Wiki - Факультет компьютерных наук - Вклад [ru]

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-03-28T14:15:17Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Обновляемый конспект.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера.

Лекция 7 (27.02.2026) Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса. Квадратичный закон взаимности. Символ Якоби и его свойства. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы (без доказательства). Тест Соловея -- Штрассена. Псевдопростые числа Эйлера.

Лекция 8 (06.03.2026) Оценка числа оснований, для которых тест Соловея -- Штрассена не срабатывает. Извлечение квадратного корня по модулю простого числа p=4k+3. Числа Блюма. Криптосистема Рабина, шифрование и электронная подпись. Эквивалентность задач факторизации числа Блюма n и извлечения квадратного корня по модулю n. Забывчивая передача Рабина. Протоколы привязки к биту и подбрасывания монеты по телефону. Подбрасывания монеты по телефону с помощью чисел Блюма.

Лекция 9 (13.03.2026) Криптосистема Гольдвассер -- Микали: протоколы привязки к биту и шифрования. Генератор Блюм -- Блюма -- Шуба. Вероятностное шифрование Блюма -- Гольдвассер. Лемма Гензеля. Подъём решений полиномиальных сравнений. р-адические числа.

Лекция 10 (20.03.2026) Гомоморфное шифрование. Гомоморфность криптосистем RSA, Рабина, Эль-Гамаля и Гольдвассер -- Микали. Криптосистема Пэйе.

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/82246748417?pwd=mJa8GZ9XoKGdloi2koXLMSZ18zbxwf.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. [https://drive.google.com/file/d/1cL35Kd-GbUoQSohLwnPMPm2v-2WKXrVj/view?usp=drive_link Программа.]

=== Расписание коллоквиума ===

Коллоквиум будет проходить в аудитории R306.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! Время
|-
||БПМИ254 || 9:30
|-
||БПМИ251 || 11:30
|-
||БПМИ252 || 13:00
|-
||БПМИ253 || 14:30
|-
||БПМИ255|| 16:30
|}

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 балла каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



== Экзамен ==

[https://drive.google.com/file/d/16sPt9nOa4Gy6-uCL3pD5ZmCPHlvwyDJy/view?usp=sharing Демо-версия]

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306 = 240+110+108+84.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* 9 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); домашнее задание выдается к каждому семинару кроме последнего.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Теория чисел (пилотный_поток) 2024/25]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-03-26T08:47:10Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Обновляемый конспект.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера.

Лекция 7 (27.02.2026) Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса. Квадратичный закон взаимности. Символ Якоби и его свойства. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы (без доказательства). Тест Соловея -- Штрассена. Псевдопростые числа Эйлера.

Лекция 8 (06.03.2026) Оценка числа оснований, для которых тест Соловея -- Штрассена не срабатывает. Извлечение квадратного корня по модулю простого числа p=4k+3. Числа Блюма. Криптосистема Рабина, шифрование и электронная подпись. Эквивалентность задач факторизации числа Блюма n и извлечения квадратного корня по модулю n. Забывчивая передача Рабина. Протоколы привязки к биту и подбрасывания монеты по телефону. Подбрасывания монеты по телефону с помощью чисел Блюма.

Лекция 9 (13.03.2026) Криптосистема Гольдвассер -- Микали: протоколы привязки к биту и шифрования. Генератор Блюм -- Блюма -- Шуба. Вероятностное шифрование Блюма -- Гольдвассер. Лемма Гензеля. Подъём решений полиномиальных сравнений. р-адические числа.

Лекция 10 (20.03.2026) Гомоморфное шифрование. Гомоморфность криптосистем RSA, Рабина, Эль-Гамаля и Гольдвассер -- Микали. Криптосистема Пэйе.

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/82246748417?pwd=mJa8GZ9XoKGdloi2koXLMSZ18zbxwf.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. [https://drive.google.com/file/d/1cL35Kd-GbUoQSohLwnPMPm2v-2WKXrVj/view?usp=drive_link Программа.]

=== Расписание коллоквиума ===

Коллоквиум будет проходить в аудитории R306.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! Время
|-
||БПМИ254 || 9:30
|-
||БПМИ251 || 11:30
|-
||БПМИ252 || 13:00
|-
||БПМИ253 || 14:30
|-
||БПМИ255|| 16:30
|}

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 балла каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

[https://drive.google.com/file/d/16sPt9nOa4Gy6-uCL3pD5ZmCPHlvwyDJy/view?usp=sharing Демо-версия]

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306 = 240+110+108+84.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* 9 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); домашнее задание выдается к каждому семинару кроме последнего.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Теория чисел (пилотный_поток) 2024/25]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-03-17T18:04:09Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Обновляемый конспект.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера.

Лекция 7 (27.02.2026) Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса. Квадратичный закон взаимности. Символ Якоби и его свойства. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы (без доказательства). Тест Соловея -- Штрассена. Псевдопростые числа Эйлера.

Лекция 8 (06.03.2026) Оценка числа оснований, для которых тест Соловея -- Штрассена не срабатывает. Извлечение квадратного корня по модулю простого числа p=4k+3. Числа Блюма. Криптосистема Рабина, шифрование и электронная подпись. Эквивалентность задач факторизации числа Блюма n и извлечения квадратного корня по модулю n. Забывчивая передача Рабина. Протоколы привязки к биту и подбрасывания монеты по телефону. Подбрасывания монеты по телефону с помощью чисел Блюма.

Лекция 9 (13.03.2026) Криптосистема Гольдвассер -- Микали: протоколы привязки к биту и шифрования. Генератор Блюм -- Блюма -- Шуба. Вероятностное шифрование Блюма -- Гольдвассер. Лемма Гензеля. Подъём решений полиномиальных сравнений. р-адические числа.

Лекция 10 (20.03.2026) Гомоморфное шифрование. Гомоморфность криптосистем RSA, Рабина, Эль-Гамаля и Гольдвассер -- Микали. Криптосистема Пэйе.

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/82246748417?pwd=mJa8GZ9XoKGdloi2koXLMSZ18zbxwf.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. [https://drive.google.com/file/d/1cL35Kd-GbUoQSohLwnPMPm2v-2WKXrVj/view?usp=drive_link Программа.]

=== Расписание коллоквиума ===

Коллоквиум будет проходить в аудитории R306.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! Время
|-
||БПМИ254 || 9:30
|-
||БПМИ251 || 11:30
|-
||БПМИ252 || 13:00
|-
||БПМИ253 || 14:30
|-
||БПМИ255|| 16:30
|}

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 балла каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306 = 240+110+108+84.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* 9 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); домашнее задание выдается к каждому семинару кроме последнего.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Теория чисел (пилотный_поток) 2024/25]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-03-15T15:11:40Z

Ustinov: /* Лекции */

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Обновляемый конспект.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера.

Лекция 7 (27.02.2026) Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса. Квадратичный закон взаимности. Символ Якоби и его свойства. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы (без доказательства). Тест Соловея -- Штрассена. Псевдопростые числа Эйлера.

Лекция 8 (06.03.2026) Оценка числа оснований, для которых тест Соловея -- Штрассена не срабатывает. Извлечение квадратного корня по модулю простого числа p=4k+3. Числа Блюма. Криптосистема Рабина, шифрование и электронная подпись. Эквивалентность задач факторизации числа Блюма n и извлечения квадратного корня по модулю n. Забывчивая передача Рабина. Протоколы привязки к биту и подбрасывания монеты по телефону. Подбрасывания монеты по телефону с помощью чисел Блюма.

Лекция 9 (13.03.2026) Криптосистема Гольдвассер -- Микали: протоколы привязки к биту и шифрования. Генератор Блюм -- Блюма -- Шуба. Вероятностное шифрование Блюма -- Гольдвассер. Лемма Гензеля. Подъём решений полиномиальных сравнений. р-адические числа.

Лекция 10 (20.03.2026) Гомоморфное шифрование. Гомоморфность криптосистем RSA, Рабина, Эль-Гамаля и Гольдвассер -- Микали. Криптосистема Пэйе.

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/82246748417?pwd=mJa8GZ9XoKGdloi2koXLMSZ18zbxwf.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

Прошлогодняя программа коллоквиума есть в конспектах лекций. Изменения, если и будут, то минимальные. Окончательная программа будет опубликована ближе к делу.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 балла каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306 = 240+110+108+84.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* 9 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); домашнее задание выдается к каждому семинару кроме последнего.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Теория чисел (пилотный_поток) 2024/25]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-03-06T17:42:40Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Обновляемый конспект.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера.

Лекция 7 (27.02.2026) Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса. Квадратичный закон взаимности. Символ Якоби и его свойства. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы (без доказательства). Тест Соловея -- Штрассена. Псевдопростые числа Эйлера.

Лекция 8 (06.03.2026) Оценка числа оснований, для которых тест Соловея -- Штрассена не срабатывает. Извлечение квадратного корня по модулю простого числа p=4k+3. Числа Блюма. Криптосистема Рабина, шифрование и электронная подпись. Эквивалентность задач факторизации числа Блюма n и извлечения квадратного корня по модулю n. Забывчивая передача Рабина. Протоколы привязки к биту и подбрасывания монеты по телефону. Подбрасывания монеты по телефону с помощью чисел Блюма.

Лекция 9 (13.03.2026) Криптосистема Гольдвассер -- Микали: протоколы привязки к биту и шифрования. Гомоморфное шифрование. Гомоморфность криптосистем RSA, Рабина, Эль-Гамаля и Гольдвассер -- Микали.

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/82246748417?pwd=mJa8GZ9XoKGdloi2koXLMSZ18zbxwf.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

Прошлогодняя программа коллоквиума есть в конспектах лекций. Изменения, если и будут, то минимальные. Окончательная программа будет опубликована ближе к делу.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 балла каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306 = 240+110+108+84.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* 9 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); домашнее задание выдается к каждому семинару кроме последнего.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Теория чисел (пилотный_поток) 2024/25]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-03-03T08:13:25Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Обновляемый конспект.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера.

Лекция 7 (27.02.2026) Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса. Квадратичный закон взаимности. Символ Якоби и его свойства. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы (без доказательства). Тест Соловея -- Штрассена. Псевдопростые числа Эйлера.

Лекция 8 (06.03.2026) Оценка числа оснований, для которых тест Соловея -- Штрассена не срабатывает. Извлечение квадратного корня по модулю простого числа p=4k+3. Числа Блюма. Криптосистема Рабина, шифрование и электронная подпись. Эквивалентность задач факторизации числа Блюма n и извлечения квадратного корня по модулю n. Забывчивая передача Рабина. Протоколы привязки к биту и подбрасывания монеты по телефону. Подбрасывания монеты по телефону с помощью чисел Блюма. Криптосистема Гольдвассер -- Микали: протоколы привязки к биту и шифрования. Гомоморфное шифрование. Гомоморфность криптосистем RSA, Рабина, Эль-Гамаля и Гольдвассер -- Микали.

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/82246748417?pwd=mJa8GZ9XoKGdloi2koXLMSZ18zbxwf.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

Прошлогодняя программа коллоквиума есть в конспектах лекций. Изменения, если и будут, то минимальные. Окончательная программа будет опубликована ближе к делу.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 балла каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306 = 240+110+108+84.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* 9 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); домашнее задание выдается к каждому семинару кроме последнего.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Теория чисел (пилотный_поток) 2024/25]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-27T17:20:57Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера.

Лекция 7 (27.02.2026) Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса. Квадратичный закон взаимности. Символ Якоби и его свойства. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы (без доказательства). Тест Соловея -- Штрассена. Псевдопростые числа Эйлера.

Лекция 8 (06.03.2026) Оценка числа оснований, для которых тест Соловея -- Штрассена не срабатывает. Извлечение квадратного корня по модулю простого числа p=4k+3. Числа Блюма. Криптосистема Рабина, шифрование и электронная подпись. Эквивалентность задач факторизации числа Блюма n и извлечения квадратного корня по модулю n. Забывчивая передача Рабина. Протоколы привязки к биту и подбрасывания монеты по телефону. Подбрасывания монеты по телефону с помощью чисел Блюма. Криптосистема Гольдвассер -- Микали: протоколы привязки к биту и шифрования. Гомоморфное шифрование. Гомоморфность криптосистем RSA, Рабина, Эль-Гамаля и Гольдвассер -- Микали.

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/82246748417?pwd=mJa8GZ9XoKGdloi2koXLMSZ18zbxwf.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

Прошлогодняя программа коллоквиума есть в конспектах лекций. Изменения, если и будут, то минимальные. Окончательная программа будет опубликована ближе к делу.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 балла каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306 = 240+110+108+84.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* 9 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); домашнее задание выдается к каждому семинару кроме последнего.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Теория чисел (пилотный_поток) 2024/25]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-25T12:18:11Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера.

Лекция 7 (27.02.2026) Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса. Квадратичный закон взаимности. Символ Якоби и его свойства. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы (без доказательства). Тест Соловея -- Штрассена. Оценка числа оснований, для которых тест Соловея -- Штрассена не срабатывает. Псевдопростые числа Эйлера.

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/82246748417?pwd=mJa8GZ9XoKGdloi2koXLMSZ18zbxwf.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

Прошлогодняя программа коллоквиума есть в конспектах лекций. Изменения, если и будут, то минимальные. Окончательная программа будет опубликована ближе к делу.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 балла каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306 = 240+110+108+84.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* 9 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); домашнее задание выдается к каждому семинару кроме последнего.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Теория чисел (пилотный_поток) 2024/25]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-25T12:16:17Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера.

Лекция 7 (27.02.2026) Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса. Квадратичный закон взаимности. Символ Якоби и его свойства. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы (без доказательства). Тест Соловея -- Штрассена. Оценка числа оснований, для которых тест Соловея -- Штрассена не срабатывает. Псевдопростые числа Эйлера.

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/82246748417?pwd=mJa8GZ9XoKGdloi2koXLMSZ18zbxwf.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

Прошлогодняя программа коллоквиума есть в конспектах лекций. Изменения, если и будут, то минимальные. Окончательная программа будет опубликована ближе к делу.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306 = 240+110+108+84.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* 9 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); домашнее задание выдается к каждому семинару кроме последнего.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Теория чисел (пилотный_поток) 2024/25]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-25T12:14:17Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера.

Лекция 7 (27.02.2026) Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса. Квадратичный закон взаимности. Символ Якоби и его свойства. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы (без доказательства). Тест Соловея -- Штрассена. Оценка числа оснований, для которых тест Соловея -- Штрассена не срабатывает. Псевдопростые числа Эйлера.

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/82246748417?pwd=mJa8GZ9XoKGdloi2koXLMSZ18zbxwf.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

Прошлогодняя программа коллоквиума есть в конспектах лекций. Изменения, если и будут, то минимальные. Окончательная программа будет опубликована ближе к делу.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306 = 240+110+108+84.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Теория чисел (пилотный_поток) 2024/25]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-25T12:10:47Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера.

Лекция 7 (27.02.2026) Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса. Квадратичный закон взаимности. Символ Якоби и его свойства. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы (без доказательства). Тест Соловея -- Штрассена. Оценка числа оснований, для которых тест Соловея -- Штрассена не срабатывает. Псевдопростые числа Эйлера.

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/82246748417?pwd=mJa8GZ9XoKGdloi2koXLMSZ18zbxwf.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

Прошлогодняя программа коллоквиума есть в конспектах лекций. Изменения, если и будут, то минимальные. Окончательная программа будет опубликована ближе к делу.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306 = 240+110+108+84.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Теория чисел (пилотный_поток) 2024/25]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-25T12:10:06Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра.

Лекция 7 (27.02.2026) Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса. Квадратичный закон взаимности. Символ Якоби и его свойства. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы (без доказательства). Тест Соловея -- Штрассена. Оценка числа оснований, для которых тест Соловея -- Штрассена не срабатывает. Псевдопростые числа Эйлера.

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/82246748417?pwd=mJa8GZ9XoKGdloi2koXLMSZ18zbxwf.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

Прошлогодняя программа коллоквиума есть в конспектах лекций. Изменения, если и будут, то минимальные. Окончательная программа будет опубликована ближе к делу.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306 = 240+110+108+84.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Теория чисел (пилотный_поток) 2024/25]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-25T11:42:48Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра.

Лекция 7 (27.02.2026) Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса. Квадратичный закон взаимности. Символ Якоби и его свойства. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы (без доказательства). Тест Соловея -- Штрассена. Оценка числа оснований, для которых тест Соловея -- Штрассена не срабатывает. Псевдопростые числа Эйлера.

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/82246748417?pwd=mJa8GZ9XoKGdloi2koXLMSZ18zbxwf.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

Прошлогодняя программа коллоквиума есть в конспектах лекций. Изменения, если и будут, то минимальные. Окончательная программа будет опубликована ближе к делу.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306 = 240+110+108+84.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Теория чисел (пилотный_поток) 2024/25]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-20T15:46:08Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра.

Лекция 7 (27.02.2026) Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса. Квадратичный закон взаимности. Символ Якоби и его свойства. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы (без доказательства). Тест Соловея -- Штрассена. Оценка числа оснований, для которых тест Соловея -- Штрассена не срабатывает. Псевдопростые числа Эйлера.

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/82246748417?pwd=mJa8GZ9XoKGdloi2koXLMSZ18zbxwf.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306 = 240+110+108+84.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Теория чисел (пилотный_поток) 2024/25]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-20T09:55:22Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса.

Лекция 7 (27.02.2026)

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/82246748417?pwd=mJa8GZ9XoKGdloi2koXLMSZ18zbxwf.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306 = 240+110+108+84.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Теория чисел (пилотный_поток) 2024/25]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-19T14:57:59Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса.

Лекция 7 (27.02.2026)

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/82246748417?pwd=mJa8GZ9XoKGdloi2koXLMSZ18zbxwf.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306 = 240+110+108+84.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-18T22:46:36Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса.

Лекция 7 (27.02.2026)

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/84229948744?pwd=ylNfu894CBNCuALzcehonaR0Qema8j.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306 = 240+110+108+84.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-18T22:33:16Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса.

Лекция 7 (27.02.2026)

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/84229948744?pwd=ylNfu894CBNCuALzcehonaR0Qema8j.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-18T22:29:34Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса.

Лекция 7 (27.02.2026)

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/84229948744?pwd=ylNfu894CBNCuALzcehonaR0Qema8j.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306.

1. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).





== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-18T22:26:49Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса.

Лекция 7 (27.02.2026)

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201 (251, 252), R401 (253, 254), R406 (255).

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/84229948744?pwd=ylNfu894CBNCuALzcehonaR0Qema8j.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

30 марта 2026 г., 16:20-18:20. Аудитории R401, R503, R305, R306.

1. С собой можно взять собственноручно написанную шпаргалку размера А4 (на одной его стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-18T16:29:02Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса.

Лекция 7 (27.02.2026)

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201, R401, R406. Распределение по аудиториям станет известно ближе к делу.

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/84229948744?pwd=ylNfu894CBNCuALzcehonaR0Qema8j.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

1. С собой можно взять собственноручно написанную шпаргалку размера А4 (на одной его стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-18T16:28:39Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса.

Лекция 7 (27.02.2026)

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201, R401, R406. Распределение по аудиториям станет известно ближе к делу.

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/84229948744?pwd=ylNfu894CBNCuALzcehonaR0Qema8j.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



=== Расписание коллоквиума ===

== Экзамен ==

1. С собой можно взять собственноручно написанную шпаргалку размера А4 (на одной его стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор (непрограммируемый).



[https://us06web.zoom.us/j/81169938145?pwd=6nhsz2OpNbxHbACSplkYDRbblnLLBa.1 Cсылка] для тех, кто пишет онлайн.

== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-18T16:16:35Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса.

Лекция 7 (27.02.2026)

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201, R401, R406. Распределение по аудиториям станет известно ближе к делу.

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

[https://us06web.zoom.us/j/84229948744?pwd=ylNfu894CBNCuALzcehonaR0Qema8j.1 Ссылка] для пишущих онлайн.

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



[https://us06web.zoom.us/j/81169938145?pwd=6nhsz2OpNbxHbACSplkYDRbblnLLBa.1 Cсылка] для тех, кто пишет онлайн.

== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-18T10:55:36Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса.

Лекция 7 (27.02.2026)

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201, R401, R406. Распределение по аудиториям станет известно ближе к делу.

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

==== Правила контрольной работы ====

1. Разрешается принести с собой лист формата А4 с выписанными формулами (на одной стороне). Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



[https://us06web.zoom.us/j/81169938145?pwd=6nhsz2OpNbxHbACSplkYDRbblnLLBa.1 Cсылка] для тех, кто пишет онлайн.

== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-16T18:16:52Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса.

Лекция 7 (27.02.2026)

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201, R401, R406. Распределение по аудиториям станет известно ближе к делу.

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

==== Правила контрольной работы ====

1. Допускается использование листа формата А4 для записей, однако писать разрешается только на одной его стороне.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

3. Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00. Программа появится чуть позже.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



[https://us06web.zoom.us/j/81169938145?pwd=6nhsz2OpNbxHbACSplkYDRbblnLLBa.1 Cсылка] для тех, кто пишет онлайн.

== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-16T18:15:24Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026) Первообразные корни (ПК). Критерий ПК. Существование ПК по простому модулю. Существование ПК по модулю p^2. Существование ПК по модулю p^a. Существование ПК по модулю 2p^a.

Лекция 6 (20.02.2026) Индексы. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи -- Хеллмана. Вычислительная задача Диффи -- Хеллмана. Протокол Эль-Гамаля. Полиномиально сводимые и вычислительно эквивалентные функции. Вычислительная эквивалентность задач DH и EG. Трёхэтапный протокол Шамира. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера. Символ Лежандра. Простейшие свойства символа Лежандра. Критерий Гаусса.

Лекция 7 (27.02.2026)

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201, R401, R406. Распределение по аудиториям станет известно ближе к делу.

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

==== Правила контрольной работы ====

1. Допускается использование листа формата А4 для записей, однако писать разрешается только на одной его стороне.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

3. Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



[https://us06web.zoom.us/j/81169938145?pwd=6nhsz2OpNbxHbACSplkYDRbblnLLBa.1 Cсылка] для тех, кто пишет онлайн.

== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-16T14:16:49Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026)

Лекция 6 (20.02.2026)

Лекция 7 (27.02.2026)

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201, R401, R406. Распределение по аудиториям станет известно ближе к делу.

[https://drive.google.com/file/d/115mzSDLriVxZEf8MMAx4TGIgvZrBU8iK/view?usp=sharing Демо-вариант.]

==== Правила контрольной работы ====

1. Допускается использование листа формата А4 для записей, однако писать разрешается только на одной его стороне.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

3. Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



[https://us06web.zoom.us/j/81169938145?pwd=6nhsz2OpNbxHbACSplkYDRbblnLLBa.1 Cсылка] для тех, кто пишет онлайн.

== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-09T17:28:36Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026)

Лекция 6 (20.02.2026)

Лекция 7 (27.02.2026)

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201, R401, R406. Распределение по аудиториям станет известно ближе к делу.

==== Правила контрольной работы ====

1. Допускается использование листа формата А4 для записей, однако писать разрешается только на одной его стороне.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

3. Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

== Коллоквиум ==

Дата: 21 марта. Время: 9:30-21:00.

=== Расписание коллоквиума ===

Распределение по времени будет происходить ближе к делу.

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



[https://us06web.zoom.us/j/81169938145?pwd=6nhsz2OpNbxHbACSplkYDRbblnLLBa.1 Cсылка] для тех, кто пишет онлайн.

== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-09T17:25:05Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026)

Лекция 6 (20.02.2026)

Лекция 7 (27.02.2026)

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

Дата и время: 19.02 16:20-17:40. Аудитории R201, R401, R406. Распределение по аудиториям станет известно ближе к делу.

==== Правила контрольной работы ====

1. Допускается использование листа формата А4 для записей, однако писать разрешается только на одной его стороне.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

3. Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

== Коллоквиум ==
=== Расписание коллоквиума ===

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



[https://us06web.zoom.us/j/81169938145?pwd=6nhsz2OpNbxHbACSplkYDRbblnLLBa.1 Cсылка] для тех, кто пишет онлайн.

== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-09T12:08:09Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов. Связь с интерполяционным многочленом Лагранжа.

Лекция 5 (13.02.2026)

Лекция 6 (20.02.2026)

Лекция 7 (27.02.2026)

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

==== Правила контрольной работы ====

1. Допускается использование листа формата А4 для записей, однако писать разрешается только на одной его стороне.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

3. Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

== Коллоквиум ==
=== Расписание коллоквиума ===

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



[https://us06web.zoom.us/j/81169938145?pwd=6nhsz2OpNbxHbACSplkYDRbblnLLBa.1 Cсылка] для тех, кто пишет онлайн.

== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-02-09T11:50:04Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов. Делители нуля. Многочлены над полем. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Теорема о числе корней многочлена. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Однозначность разложения на множители в кольце многочленов. КТО для многочленов.

Лекция 5 (13.02.2026)

Лекция 6 (20.02.2026)

Лекция 7 (27.02.2026)

Лекция 8 (06.03.2026)

Лекция 9 (13.03.2026)

Лекция 10 (20.03.2026)

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

==== Правила контрольной работы ====

1. Допускается использование листа формата А4 для записей, однако писать разрешается только на одной его стороне.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

3. Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

== Коллоквиум ==
=== Расписание коллоквиума ===

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



[https://us06web.zoom.us/j/81169938145?pwd=6nhsz2OpNbxHbACSplkYDRbblnLLBa.1 Cсылка] для тех, кто пишет онлайн.

== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-01-30T15:48:35Z

Ustinov:

== О курсе ==

Это курс основ теории чисел, специализированный для студентов, изучающих компьютерные науки. Параллельно со стандартными понятиями и теоремами из элементарной теории чисел будет происходить знакомство с их приложениями в криптографии и алгоритмической теории чисел.

=== Преподаватели и учебные ассистенты ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ251 !! БПМИ252 !! БПМИ253 !! БПМИ254 !! БПМИ255
|-
|| Лектор ||colspan="5"| [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/ozhegov57 Ожегов Фёдор Юрьевич] || [https://t.me/AlexeyVUstinov А.В. Устинов] ||colspan="2" | А. Калмынин || [https://t.me/ivbeldiev Бельдиев Иван Сергеевич]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/pythonabuser Хорст Алина], [https://t.me/idtagirm Мухаметшин Тагир] || [https://t.me/Polushari Арзамасов Александр], [https://t.me/ndden Денисов Николай] || [https://t.me/gowentgone777 Архипов Виктор], [https://t.me/Anilaniklot Кравчук Илья] || [https://t.me/SanLokin Леонович Матвей ] , [https://t.me/bkaajf Контраталиев Алан] || [https://t.me/lizgbet Горбач Елизавета], [https://t.me/shannymad Полянская Софья]
|-
|| Ассистент лектора || colspan="5" | [https://t.me/raspberru Грецкая Вера Ильинична]
|-
|}

== Лекции ==

[https://drive.google.com/file/d/1fDBOjj4GL0S3D9hI8NTYvCfxBbuHLXj2/view?usp=sharing Прошлогодний конспект, который будет обновляться.]

Лекция 1 (16.01.2026) Алгоритмы и их сложность. Сложность умножения и деления столбиком. Сложность алгоритма Евклида. Лемма о линейном представлении НОДа. Основная теорема арифметики. Определение группы. Примеры групп. Определение кольца. Примеры колец. Кольцо вычетов.

Лекция 2 (23.01.2026) Сравнения и их свойства. Полная и приведённая системы вычетов. Группа обратимых элементов кольца вычетов. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.
Мультипликативные функции. Мультипликативность функции Эйлера. Тест "Ферма". Псевдопростые числа Ферма. Числа Кармайкла. Тест сильной псевдопростоты.

Лекция 3 (30.01.2026) Теорема Вильсона. Поле вычетов по простому модулю. Теорема Рабина (без доказательства). Симметричная криптография. Криптосистема Полига -- Хеллмана. Асимметричная криптография. Криптосистема RSA. Электронная подпись RSA.
Гомоморфное шифрование. Слепая подпись RSA.

Лекция 4 (06.02.2026) Китайская теорема об остатках (КТО), три доказательства. Изоморфизмы групп и колец. Прямое произведение групп и колец. КТО как изоморфизм колец вычетов.

== Семинары и домашние задания ==

[https://drive.google.com/drive/folders/1ocvFGs00Xcj4p8gFyA_S3FMPE_se_UhC?usp=sharing Папка с материалами семинаров и ДЗ.]

=== Правила выставления оценок ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления.
Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

=== Правила сдачи заданий ===

Всё должно быть написано аккуратно и понятно. Ассистент имеет право вызвать студента на защиту задания, если решение неясное или есть подозрение на списывание или использование ИИ. В случае неявки или невозможности объяснить решение студент получает 0 баллов.

ПРОСРОЧКА: У Вас есть возможность дважды отправить домашнее задание после истечения срока сдачи в течение 24 часов. Однако этот шанс не может быть использован для сдачи последнего домашнего задания.

== Контрольная работа ==

==== Правила контрольной работы ====

1. Допускается использование листа формата А4 для записей, однако писать разрешается только на одной его стороне.

2. Разрешается принести с собой калькулятор.

3. Можно от руки написать на планшете и затем распечатать.

== Коллоквиум ==
=== Расписание коллоквиума ===

=== Правила проведения коллоквиума===

Коллоквиум проходит в виде беседы со студентом, в которой студент рассказывает ответы на вопросы билета, а принимающий имеет возможность задавать любые уточняющие вопросы в рамках билета.

'''Билет''' будет состоять из следующих частей (максимально 9 баллов):
#два определения (по 1 баллу каждое);
#формулировки двух теорем без доказательства (по 1 баллу каждая);
#две теоремы с доказательствами (по 2.5 баллу каждое).

Если за ответ по билету было набрано '''7,5-9 баллов''', то студент имеет возможность запросить у проверяющего '''дополнительную сложную задачу (на 2 балла)''', которую проверяющий выбирает из списка дополнительных задач сам. Дополнительные задачи заранее не известны. 
'''Замечание''': Эта задача дается только в том случае, если студент набрал 7,5-9 баллов за все остальные части билета. Задача не прописана в билете, она выдается проверяющим.

'''Время подготовки билета'''
На подготовку вопрос из билета (пунктов 1-3) '''40 минут'''.
Беседа с преподавателем идет не больше '''40 минут'''.
После беседы с преподавателем, если студент набирает 7,5-9 баллов, дается ещё '''до 20 минут''' на решение сложной задачи.
Студент максимально может потратить '''1 час и 45 минут''' на сдачу коллоквиума.

'''Оценка за коллоквиум''' равна минимуму из 10 и набранного числа баллов.

'''Замечание''': За списывание и использование любых носителей информации (электронных и бумажных), студент получает 0 за коллоквиум без возможности пересдачи.



[https://us06web.zoom.us/j/81169938145?pwd=6nhsz2OpNbxHbACSplkYDRbblnLLBa.1 Cсылка] для тех, кто пишет онлайн.

== Оценка ==

В течение года установлены следующие формы контроля:
* один письменный экзамен (ЭК), в сессию после модуля;
* одна письменная контрольная работа (KР), которую планируется провести в середине 3-го модуля;
* один коллоквиум (KЛ), который планируется провести в конце 3-го модуля;
* около 10 домашних заданий (ДЗ, где ДЗ --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ); обычно домашнее задание выдается к каждому семинару.

Накопленная Оценка, НО, вычисляется без округления по следующей формуле:
НО = 0.4 * ДЗ + 0.2 * Кр + 0.4 * КЛ.
Итоговая Оценка за Курс, ИО, вычисляется по следующей формуле:
ИО = Округление(7/10*НО + 3/10*ЭК),

где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, ЭК — оценка за экзамен, КЛ — оценка за коллоквиум.
Если НО не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать экзамен. В этом случае ИО = Округление(НО).
Округление арифметическое.

== Ведомость ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=840627089#gid=840627089 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=1771040506#gid=1771040506 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=382422285#gid=382422285 БПМИ253]!![https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=538948281#gid=538948281 БПМИ254] !!
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/18v4Lwp7J7EAXmazYTeypk7LCXYSmGU7BlHpcInSVNBU/edit?gid=808431978#gid=808431978 БПМИ255]
|}

== Сводная таблица с оценками по ДЗ ==

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=0#gid=0 БПМИ251] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=61268542#gid=61268542 БПМИ252] || [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=710162730#gid=710162730 БПМИ253]!! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=764991279#gid=764991279 БПМИ254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1_MphFXbSiUISXJsLI22JpbIHA-rQ0YE1BLEvLqA3dPw/edit?gid=766813518#gid=766813518 БПМИ255]
|}

== Полезные ссылки ==

[https://drive.google.com/file/d/1gSAJGCRom_DFr2rho0uzVLtPpVE8NTOi/view?usp=sharing Конспект лекций 2023 года.]

[[Теория чисел (пилотный поток) 2023/24]]

[[Криптография на решётках 24/25]] (факультатив, 4-й модуль 24/25 у.г.)

[[Дополнительные главы теории чисел]] (факультатив в 4-м модуле 22/23 у.г.)

==Книги==
===Основная литература===
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [A] [https://www.studmed.ru/akritas-ag-osnovy-kompyuternoy-algebry-s-prilozheniyami_4cf6c2ced74.html Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. 1994]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ВИМ] [https://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Виноградов И. М., Основы теории чисел.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]
# [MOV] [https://doc.lagout.org/network/3_Cryptography/CRC%20Press%20-%20Handbook%20of%20applied%20Cryptography.pdf Menezes A., Oorschot P. van, Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography]

===Дополнительная литература===

# [https://techlibrary.ru/b/2j1a1s1j1m1f1o1l1p_2w.2v._3a1f1p1r1f1t1j1l1p-1y1j1s1m1p1c2c1f_1a1m1d1p1r1j1t1n2c_1c_1l1r1j1q1t1p1d1r1a1v1j1j._2003.pdf Василенко, О. Н. Теоретико-числовые методы в криптографии МЦНМО, 2003]
# [ВЭБ] [https://mathprofi.com/uploads/files/2581_f_41_e.b.vinberg-kurs-algebry-2-e-izd.pdf Винберг Э. Б. Курс алгебры]
# Герман, О. Н., Нестеренко, Ю. Теоретико-числовые методы в криптографии 2012
# Гашков С. Б., Применко Э. А., Черепнев М. А. Криптографические методы защиты информации, Академия, 2010
# Глухов М. М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черёмушкин А.В. Введение в теоретико-числовые методы криптографии Лань, 2011
# Кнут, Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2: Получисленные алгоритмы "Вильямс" , М., Санкт-Петербург, Киев, 2000
# [http://lib.ysu.am/open_books/416134.pdf Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП, 2001.]
# [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
#[https://library.samdu.uz/files/5ef5e9f7c2b02d90200f92776db5bbc3_%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8E_by_%D0%9F%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D1%89_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%AF%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%92_%D0%92_2012.pdf Ященко, В. В. (ред.) Введение в криптографию, МЦНМО, Москва, 1999]
# Hoffstein, J.; Pipher, J., Silverman, J. H. An introduction to mathematical cryptography Springer, 2008,

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-01-15T19:30:07Z

Ustinov:

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-01-15T19:28:53Z

Ustinov:

Теория чисел (пилотный поток) 2025/26

2026-01-15T19:18:25Z

Ustinov:

Дополнительные главы теории чисел

2025-12-27T13:37:59Z

Ustinov:

== О курсе ==

В курсе будут рассмотрены такие классические числовые объекты как цепные дроби, ряды Фарея, нелинейные диофантовы уравнения, числовые фризы, арифметические функции, дзета-функцию Римана и др. Они замечательны тем, что иллюстрируют связь теории чисел с другими разделами математики. Одни объекты имеют геометрическую интерпретацию (часто на плоскости Лобачевского). На другие нужно смотреть с комбинаторной точки зрения. За спиной у третьих стоят аналитические функции.

=== Предварительная программа курса ===

# Геометрия чисел. Континуанты. Правило Эйлера. Решётки и их свойства. Теорема Эйлера - Ферма. Решётки. Геометрия цепных дробей. Теорема Минковского о выпуклом теле. Приложения теоремы Минковского.
# Арифметика целых чисел. (Распределение простых чисел. Арифметические функции и их средние значения. Формула обращения Мёбиуса. Дзета-функция Римана.)
# Тригонометрические суммы. (Конечные ряды Фурье. Быстрое преобразование Фурье и быстрое умножение чисел. Равномерное распределение последовательностей. Критерий Вейля.)
# Метод производящих функций. (Теория разбиений. Пентагональная теорема Эйлера. Числа Каталана.)

== Лекции ==

Лекция 1 (07.04.2023) Континуанты. [АУ], [ГКП].

Лекция 2 (14.04.2023) Решётки. Геометрия цепных дробей. [АУ].

Лекция 3 (21.04.2023) Геометрия парусов. Теорема Минковского и её приложения. (Онлайн) [АУ]

Лекция 4 (28.04.2023) Мультипликативные функции. Свёртка Дирихле. Дзета-функция Римана. [АР]

Лекция 5 (12.05.2023) Средние значения арифметических функций. [Б]

Лекция 6 (19.05.2023) Распределение простых чисел. [Н]

Лекция 7 (26.05.2023) Суммы с простыми числами. [Б]

Лекция 8 (02.06.2023) Умножение Карацубы. [Кн] Конечные ряды Фурье. [К, АУ]

Лекция 9 (09.06.2023) Быстрое преобразование Фурье. [НК] Суммы Гаусса. [К]

Экзамен (16.06.2023)

[https://drive.google.com/file/d/1HcpU_XdM_aXfxJOgVEukXpiP9qaNCq1w/view?usp=sharing Конспект лекций 1-9.]

== Домашние задания ==

[https://drive.google.com/file/d/1Pxr1AyXKdge8eRjmogoOCnbZsoxAEdK0/view?usp=sharing ДЗ-1], [https://drive.google.com/file/d/1WPxav8-GEbqiT_hCu45O2_triHzk1RT3/view?usp=sharing ДЗ-2], [https://drive.google.com/file/d/1RGW2gF8BU2t3LegXhFdhZUVGE9E9STIR/view?usp=sharing ДЗ-3], [https://drive.google.com/file/d/1KWfNuST16bjzcWFakb6k9UO9a05cWVRr/view?usp=sharing ДЗ-4], [https://drive.google.com/file/d/1ubsMnH8VWfLBFCAO449dh6_P2M3asmi-/view?usp=sharing ДЗ-5], [https://drive.google.com/file/d/1rL743dYE55BZ52e6sTZ2r5y5H8rxYQdx/view?usp=sharing ДЗ-6], [https://drive.google.com/file/d/1e3cmAgVIRMgu2rZ38uXTORgC-ZQ80CkF/view?usp=sharing ДЗ-8]

== Экзамен ==

В конце курса состоится устный экзамен. [https://drive.google.com/file/d/1c1PV8oxSrprZQHzzGFejiNysUKyZII3g/view?usp=sharing Программа экзамена.]

== Оценка ==

Итоговая оценка=40%*экзамен + 60%*ДЗ (округляется арифметически).

==Книги==

===Основная литература===

# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [АУ] [https://uchebnik.mos.ru/system_2/atomic_objects/files/007/640/620/original/alfutova-ustinov-text.pdf Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2018]
# [Б] [https://mahalex.net/151-153/Buchstab.pdf Бухштаб А. А., Теория чисел]
# [ГКП] [http://publ.lib.ru/ARCHIVES/G/GREHEM_Ronal'd_L'yuis/_Grehem_R.L..html%20http://publ.lib.ru/ARCHIVES/G/GREHEM_Ronal'd_L'yuis/_Grehem_R.L..html Грэхем Р.Л., Кнут Д.Э., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. - М.: Мир, 1998.]
# [НК] [https://www.studmed.ru/noden-p-kitte-k-algebraicheskaya-algoritmika-s-uprazhneniyami-i-resheniyami-_dc06f6ef316.html Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика]

===Дополнительная литература===

# [Кн] Кнут Д. Искусство программирования. Т. 2. Получисленные алгоритмы. М.: Вильямс, 2007.
# [К] Коробов Н. М., Тригонометрические суммы и их приложения, 1989.
# [Н] [http://mmmf.msu.ru/lect/nesterenko/mainnth.pdf Нестеренко Ю. В., Теория чисел]
# [M] [https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4757-3441-6/mode/2up Murty M. Ram Problems in analytic number theory, 2008.]

Аналитическая теория чисел: приложения комплексного анализа 25/26

2025-12-27T13:36:36Z

Ustinov:

== О курсе ==

Методы комплексного анализа — мощный инструмент аналитической теории чисел. В курсе планируется рассказать о нескольких важных приложениях этого метода. Первая часть курса будет посвящена основными методами подсчёта интегралов и бесконечных сумм. Во второй части курса мы познакомимся тэта-функциями и модулярными формами. В качестве приложений мы рассмотрим задачи о представлении целых чисел суммами квадратов и задачу об асимптотическом поведении числа разбиений. Лектор — [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 А. В. Устинов]

=== Предварительная программа ===

# Основные методы подсчёта контурных интегралов.
# Вычисление суммы Гаусса.
# Формула суммирования Пуассона. Суммирование бесконечных рядов.
# Тэта-функции.
# Представление чисел суммами квадратов.
# Модулярные формы.
# Эта-функция Дедекинда. Суммы Дедекинда.
# Теория разбиений. Формула Радемахера для числа разбиений натурального числа.

=== Полезные ссылки ===

[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1nrzlctbhbJ6sBk0DGq_RZz-P2Tk3Ocu9mXyP6UzzgOo/edit?gid=0#gid=0&range=D19 Таблица с номером аудитории]

[https://classroom.google.com/c/ODEwODk3MDM1ODky?cjc=qd5huntp Приглашение в classroom]

[https://t.me/+OXLYfLxHcFphMWFi ТГ-группа]

== Лекции ==

Лекция 1 (03.10.2025) Метод контурного интегрирования. Базовые примеры и приёмы. Интегрирование рациональных функций. Интеграл Дирихле. Интеграл Гаусса.

Лекция 2 (10.10.2025) Преобразование Фурье. Сдвиг контура. Использование точек ветвления многозначных функций. [Steph] Представление Ганкеля для гамма-функции Эйлера. [БЭ] Контур Похгаммера. Вычисление суммы Гаусса (начало). [Ap]

Лекция 3 (17.10.2025) Вычисление суммы Гаусса (завершение). Суммирование бесконечных рядов. [Stein]

Лекция 4 (24.10.2025) Преобразование Фурье голоморфных функций. Обратное преобразование Фурье. Формула суммирования Пуассона. [Stein]

Лекция 5 (07.11.2025) Тэта-функция Якоби и её свойства. Тройное произведение Якоби. [Stein]

Коллоквиум (12.11.2025)

Лекция 6 (14.11.2025) Разбиения чисел. Разбиения на нечётные и различные слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера. Функциональное уравнение для тэта-функции Якоби. Эта-функция Дедекинда. Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (начало). [Stein]

Лекция 7 (21.11.2025) Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (завершение). Представление чисел суммой двух квадратов. Сведение задачи к вычислению ряда обратных косинусов. Преобразование Фурье от функции 1/ch(pi x). Применение формула суммирования Пуассона к функции 1/ch(pi x). [Stein]

Лекция 8 (28.11.2025) Теорема Якоби о представлении чисел суммами двух квадратов. Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений (формулировка и план доказательства). [Stein]

Лекция 9 (05.12.2025) Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений, оценка остаточного члена. [Stein]

Лекция 10 (12.12.2025) Метод Лапласа. Метод стационарной фазы. Метод перевала. Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений, подсчёт главного члена (два варианта). [Stein]

Экзамен (19.12.2025) Время 14:40, аудитория К417.

== Оценка ==

Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

==Книги==
===Основная литература===

# [Ap] [https://libgen.gl/edition.php?id=136364090 Apostol Tom M. Modular functions and Dirichlet series in number theory, 1990.]
# [Stein] [https://libgen.gl/edition.php?id=135849329 Stein E., Shakarchi R. Complex analysis, 2003.]

===Дополнительная литература===

# [Steph] [https://libgen.gl/edition.php?id=136657859 Stephenson G., Radmore P. M. Advanced mathematical methods for engineering and science students, 1990.]
# [БЭ] Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции (том 1). Гипергеометрические функции. Функции Лежандра. 1973.
# [Д] [https://libgen.st/book/index.php?md5=C0698FA7EC3785EB2155DB85E128A7DA Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.]
# [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.
# [Rad1] [https://www.math.purdue.edu/~sahay5/iitd.pdf Sahay, Anurag, and Rijul Saini. "Partitions and Rademacher’s Exact Formula." (2012).]
# [Rad2] [https://arxiv.org/abs/2302.03835 Kong, Ze-Yong / Teo, Lee-Peng Rademacher's Formula for the Partition Function (2023).]

Эллиптические функции 23/24

2025-12-27T13:35:25Z

Ustinov:

== О курсе ==

Цель курса — познакомить слушателей с эллиптическим функциями. С одной стороны, они представляю собой аналитический инструмент для изучения эллиптических кривых. С другой стороны, как и другие представители мира специальных функций, они оказываются средством решения прикладных задач. Простейший пример — задача об описании движения математического маятника, точное решение которой описывается именно в терминал эллиптических функций. Ну, а если смотреть шире, то эллиптические функции — это один из важных шагов в глубины аналитической теории чисел: в теорию модулярных форм, в теорию представлений чисел квадратичными формами, ...

Лектор -- [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 А. В. Устинов.]

=== Предварительная программа ===

# Поле эллиптических функций. (Двоякопериодические функции. P-функция Вейерштрасса. Эллиптические кривые в форме Вейерштрасса. Закон сложения точек на эллиптической кривой. Точки конечного порядка на эллиптических кривых.
# Функции Вейерштрасса. (Сигма- и дзета-функции Вейерштрасса. Выражение произвольной эллиптической функции посредством сигма- и дзета-функций Вейерштрасса. Теоремы сложения для функций-Вейерштрасса.)
# Модулярные формы. (Ряды Эйзенштейна. Размерность пространства модулярных форм данного веса. Связь с эллиптическим функциями.
# Функции Якоби. (Тэта-функции. Эллиптические интегралы. Римановы поверхности иррациональных функций. Функции Якоби и их свойства. Теоремы сложения.)
# Приложения эллиптических функций в механике, математической физике и теории чисел.

=== Полезные ссылки ===

[https://dlmf.nist.gov/23 Функции Вейерштрасса и модулярные функции в цифровой библиотеке специальных функций.]

== Лекции ==

Лекция 1 (29.09.2023) Периодические функции. Теорема Якоби о периодах. Поле эллиптических функций. Теоремы Лиувилля (формулировки). [A, стр. 7-11, 14-16]

Лекция 2 (06.10.2023) P-функция Вейерштрасса. Теорема о сходимости определяющего ряда. Периодичность P-функции Вейерштрасса. Двукратные точки P-функции. [К, стр. 23-28]

Лекция 3 (13.10.2023) Принцип аргумента. Пятая теорема Лиувилля. [A, стр. 17-18] Разложение P-функции Вейерштрасса в ряд Лорана. Дифференциальное уравнение для P-функции. [К, стр. 33-35]

Лекция 4 (20.10.2023) Униформизация эллиптической кривой. Закон сложения на эллиптической кривой. Сложение точек на эллиптической кривой над полем характеристики отличной от 2.
[К, стр. 41-47]

Лекция 5 (03.11.2023) Выражение произвольной эллиптической функции через Р-функцию Вейерштрасса и её производную. [К, стр. 28-32] Дзета- и сигма функции Вейерштрасса, их свойства. [A, стр. 52-56]

Лекция 6 (10.11.2023) Выражение произвольной эллиптической функции через сигма-функцию Вейерштрасса. Разложение произвольной эллиптической функции по её полюсам (разложение через дзета-функцию Вейерштрасса, Р-функцию и её производные. Теоремы сложения для функций Вейерштрасса. Результант. Наличие дифференциального уравнения и теоремы сложения для произвольной эллиптической функции. [А, стр. 56-65]

Лекция 7 (17.11.2023) Модулярная группа и её фундаментальная область. [К, стр. 122-127]

Лекция 8 (21.11.2023, перенос с 24.11) Топология пространства Н. Модулярные функции и формы. [К, стр. 128-131, 135-137]

Лекция 9 (01.12.2023) Описание пространства модулярных форм данного веса. Модулярный инвариант j и описание множества модулярных функций веса 0. [К, стр. 143-148]

Лекция 10 (08.12.2023) Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма. [Сол]

== Домашние задания ==

* [https://drive.google.com/file/d/1wGc8wX2FklpJXqy3b4IByqcxD1ycyPUH/view?usp=sharing '''ДЗ №1'''] (выдача: 06.10.2023, дедлайн: 13.10.2023)
* [https://drive.google.com/file/d/1F2hkss7kD_XteDQHFekOsxEoyyf-Nf1V/view?usp=sharing '''ДЗ №2'''] (выдача: 14.10.2023, дедлайн: 20.10.2023)
* [https://drive.google.com/file/d/1FyvSWYU0RQn2ba3k9ozFYZQEfqwF_gbZ/view?usp=sharing '''ДЗ №3'''] (выдача: 27.10.2023, дедлайн: 03.11.2023)
* [https://drive.google.com/file/d/1vN0NZTazL2B9aYhNyCd7-aPOGSZx3kYp/view?usp=sharing '''ДЗ №4'''] (выдача: 04.11.2023, дедлайн: 10.11.2023)
* [https://drive.google.com/file/d/19U8znTnqRTSJQbHXrHXonsYZ3meR_9-5/view?usp=sharing '''ДЗ №5'''] (выдача: 10.11.2023, дедлайн: 17.11.2023)
* [https://drive.google.com/file/d/1uddqhXJmjPdGcZL88opvIEowL3gE2p83/view?usp=sharing '''ДЗ №6'''] (выдача: 18.11.2023, дедлайн: 24.11.2023)
* [https://drive.google.com/file/d/13mXX9axbh9i-ttsOysiVib13efVF7d2v/view?usp=sharing '''ДЗ №7'''] (выдача: 22.11.2023, дедлайн: 01.12.2023)
* [https://drive.google.com/file/d/1CxyVy8po8yYG8WhR9egjS15i-3APA2Tv/view?usp=sharing '''ДЗ №8'''] (выдача: 02.12.2023, дедлайн: 08.12.2023)

== Коллоквиум и экзамен ==

[https://drive.google.com/file/d/1PgmPVsJtVePlmfJYPQw0bctyM4bbSiW6/view?usp=sharing Программа коллоквиума]
[https://drive.google.com/file/d/1NyXSoQTI-2hQFWptgM1IfAH7qgTDe_7v/view?usp=sharing Программа экзамена]

Экзамен будет 15 декабря.

== Оценка ==

Итог = min(10, Округление(0.45 * ДЗ + 0.3 * Кол + 0.3 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

==Книги==
===Основная литература===

# [A] [http://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/Ahiezer1970ru.pdf Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. Изд-во "Наука", Москва, 1970]
# [К] [http://publ.lib.ru/ARCHIVES/K/KOBLIC_Nil/_Koblic_N..html Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. М., "Мир", 1988 ]
# [Сол] [http://www.bridgeclub.ru/comcon/RUS/ARTICAL/matka/F.pdf Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма. Соросовский Образовательный Журнал, № 2, 1998.]

===Дополнительная литература===

# [Серр] [https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/Serr1972ru.pdf Серр, Ж.-П. Курс арифметики 1972.]
# [AE] [http://libgen.is/book/index.php?md5=CE2692F9505369DDB12DA60FCF9A2419 Armitage J. V., Eberlein W. F. Elliptic functions, 2006]
# [Ap] [http://libgen.is/book/index.php?md5=B07A9E1D55985034062ED481A18F74D8 Apostol T. M. Modular functions and Dirichlet series in number theory, 1990]
# [Ch] [http://libgen.is/book/index.php?md5=991D5EE30013CBB1D71C294FA513189F Chandrasekharan K. Elliptic functions, 1985]
# [L] [http://libgen.is/book/index.php?md5=81561275CBD338F765DE79BCCBCF160A Lawden D. F. Elliptic functions and applications. 1989]
# [WW] [https://www.forgottenbooks.com/en/download/ACourseofModernAnalysis_10447684.pdf E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge University Press, 1927]

Основы аналитической теории чисел 2024/25

2025-12-27T13:34:53Z

Ustinov:

== О курсе ==

Базовый курс аналитической теории чисел. Будут изложены основы метода тригонометрических сумм. В качестве приложений будут рассмотрены задачи, имеющие как теоретическое, так и прикладное значение. Лектор — [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 А. В. Устинов]

=== Предварительная программа ===

# Тригонометрические суммы.
# Распределение квадратичных вычетов.
# Формулы суммирования.
# Распределение дробных долей вещественнозначных функций.
# Метод ван дер Корпута.
# Тригонометрические суммы с рекуррентной функцией.

== Лекции ==

Лекция 1 (27.09.2024) Задача о числе решений квадратичных сравнений. Суммы Гаусса. [К]

Лекция 2 (04.10.2024) Задачи о распределении квадратичных (не) вычетов. Суммы символов Лежандра. Суммы Якобшталя. [J, АР]

Лекция 3 (11.10.2024) Последняя запись из математического дневника Гаусса. [J] Сведение неполной суммы к полной. Асимптотические формулы для числа квадратичных (не)вычетов, не превосходящих данной границы. [К]

Лекция 4 (18.10.2024) Наименьший квадратичный невычет: оценка Виноградова. [Сегал]

Лекция 5 (01.11.2024) Числа и многочлены Бернулли. [ГКП] Символический вывод формулы суммирования Эйлера. [ГКП, Stef]

Лекция 6 (08.11.2024) Формула суммирования Эйлера. Аналитическое продолжение дзета-функции Римана на всю комплексную плоскость. [ГКП] Формула суммирования Пуассона. Вычисление суммы Гаусса. [Д]

Лекция 7 (15.11.2024) Связь между формулами суммирования Эйлера и Пуассона. Вариант формулы суммирования Пуассона для функций класса Шварца. Функциональное уравнение для тета-функции. [Коб]

Лекция 8 (22.11.2024) Функциональное уравнение для дзета-функции Римана. [Коб] Равномерное распределение последовательностей. [К]

Лекция 9 (29.11.2024) Критерий Вейля равномерного распределения последовательностей. [К]

Лекция 10 (06.12.2024) Лемма ван дер Корпута. Теорема Вейля о равномерном распределении значений многочлена с иррациональным коэффициентом. [К]

== Домашние задания ==

[https://drive.google.com/file/d/15PIYlu1NkrEs3LPV7GZkSREeswwG3GbY/view?usp=sharing ДЗ-1]: Суммы Гаусса, Рамануджана и Клостермана.

[https://drive.google.com/file/d/1DZQqe6blBH6r4PzVXFdKOjzRdX6HGG6i/view?usp=sharing ДЗ-2]: Суммы Шрутки.

[https://drive.google.com/file/d/1vV4t37U9JOrsh4wH14lbHy6guFecL7jd/view?usp=sharing ДЗ-3]: Разные задачи о квадратичных (не)вычетах.

[https://drive.google.com/file/d/1-zA9oNvJ-kCseKzEvVUwUGx4NlngE6vJ/view?usp=sharing ДЗ-4] (творческое и необязательное): Загадочные суммы Уайтмена и Брюера.

[https://drive.google.com/file/d/1nOJULMRbTK9kzRsGxALwx8hHEvAbZ6MV/view?usp=sharing ДЗ-5] Числа и многочлены Бернулли.

[https://drive.google.com/file/d/1LdlfgI-ch4sp_R-a0FkuPXmtkwGv06pj/view?usp=sharing ДЗ-6] Суммирование, периодизация, интерполяция.

[https://drive.google.com/file/d/1hsAC_xHJ0vqtlJxjwFK4wfq-xWNYvxOX/view?usp=sharing ДЗ-7] Формула суммирования Пуассона.

[https://drive.google.com/file/d/1s_hlfibheFGCfSAPsv6WQ4DQEI3og7aV/view?usp=sharing ДЗ-8] Равномерное распределение - 1: элементарные методы.

[https://drive.google.com/file/d/1aqUXLXiEEov4lW7GJ4muWgjY_gsrBXKR/view?usp=sharing ДЗ-9] Равномерное распределение - 2: критерий Вейля.

== Оценка ==

Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

==Книги==
===Основная литература===

# [К] [https://libgen.st/book/index.php?md5=1428ACA11D5802376E51BC95B5B477E9 Коробов Н. М., Тригонометрические суммы и их приложения, 1989.]
# [Сегал] [https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=7060&option_lang=rus Сегал Б. И., “Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел”, УМН, 1:3-4(13-14) (1946), 147–193.]

===Дополнительная литература===

# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [ГКП] Грэхем Р., Кнут Д. Э., Паташник О. Конкретная математика. - М.: Мир, 1998.
# [Д] [https://libgen.st/book/index.php?md5=C0698FA7EC3785EB2155DB85E128A7DA Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.]
# [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.
# [J] [https://eudml.org/doc/149263 Jacobsthal E. Über die Darstellung der Primzahlen der Form 4n+1 als Summe zweier Quadrate. - J. Reine Angew. Math., Vol. 132 (1907), 238-246.]
# [Stef] [https://archive.org/details/interpolation0000stef Steffensen J. F. Interpolation. 1950.] Русский перевод: Стефенсен И. Ф. Теория интерполяции. М.-Л. ОНТИ, 1935
# [Step] [https://libgen.st/book/index.php?md5=0393750424F2A06D0CBB5E3697ADD2B0 Степанов С. А. Арифметика алгебраических кривых. Москва, "Наука", 1991.]

Криптография на решётках 24/25

2025-12-27T13:34:10Z

Ustinov:

= О курсе =

В 2016 г. Национальный институт стандартов и технологий США (NIST) объявил о программе и конкурсе по обновлению своих стандартов для того, чтобы включить в них постквантовую криптографию, т. е. такие криптосистемы, которые оставались бы стойкими даже после появления квантовых компьютеров, см [https://en.wikipedia.org/wiki/NIST_Post-Quantum_Cryptography_Standardization NIST Post-Quantum Cryptography Standardization]. После трёх туров отбора в финал вышло 7 криптосистем, из которых 5 основаны на решётках.

Курс посвящён именно этому новому направлению в криптографии – криптографии на решётках. Как всегда, в основе криптографических протоколов лежит некоторая алгоритмически сложная задача. Здесь роль такой задачи выполняет задача о поиске кратчайшего вектора в решётке большой размерности. Все известные алгоритмы поиска короткого вектора имеют экспоненциальную (в зависимости от размерности) сложность. Поэтому, выбирая размерность достаточно большой (например, 1000), можно полагаться на стойкость криптосистем.

В первой части курса будет дано краткое введение в геометрию чисел. Будет рассказано о решётках и их основных свойствах. Затем мы с разных сторон посмотрим на задачу о поиске короткого вектора в данной решётке. В частности, мы изучим алгоритм Эрмита, который можно рассматривать как предварительную версию LLL-алгоритма.

Главная цель курса – познакомиться с LLL-алгоритмом – первым алгоритмом поиска короткого вектора, для которого удалось доказать полиномиальную сложность. Этот алгоритм позволил решать самые разнообразные задачи, но все его приложения останутся за границами курса.

В заключение мы познакомимся с тем, как устроены криптографические протоколы на решётках, и поймём, зачем вообще надо искать короткие векторы.

Лектор — [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 Устинов Алексей Владимирович]

=== Ассистент ===

[https://t.me/dsolunov Данила Солунов]

== Лекции ==

Лекция 1 (04.04.2025) Решётки и их свойства. Матрица Грама. [ГН] Теорема Минковского о выпуклом теле.

Лекция 2 (11.04.2025) Процесс ортогонализации Грама — Шмидта. Минимумы Минковского. Константа Эрмита. [LLL+]

Лекция 3 (18.04.2025) Оценка констант Эрмита с помощью теоремы Минковского. Приведённые по Лагранжу базисы. Алгоритм Лагранжа. Неравенство Эрмита (два доказательства). [LLL+]

Лекция 4 (25.04.2025) Алгоритм Эрмита (два варианта). Свойства базиса, приведённого по Эрмиту. LLL-приведённые базисы. Три интерпретации условия Ловаса. LLL-алгоритм. Оценка числа шагов LLL-алгоритма. [LLL+]

Лекция 5 (02.05.2025) Задача о подмножестве с данной суммой. Криптосистема Меркла — Хеллмана. Линейные коды. Порождающая и проверочная матрицы. Минимальное расстояние кода. Код Хемминга. Синдром кодового слова. Задача декодирования. Задача декодирования синдрома.

Лекция 6 (16.05.2025) Двойственные коды. Эквивалентность задач декодирования слова и декодирования синдрома. Криптосистемы Мак-Элиса и Нидеррайтера. Алгоритмически сложные задачи на решётках.

Лекция 7 (23.05.2025) Криптосистема, основанная на сравнениях. Прототип системы полного гомоморфного шифрования. Алгоритм Бабая. Криптосистема GGH (Goldreich — Goldwasser — Halevi).

Лекция 8 (30.05.2025) Дискретное преобразование Фурье. Криптосистема PASS.

== Домашние задания ==

[https://drive.google.com/file/d/1aN3o7GWGIACtXeLvT3gXQ7icbNmjREs5/view?usp=sharing ДЗ-1]
[https://drive.google.com/file/d/17wajLJlCICOBX4gqz-1isKF2735pKvLi/view?usp=sharing ДЗ-2] [https://drive.google.com/file/d/1LqHySgvBVW237NXpsoxDh2Xnfewx0nid/view?usp=sharing ДЗ-3] [https://drive.google.com/file/d/1noJ4ba1RmHbbkMp4glx2KwxTj_epJdWR/view?usp=sharing ДЗ-4] [https://drive.google.com/file/d/1bO7hoVEVEoza8K5hL4-JeeUn5LMYKgYm/view?usp=sharing ДЗ-5] [https://drive.google.com/file/d/12fOvdOSFmzQemniogGJfIQkwca8WZOhe/view?usp=sharing ДЗ-6][https://drive.google.com/file/d/1SclHpFXpOcMZApZp3uJPGdHnrRkmHqch/view?usp=sharing ДЗ-7]



=== Правила сдачи заданий ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления. Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

== Экзамен ==

13.06.2025 На экзамен можно принести собственноручно написанную шпаргалку - лист А4.

== Оценка ==

Итоговая оценка=0.5*экзамен + 0.5*ДЗ (округляется арифметически).

== Полезные материалы ==
===Основные источники===
# [ГН] [http://new.math.msu.su/department/number/dw/lib/exe/fetch.php?media=%D1%82%D1%87%D0%BC%D0%BA.pdf Герман О. Н., Нестеренко Ю. В. Теоретико-числовые методы в криптографии. 2012 ]
# [HS] [https://libgen.li/edition.php?id=28163895 Hoffstein J., Pipher J., Silverman J. H. An introduction to mathematical cryptography. 2008 ]
# [LLL+] [https://libgen.li/edition.php?id=136753335 Nguyen Phong Q., Vallée Brigitte (ed.) The LLL algorithm. Survey and applications. 2010 ]

===Дополнительные материалы===

# Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы (в 2 томах), 1990. [https://libgen.li/edition.php?id=135785023 том 1], [https://libgen.li/edition.php?id=135785024 том 2].
# Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования, 1971.
# Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки, 1986.
# Bremner M. R. Lattice basis reduction. An introduction to the LLL algorithm and its applications. 2012
# [LLL] [https://www.cs.cmu.edu/~avrim/451f11/lectures/lect1129_LLL.pdf Lenstra A. K., Lenstra H. W. jun., Lovász L. Factoring polynomials with rational coefficients. Math. Ann., Vol. 261 (1982), 515-534.]
# Micciancio D., Goldwasser Sh. [https://libgen.li/edition.php?id=136697143 Complexity of Lattice Problems: a cryptographic perspective 2002]
# Milnor J., Husemoller D. [https://libgen.li/edition.php?id=135780681 Symmetric bilinear forms 1973 ]
# Silverman J. H. [https://www.ntwebseminar.org/previous-talks#h.nc99vbqpdgq8 "More Tips on Keeping Secrets in a Post-Quantum World: Lattice-Based Cryptography"] (Обзорная лекция + криптосистемы GGH и PASS)
# [https://www.youtube.com/@tanjalangepost-quantumcryp2802 Tanja Lange: Post-quantum cryptography] (серия лекций на YouTube)

Аналитическая теория чисел: приложения комплексного анализа 25/26

2025-12-12T19:51:02Z

Ustinov: /* Лекции */

== О курсе ==

Методы комплексного анализа — мощный инструмент аналитической теории чисел. В курсе планируется рассказать о нескольких важных приложениях этого метода. Первая часть курса будет посвящена основными методами подсчёта интегралов и бесконечных сумм. Во второй части курса мы познакомимся тэта-функциями и модулярными формами. В качестве приложений мы рассмотрим задачи о представлении целых чисел суммами квадратов и задачу об асимптотическом поведении числа разбиений. Лектор — [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 А. В. Устинов]

=== Предварительная программа ===

# Основные методы подсчёта контурных интегралов.
# Вычисление суммы Гаусса.
# Формула суммирования Пуассона. Суммирование бесконечных рядов.
# Тэта-функции.
# Представление чисел суммами квадратов.
# Модулярные формы.
# Эта-функция Дедекинда. Суммы Дедекинда.
# Теория разбиений. Формула Радемахера для числа разбиений натурального числа.

=== Полезные ссылки ===

[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1nrzlctbhbJ6sBk0DGq_RZz-P2Tk3Ocu9mXyP6UzzgOo/edit?gid=0#gid=0&range=D19 Таблица с номером аудитории]

[https://classroom.google.com/c/ODEwODk3MDM1ODky?cjc=qd5huntp Приглашение в classroom]

[https://t.me/+OXLYfLxHcFphMWFi ТГ-группа]

== Лекции ==

Лекция 1 (03.10.2025) Метод контурного интегрирования. Базовые примеры и приёмы. Интегрирование рациональных функций. Интеграл Дирихле. Интеграл Гаусса.

Лекция 2 (10.10.2025) Преобразование Фурье. Сдвиг контура. Использование точек ветвления многозначных функций. [Steph] Представление Ганкеля для гамма-функции Эйлера. [БЭ] Контур Похгаммера. Вычисление суммы Гаусса (начало). [Ap]

Лекция 3 (17.10.2025) Вычисление суммы Гаусса (завершение). Суммирование бесконечных рядов. [Stein]

Лекция 4 (24.10.2025) Преобразование Фурье голоморфных функций. Обратное преобразование Фурье. Формула суммирования Пуассона. [Stein]

Лекция 5 (07.11.2025) Тэта-функция Якоби и её свойства. Тройное произведение Якоби. [Stein]

Коллоквиум (12.11.2025)

Лекция 6 (14.11.2025) Разбиения чисел. Разбиения на нечётные и различные слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера. Функциональное уравнение для тэта-функции Якоби. Эта-функция Дедекинда. Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (начало). [Stein]

Лекция 7 (21.11.2025) Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (завершение). Представление чисел суммой двух квадратов. Сведение задачи к вычислению ряда обратных косинусов. Преобразование Фурье от функции 1/ch(pi x). Применение формула суммирования Пуассона к функции 1/ch(pi x). [Stein]

Лекция 8 (28.11.2025) Теорема Якоби о представлении чисел суммами двух квадратов. Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений (формулировка и план доказательства). [Stein]

Лекция 9 (05.12.2025) Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений, оценка остаточного члена. [Stein]

Лекция 10 (12.12.2025) Метод Лапласа. Метод стационарной фазы. Метод перевала. Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений, подсчёт главного члена (два варианта). [Stein]

Экзамен (19.12.2025) Время 14:40, аудитория К417.

== Домашние задания ==

== Оценка ==

Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

==Книги==
===Основная литература===

# [Ap] [https://libgen.gl/edition.php?id=136364090 Apostol Tom M. Modular functions and Dirichlet series in number theory, 1990.]
# [Stein] [https://libgen.gl/edition.php?id=135849329 Stein E., Shakarchi R. Complex analysis, 2003.]

===Дополнительная литература===

# [Steph] [https://libgen.gl/edition.php?id=136657859 Stephenson G., Radmore P. M. Advanced mathematical methods for engineering and science students, 1990.]
# [БЭ] Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции (том 1). Гипергеометрические функции. Функции Лежандра. 1973.
# [Д] [https://libgen.st/book/index.php?md5=C0698FA7EC3785EB2155DB85E128A7DA Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.]
# [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.
# [Rad1] [https://www.math.purdue.edu/~sahay5/iitd.pdf Sahay, Anurag, and Rijul Saini. "Partitions and Rademacher’s Exact Formula." (2012).]
# [Rad2] [https://arxiv.org/abs/2302.03835 Kong, Ze-Yong / Teo, Lee-Peng Rademacher's Formula for the Partition Function (2023).]

Аналитическая теория чисел: приложения комплексного анализа 25/26

2025-12-05T19:27:28Z

Ustinov:

== О курсе ==

Методы комплексного анализа — мощный инструмент аналитической теории чисел. В курсе планируется рассказать о нескольких важных приложениях этого метода. Первая часть курса будет посвящена основными методами подсчёта интегралов и бесконечных сумм. Во второй части курса мы познакомимся тэта-функциями и модулярными формами. В качестве приложений мы рассмотрим задачи о представлении целых чисел суммами квадратов и задачу об асимптотическом поведении числа разбиений. Лектор — [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 А. В. Устинов]

=== Предварительная программа ===

# Основные методы подсчёта контурных интегралов.
# Вычисление суммы Гаусса.
# Формула суммирования Пуассона. Суммирование бесконечных рядов.
# Тэта-функции.
# Представление чисел суммами квадратов.
# Модулярные формы.
# Эта-функция Дедекинда. Суммы Дедекинда.
# Теория разбиений. Формула Радемахера для числа разбиений натурального числа.

=== Полезные ссылки ===

[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1nrzlctbhbJ6sBk0DGq_RZz-P2Tk3Ocu9mXyP6UzzgOo/edit?gid=0#gid=0&range=D19 Таблица с номером аудитории]

[https://classroom.google.com/c/ODEwODk3MDM1ODky?cjc=qd5huntp Приглашение в classroom]

[https://t.me/+OXLYfLxHcFphMWFi ТГ-группа]

== Лекции ==

Лекция 1 (03.10.2025) Метод контурного интегрирования. Базовые примеры и приёмы. Интегрирование рациональных функций. Интеграл Дирихле. Интеграл Гаусса.

Лекция 2 (10.10.2025) Преобразование Фурье. Сдвиг контура. Использование точек ветвления многозначных функций. [Steph] Представление Ганкеля для гамма-функции Эйлера. [БЭ] Контур Похгаммера. Вычисление суммы Гаусса (начало). [Ap]

Лекция 3 (17.10.2025) Вычисление суммы Гаусса (завершение). Суммирование бесконечных рядов. [Stein]

Лекция 4 (24.10.2025) Преобразование Фурье голоморфных функций. Обратное преобразование Фурье. Формула суммирования Пуассона. [Stein]

Лекция 5 (07.11.2025) Тэта-функция Якоби и её свойства. Тройное произведение Якоби. [Stein]

Коллоквиум (12.11.2025)

Лекция 6 (14.11.2025) Разбиения чисел. Разбиения на нечётные и различные слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера. Функциональное уравнение для тэта-функции Якоби. Эта-функция Дедекинда. Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (начало). [Stein]

Лекция 7 (21.11.2025) Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (завершение). Представление чисел суммой двух квадратов. Сведение задачи к вычислению ряда обратных косинусов. Преобразование Фурье от функции 1/ch(pi x). Применение формула суммирования Пуассона к функции 1/ch(pi x). [Stein]

Лекция 8 (28.11.2025) Теорема Якоби о представлении чисел суммами двух квадратов. Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений (формулировка и план доказательства). [Stein]

Лекция 9 (05.12.2025) Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений, оценка остаточного члена. [Stein]

Лекция 10 (12.12.2025) Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений, подсчёт главного члена. [Stein]

Экзамен (19.12.2025)

== Домашние задания ==

== Оценка ==

Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

==Книги==
===Основная литература===

# [Ap] [https://libgen.gl/edition.php?id=136364090 Apostol Tom M. Modular functions and Dirichlet series in number theory, 1990.]
# [Stein] [https://libgen.gl/edition.php?id=135849329 Stein E., Shakarchi R. Complex analysis, 2003.]

===Дополнительная литература===

# [Steph] [https://libgen.gl/edition.php?id=136657859 Stephenson G., Radmore P. M. Advanced mathematical methods for engineering and science students, 1990.]
# [БЭ] Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции (том 1). Гипергеометрические функции. Функции Лежандра. 1973.
# [Д] [https://libgen.st/book/index.php?md5=C0698FA7EC3785EB2155DB85E128A7DA Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.]
# [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.
# [Rad1] [https://www.math.purdue.edu/~sahay5/iitd.pdf Sahay, Anurag, and Rijul Saini. "Partitions and Rademacher’s Exact Formula." (2012).]
# [Rad2] [https://arxiv.org/abs/2302.03835 Kong, Ze-Yong / Teo, Lee-Peng Rademacher's Formula for the Partition Function (2023).]

Аналитическая теория чисел: приложения комплексного анализа 25/26

2025-11-30T16:26:36Z

Ustinov:

== О курсе ==

Методы комплексного анализа — мощный инструмент аналитической теории чисел. В курсе планируется рассказать о нескольких важных приложениях этого метода. Первая часть курса будет посвящена основными методами подсчёта интегралов и бесконечных сумм. Во второй части курса мы познакомимся тэта-функциями и модулярными формами. В качестве приложений мы рассмотрим задачи о представлении целых чисел суммами квадратов и задачу об асимптотическом поведении числа разбиений. Лектор — [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 А. В. Устинов]

=== Предварительная программа ===

# Основные методы подсчёта контурных интегралов.
# Вычисление суммы Гаусса.
# Формула суммирования Пуассона. Суммирование бесконечных рядов.
# Тэта-функции.
# Представление чисел суммами квадратов.
# Модулярные формы.
# Эта-функция Дедекинда. Суммы Дедекинда.
# Теория разбиений. Формула Радемахера для числа разбиений натурального числа.

=== Полезные ссылки ===

[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1nrzlctbhbJ6sBk0DGq_RZz-P2Tk3Ocu9mXyP6UzzgOo/edit?gid=0#gid=0&range=D19 Таблица с номером аудитории]

[https://classroom.google.com/c/ODEwODk3MDM1ODky?cjc=qd5huntp Приглашение в classroom]

[https://t.me/+OXLYfLxHcFphMWFi ТГ-группа]

== Лекции ==

Лекция 1 (03.10.2025) Метод контурного интегрирования. Базовые примеры и приёмы. Интегрирование рациональных функций. Интеграл Дирихле. Интеграл Гаусса.

Лекция 2 (10.10.2025) Преобразование Фурье. Сдвиг контура. Использование точек ветвления многозначных функций. [Steph] Представление Ганкеля для гамма-функции Эйлера. [БЭ] Контур Похгаммера. Вычисление суммы Гаусса (начало). [Ap]

Лекция 3 (17.10.2025) Вычисление суммы Гаусса (завершение). Суммирование бесконечных рядов. [Stein]

Лекция 4 (24.10.2025) Преобразование Фурье голоморфных функций. Обратное преобразование Фурье. Формула суммирования Пуассона. [Stein]

Лекция 5 (07.11.2025) Тэта-функция Якоби и её свойства. Тройное произведение Якоби. [Stein]

Коллоквиум (12.11.2025)

Лекция 6 (14.11.2025) Разбиения чисел. Разбиения на нечётные и различные слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера. Функциональное уравнение для тэта-функции Якоби. Эта-функция Дедекинда. Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (начало). [Stein]

Лекция 7 (21.11.2025) Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (завершение). Представление чисел суммой двух квадратов. Сведение задачи к вычислению ряда обратных косинусов. Преобразование Фурье от функции 1/ch(pi x). Применение формула суммирования Пуассона к функции 1/ch(pi x). [Stein]

Лекция 8 (28.11.2025) Теорема Якоби о представлении чисел суммами двух квадратов. Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений (формулировка и план доказательства). [Stein]

Лекция 9 (05.12.2025) Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений (оценка остаточного члена). [Stein]

Лекция 10 (12.12.2025)

Экзамен (19.12.2025)

== Домашние задания ==

== Оценка ==

Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

==Книги==
===Основная литература===

# [Ap] [https://libgen.gl/edition.php?id=136364090 Apostol Tom M. Modular functions and Dirichlet series in number theory, 1990.]
# [Stein] [https://libgen.gl/edition.php?id=135849329 Stein E., Shakarchi R. Complex analysis, 2003.]

===Дополнительная литература===

# [Steph] [https://libgen.gl/edition.php?id=136657859 Stephenson G., Radmore P. M. Advanced mathematical methods for engineering and science students, 1990.]
# [БЭ] Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции (том 1). Гипергеометрические функции. Функции Лежандра. 1973.
# [Д] [https://libgen.st/book/index.php?md5=C0698FA7EC3785EB2155DB85E128A7DA Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.]
# [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.
# [Rad1] [https://www.math.purdue.edu/~sahay5/iitd.pdf Sahay, Anurag, and Rijul Saini. "Partitions and Rademacher’s Exact Formula." (2012).]
# [Rad2] [https://arxiv.org/abs/2302.03835 Kong, Ze-Yong / Teo, Lee-Peng Rademacher's Formula for the Partition Function (2023).]

Аналитическая теория чисел: приложения комплексного анализа 25/26

2025-11-29T18:08:19Z

Ustinov: /* Лекции */

== О курсе ==

Методы комплексного анализа — мощный инструмент аналитической теории чисел. В курсе планируется рассказать о нескольких важных приложениях этого метода. Первая часть курса будет посвящена основными методами подсчёта интегралов и бесконечных сумм. Во второй части курса мы познакомимся тэта-функциями и модулярными формами. В качестве приложений мы рассмотрим задачи о представлении целых чисел суммами квадратов и задачу об асимптотическом поведении числа разбиений. Лектор — [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 А. В. Устинов]

=== Предварительная программа ===

# Основные методы подсчёта контурных интегралов.
# Вычисление суммы Гаусса.
# Формула суммирования Пуассона. Суммирование бесконечных рядов.
# Тэта-функции.
# Представление чисел суммами квадратов.
# Модулярные формы.
# Эта-функция Дедекинда. Суммы Дедекинда.
# Теория разбиений. Формула Радемахера для числа разбиений натурального числа.

=== Полезные ссылки ===

[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1nrzlctbhbJ6sBk0DGq_RZz-P2Tk3Ocu9mXyP6UzzgOo/edit?gid=0#gid=0&range=D19 Таблица с номером аудитории]

[https://classroom.google.com/c/ODEwODk3MDM1ODky?cjc=qd5huntp Приглашение в classroom]

[https://t.me/+OXLYfLxHcFphMWFi ТГ-группа]

== Лекции ==

Лекция 1 (03.10.2025) Метод контурного интегрирования. Базовые примеры и приёмы. Интегрирование рациональных функций. Интеграл Дирихле. Интеграл Гаусса.

Лекция 2 (10.10.2025) Преобразование Фурье. Сдвиг контура. Использование точек ветвления многозначных функций. [Steph] Представление Ганкеля для гамма-функции Эйлера. [БЭ] Контур Похгаммера. Вычисление суммы Гаусса (начало). [Ap]

Лекция 3 (17.10.2025) Вычисление суммы Гаусса (завершение). Суммирование бесконечных рядов. [Stein]

Лекция 4 (24.10.2025) Преобразование Фурье голоморфных функций. Обратное преобразование Фурье. Формула суммирования Пуассона. [Stein]

Лекция 5 (07.11.2025) Тэта-функция Якоби и её свойства. Тройное произведение Якоби. [Stein]

Коллоквиум (12.11.2025)

Лекция 6 (14.11.2025) Разбиения чисел. Разбиения на нечётные и различные слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера. Функциональное уравнение для тэта-функции Якоби. Эта-функция Дедекинда. Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (начало). [Stein]

Лекция 7 (21.11.2025) Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (завершение). Представление чисел суммой двух квадратов. Сведение задачи к вычислению ряда обратных косинусов. Преобразование Фурье от функции 1/ch(pi x). Применение формула суммирования Пуассона к функции 1/ch(pi x). [Stein]

Лекция 8 (28.11.2025) Теорема Якоби о представлении чисел суммами двух квадратов. Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений (формулировка и план доказательства). [Stein]

Лекция 9 (05.12.2025) Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений (оценка остаточного члена). [Stein]

Лекция 10 (12.12.2025)

Экзамен (19.12.2025)

== Домашние задания ==

== Оценка ==

Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

==Книги==
===Основная литература===

# [Ap] [https://libgen.gl/edition.php?id=136364090 Apostol Tom M. Modular functions and Dirichlet series in number theory, 1990.]
# [Stein] [https://libgen.gl/edition.php?id=135849329 Stein E., Shakarchi R. Complex analysis, 2003.]

===Дополнительная литература===

# [Steph] [https://libgen.gl/edition.php?id=136657859 Stephenson G., Radmore P. M. Advanced mathematical methods for engineering and science students, 1990.]
# [БЭ] Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции (том 1). Гипергеометрические функции. Функции Лежандра. 1973.
# [Д] [https://libgen.st/book/index.php?md5=C0698FA7EC3785EB2155DB85E128A7DA Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.]
# [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.

Аналитическая теория чисел: приложения комплексного анализа 25/26

2025-11-21T17:59:45Z

Ustinov:

== О курсе ==

Методы комплексного анализа — мощный инструмент аналитической теории чисел. В курсе планируется рассказать о нескольких важных приложениях этого метода. Первая часть курса будет посвящена основными методами подсчёта интегралов и бесконечных сумм. Во второй части курса мы познакомимся тэта-функциями и модулярными формами. В качестве приложений мы рассмотрим задачи о представлении целых чисел суммами квадратов и задачу об асимптотическом поведении числа разбиений. Лектор — [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 А. В. Устинов]

=== Предварительная программа ===

# Основные методы подсчёта контурных интегралов.
# Вычисление суммы Гаусса.
# Формула суммирования Пуассона. Суммирование бесконечных рядов.
# Тэта-функции.
# Представление чисел суммами квадратов.
# Модулярные формы.
# Эта-функция Дедекинда. Суммы Дедекинда.
# Теория разбиений. Формула Радемахера для числа разбиений натурального числа.

=== Полезные ссылки ===

[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1nrzlctbhbJ6sBk0DGq_RZz-P2Tk3Ocu9mXyP6UzzgOo/edit?gid=0#gid=0&range=D19 Таблица с номером аудитории]

[https://classroom.google.com/c/ODEwODk3MDM1ODky?cjc=qd5huntp Приглашение в classroom]

[https://t.me/+OXLYfLxHcFphMWFi ТГ-группа]

== Лекции ==

Лекция 1 (03.10.2025) Метод контурного интегрирования. Базовые примеры и приёмы. Интегрирование рациональных функций. Интеграл Дирихле. Интеграл Гаусса.

Лекция 2 (10.10.2025) Преобразование Фурье. Сдвиг контура. Использование точек ветвления многозначных функций. [Steph] Представление Ганкеля для гамма-функции Эйлера. [БЭ] Контур Похгаммера. Вычисление суммы Гаусса (начало). [Ap]

Лекция 3 (17.10.2025) Вычисление суммы Гаусса (завершение). Суммирование бесконечных рядов. [Stein]

Лекция 4 (24.10.2025) Преобразование Фурье голоморфных функций. Обратное преобразование Фурье. Формула суммирования Пуассона. [Stein]

Лекция 5 (07.11.2025) Тэта-функция Якоби и её свойства. Тройное произведение Якоби. [Stein]

Коллоквиум (12.11.2025)

Лекция 6 (14.11.2025) Разбиения чисел. Разбиения на нечётные и различные слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера. Функциональное уравнение для тэта-функции Якоби. Эта-функция Дедекинда. Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (начало). [Stein]

Лекция 7 (21.11.2025) Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (завершение). Представление чисел суммой двух квадратов. Сведение задачи к вычислению ряда обратных косинусов. Преобразование Фурье от функции 1/ch(pi x). Применение формула суммирования Пуассона к функции 1/ch(pi x). [Stein]

Лекция 8 (28.11.2025)

Лекция 9 (05.12.2025)

Лекция 10 (12.12.2025)

Экзамен (19.12.2025)

== Домашние задания ==

== Оценка ==

Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

==Книги==
===Основная литература===

# [Ap] [https://libgen.gl/edition.php?id=136364090 Apostol Tom M. Modular functions and Dirichlet series in number theory, 1990.]
# [Stein] [https://libgen.gl/edition.php?id=135849329 Stein E., Shakarchi R. Complex analysis, 2003.]

===Дополнительная литература===

# [Steph] [https://libgen.gl/edition.php?id=136657859 Stephenson G., Radmore P. M. Advanced mathematical methods for engineering and science students, 1990.]
# [БЭ] Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции (том 1). Гипергеометрические функции. Функции Лежандра. 1973.
# [Д] [https://libgen.st/book/index.php?md5=C0698FA7EC3785EB2155DB85E128A7DA Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.]
# [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.

Аналитическая теория чисел: приложения комплексного анализа 25/26

2025-11-21T17:55:02Z

Ustinov:

== О курсе ==

Методы комплексного анализа — мощный инструмент аналитической теории чисел. В курсе планируется рассказать о нескольких важных приложениях этого метода. Первая часть курса будет посвящена основными методами подсчёта интегралов и бесконечных сумм. Во второй части курса мы познакомимся тэта-функциями и модулярными формами. В качестве приложений мы рассмотрим задачи о представлении целых чисел суммами квадратов и задачу об асимптотическом поведении числа разбиений. Лектор — [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 А. В. Устинов]

=== Предварительная программа ===

# Основные методы подсчёта контурных интегралов.
# Вычисление суммы Гаусса.
# Формула суммирования Пуассона. Суммирование бесконечных рядов.
# Тэта-функции.
# Представление чисел суммами квадратов.
# Модулярные формы.
# Эта-функция Дедекинда. Суммы Дедекинда.
# Теория разбиений. Формула Радемахера для числа разбиений натурального числа.

=== Полезные ссылки ===

[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1nrzlctbhbJ6sBk0DGq_RZz-P2Tk3Ocu9mXyP6UzzgOo/edit?gid=0#gid=0&range=D19 Таблица с номером аудитории]

[https://classroom.google.com/c/ODEwODk3MDM1ODky?cjc=qd5huntp Приглашение в classroom]

[https://t.me/+OXLYfLxHcFphMWFi ТГ-группа]

== Лекции ==

Лекция 1 (03.10.2025) Метод контурного интегрирования. Базовые примеры и приёмы. Интегрирование рациональных функций. Интеграл Дирихле. Интеграл Гаусса.

Лекция 2 (10.10.2025) Преобразование Фурье. Сдвиг контура. Использование точек ветвления многозначных функций. [Steph] Представление Ганкеля для гамма-функции Эйлера. [БЭ] Контур Похгаммера. Вычисление суммы Гаусса (начало). [Ap]

Лекция 3 (17.10.2025) Вычисление суммы Гаусса (завершение). Суммирование бесконечных рядов. [Stein]

Лекция 4 (24.10.2025) Преобразование Фурье голоморфных функций. Обратное преобразование Фурье. Формула суммирования Пуассона. [Stein]

Лекция 5 (07.11.2025) Тэта-функция Якоби и её свойства. Тройное произведение Якоби. [Stein]

Коллоквиум (12.11.2025)

Лекция 6 (14.11.2025) Разбиения чисел. Разбиения на нечётные и различные слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера. Функциональное уравнение для тэта-функции Якоби. Эта-функция Дедекинда. Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (начало). [Stein]

Лекция 7 (21.11.2025) Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (завершение). Представление чисел суммой двух квадратов. Сведение задачи к вычислению ряда обратных косинусов. Преобразование Фурье от функции 1/ch(pi x). [Stein]

Лекция 8 (28.11.2025)

Лекция 9 (05.12.2025)

Лекция 10 (12.12.2025)

Экзамен (19.12.2025)

== Домашние задания ==

== Оценка ==

Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

==Книги==
===Основная литература===

# [Ap] [https://libgen.gl/edition.php?id=136364090 Apostol Tom M. Modular functions and Dirichlet series in number theory, 1990.]
# [Stein] [https://libgen.gl/edition.php?id=135849329 Stein E., Shakarchi R. Complex analysis, 2003.]

===Дополнительная литература===

# [Steph] [https://libgen.gl/edition.php?id=136657859 Stephenson G., Radmore P. M. Advanced mathematical methods for engineering and science students, 1990.]
# [БЭ] Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции (том 1). Гипергеометрические функции. Функции Лежандра. 1973.
# [Д] [https://libgen.st/book/index.php?md5=C0698FA7EC3785EB2155DB85E128A7DA Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.]
# [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.

Аналитическая теория чисел: приложения комплексного анализа 25/26

2025-11-16T18:05:45Z

Ustinov: /* Лекции */

== О курсе ==

Методы комплексного анализа — мощный инструмент аналитической теории чисел. В курсе планируется рассказать о нескольких важных приложениях этого метода. Первая часть курса будет посвящена основными методами подсчёта интегралов и бесконечных сумм. Во второй части курса мы познакомимся тэта-функциями и модулярными формами. В качестве приложений мы рассмотрим задачи о представлении целых чисел суммами квадратов и задачу об асимптотическом поведении числа разбиений. Лектор — [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 А. В. Устинов]

=== Предварительная программа ===

# Основные методы подсчёта контурных интегралов.
# Вычисление суммы Гаусса.
# Формула суммирования Пуассона. Суммирование бесконечных рядов.
# Тэта-функции.
# Представление чисел суммами квадратов.
# Модулярные формы.
# Эта-функция Дедекинда. Суммы Дедекинда.
# Теория разбиений. Формула Радемахера для числа разбиений натурального числа.

=== Полезные ссылки ===

[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1nrzlctbhbJ6sBk0DGq_RZz-P2Tk3Ocu9mXyP6UzzgOo/edit?gid=0#gid=0&range=D19 Таблица с номером аудитории]

[https://classroom.google.com/c/ODEwODk3MDM1ODky?cjc=qd5huntp Приглашение в classroom]

[https://t.me/+OXLYfLxHcFphMWFi ТГ-группа]

== Лекции ==

Лекция 1 (03.10.2025) Метод контурного интегрирования. Базовые примеры и приёмы. Интегрирование рациональных функций. Интеграл Дирихле. Интеграл Гаусса.

Лекция 2 (10.10.2025) Преобразование Фурье. Сдвиг контура. Использование точек ветвления многозначных функций. [Steph] Представление Ганкеля для гамма-функции Эйлера. [БЭ] Контур Похгаммера. Вычисление суммы Гаусса (начало). [Ap]

Лекция 3 (17.10.2025) Вычисление суммы Гаусса (завершение). Суммирование бесконечных рядов. [Stein]

Лекция 4 (24.10.2025) Преобразование Фурье голоморфных функций. Обратное преобразование Фурье. Формула суммирования Пуассона. [Stein]

Лекция 5 (07.11.2025) Тэта-функция Якоби и её свойства. Тройное произведение Якоби. [Stein]

Коллоквиум (12.11.2025)

Лекция 6 (14.11.2025) Разбиения чисел. Разбиения на нечётные и различные слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера. Функциональное уравнение для тэта-функции Якоби. Эта-функция Дедекинда. Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (начало). [Stein]

Лекция 7 (21.11.2025) Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (завершение). [Stein]

Лекция 8 (28.11.2025)

Лекция 9 (05.12.2025)

Лекция 10 (12.12.2025)

Экзамен (19.12.2025)

== Домашние задания ==

== Оценка ==

Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

==Книги==
===Основная литература===

# [Ap] [https://libgen.gl/edition.php?id=136364090 Apostol Tom M. Modular functions and Dirichlet series in number theory, 1990.]
# [Stein] [https://libgen.gl/edition.php?id=135849329 Stein E., Shakarchi R. Complex analysis, 2003.]

===Дополнительная литература===

# [Steph] [https://libgen.gl/edition.php?id=136657859 Stephenson G., Radmore P. M. Advanced mathematical methods for engineering and science students, 1990.]
# [БЭ] Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции (том 1). Гипергеометрические функции. Функции Лежандра. 1973.
# [Д] [https://libgen.st/book/index.php?md5=C0698FA7EC3785EB2155DB85E128A7DA Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.]
# [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.

Криптография на решётках 24/25

2025-11-10T23:47:42Z

Ustinov:

= О курсе =

В 2016 г. Национальный институт стандартов и технологий США (NIST) объявил о программе и конкурсе по обновлению своих стандартов для того, чтобы включить в них постквантовую криптографию, т. е. такие криптосистемы, которые оставались бы стойкими даже после появления квантовых компьютеров, см [https://en.wikipedia.org/wiki/NIST_Post-Quantum_Cryptography_Standardization NIST Post-Quantum Cryptography Standardization]. После трёх туров отбора в финал вышло 7 криптосистем, из которых 5 основаны на решётках.

Курс посвящён именно этому новому направлению в криптографии – криптографии на решётках. Как всегда, в основе криптографических протоколов лежит некоторая алгоритмически сложная задача. Здесь роль такой задачи выполняет задача о поиске кратчайшего вектора в решётке большой размерности. Все известные алгоритмы поиска короткого вектора имеют экспоненциальную (в зависимости от размерности) сложность. Поэтому, выбирая размерность достаточно большой (например, 1000), можно полагаться на стойкость криптосистем.

В первой части курса будет дано краткое введение в геометрию чисел. Будет рассказано о решётках и их основных свойствах. Затем мы с разных сторон посмотрим на задачу о поиске короткого вектора в данной решётке. В частности, мы изучим алгоритм Эрмита, который можно рассматривать как предварительную версию LLL-алгоритма.

Главная цель курса – познакомиться с LLL-алгоритмом – первым алгоритмом поиска короткого вектора, для которого удалось доказать полиномиальную сложность. Этот алгоритм позволил решать самые разнообразные задачи, но все его приложения останутся за границами курса.

В заключение мы познакомимся с тем, как устроены криптографические протоколы на решётках, и поймём, зачем вообще надо искать короткие векторы.

Лектор — [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 Устинов Алексей Владимирович]

=== Полезные ссылки ===

[https://t.me/+ZDxnazA3lW03NWI6 Группа в ТГ]

[https://classroom.google.com/c/NzYyNjMxNTg0NTA5?cjc=cdopselo Google classroom: cdopselo]

За расписанием курса можно следить по [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1kETJwGugIdZu7daMsA6AcgzbOq1S765Dq_1_-B7o2Uo/edit?gid=0#gid=0 таблице]


=== Ассистент ===

[https://t.me/dsolunov Данила Солунов]

== Лекции ==

Лекция 1 (04.04.2025) Решётки и их свойства. Матрица Грама. [ГН] Теорема Минковского о выпуклом теле.

Лекция 2 (11.04.2025) Процесс ортогонализации Грама — Шмидта. Минимумы Минковского. Константа Эрмита. [LLL+]

Лекция 3 (18.04.2025) Оценка констант Эрмита с помощью теоремы Минковского. Приведённые по Лагранжу базисы. Алгоритм Лагранжа. Неравенство Эрмита (два доказательства). [LLL+]

Лекция 4 (25.04.2025) Алгоритм Эрмита (два варианта). Свойства базиса, приведённого по Эрмиту. LLL-приведённые базисы. Три интерпретации условия Ловаса. LLL-алгоритм. Оценка числа шагов LLL-алгоритма. [LLL+]

Лекция 5 (02.05.2025) Задача о подмножестве с данной суммой. Криптосистема Меркла — Хеллмана. Линейные коды. Порождающая и проверочная матрицы. Минимальное расстояние кода. Код Хемминга. Синдром кодового слова. Задача декодирования. Задача декодирования синдрома.

Лекция 6 (16.05.2025) Двойственные коды. Эквивалентность задач декодирования слова и декодирования синдрома. Криптосистемы Мак-Элиса и Нидеррайтера. Алгоритмически сложные задачи на решётках.

Лекция 7 (23.05.2025) Криптосистема, основанная на сравнениях. Прототип системы полного гомоморфного шифрования. Алгоритм Бабая. Криптосистема GGH (Goldreich — Goldwasser — Halevi).

Лекция 8 (30.05.2025) Дискретное преобразование Фурье. Криптосистема PASS.

== Домашние задания ==

[https://drive.google.com/file/d/1aN3o7GWGIACtXeLvT3gXQ7icbNmjREs5/view?usp=sharing ДЗ-1]
[https://drive.google.com/file/d/17wajLJlCICOBX4gqz-1isKF2735pKvLi/view?usp=sharing ДЗ-2] [https://drive.google.com/file/d/1LqHySgvBVW237NXpsoxDh2Xnfewx0nid/view?usp=sharing ДЗ-3] [https://drive.google.com/file/d/1noJ4ba1RmHbbkMp4glx2KwxTj_epJdWR/view?usp=sharing ДЗ-4] [https://drive.google.com/file/d/1bO7hoVEVEoza8K5hL4-JeeUn5LMYKgYm/view?usp=sharing ДЗ-5] [https://drive.google.com/file/d/12fOvdOSFmzQemniogGJfIQkwca8WZOhe/view?usp=sharing ДЗ-6][https://drive.google.com/file/d/1SclHpFXpOcMZApZp3uJPGdHnrRkmHqch/view?usp=sharing ДЗ-7]



=== Правила сдачи заданий ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления. Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

== Экзамен ==

13.06.2025 На экзамен можно принести собственноручно написанную шпаргалку - лист А4.

== Оценка ==

Итоговая оценка=0.5*экзамен + 0.5*ДЗ (округляется арифметически).

== Полезные материалы ==
===Основные источники===
# [ГН] [http://new.math.msu.su/department/number/dw/lib/exe/fetch.php?media=%D1%82%D1%87%D0%BC%D0%BA.pdf Герман О. Н., Нестеренко Ю. В. Теоретико-числовые методы в криптографии. 2012 ]
# [HS] [https://libgen.li/edition.php?id=28163895 Hoffstein J., Pipher J., Silverman J. H. An introduction to mathematical cryptography. 2008 ]
# [LLL+] [https://libgen.li/edition.php?id=136753335 Nguyen Phong Q., Vallée Brigitte (ed.) The LLL algorithm. Survey and applications. 2010 ]

===Дополнительные материалы===

# Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы (в 2 томах), 1990. [https://libgen.li/edition.php?id=135785023 том 1], [https://libgen.li/edition.php?id=135785024 том 2].
# Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования, 1971.
# Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки, 1986.
# Bremner M. R. Lattice basis reduction. An introduction to the LLL algorithm and its applications. 2012
# [LLL] [https://www.cs.cmu.edu/~avrim/451f11/lectures/lect1129_LLL.pdf Lenstra A. K., Lenstra H. W. jun., Lovász L. Factoring polynomials with rational coefficients. Math. Ann., Vol. 261 (1982), 515-534.]
# Micciancio D., Goldwasser Sh. [https://libgen.li/edition.php?id=136697143 Complexity of Lattice Problems: a cryptographic perspective 2002]
# Milnor J., Husemoller D. [https://libgen.li/edition.php?id=135780681 Symmetric bilinear forms 1973 ]
# Silverman J. H. [https://www.ntwebseminar.org/previous-talks#h.nc99vbqpdgq8 "More Tips on Keeping Secrets in a Post-Quantum World: Lattice-Based Cryptography"] (Обзорная лекция + криптосистемы GGH и PASS)
# [https://www.youtube.com/@tanjalangepost-quantumcryp2802 Tanja Lange: Post-quantum cryptography] (серия лекций на YouTube)

Криптография на решётках 24/25

2025-11-10T23:47:12Z

Ustinov:

= О курсе =

В 2016 г. Национальный институт стандартов и технологий США (NIST) объявил о программе и конкурсе по обновлению своих стандартов для того, чтобы включить в них постквантовую криптографию, т. е. такие криптосистемы, которые оставались бы стойкими даже после появления квантовых компьютеров, см [https://en.wikipedia.org/wiki/NIST_Post-Quantum_Cryptography_Standardization NIST Post-Quantum Cryptography Standardization]. После трёх туров отбора в финал вышло 7 криптосистем, из которых 5 основаны на решётках.

Курс посвящён именно этому новому направлению в криптографии – криптографии на решётках. Как всегда, в основе криптографических протоколов лежит некоторая алгоритмически сложная задача. Здесь роль такой задачи выполняет задача о поиске кратчайшего вектора в решётке большой размерности. Все известные алгоритмы поиска короткого вектора имеют экспоненциальную (в зависимости от размерности) сложность. Поэтому, выбирая размерность достаточно большой (например, 1000), можно полагаться на стойкость криптосистем.

В первой части курса будет дано краткое введение в геометрию чисел. Будет рассказано о решётках и их основных свойствах. Затем мы с разных сторон посмотрим на задачу о поиске короткого вектора в данной решётке. В частности, мы изучим алгоритм Эрмита, который можно рассматривать как предварительную версию LLL-алгоритма.

Главная цель курса – познакомиться с LLL-алгоритмом – первым алгоритмом поиска короткого вектора, для которого удалось доказать полиномиальную сложность. Этот алгоритм позволил решать самые разнообразные задачи, но все его приложения останутся за границами курса.

В заключение мы познакомимся с тем, как устроены криптографические протоколы на решётках, и поймём, зачем вообще надо искать короткие векторы.

Лектор — [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 Устинов Алексей Владимирович]

=== Полезные ссылки ===

[https://t.me/+ZDxnazA3lW03NWI6 Группа в ТГ]

[https://classroom.google.com/c/NzYyNjMxNTg0NTA5?cjc=cdopselo Google classroom: cdopselo]

За расписанием курса можно следить по [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1kETJwGugIdZu7daMsA6AcgzbOq1S765Dq_1_-B7o2Uo/edit?gid=0#gid=0 таблице]


=== Ассистент ===

[https://t.me/dsolunov Данила Солунов]

== Лекции ==

Лекция 1 (04.04.2025) Решётки и их свойства. Матрица Грама. [ГН] Теорема Минковского о выпуклом теле.

Лекция 2 (11.04.2025) Процесс ортогонализации Грама — Шмидта. Минимумы Минковского. Константа Эрмита. [LLL+]

Лекция 3 (18.04.2025) Оценка констант Эрмита с помощью теоремы Минковского. Приведённые по Лагранжу базисы. Алгоритм Лагранжа. Неравенство Эрмита (два доказательства). [LLL+]

Лекция 4 (25.04.2025) Алгоритм Эрмита (два варианта). Свойства базиса, приведённого по Эрмиту. LLL-приведённые базисы. Три интерпретации условия Ловаса. LLL-алгоритм. Оценка числа шагов LLL-алгоритма. [LLL+]

Лекция 5 (02.05.2025) Задача о подмножестве с данной суммой. Криптосистема Меркла — Хеллмана. Линейные коды. Порождающая и проверочная матрицы. Минимальное расстояние кода. Код Хемминга. Синдром кодового слова. Задача декодирования. Задача декодирования синдрома.

Лекция 6 (16.05.2025) Двойственные коды. Эквивалентность задач декодирования слова и декодирования синдрома. Криптосистемы Мак-Элиса и Нидеррайтера. Алгоритмически сложные задачи на решётках.

Лекция 7 (23.05.2025) Криптосистема, основанная на сравнениях. Прототип системы полного гомоморфного шифрования. Алгоритм Бабая. Криптосистема GGH (Goldreich — Goldwasser — Halevi).

Лекция 8 (30.05.2025) Дискретное преобразование Фурье. Криптосистема PASS.

Лекция 9? (06.06.2025)

== Домашние задания ==

[https://drive.google.com/file/d/1aN3o7GWGIACtXeLvT3gXQ7icbNmjREs5/view?usp=sharing ДЗ-1]
[https://drive.google.com/file/d/17wajLJlCICOBX4gqz-1isKF2735pKvLi/view?usp=sharing ДЗ-2] [https://drive.google.com/file/d/1LqHySgvBVW237NXpsoxDh2Xnfewx0nid/view?usp=sharing ДЗ-3] [https://drive.google.com/file/d/1noJ4ba1RmHbbkMp4glx2KwxTj_epJdWR/view?usp=sharing ДЗ-4] [https://drive.google.com/file/d/1bO7hoVEVEoza8K5hL4-JeeUn5LMYKgYm/view?usp=sharing ДЗ-5] [https://drive.google.com/file/d/12fOvdOSFmzQemniogGJfIQkwca8WZOhe/view?usp=sharing ДЗ-6][https://drive.google.com/file/d/1SclHpFXpOcMZApZp3uJPGdHnrRkmHqch/view?usp=sharing ДЗ-7]



=== Правила сдачи заданий ===

В домашнем задании каждая задача оценивается в 10 баллов. Баллы за задачи суммируются и линейно шкалируются на 10-балльную шкалу без округления. Итоговая оценка за ДЗ получается усреднением оценок по всем ДЗ (без округления). Округление происходит только в конце при вычислении итоговой оценки за курс.

== Экзамен ==

13.06.2025 На экзамен можно принести собственноручно написанную шпаргалку - лист А4.

== Оценка ==

Итоговая оценка=0.5*экзамен + 0.5*ДЗ (округляется арифметически).

== Полезные материалы ==
===Основные источники===
# [ГН] [http://new.math.msu.su/department/number/dw/lib/exe/fetch.php?media=%D1%82%D1%87%D0%BC%D0%BA.pdf Герман О. Н., Нестеренко Ю. В. Теоретико-числовые методы в криптографии. 2012 ]
# [HS] [https://libgen.li/edition.php?id=28163895 Hoffstein J., Pipher J., Silverman J. H. An introduction to mathematical cryptography. 2008 ]
# [LLL+] [https://libgen.li/edition.php?id=136753335 Nguyen Phong Q., Vallée Brigitte (ed.) The LLL algorithm. Survey and applications. 2010 ]

===Дополнительные материалы===

# Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы (в 2 томах), 1990. [https://libgen.li/edition.php?id=135785023 том 1], [https://libgen.li/edition.php?id=135785024 том 2].
# Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования, 1971.
# Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки, 1986.
# Bremner M. R. Lattice basis reduction. An introduction to the LLL algorithm and its applications. 2012
# [LLL] [https://www.cs.cmu.edu/~avrim/451f11/lectures/lect1129_LLL.pdf Lenstra A. K., Lenstra H. W. jun., Lovász L. Factoring polynomials with rational coefficients. Math. Ann., Vol. 261 (1982), 515-534.]
# Micciancio D., Goldwasser Sh. [https://libgen.li/edition.php?id=136697143 Complexity of Lattice Problems: a cryptographic perspective 2002]
# Milnor J., Husemoller D. [https://libgen.li/edition.php?id=135780681 Symmetric bilinear forms 1973 ]
# Silverman J. H. [https://www.ntwebseminar.org/previous-talks#h.nc99vbqpdgq8 "More Tips on Keeping Secrets in a Post-Quantum World: Lattice-Based Cryptography"] (Обзорная лекция + криптосистемы GGH и PASS)
# [https://www.youtube.com/@tanjalangepost-quantumcryp2802 Tanja Lange: Post-quantum cryptography] (серия лекций на YouTube)

Аналитическая теория чисел: приложения комплексного анализа 25/26

2025-11-09T19:20:40Z

Ustinov:

== О курсе ==

Методы комплексного анализа — мощный инструмент аналитической теории чисел. В курсе планируется рассказать о нескольких важных приложениях этого метода. Первая часть курса будет посвящена основными методами подсчёта интегралов и бесконечных сумм. Во второй части курса мы познакомимся тэта-функциями и модулярными формами. В качестве приложений мы рассмотрим задачи о представлении целых чисел суммами квадратов и задачу об асимптотическом поведении числа разбиений. Лектор — [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 А. В. Устинов]

=== Предварительная программа ===

# Основные методы подсчёта контурных интегралов.
# Вычисление суммы Гаусса.
# Формула суммирования Пуассона. Суммирование бесконечных рядов.
# Тэта-функции.
# Представление чисел суммами квадратов.
# Модулярные формы.
# Эта-функция Дедекинда. Суммы Дедекинда.
# Теория разбиений. Формула Радемахера для числа разбиений натурального числа.

=== Полезные ссылки ===

[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1nrzlctbhbJ6sBk0DGq_RZz-P2Tk3Ocu9mXyP6UzzgOo/edit?gid=0#gid=0&range=D19 Таблица с номером аудитории]

[https://classroom.google.com/c/ODEwODk3MDM1ODky?cjc=qd5huntp Приглашение в classroom]

[https://t.me/+OXLYfLxHcFphMWFi ТГ-группа]

== Лекции ==

Лекция 1 (03.10.2025) Метод контурного интегрирования. Базовые примеры и приёмы. Интегрирование рациональных функций. Интеграл Дирихле. Интеграл Гаусса.

Лекция 2 (10.10.2025) Преобразование Фурье. Сдвиг контура. Использование точек ветвления многозначных функций. [Steph] Представление Ганкеля для гамма-функции Эйлера. [БЭ] Контур Похгаммера. Вычисление суммы Гаусса (начало). [Ap]

Лекция 3 (17.10.2025) Вычисление суммы Гаусса (завершение). Суммирование бесконечных рядов. [Stein]

Лекция 4 (24.10.2025) Преобразование Фурье голоморфных функций. Обратное преобразование Фурье. Формула суммирования Пуассона. [Stein]

Лекция 5 (07.11.2025) Тэта-функция Якоби и её свойства. Тройное произведение Якоби. [Stein]

Коллоквиум (12.11.2025)

Лекция 6 (14.11.2025)

Лекция 7 (21.11.2025)

Лекция 8 (28.11.2025)

Лекция 9 (05.12.2025)

Лекция 10 (12.12.2025)

19.12.2025 ??? Экзамен

== Домашние задания ==

== Оценка ==

Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

==Книги==
===Основная литература===

# [Ap] [https://libgen.gl/edition.php?id=136364090 Apostol Tom M. Modular functions and Dirichlet series in number theory, 1990.]
# [Stein] [https://libgen.gl/edition.php?id=135849329 Stein E., Shakarchi R. Complex analysis, 2003.]

===Дополнительная литература===

# [Steph] [https://libgen.gl/edition.php?id=136657859 Stephenson G., Radmore P. M. Advanced mathematical methods for engineering and science students, 1990.]
# [БЭ] Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции (том 1). Гипергеометрические функции. Функции Лежандра. 1973.
# [Д] [https://libgen.st/book/index.php?md5=C0698FA7EC3785EB2155DB85E128A7DA Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.]
# [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.