJrw9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Проекция вектора на подпространство вдоль дополнительного подпространства. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств.

'''Лекция 16''' (19.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1LXqyyiV6XxMuWyGdksmppduLcKP5aC9r/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Отображение, обратное к изоморфизму векторных пространств. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Изоморфные векторные пространства. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств. Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры.

'''Лекция 17''' (26.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/145a2hZQXWsvw2pRHXmrk-y-GimaCOvap/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений. Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно умножения на квадратную невырожденную матрицу слева или справа.

'''Лекция 18''' (2.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1E8-poOd9l8Bfy0bs8C42bbkjqHcsM7vb/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры. Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен ровно одному базису исходного пространства. Билинейные формы на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису.

'''Лекция 19''' (9.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1s1tbdpIFbNI1AsOVwAmlzrhPpwcTQgve/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису. Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Теорема о диагонализации симметричной билинейной формы. Симметричные элементарные преобразования квадратной матрицы. Симметричный алгоритм Гаусса. Угловые миноры матрицы. Метод Якоби для симметричных билинейных форм (формулировка).

'''Лекция 20''' (16.02.2026). Доказательство метода Якоби для симметричных билинейных форм. Квадратичные формы на векторном пространстве. Примеры. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции.

'''Лекция 21''' (16.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/19G3HvmxwJKheFzYoat1P2tnh-cetPJd8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Следствие метода Якоби о вычислении индексов инерции квадратичной формы над R. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши–Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства.

'''Лекция 22''' (2.03.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WVcqOhp-LmUxrpKkzHM-X4lnsluoTvyF/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональные векторы. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базис. Координаты вектора в ортогональном (ортонормированном) базисе. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Метод ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные матрицы и их свойства.

'''Лекция 23''' (2.03.2026). Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального (ортонормированного) базиса. Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве. Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Псевдорешение несовместной системы линейных уравнений. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов.

'''Лекция 24''' (16.03.2026). Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства. Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Векторное произведение, его выражение в координатах.

'''Лекция 25''' (23.03.2026). Смешанное произведение трёх векторов, его свойства. Критерий компланарности трёх векторов. Критерий коллинеарности двух векторов в терминах векторного произведения. Геометрические свойства векторного произведения. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии.

'''Лекция 26''' (6.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1gjBdszpSQFx6jx3Fpc9w77ksfvINYX-8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса.

'''Лекция 27''' (13.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1n0YFaR6QHBmQRSE77it93jx69S5f6AQL/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя. Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, согласованном с разложением пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора.

'''Лекция 28''' (20.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1KSkTmOkECufHy_FNQ2Eqi38tMrkAJlUT/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора. Связь между алгебраической и геометрической кратностями собственного значения линейного оператора. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений.

'''Лекция 29''' (27.04.2026). Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве. Отображение, сопряжённое к линейному отображению между двумя евклидовыми пространствами: определение, существование и единственность. Матрица сопряжённого отображения в паре произвольных и паре ортонормированных базисов. Сопряжённый оператор в евклидовом пространстве. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, семь эквивалентных условий.

'''Лекция 30''' (27.04.2026). Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Теорема о сингулярных базисах для линейного отображения евклидовых пространств.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

== 1-2 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1ihV-uQiZP9Fh9G3Sw3-uhX9hidE2xA5KZnWXtdxi3r8/edit?usp=sharing '''ИДЗ-1''']

[https://docs.google.com/document/d/1a9jbUnR4Z7X3JnRFTIIANgZyKBTUawXFk9oXLUMEYaw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1s-YEdgFk-OXKp3PLvZijI9jsOtgguEpTvxb9pFt26yE/edit?usp=sharing '''ИДЗ-3''']

[https://docs.google.com/document/d/1WQE4qZrVatcNPytB4nG1xOYzMB3H7ycKOdB1B139myI/edit?usp=sharing '''ИДЗ-4''']

== 3-4 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1_JHDKX8Sq1iMVCcnpt2lDLIVEdQMuLuhk-p0ghncp9U/edit?usp=sharing '''ИДЗ-5''']

[https://docs.google.com/document/d/14PWMZIQF0lnCNTWFe5Izf3aR0nu40HLgE3bOuz5NWwA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-6''']

[https://docs.google.com/document/d/16zdghtjup8Fqqf6pg8SRXFe9AYKnvhC6WzpVQu9XDOw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-7''']

[https://docs.google.com/document/d/1yjHURRAdZ8ifynzTD-lu0CMUljvdRQoqL6xtExL4nAk/edit?usp=sharing '''ИДЗ-8''']

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

[https://docs.google.com/document/d/1k_Wt9P9aISwRhM_0mo4TQ8vHUjrn7N0j/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-1''']

[https://docs.google.com/document/d/11np0omXwFYVmrWuCJXMS9GSrBPBjU-OV/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-2''']

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата-время: 15 ноября, 15:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1V78nBf6w0Mb_Kz0fI_gETdwgK38DoIAShiVnpQjhHnw/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1Iv2V2flblwWIHQWPKem3SA2QBLA6E5jq/view?usp=sharing '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.
*Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
*Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8–18.11
*Перестановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
*Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
*Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316
Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

== 4-й модуль ==

Дата-время: 18 апреля, 18:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1bYjzRzkDHqGwziLEmBW7IdydmvTdGBipj-b7ayxwt7w/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1wnTJ11B4QIUeSnFxFbcOoLw7BMYOcCXH/view?usp=drive_link '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Задание подпространств системами линейных уравнений: П 1312, 1313, К 35.16

*Матрицы перехода, преобразование координат вектора при замене базиса: П 1280–1283, К 34.10–34.12; задача 2 из ИДЗ-5

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства, разложение в прямую сумму подпространств: П 1317, 1318, 1320–1322; К 35.14, 35.15; задачи 3–5 из ИДЗ-5

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434–1438, 1441–1446, 1449, 1450; К 36.3, 36.4, 39.15, 39.16; задачи 1,2 из ИДЗ-6

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения, приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали: К 39.5; задачи 3,4 из ИДЗ-6

*Линейные функции и двойственные базисы: К 36.9, 36.10; задача 5 из ИДЗ-6

*Билинейные и квадратичные формы, их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10, 38.15, 38.16

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175–1186; К 38.8, 38.18(а–г)

*Исследование квадратичных форм на положительную и отрицательную определённость, а также определение нормального вида в зависимости от значений параметра: П 1212–1216; К 38.11(а–г), 38.14(а,б) + для каждого номера определить нормальный вид квадратичной формы в зависимости от значений параметра

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357–1363; К 43.7(а–г), 43.15(а–в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370–1372; К 43.19(а–в)

*Объём k-мерного параллелепипеда: К 43.36

*Линейные многообразия: П 1374; К 43.21(а–г), 51.7

*Векторное и смешанное произведения в R^3: КК 25.5, 25.7, 25.17, 25.18, 25.24, 25.35–25.38, 25.49, 25.59, 25.61

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28–26.37, 26.39–26.47, 26.50, 27.34, 27.39–27.42, 31.1–31.3, 31.5–31.8, 31.21–31.25, 31.27–31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 31.13–31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 25.58, 32.28–32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38–32.40

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==
Даты: 10 декабря для ЭАД, 13 декабря для ПМИ

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1hFMODfRvZ51zYqkyJi5EKpipO5B613na/view?usp=sharing '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1u61pDMSL-3ImwtjMLNmle3WabfSMsBGd/view?usp=sharing '''Список вопросов на доказательство''']

'''Формат проведения:'''

Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, на написание которых даётся 10 минут, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4-5 вопросами на доказательство. На написание первых двух вопросов даётся 25 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности.

== 4-й модуль ==
Даты: 29-30 мая

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1TOFHODQwiBC8eAZ1RBSjpZ9W9qHXz2ld/view?usp=drive_link '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1oqRbzS_hovcZ6G_BqjLMxKSuaRn01pEc/view?usp=drive_link '''Список вопросов на доказательство''']

= Экзамены =

Формат проведения: письменная работа

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

== 2-й модуль ==

Дата-время: 26 декабря, 9:30

Продолжительность работы: 160 минут (2 часа 40 минут)

[https://drive.google.com/file/d/1Bi3phiOeLa_FwpoQU7DQDQkQL8T69NFF/view?usp=drive_link '''Условия задач с экзамена''']

[https://docs.google.com/document/d/196BdHN84U9suOqvrDva-jh5IebD828wZd385M50vEWE/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению экзамена''']

Материалы для подготовки к экзамену:

I: [https://drive.google.com/file/d/1zxh4S7wGLkrzdn_GL4ujySAgfJXkmadN/view?usp=sharing '''список определений и формулировок''']

II: список задач для подготовки к 1-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 21.9, 22.7
*Линейная зависимость в векторных пространствах: П 639–644, 646–650, 652–655, 1824–1828; К 34.2, 34.3
*Линейные комбинации, линейные оболочки: П 665–669, 679–681 (база = максимальная линейно независимая подсистема)
*Подпространства, базис, размерность: П 1297–1304, 1308, 1310–1313; К 34.14, 35.2, 35.3, 35.7(а,в,г), 35.8, 35.11, 35.16
*Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных экзаменов прошлых лет.

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=798212250#gid=798212250 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1905063984#gid=1905063984 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1143931348#gid=1143931348 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1571389748#gid=1571389748 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1008226585#gid=1008226585 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=196141806#gid=196141806 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2082325635#gid=2082325635 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=141028840#gid=141028840 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1342717045#gid=1342717045 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=183207489#gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2014615374#gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1795822500#gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1130562098#gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2082037908#gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=91924820#gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1290636010#gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=877068035#gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1036271056#gid=1036271056 Э256]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=735451668#gid=735451668 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=669963605#gid=669963605 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1959871710#gid=1959871710 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=103812329#gid=103812329 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=944808823#gid=944808823 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1765292157#gid=1765292157 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=590665666#gid=590665666 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=455919933#gid=455919933 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1889630406#gid=1889630406 Э256]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=495362391#gid=495362391 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1018299486#gid=1018299486 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1364062586#gid=1364062586 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1423608094#gid=1423608094 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=96823731#gid=96823731 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=776758101#gid=776758101 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1608052002#gid=1608052002 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=689894434#gid=689894434 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=331922030#gid=331922030 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 2-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xCD9jTLzzTRpoa01HlqlHvv12w8bbaa2em7L3SaKBC4/edit?gid=1036271056 Э256]
|}

= Кстати =

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

= Ссылки =

[https://t.me/LA_256_sem Telegram-канал семинаров в группе БПМИ256]

[https://t.me/linal258 Telegram-канал семинаров в группе БПМИ258]

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007

Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-04-29T15:39:24Z

Ravdeev: /* 4-й модуль */

Данную дисциплину вместе с основным потоком ПМИ изучают также студенты ОП "Экономика и анализ данных"

Telegram-канал: https://t.me/LA_25_AMI_osn_EDA

= Преподаватели и учебные ассистенты =

Обратите внимание, что учебный ассистент1 отвечает за регулярные домашние задания, а учебный ассистент2 -- за большие домашние задания.

== Основной поток ПМИ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ256 !! БПМИ257 !! БПМИ258 !! БПМИ259 !! БПМИ2510 !! БПМИ2511 !! БПМИ2512 !! БПМИ2513 !! БПМИ2514 !! БПМИ2515
|-
|| Лектор ||colspan="10"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/yzaitseva Юлия Зайцева] || [https://t.me/VVKikteva Вероника Киктева] || [https://t.me/iamilyaboldyrev Илья Болдырев] || [https://t.me/the_Man_of_Spade Виктор Лопаткин] ||colspan="2"| [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/aperep Александр Перепечко] || [https://t.me/Vitalique_Iudelevich Виталий Юделевич] || [https://t.me/t1som Алина Никитина]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/The_best_cat_okk Михаил Фомичев] || [https://t.me/its_me_arlek1n0 Виктор Васильев] || [https://t.me/iraayugay Ирина Югай] || [https://t.me/dzagonov Дмитрий Загонов] || [https://t.me/denkruuk Денис Круковер] || [https://t.me/Ne_klumaks Вячеслав Газизов] || [https://t.me/karbarkarrr Варвара Сажина] || [https://t.me/Anilaniklot Илья Кравчук] || [https://t.me/lesha_hse Алексей Веляев] || [https://t.me/ilmsomuch Артём Кузнецов]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/oretskiy_greshok Анастасия Козлова] || [https://t.me/psinapsinovna Дарья Храмова] || [https://t.me/tr1pl3d0ttt Даниил Гузь] || [https://t.me/poltorq Яна Босякова] || [https://t.me/Ivan_Ovs Иван Овсянников] || [https://t.me/morz24 Алексей Токарев] || [https://t.me/Kkicune Алина Бариева] || [https://t.me/ullmrv Юлия Муравьёва] || [https://t.me/katkaeva Айса Каткаева] || [https://t.me/artyom_kotov04 Артём Абросимов]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="10"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

== Поток ЭАД ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БЭАД251 !! БЭАД252 !! БЭАД253 !! БЭАД254 !! БЭАД255 !! БЭАД256
|-
|| Лектор ||colspan="6"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/maaarkooo Марк Черебедов] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://www.hse.ru/org/persons/306101187 Алёна Зароднюк] || [https://t.me/Fading_Soul Кирилл Шахматов] || [https://t.me/aleksandrov_ki Кирилл Александров] || [https://t.me/Artyom_Martirosov Артём Мартиросов]
|-
|| Ассистент1 || [https://t.me/georgeanenko Георгий Аненко] || [https://t.me/ananananananaaa Анна Гуськова] || [https://t.me/levrudanin Лев Руданин] || [https://t.me/banbutsuno_hoshi Арсений Черваков] || [https://t.me/arslanyam Арслан Ямалетдинов] || [https://t.me/hgfghgfgfd Юрий Дзюба]
|-
|| Ассистент2 || [https://t.me/bazingapog Николай Баринов] || [https://t.me/seletarina Арина Селетникова] || [https://t.me/sxbntm Алиса Карпинская] || [https://t.me/foma253 Александр Фомин] || [https://t.me/petrovegor2005 Егор Петров] || [https://t.me/grebenchik Варвара Гребенщикова]
|-
|| Ассистент курса ||colspan="6"| [https://t.me/pikachu_push_back Ульяна Паркина]
|}

= Расписание консультаций =

= Формы контроля знаний студентов =

*Коллоквиум
*Контрольная работа
*Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
*Активность и работа на семинарах
*Экзамен

Бонус:
*Устная сдача задач из листков

= Порядок формирования итоговой оценки =

== 2-й модуль ==
Итоговая оценка за 1-2 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,35*Oэкз + 0,22*Oколл + 0,15*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

== 4-й модуль ==
Итоговая оценка за 3-4 модули вычисляется по формуле

Oитоговая = min(10; 0,32*Oэкз + 0,23*Oколл + 0,17*Oк/р + 0,15*Oбдз + 0,15*Oсем + 0,08*Oл),

где Oэкз — оценка за экзамен, Oколл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oбдз — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.

Все вычисления по указанной формуле используют неокруглённые значения промежуточных оценок. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

= Краткое содержание лекций =
== 1-2 модули ==

'''Лекция 1''' (3.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1zeSqzJcF9HCsLP8I5_6GDhLON_9Yg-G4/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.

'''Лекция 2''' (8.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1ZnXLPHY-U5sm2B7ut3FcEQi5V__P8Cjr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Эквивалентные системы.

'''Лекция 3''' (15.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1-i_w_8eFOIbocpFwmxKSJwWZKUF-5Zj3/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений.

'''Лекция 4''' (29.09.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1XQ7qsLAgoXZDmLN2O3gq_yo59Dla3EB5/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Определение обратной матрицы. Обратная матрица как решение уравнения AX=E (пока без доказательства). Перестановки на множестве {1,2,...,n}. Инверсии в перестановке. Знак и чётность перестановки.

'''Лекция 5''' (6.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1RXoHKZJFY_Qtb8A4PN9QCc9cwQb_kiaz/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Произведение перестановок. Ассоциативность произведения перестановок. Теорема о знаке произведения перестановок. Тождественная перестановка. Обратная перестановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы.

'''Лекция 6''' (13.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/19Us0dF6pZ5AkIR0JKKcDpnE1zDrOAnGY/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей.

'''Лекция 7''' (20.10.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1VPnqK-pW7APin5-0Qbf-5mzwGuBMvcJI/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Определитель обратной матрицы. Невырожденные матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости квадратной матрицы. Формулы Крамера.

'''Лекция 8''' (3.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1sTebhBZ3GIvKgrH3W1G2D_0r8DZSlFS1/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра.

'''Лекция 9''' (10.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/12X_M36Jo_SJwWhS4ooh24bNvfJrfJUTH/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей. Векторные пространства, примеры. Простейшие следствия из аксиом векторного пространства.

'''Лекция 10''' (17.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1F6qGTlaNaYAFQ61b1xZ3JZubjWLr3gwK/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства. Утверждение о том, что линейная оболочка системы векторов является подпространством объемлющего векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

'''Лекция 11''' (24.11.2025) [[https://drive.google.com/file/d/1INsbcwSZhW3PsXYPRVfGm9zIbZ3wIGFr/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Характеризация базисов в терминах единственности линейного выражения векторов. Утверждение о возможности выбора из конечной системы векторов базиса её линейной оболочки. Дополнение конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного пространства.

'''Лекция 12''' (1.12.2025). Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

'''Лекция 13''' (8.12.2025). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

'''Лекция 14''' (15.12.2025). Реализация подпространства в F^n в качестве множества решений однородной системы линейных уравнений. Координаты вектора по отношению к фиксированному базису векторного пространства. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому. Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения.

== 3-4 модули ==

'''Лекция 15''' (12.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/14-3xV-Z0GCJrTlPfa3nBX-g1G37aJrw9/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Проекция вектора на подпространство вдоль дополнительного подпространства. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств.

'''Лекция 16''' (19.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1LXqyyiV6XxMuWyGdksmppduLcKP5aC9r/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Отображение, обратное к изоморфизму векторных пространств. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Изоморфные векторные пространства. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств. Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры.

'''Лекция 17''' (26.01.2026) [[https://drive.google.com/file/d/145a2hZQXWsvw2pRHXmrk-y-GimaCOvap/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений. Ядро и образ линейного отображения; утверждение о том, что они являются подпространствами в соответствующих векторных пространствах. Критерий инъективности линейного отображения в терминах его ядра. Характеризация изоморфизмов в терминах их ядер и образов. Связь размерности образа линейного отображения с рангом его матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно умножения на квадратную невырожденную матрицу слева или справа.

'''Лекция 18''' (2.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1E8-poOd9l8Bfy0bs8C42bbkjqHcsM7vb/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Свойство образов векторов, дополняющих базис ядра до базиса всего пространства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали. Линейные функции на векторном пространстве. Примеры. Двойственное (сопряжённое) векторное пространство, его размерность в конечномерном случае. Двойственный базис. Утверждение о том, что всякий базис сопряжённого пространства двойствен ровно одному базису исходного пространства. Билинейные формы на векторном пространстве. Примеры. Матрица билинейной формы по отношению к фиксированному базису.

'''Лекция 19''' (9.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1s1tbdpIFbNI1AsOVwAmlzrhPpwcTQgve/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Существование и единственность билинейной формы с заданной матрицей. Формула изменения матрицы билинейной формы при переходе к другому базису. Ранг билинейной формы. Симметричные билинейные формы. Критерий симметричности билинейной формы в терминах её матрицы в каком-либо базисе. Теорема о диагонализации симметричной билинейной формы. Симметричные элементарные преобразования квадратной матрицы. Симметричный алгоритм Гаусса. Угловые миноры матрицы. Метод Якоби для симметричных билинейных форм (формулировка).

'''Лекция 20''' (16.02.2026). Доказательство метода Якоби для симметричных билинейных форм. Квадратичные формы на векторном пространстве. Примеры. Соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами. Симметризация билинейной формы и поляризация квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Нормальный вид квадратичной формы над полем R. Приведение квадратичной формы над R к нормальному виду. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы над R. Закон инерции.

'''Лекция 21''' (16.02.2026) [[https://drive.google.com/file/d/19G3HvmxwJKheFzYoat1P2tnh-cetPJd8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Следствие метода Якоби о вычислении индексов инерции квадратичной формы над R. Положительно определённые, отрицательно определённые, неотрицательно определённые, неположительно определённые, неопределённые квадратичные формы над R. Примеры. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы. Критерий отрицательной определённости квадратичной формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Длина вектора евклидова пространства. Неравенство Коши–Буняковского. Угол между ненулевыми векторами евклидова пространства. Матрица Грама системы векторов евклидова пространства.

'''Лекция 22''' (2.03.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1WVcqOhp-LmUxrpKkzHM-X4lnsluoTvyF/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Определитель матрицы Грама: неотрицательность, критерий положительности. Ортогональные векторы. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базис. Координаты вектора в ортогональном (ортонормированном) базисе. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Метод ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные матрицы и их свойства.

'''Лекция 23''' (2.03.2026). Ортогональное дополнение подмножества евклидова пространства. Размерность ортогонального дополнения подпространства, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению подпространства. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство, ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в терминах его ортогонального (ортонормированного) базиса. Явная формула для ортогональной проекции вектора на подпространство в R^n, заданное своим базисом. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве. Расстояние между векторами евклидова пространства. Неравенство треугольника. Расстояние между двумя подмножествами евклидова пространства. Теорема о расстоянии от вектора до подпространства. Псевдорешение несовместной системы линейных уравнений. Метод наименьших квадратов для несовместных систем линейных уравнений: постановка задачи и её решение. Единственность псевдорешения и явная формула для него в случае линейной независимости столбцов матрицы коэффициентов.

'''Лекция 24''' (16.03.2026). Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах матриц Грама. k-мерный параллелепипед. Объём k-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве. Вычисление объёма k-мерного параллелепипеда при помощи определителя матрицы Грама задающих его векторов. Формула для объёма n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве в терминах координат задающих его векторов в ортонормированном базисе. Отношение одинаковой ориентированности на множестве базисов евклидова пространства. Ориентация в евклидовом пространстве. Ориентированный объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Трёхмерное евклидово пространство. Векторное произведение, его выражение в координатах.

'''Лекция 25''' (23.03.2026). Смешанное произведение трёх векторов, его свойства. Критерий компланарности трёх векторов. Критерий коллинеарности двух векторов в терминах векторного произведения. Геометрические свойства векторного произведения. Антикоммутативность и билинейность векторного произведения. Линейные многообразия в R^n. Характеризация линейных многообразий как сдвигов подпространств. Критерий равенства двух линейных многообразий. Направляющее подпространство и размерность линейного многообразия. Теорема о плоскости, проходящей через любые k+1 точек в R^n, следствия для двух и трёх точек. Понятия репера и аффинной системы координат на линейном многообразии.

'''Лекция 26''' (6.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1gjBdszpSQFx6jx3Fpc9w77ksfvINYX-8/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Случаи взаимного расположения двух линейных многообразий: совпадают, одно содержится в другом, параллельны, скрещиваются. Прямые в R^2: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Плоскости в R^3: различные способы задания, уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Прямые в R^3: различные способы задания, уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя скрещивающимися прямыми в R^3. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Линейные операторы. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Следствия общих фактов о линейных отображениях: существование и единственность линейного оператора с данной матрицей в фиксированном базисе, связь координат вектора и его образа, формула изменения матрицы линейного оператора при замене базиса. Инвариантность определителя и следа матрицы линейного оператора относительно замены базиса.

'''Лекция 27''' (13.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1n0YFaR6QHBmQRSE77it93jx69S5f6AQL/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Подобные матрицы, отношение подобия на множестве квадратных матриц фиксированного порядка. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа и определителя. Подпространства, инвариантные относительно линейного оператора. Примеры. Ограничение линейного оператора на инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство. Вид матрицы линейного оператора в базисе, согласованном с разложением пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Собственные векторы, собственные значения и спектр линейного оператора. Примеры. Диагонализуемые линейные операторы. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах собственных векторов. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному собственному значению линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора.

'''Лекция 28''' (20.04.2026) [[https://drive.google.com/file/d/1KSkTmOkECufHy_FNQ2Eqi38tMrkAJlUT/view?usp=drive_link '''слайды''']]. Связь спектра линейного оператора с его характеристическим многочленом. Существование собственного вектора для линейного оператора в комплексном векторном пространстве. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения линейного оператора. Связь между алгебраической и геометрической кратностями собственного значения линейного оператора. Линейная независимость собственных подпространств линейного оператора, отвечающих попарно различным собственным значениям. Диагонализуемость линейного оператора, у которого число корней характеристического многочлена равно размерности пространства. Критерий диагонализуемости линейного оператора в терминах его характеристического многочлена, а также алгебраической и геометрической кратностей его собственных значений.

'''Лекция 29''' (27.04.2026). Существование одномерного или двумерного инвариантного подпространства у линейного оператора в действительном векторном пространстве. Отображение, сопряжённое к линейному отображению между двумя евклидовыми пространствами: определение, существование и единственность. Матрица сопряжённого отображения в паре произвольных и паре ортонормированных базисов. Сопряжённый оператор в евклидовом пространстве. Самосопряжённые (симметрические) операторы. Существование собственного вектора у самосопряжённого оператора. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно самосопряжённого оператора. Теорема о существовании у самосопряжённого оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Попарная ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора. Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к главным осям. Ортогональные линейные операторы, семь эквивалентных условий.

'''Лекция 30''' (27.04.2026). Описание ортогональных операторов в одномерном и двумерном евклидовых пространствах. Инвариантность ортогонального дополнения к подпространству, инвариантному относительно ортогонального оператора. Теорема о каноническом виде ортогонального оператора. Классификация ортогональных операторов в трёхмерном евклидовом пространстве. Теорема о сингулярных базисах для линейного отображения евклидовых пространств.

= Листки с задачами =

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

* каждый пункт в листке считается отдельной задачей
* сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
* результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

[https://drive.google.com/file/d/1e25Z7LNUux1Ro6CbyM6lft-kVP4a7pPh/view?usp=sharing '''Листок 1''']. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1v-NNx1u60rmSmWgGRP92bOmaBw1WFdaK/view?usp=drive_link '''Листок 2''']. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1-tNvj8NwwA0Ya7K0KJ5FLLgycbgiKmm4/view?usp=drive_link '''Листок 3''']. Тензорное произведение векторных пространств

Сроки сдачи листка 3:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 21 марта включительно

в период с 15 по 21 марта включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

[https://drive.google.com/file/d/1PPoroxb9tXpTHxGtgytIVoXU0Wcr50Iw/view?usp=sharing '''Листок 4''']. Конусы

Сроки сдачи листка 4:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 13 июня включительно

в период с 7 по 13 июня включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

= Индивидуальные домашние задания =

== 1-2 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1ihV-uQiZP9Fh9G3Sw3-uhX9hidE2xA5KZnWXtdxi3r8/edit?usp=sharing '''ИДЗ-1''']

[https://docs.google.com/document/d/1a9jbUnR4Z7X3JnRFTIIANgZyKBTUawXFk9oXLUMEYaw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-2''']

[https://docs.google.com/document/d/1s-YEdgFk-OXKp3PLvZijI9jsOtgguEpTvxb9pFt26yE/edit?usp=sharing '''ИДЗ-3''']

[https://docs.google.com/document/d/1WQE4qZrVatcNPytB4nG1xOYzMB3H7ycKOdB1B139myI/edit?usp=sharing '''ИДЗ-4''']

== 3-4 модули ==

[https://docs.google.com/document/d/1_JHDKX8Sq1iMVCcnpt2lDLIVEdQMuLuhk-p0ghncp9U/edit?usp=sharing '''ИДЗ-5''']

[https://docs.google.com/document/d/14PWMZIQF0lnCNTWFe5Izf3aR0nu40HLgE3bOuz5NWwA/edit?usp=sharing '''ИДЗ-6''']

[https://docs.google.com/document/d/16zdghtjup8Fqqf6pg8SRXFe9AYKnvhC6WzpVQu9XDOw/edit?usp=sharing '''ИДЗ-7''']

[https://docs.google.com/document/d/1yjHURRAdZ8ifynzTD-lu0CMUljvdRQoqL6xtExL4nAk/edit?usp=sharing '''ИДЗ-8''']

= Лабораторные работы =

Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно '''прямо в нём'''. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.

[https://docs.google.com/document/d/1k_Wt9P9aISwRhM_0mo4TQ8vHUjrn7N0j/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-1''']

[https://docs.google.com/document/d/11np0omXwFYVmrWuCJXMS9GSrBPBjU-OV/edit?usp=sharing&ouid=103806104267063037282&rtpof=true&sd=true '''ЛР-2''']

= Контрольные работы =

== 2-й модуль ==

Дата-время: 15 ноября, 15:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1V78nBf6w0Mb_Kz0fI_gETdwgK38DoIAShiVnpQjhHnw/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1Iv2V2flblwWIHQWPKem3SA2QBLA6E5jq/view?usp=sharing '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.
*Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
*Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8–18.11
*Перестановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
*Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
*Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
*Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316
Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

== 4-й модуль ==

Дата-время: 18 апреля, 18:10

Продолжительность работы: 120 минут

[https://docs.google.com/document/d/1bYjzRzkDHqGwziLEmBW7IdydmvTdGBipj-b7ayxwt7w/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

[https://drive.google.com/file/d/1wnTJ11B4QIUeSnFxFbcOoLw7BMYOcCXH/view?usp=drive_link '''Условия задач с контрольной''']

Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина, номера с пометкой "КК" — по задачнику Ким–Крицкова.

*Задание подпространств системами линейных уравнений: П 1312, 1313, К 35.16

*Матрицы перехода, преобразование координат вектора при замене базиса: П 1280–1283, К 34.10–34.12; задача 2 из ИДЗ-5

*Сумма и пересечение двух подпространств векторного пространства, разложение в прямую сумму подпространств: П 1317, 1318, 1320–1322; К 35.14, 35.15; задачи 3–5 из ИДЗ-5

*Линейные отображения и их матрицы: П 1434–1438, 1441–1446, 1449, 1450; К 36.3, 36.4, 39.15, 39.16; задачи 1,2 из ИДЗ-6

*Нахождение базиса ядра и базиса образа линейного отображения, приведение матрицы линейного отображения к диагональному виду с единицами и нулями на диагонали: К 39.5; задачи 3,4 из ИДЗ-6

*Линейные функции и двойственные базисы: К 36.9, 36.10; задача 5 из ИДЗ-6

*Билинейные и квадратичные формы, их матрицы: К 37.6, 37.8, 37.10, 38.15, 38.16

*Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду: П 1175–1186; К 38.8, 38.18(а–г)

*Исследование квадратичных форм на положительную и отрицательную определённость, а также определение нормального вида в зависимости от значений параметра: П 1212–1216; К 38.11(а–г), 38.14(а,б) + для каждого номера определить нормальный вид квадратичной формы в зависимости от значений параметра

*Метод ортогонализации Грама-Шмидта: П 1357–1363; К 43.7(а–г), 43.15(а–в)

*Ортогональная проекция вектора на подпространство: П 1370–1372; К 43.19(а–в)

*Объём k-мерного параллелепипеда: К 43.36

*Линейные многообразия: П 1374; К 43.21(а–г), 51.7

*Векторное и смешанное произведения в R^3: КК 25.5, 25.7, 25.17, 25.18, 25.24, 25.35–25.38, 25.49, 25.59, 25.61

*Уравнения прямых и плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 26.28–26.37, 26.39–26.47, 26.50, 27.34, 27.39–27.42, 31.1–31.3, 31.5–31.8, 31.21–31.25, 31.27–31.32

*Взаимное расположение прямых и/или плоскостей в трёхмерном пространстве: КК 27.29, 27.32, 31.13–31.15, 31.18, 31.19

*Метрические задачи в трёхмерном пространстве: КК 25.58, 32.28–32.31, 32.34, 32.35, 32.37, 32.38–32.40

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных контрольных прошлых лет.

= Коллоквиумы =

== 2-й модуль ==
Даты: 10 декабря для ЭАД, 13 декабря для ПМИ

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1hFMODfRvZ51zYqkyJi5EKpipO5B613na/view?usp=sharing '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1u61pDMSL-3ImwtjMLNmle3WabfSMsBGd/view?usp=sharing '''Список вопросов на доказательство''']

'''Формат проведения:'''

Этап 1 (2 балла). Студенту выдаются 5 определений из списка, на написание которых даётся 10 минут, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.

Этап 2 (8 баллов). Студент вытягивает билет с 4-5 вопросами на доказательство. На написание первых двух вопросов даётся 25 минут, после чего начинается опрос. Остальные вопросы обсуждаются с принимающим по мере готовности.

== 4-й модуль ==
Даты: 29-30 мая

'''Материалы для подготовки:'''

[https://drive.google.com/file/d/1TOFHODQwiBC8eAZ1RBSjpZ9W9qHXz2ld/view?usp=drive_link '''Список определений и формулировок''']

[https://drive.google.com/file/d/1oqRbzS_hovcZ6G_BqjLMxKSuaRn01pEc/view?usp=drive_link '''Список вопросов на доказательство''']

= Экзамены =

Формат проведения: письменная работа

Разрешения на экзамене: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

== 2-й модуль ==

Дата-время: 26 декабря, 9:30

Продолжительность работы: 160 минут (2 часа 40 минут)

[https://drive.google.com/file/d/1Bi3phiOeLa_FwpoQU7DQDQkQL8T69NFF/view?usp=drive_link '''Условия задач с экзамена''']

[https://docs.google.com/document/d/196BdHN84U9suOqvrDva-jh5IebD828wZd385M50vEWE/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению экзамена''']

Материалы для подготовки к экзамену:

I: [https://drive.google.com/file/d/1zxh4S7wGLkrzdn_GL4ujySAgfJXkmadN/view?usp=sharing '''список определений и формулировок''']

II: список задач для подготовки к 1-й контрольной

III: приводимые ниже задачи (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):
*Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 21.9, 22.7
*Линейная зависимость в векторных пространствах: П 639–644, 646–650, 652–655, 1824–1828; К 34.2, 34.3
*Линейные комбинации, линейные оболочки: П 665–669, 679–681 (база = максимальная линейно независимая подсистема)
*Подпространства, базис, размерность: П 1297–1304, 1308, 1310–1313; К 34.14, 35.2, 35.3, 35.7(а,в,г), 35.8, 35.11, 35.16
*Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений: П 724–732, К 8.4
*Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, 623–628; К 7.1–7.3, 7.5–7.7, 7.10, 7.12

Также стоит обратить внимание на задачи по перечисленным выше темам с аналогичных экзаменов прошлых лет.

Комментарий к I. Данный список продолжает список определений и формулировок для коллоквиума. В качестве одного из заданий экзаменационной работы может быть предложено дать какое-нибудь определение или сформулировать какую-нибудь теорему из списка, также могут быть задачи на применение теории (определений/формулировок) в конкретных примерах. Наконец, знание определений и формулировок может просто помочь при решении тех или иных задач экзаменационной работы.

= Ведомости текущего контроля =

== 1-2 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=798212250#gid=798212250 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1905063984#gid=1905063984 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1143931348#gid=1143931348 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1571389748#gid=1571389748 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=1008226585#gid=1008226585 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=196141806#gid=196141806 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=2082325635#gid=2082325635 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1JVpbQ4ryC8pOV9Vg-KAz5cAiX3x1cRlbA-vr0_BjxoY/edit?gid=141028840#gid=141028840 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1342717045#gid=1342717045 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GlVsodlZR5kegJ5t5LNamP85CMn9yUK9NGnZJN59jMs/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

'''Результаты 1-й контрольной работы'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=183207489#gid=183207489 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2014615374#gid=2014615374 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1795822500#gid=1795822500 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1130562098#gid=1130562098 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=2082037908#gid=2082037908 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=91924820#gid=91924820 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1290636010#gid=1290636010 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=877068035#gid=877068035 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1L8vW_AStAGPEIG15dZGervQumYtON5hwqEyOEOQFvt4/edit?gid=1036271056#gid=1036271056 Э256]
|}

'''Сводные таблицы с оценками'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=735451668#gid=735451668 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=669963605#gid=669963605 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1959871710#gid=1959871710 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=103812329#gid=103812329 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=944808823#gid=944808823 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1765292157#gid=1765292157 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=590665666#gid=590665666 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=455919933#gid=455919933 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/19v1v_m6ESuM9mqEc_b2KTaDEFt0KmWQNyrs1MYBhXKU/edit?gid=1889630406#gid=1889630406 Э256]
|}

== 3-4 модули ==

'''Результаты проверки больших домашних заданий'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=875295647#gid=875295647 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1194858570#gid=1194858570 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=60759599#gid=60759599 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1446605831#gid=1446605831 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1782123377#gid=1782123377 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=2045636581#gid=2045636581 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1271838568#gid=1271838568 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=495362391#gid=495362391 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1018299486#gid=1018299486 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1364062586#gid=1364062586 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1523518745#gid=1523518745 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1423608094#gid=1423608094 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=96823731#gid=96823731 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=776758101#gid=776758101 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=1608052002#gid=1608052002 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1rRMgNb3eRFKfZ_OxIrQiuE5pp5YesQMgwLEn3Sa7l9g/edit?gid=689894434#gid=689894434 Э256]
|}

'''Результаты сдачи задач из листков'''

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=458782119#gid=458782119 256] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1181982027#gid=1181982027 257] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2074432488#gid=2074432488 258] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1003272547#gid=1003272547 259] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=875295647#gid=875295647 2510] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=379779270#gid=379779270 2511] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1051002935#gid=1051002935 2512] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=201060294#gid=201060294 2513] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1694513214#gid=1694513214 2514] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=331922030#gid=331922030 2515] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=828676271#gid=828676271 Э251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=681851522#gid=681851522 Э252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=659738287#gid=659738287 Э253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=2130239911#gid=2130239911 Э254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=759818057#gid=759818057 Э255] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1dfxRPnb7DPwiTVYHmXDdxS1WSG050uTXwBCv5Nu2g1o/edit?gid=1689215809#gid=1689215809 Э256]
|}

= Кстати =

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

= Ссылки =

[https://t.me/LA_256_sem Telegram-канал семинаров в группе БПМИ256]

[https://t.me/linal258 Telegram-канал семинаров в группе БПМИ258]

= Литература =

== Учебники ==

* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
* А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005

== Сборники задач ==

* И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
* Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-04-29T14:07:11Z

Ravdeev: /* Краткое содержание лекций */

Алгебра на ПМИ 2025/2026 (основной поток)

2026-04-29T14:03:19Z

Ravdeev: /* Домашние задания */