https://wiki.cs.hse.ru/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Vsshvareva 2026-09-21T14:28:02Z Вклад MediaWiki 1.43.9 https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=78481 2023-06-15T19:31:30Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семее || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семен || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> Лекция 26.04.2023. Инвариантность характеристического многочлена. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Инвариантность следа и определителя матрицы линейного оператора при замене координат. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.<br /> <br /> Лекция 10.05.2023. Определение евклидова пространства.<br /> Неравенства Коши—Буняковского и треугольника. Ортогональность. Ортогональная система. Ортогональный и ортонормированный базисы. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Выражение для координат вектора в ортогональном базисе через скалярные произведения. Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Свойства матрицы Грама: 1) симметричность, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису (как матрицы билинейной формы), 3) положительность определителя. Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве.<br /> Свойство 4 матрицы Грама: инвариантность грамиана относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта. Выражение для объема параллелепипеда через определитель матрицы Грама.<br /> <br /> Лекция 17.05.2023. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению. Критерий невырожденности матрицы Грама (5-ое свойство). Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Определение линейного (алгебраического) многообразия. Замечание о том, как устроено линейное многообразие. Расстояние между вектором и линейным многообразием (определение). Расстояние от точки до линейного многообразия как длина ортогональной составляющей.<br /> Формула для расстояния через определители матриц Грама.<br /> <br /> Лекция 24.05.2023. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный (симметрический) оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора. Самосопряженные (симметрические) операторы. Критерий самосопряженности оператора. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Теорема о существовании для любого самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов (формулировка). Теорема о существовании для самосопряженного оператора c попарно различными собственными значениями ортонормированного базиса из собственных векторов. Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы. Сохранение длин и углов ортогональным оператором.<br /> <br /> Лекция 31.05.2023. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Утверждение о том, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Канонический вид ортогонального оператора (без доказательства). Теорема Эйлера (как следствие теоремы о каноническом виде). Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие осуществляется с помощью ортогональной матрицы (спектральное разложение). Теорема о сингулярном разложении. Утверждение о полярном разложении. Утверждение о QR-разложении.<br /> <br /> Лекция 07.06.2023.<br /> Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.<br /> Алгебры: определение и примеры (комплексные числа, многочлены, матрицы, кватернионы).<br /> Кривые второго порядка. Определение эллипса, гиперболы, параболы, их параметры (в частности, эксцентриситет). Вывод уравнения эллипса. Вывод уравнения параболы. Исследование алгебраического уравнения второго порядка от двух переменных. Теорема о классификации кривых второго порядка.<br /> <br /> Лекция 14.06.2023. Поверхности второго порядка (обзор). Поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, линейчатая поверхность. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр. Эллипсоид, однополостный гиперболоид.<br /> Двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид. Нахождение прямолинейных образующих для однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида. Линейные формы (функционалы). Формула для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису. Сопряженное пространство, ковекторы. Формула для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису.<br /> Взаимные базисы. Изоморфизм между евклидовым пространством и сопряженным к нему.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19_bBoYlS6muEWsLgr4IeIgR0dlBdMiCD/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1vlSxRJtokw7NGJ6RvAkdDuVNuiKTWLY6/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1-fR0RpzsizVejXqHrEClbtarCVBPGs_Q/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену 1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену 1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену 1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1tJqT5pm8hdATm7EADnzvwRf_yS0nD7Ak/view?usp=drive_link Определения к коллоквиуму]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1CLcR4NTMtSLO3Dk3TFGBSaVvLph5bRFg/view?usp=sharing Вопросы к коллоквиуму]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1_LcpO3DNmLNH5bOODEH4X7m_wHuIu_Bp/view?usp=sharing Задачи к экзамену 2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1fIdbyHsNXh1i4OKMLGIkw0wJXFY6ndGt/view?usp=sharing Определения к экзамену 2]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=78480 2023-06-15T19:28:46Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семее || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семен || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> Лекция 26.04.2023. Инвариантность характеристического многочлена. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Инвариантность следа и определителя матрицы линейного оператора при замене координат. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.<br /> <br /> Лекция 10.05.2023. Определение евклидова пространства.<br /> Неравенства Коши—Буняковского и треугольника. Ортогональность. Ортогональная система. Ортогональный и ортонормированный базисы. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Выражение для координат вектора в ортогональном базисе через скалярные произведения. Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Свойства матрицы Грама: 1) симметричность, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису (как матрицы билинейной формы), 3) положительность определителя. Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве.<br /> Свойство 4 матрицы Грама: инвариантность грамиана относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта. Выражение для объема параллелепипеда через определитель матрицы Грама.<br /> <br /> Лекция 17.05.2023. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению. Критерий невырожденности матрицы Грама (5-ое свойство). Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Определение линейного (алгебраического) многообразия. Замечание о том, как устроено линейное многообразие. Расстояние между вектором и линейным многообразием (определение). Расстояние от точки до линейного многообразия как длина ортогональной составляющей.<br /> Формула для расстояния через определители матриц Грама.<br /> <br /> Лекция 24.05.2023. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный (симметрический) оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора. Самосопряженные (симметрические) операторы. Критерий самосопряженности оператора. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Теорема о существовании для любого самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов (формулировка). Теорема о существовании для самосопряженного оператора c попарно различными собственными значениями ортонормированного базиса из собственных векторов. Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы. Сохранение длин и углов ортогональным оператором.<br /> <br /> Лекция 31.05.2023. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Утверждение о том, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Канонический вид ортогонального оператора (без доказательства). Теорема Эйлера (как следствие теоремы о каноническом виде). Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие осуществляется с помощью ортогональной матрицы (спектральное разложение). Теорема о сингулярном разложении. Утверждение о полярном разложении. Утверждение о QR-разложении.<br /> <br /> Лекция 07.06.2023.<br /> Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.<br /> Алгебры: определение и примеры (комплексные числа, многочлены, матрицы, кватернионы).<br /> Кривые второго порядка. Определение эллипса, гиперболы, параболы, их параметры (в частности, эксцентриситет). Вывод уравнения эллипса. Вывод уравнения параболы. Исследование алгебраического уравнения второго порядка от двух переменных. Теорема о классификации кривых второго порядка.<br /> <br /> Лекция 14.06.2023. Поверхности второго порядка (обзор). Поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, линейчатая поверхность. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр. Эллипсоид, однополостный гиперболоид.<br /> Двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид. Нахождение прямолинейных образующих для однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида. Линейные формы (функционалы). Формула для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису. Сопряженное пространство, ковекторы. Формула для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису.<br /> Взаимные базисы. Изоморфизм между евклидовым пространством и сопряженным к нему.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19_bBoYlS6muEWsLgr4IeIgR0dlBdMiCD/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1vlSxRJtokw7NGJ6RvAkdDuVNuiKTWLY6/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1-fR0RpzsizVejXqHrEClbtarCVBPGs_Q/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену 1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену 1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену 1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1tJqT5pm8hdATm7EADnzvwRf_yS0nD7Ak/view?usp=drive_link Определения к коллоквиуму]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1CLcR4NTMtSLO3Dk3TFGBSaVvLph5bRFg/view?usp=sharing Вопросы к коллоквиуму]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1_LcpO3DNmLNH5bOODEH4X7m_wHuIu_Bp/view?usp=sharing Задачи к экзамену 2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1_LcpO3DNmLNH5bOODEH4X7m_wHuIu_Bp/view?usp=sharing Определения к экзамену 2]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=78479 2023-06-15T19:27:17Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семее || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семен || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> Лекция 26.04.2023. Инвариантность характеристического многочлена. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Инвариантность следа и определителя матрицы линейного оператора при замене координат. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.<br /> <br /> Лекция 10.05.2023. Определение евклидова пространства.<br /> Неравенства Коши—Буняковского и треугольника. Ортогональность. Ортогональная система. Ортогональный и ортонормированный базисы. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Выражение для координат вектора в ортогональном базисе через скалярные произведения. Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Свойства матрицы Грама: 1) симметричность, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису (как матрицы билинейной формы), 3) положительность определителя. Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве.<br /> Свойство 4 матрицы Грама: инвариантность грамиана относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта. Выражение для объема параллелепипеда через определитель матрицы Грама.<br /> <br /> Лекция 17.05.2023. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению. Критерий невырожденности матрицы Грама (5-ое свойство). Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Определение линейного (алгебраического) многообразия. Замечание о том, как устроено линейное многообразие. Расстояние между вектором и линейным многообразием (определение). Расстояние от точки до линейного многообразия как длина ортогональной составляющей.<br /> Формула для расстояния через определители матриц Грама.<br /> <br /> Лекция 24.05.2023. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный (симметрический) оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора. Самосопряженные (симметрические) операторы. Критерий самосопряженности оператора. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Теорема о существовании для любого самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов (формулировка). Теорема о существовании для самосопряженного оператора c попарно различными собственными значениями ортонормированного базиса из собственных векторов. Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы. Сохранение длин и углов ортогональным оператором.<br /> <br /> Лекция 31.05.2023. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Утверждение о том, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Канонический вид ортогонального оператора (без доказательства). Теорема Эйлера (как следствие теоремы о каноническом виде). Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие осуществляется с помощью ортогональной матрицы (спектральное разложение). Теорема о сингулярном разложении. Утверждение о полярном разложении. Утверждение о QR-разложении.<br /> <br /> Лекция 07.06.2023.<br /> Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.<br /> Алгебры: определение и примеры (комплексные числа, многочлены, матрицы, кватернионы).<br /> Кривые второго порядка. Определение эллипса, гиперболы, параболы, их параметры (в частности, эксцентриситет). Вывод уравнения эллипса. Вывод уравнения параболы. Исследование алгебраического уравнения второго порядка от двух переменных. Теорема о классификации кривых второго порядка.<br /> <br /> Лекция 14.06.2023. Поверхности второго порядка (обзор). Поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, линейчатая поверхность. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр. Эллипсоид, однополостный гиперболоид.<br /> Двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид. Нахождение прямолинейных образующих для однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида. Линейные формы (функционалы). Формула для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису. Сопряженное пространство, ковекторы. Формула для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису.<br /> Взаимные базисы. Изоморфизм между евклидовым пространством и сопряженным к нему.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19_bBoYlS6muEWsLgr4IeIgR0dlBdMiCD/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1vlSxRJtokw7NGJ6RvAkdDuVNuiKTWLY6/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1-fR0RpzsizVejXqHrEClbtarCVBPGs_Q/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену 1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену 1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену 1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1tJqT5pm8hdATm7EADnzvwRf_yS0nD7Ak/view?usp=drive_link Определения к коллоквиуму]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1CLcR4NTMtSLO3Dk3TFGBSaVvLph5bRFg/view?usp=sharing Вопросы к коллоквиуму]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1_LcpO3DNmLNH5bOODEH4X7m_wHuIu_Bp/view?usp=sharing Задачи к экзамену 2]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=78478 2023-06-15T19:24:58Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семее || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семен || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> Лекция 26.04.2023. Инвариантность характеристического многочлена. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Инвариантность следа и определителя матрицы линейного оператора при замене координат. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.<br /> <br /> Лекция 10.05.2023. Определение евклидова пространства.<br /> Неравенства Коши—Буняковского и треугольника. Ортогональность. Ортогональная система. Ортогональный и ортонормированный базисы. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Выражение для координат вектора в ортогональном базисе через скалярные произведения. Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Свойства матрицы Грама: 1) симметричность, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису (как матрицы билинейной формы), 3) положительность определителя. Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве.<br /> Свойство 4 матрицы Грама: инвариантность грамиана относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта. Выражение для объема параллелепипеда через определитель матрицы Грама.<br /> <br /> Лекция 17.05.2023. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению. Критерий невырожденности матрицы Грама (5-ое свойство). Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Определение линейного (алгебраического) многообразия. Замечание о том, как устроено линейное многообразие. Расстояние между вектором и линейным многообразием (определение). Расстояние от точки до линейного многообразия как длина ортогональной составляющей.<br /> Формула для расстояния через определители матриц Грама.<br /> <br /> Лекция 24.05.2023. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный (симметрический) оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора. Самосопряженные (симметрические) операторы. Критерий самосопряженности оператора. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Теорема о существовании для любого самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов (формулировка). Теорема о существовании для самосопряженного оператора c попарно различными собственными значениями ортонормированного базиса из собственных векторов. Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы. Сохранение длин и углов ортогональным оператором.<br /> <br /> Лекция 31.05.2023. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Утверждение о том, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Канонический вид ортогонального оператора (без доказательства). Теорема Эйлера (как следствие теоремы о каноническом виде). Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие осуществляется с помощью ортогональной матрицы (спектральное разложение). Теорема о сингулярном разложении. Утверждение о полярном разложении. Утверждение о QR-разложении.<br /> <br /> Лекция 07.06.2023.<br /> Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.<br /> Алгебры: определение и примеры (комплексные числа, многочлены, матрицы, кватернионы).<br /> Кривые второго порядка. Определение эллипса, гиперболы, параболы, их параметры (в частности, эксцентриситет). Вывод уравнения эллипса. Вывод уравнения параболы. Исследование алгебраического уравнения второго порядка от двух переменных. Теорема о классификации кривых второго порядка.<br /> <br /> Лекция 14.06.2023. Поверхности второго порядка (обзор). Поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, линейчатая поверхность. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр. Эллипсоид, однополостный гиперболоид.<br /> Двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид. Нахождение прямолинейных образующих для однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида. Линейные формы (функционалы). Формула для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису. Сопряженное пространство, ковекторы. Формула для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису.<br /> Взаимные базисы. Изоморфизм между евклидовым пространством и сопряженным к нему.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19_bBoYlS6muEWsLgr4IeIgR0dlBdMiCD/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1vlSxRJtokw7NGJ6RvAkdDuVNuiKTWLY6/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1-fR0RpzsizVejXqHrEClbtarCVBPGs_Q/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1tJqT5pm8hdATm7EADnzvwRf_yS0nD7Ak/view?usp=drive_link Определения к коллоквиуму]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1CLcR4NTMtSLO3Dk3TFGBSaVvLph5bRFg/view?usp=sharing Вопросы к коллоквиуму]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=78477 2023-06-15T19:16:04Z

<p>Vsshvareva: /* Прошедшие лекции */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семее || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семен || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> Лекция 26.04.2023. Инвариантность характеристического многочлена. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Инвариантность следа и определителя матрицы линейного оператора при замене координат. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.<br /> <br /> Лекция 10.05.2023. Определение евклидова пространства.<br /> Неравенства Коши—Буняковского и треугольника. Ортогональность. Ортогональная система. Ортогональный и ортонормированный базисы. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Выражение для координат вектора в ортогональном базисе через скалярные произведения. Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Свойства матрицы Грама: 1) симметричность, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису (как матрицы билинейной формы), 3) положительность определителя. Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве.<br /> Свойство 4 матрицы Грама: инвариантность грамиана относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта. Выражение для объема параллелепипеда через определитель матрицы Грама.<br /> <br /> Лекция 17.05.2023. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению. Критерий невырожденности матрицы Грама (5-ое свойство). Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Определение линейного (алгебраического) многообразия. Замечание о том, как устроено линейное многообразие. Расстояние между вектором и линейным многообразием (определение). Расстояние от точки до линейного многообразия как длина ортогональной составляющей.<br /> Формула для расстояния через определители матриц Грама.<br /> <br /> Лекция 24.05.2023. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный (симметрический) оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора. Самосопряженные (симметрические) операторы. Критерий самосопряженности оператора. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Теорема о существовании для любого самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов (формулировка). Теорема о существовании для самосопряженного оператора c попарно различными собственными значениями ортонормированного базиса из собственных векторов. Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы. Сохранение длин и углов ортогональным оператором.<br /> <br /> Лекция 31.05.2023. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Утверждение о том, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Канонический вид ортогонального оператора (без доказательства). Теорема Эйлера (как следствие теоремы о каноническом виде). Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие осуществляется с помощью ортогональной матрицы (спектральное разложение). Теорема о сингулярном разложении. Утверждение о полярном разложении. Утверждение о QR-разложении.<br /> <br /> Лекция 07.06.2023.<br /> Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.<br /> Алгебры: определение и примеры (комплексные числа, многочлены, матрицы, кватернионы).<br /> Кривые второго порядка. Определение эллипса, гиперболы, параболы, их параметры (в частности, эксцентриситет). Вывод уравнения эллипса. Вывод уравнения параболы. Исследование алгебраического уравнения второго порядка от двух переменных. Теорема о классификации кривых второго порядка.<br /> <br /> Лекция 14.06.2023. Поверхности второго порядка (обзор). Поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, линейчатая поверхность. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр. Эллипсоид, однополостный гиперболоид.<br /> Двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид. Нахождение прямолинейных образующих для однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида. Линейные формы (функционалы). Формула для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису. Сопряженное пространство, ковекторы. Формула для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису.<br /> Взаимные базисы. Изоморфизм между евклидовым пространством и сопряженным к нему.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19_bBoYlS6muEWsLgr4IeIgR0dlBdMiCD/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1vlSxRJtokw7NGJ6RvAkdDuVNuiKTWLY6/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1-fR0RpzsizVejXqHrEClbtarCVBPGs_Q/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=drive_link Определения к коллоквиуму]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1CLcR4NTMtSLO3Dk3TFGBSaVvLph5bRFg/view?usp=sharing Вопросы к коллоквиуму]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=78367 2023-06-08T19:14:51Z

<p>Vsshvareva: /* Прошедшие лекции */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семее || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семен || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> Лекция 26.04.2023. Инвариантность характеристического многочлена. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Инвариантность следа и определителя матрицы линейного оператора при замене координат. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.<br /> <br /> Лекция 10.05.2023. Определение евклидова пространства.<br /> Неравенства Коши—Буняковского и треугольника. Ортогональность. Ортогональная система. Ортогональный и ортонормированный базисы. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Выражение для координат вектора в ортогональном базисе через скалярные произведения. Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Свойства матрицы Грама: 1) симметричность, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису (как матрицы билинейной формы), 3) положительность определителя. Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве.<br /> Свойство 4 матрицы Грама: инвариантность грамиана относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта. Выражение для объема параллелепипеда через определитель матрицы Грама.<br /> <br /> Лекция 17.05.2023. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению. Критерий невырожденности матрицы Грама (5-ое свойство). Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Определение линейного (алгебраического) многообразия. Замечание о том, как устроено линейное многообразие. Расстояние между вектором и линейным многообразием (определение). Расстояние от точки до линейного многообразия как длина ортогональной составляющей.<br /> Формула для расстояния через определители матриц Грама.<br /> <br /> Лекция 24.05.2023. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный (симметрический) оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора. Самосопряженные (симметрические) операторы. Критерий самосопряженности оператора. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Теорема о существовании для любого самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов (формулировка). Теорема о существовании для самосопряженного оператора c попарно различными собственными значениями ортонормированного базиса из собственных векторов. Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы. Сохранение длин и углов ортогональным оператором.<br /> <br /> Лекция 31.05.2023. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Утверждение о том, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Канонический вид ортогонального оператора (без доказательства). Теорема Эйлера (как следствие теоремы о каноническом виде). Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие осуществляется с помощью ортогональной матрицы (спектральное разложение). Теорема о сингулярном разложении. Утверждение о полярном разложении. Утверждение о QR-разложении.<br /> <br /> Лекция 07.06.2023.<br /> Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.<br /> Алгебры: определение и примеры (комплексные числа, многочлены, матрицы, кватернионы).<br /> Кривые второго порядка. Определение эллипса, гиперболы, параболы, их параметры (в частности, эксцентриситет). Вывод уравнения эллипса. Вывод уравнения параболы. Исследование алгебраического уравнения второго порядка от двух переменных. Теорема о классификации кривых второго порядка.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19_bBoYlS6muEWsLgr4IeIgR0dlBdMiCD/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1vlSxRJtokw7NGJ6RvAkdDuVNuiKTWLY6/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1-fR0RpzsizVejXqHrEClbtarCVBPGs_Q/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=drive_link Определения к коллоквиуму]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1CLcR4NTMtSLO3Dk3TFGBSaVvLph5bRFg/view?usp=sharing Вопросы к коллоквиуму]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=78267 2023-06-01T19:27:39Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семее || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семен || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> Лекция 26.04.2023. Инвариантность характеристического многочлена. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Инвариантность следа и определителя матрицы линейного оператора при замене координат. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.<br /> <br /> Лекция 10.05.2023. Определение евклидова пространства.<br /> Неравенства Коши—Буняковского и треугольника. Ортогональность. Ортогональная система. Ортогональный и ортонормированный базисы. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Выражение для координат вектора в ортогональном базисе через скалярные произведения. Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Свойства матрицы Грама: 1) симметричность, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису (как матрицы билинейной формы), 3) положительность определителя. Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве.<br /> Свойство 4 матрицы Грама: инвариантность грамиана относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта. Выражение для объема параллелепипеда через определитель матрицы Грама.<br /> <br /> Лекция 17.05.2023. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению. Критерий невырожденности матрицы Грама (5-ое свойство). Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Определение линейного (алгебраического) многообразия. Замечание о том, как устроено линейное многообразие. Расстояние между вектором и линейным многообразием (определение). Расстояние от точки до линейного многообразия как длина ортогональной составляющей.<br /> Формула для расстояния через определители матриц Грама.<br /> <br /> Лекция 24.05.2023. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный (симметрический) оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора. Самосопряженные (симметрические) операторы. Критерий самосопряженности оператора. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Теорема о существовании для любого самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов (формулировка). Теорема о существовании для самосопряженного оператора c попарно различными собственными значениями ортонормированного базиса из собственных векторов. Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы. Сохранение длин и углов ортогональным оператором.<br /> <br /> Лекция 31.05.2023. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Утверждение о том, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Канонический вид ортогонального оператора (без доказательства). Теорема Эйлера (как следствие теоремы о каноническом виде). Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие осуществляется с помощью ортогональной матрицы (спектральное разложение). Теорема о сингулярном разложении. Утверждение о полярном разложении. Утверждение о QR-разложении.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19_bBoYlS6muEWsLgr4IeIgR0dlBdMiCD/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1vlSxRJtokw7NGJ6RvAkdDuVNuiKTWLY6/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1-fR0RpzsizVejXqHrEClbtarCVBPGs_Q/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=drive_link Определения к коллоквиуму]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1CLcR4NTMtSLO3Dk3TFGBSaVvLph5bRFg/view?usp=sharing Вопросы к коллоквиуму]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=78265 2023-06-01T19:25:38Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семее || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семен || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> Лекция 26.04.2023. Инвариантность характеристического многочлена. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Инвариантность следа и определителя матрицы линейного оператора при замене координат. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.<br /> <br /> Лекция 10.05.2023. Определение евклидова пространства.<br /> Неравенства Коши—Буняковского и треугольника. Ортогональность. Ортогональная система. Ортогональный и ортонормированный базисы. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Выражение для координат вектора в ортогональном базисе через скалярные произведения. Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Свойства матрицы Грама: 1) симметричность, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису (как матрицы билинейной формы), 3) положительность определителя. Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве.<br /> Свойство 4 матрицы Грама: инвариантность грамиана относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта. Выражение для объема параллелепипеда через определитель матрицы Грама.<br /> <br /> Лекция 17.05.2023. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению. Критерий невырожденности матрицы Грама (5-ое свойство). Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Определение линейного (алгебраического) многообразия. Замечание о том, как устроено линейное многообразие. Расстояние между вектором и линейным многообразием (определение). Расстояние от точки до линейного многообразия как длина ортогональной составляющей.<br /> Формула для расстояния через определители матриц Грама.<br /> <br /> Лекция 24.05.2023. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный (симметрический) оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора. Самосопряженные (симметрические) операторы. Критерий самосопряженности оператора. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Теорема о существовании для любого самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов (формулировка). Теорема о существовании для самосопряженного оператора c попарно различными собственными значениями ортонормированного базиса из собственных векторов. Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы. Сохранение длин и углов ортогональным оператором.<br /> <br /> Лекция 31.05.2023. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Утверждение о том, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Канонический вид ортогонального оператора (без доказательства). Теорема Эйлера (как следствие теоремы о каноническом виде). Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие осуществляется с помощью ортогональной матрицы (спектральное разложение). Теорема о сингулярном разложении. Утверждение о полярном разложении. Утверждение о QR-разложении.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19_bBoYlS6muEWsLgr4IeIgR0dlBdMiCD/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1vlSxRJtokw7NGJ6RvAkdDuVNuiKTWLY6/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1-fR0RpzsizVejXqHrEClbtarCVBPGs_Q/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=drive_link Определения к коллоквиуму]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1Sy7NoN7mG7Hq2zYoeH9kxvLdr9r814ek/view?usp=sharing Вопросы к коллоквиуму]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=78252 2023-05-31T19:56:27Z

<p>Vsshvareva: /* Прошедшие лекции */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семее || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семен || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> Лекция 26.04.2023. Инвариантность характеристического многочлена. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Инвариантность следа и определителя матрицы линейного оператора при замене координат. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.<br /> <br /> Лекция 10.05.2023. Определение евклидова пространства.<br /> Неравенства Коши—Буняковского и треугольника. Ортогональность. Ортогональная система. Ортогональный и ортонормированный базисы. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Выражение для координат вектора в ортогональном базисе через скалярные произведения. Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Свойства матрицы Грама: 1) симметричность, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису (как матрицы билинейной формы), 3) положительность определителя. Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве.<br /> Свойство 4 матрицы Грама: инвариантность грамиана относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта. Выражение для объема параллелепипеда через определитель матрицы Грама.<br /> <br /> Лекция 17.05.2023. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению. Критерий невырожденности матрицы Грама (5-ое свойство). Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Определение линейного (алгебраического) многообразия. Замечание о том, как устроено линейное многообразие. Расстояние между вектором и линейным многообразием (определение). Расстояние от точки до линейного многообразия как длина ортогональной составляющей.<br /> Формула для расстояния через определители матриц Грама.<br /> <br /> Лекция 24.05.2023. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный (симметрический) оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора. Самосопряженные (симметрические) операторы. Критерий самосопряженности оператора. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Теорема о существовании для любого самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов (формулировка). Теорема о существовании для самосопряженного оператора c попарно различными собственными значениями ортонормированного базиса из собственных векторов. Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы. Сохранение длин и углов ортогональным оператором.<br /> <br /> Лекция 31.05.2023. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Утверждение о том, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Канонический вид ортогонального оператора (без доказательства). Теорема Эйлера (как следствие теоремы о каноническом виде). Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие осуществляется с помощью ортогональной матрицы (спектральное разложение). Теорема о сингулярном разложении. Утверждение о полярном разложении. Утверждение о QR-разложении.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19_bBoYlS6muEWsLgr4IeIgR0dlBdMiCD/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1vlSxRJtokw7NGJ6RvAkdDuVNuiKTWLY6/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1-fR0RpzsizVejXqHrEClbtarCVBPGs_Q/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/120zi-QkKS2UKJ-EfUOHleE9WuaeyJqIF/view?usp=sharing Определения к коллоквиуму]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1Sy7NoN7mG7Hq2zYoeH9kxvLdr9r814ek/view?usp=sharing Вопросы к коллоквиуму]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=78158 2023-05-24T17:35:34Z

<p>Vsshvareva: /* Прошедшие лекции */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семее || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семен || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> Лекция 26.04.2023. Инвариантность характеристического многочлена. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Инвариантность следа и определителя матрицы линейного оператора при замене координат. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.<br /> <br /> Лекция 10.05.2023. Определение евклидова пространства.<br /> Неравенства Коши—Буняковского и треугольника. Ортогональность. Ортогональная система. Ортогональный и ортонормированный базисы. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Выражение для координат вектора в ортогональном базисе через скалярные произведения. Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Свойства матрицы Грама: 1) симметричность, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису (как матрицы билинейной формы), 3) положительность определителя. Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве.<br /> Свойство 4 матрицы Грама: инвариантность грамиана относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта. Выражение для объема параллелепипеда через определитель матрицы Грама.<br /> <br /> Лекция 17.05.2023. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению. Критерий невырожденности матрицы Грама (5-ое свойство). Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Определение линейного (алгебраического) многообразия. Замечание о том, как устроено линейное многообразие. Расстояние между вектором и линейным многообразием (определение). Расстояние от точки до линейного многообразия как длина ортогональной составляющей.<br /> Формула для расстояния через определители матриц Грама.<br /> <br /> Лекция 24.05.2023. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный (симметрический) оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора. Самосопряженные (симметрические) операторы. Критерий самосопряженности оператора. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Теорема о существовании для любого самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов (формулировка). Теорема о существовании для самосопряженного оператора c попарно различными собственными значениями ортонормированного базиса из собственных векторов. Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы. Сохранение длин и углов ортогональным оператором.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19_bBoYlS6muEWsLgr4IeIgR0dlBdMiCD/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1vlSxRJtokw7NGJ6RvAkdDuVNuiKTWLY6/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1-fR0RpzsizVejXqHrEClbtarCVBPGs_Q/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/120zi-QkKS2UKJ-EfUOHleE9WuaeyJqIF/view?usp=sharing Определения к коллоквиуму]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1Sy7NoN7mG7Hq2zYoeH9kxvLdr9r814ek/view?usp=sharing Вопросы к коллоквиуму]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=78060 2023-05-17T12:37:14Z

<p>Vsshvareva: /* Прошедшие лекции */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семее || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семен || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> Лекция 26.04.2023. Инвариантность характеристического многочлена. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Инвариантность следа и определителя матрицы линейного оператора при замене координат. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.<br /> <br /> Лекция 10.05.2023. Определение евклидова пространства.<br /> Неравенства Коши—Буняковского и треугольника. Ортогональность. Ортогональная система. Ортогональный и ортонормированный базисы. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Выражение для координат вектора в ортогональном базисе через скалярные произведения. Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Свойства матрицы Грама: 1) симметричность, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису (как матрицы билинейной формы), 3) положительность определителя. Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве.<br /> Свойство 4 матрицы Грама: инвариантность грамиана относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта. Выражение для объема параллелепипеда через определитель матрицы Грама.<br /> <br /> Лекция 17.05.2023. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению. Критерий невырожденности матрицы Грама (5-ое свойство). Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Определение линейного (алгебраического) многообразия. Замечание о том, как устроено линейное многообразие. Расстояние между вектором и линейным многообразием (определение). Расстояние от точки до линейного многообразия как длина ортогональной составляющей.<br /> Формула для расстояния через определители матриц Грама.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19_bBoYlS6muEWsLgr4IeIgR0dlBdMiCD/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1vlSxRJtokw7NGJ6RvAkdDuVNuiKTWLY6/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1-fR0RpzsizVejXqHrEClbtarCVBPGs_Q/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/120zi-QkKS2UKJ-EfUOHleE9WuaeyJqIF/view?usp=sharing Определения к коллоквиуму]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1Sy7NoN7mG7Hq2zYoeH9kxvLdr9r814ek/view?usp=sharing Вопросы к коллоквиуму]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=77956 2023-05-09T10:14:26Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семее || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семен || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> Лекция 26.04.2023. Инвариантность характеристического многочлена. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Инвариантность следа и определителя матрицы линейного оператора при замене координат. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19_bBoYlS6muEWsLgr4IeIgR0dlBdMiCD/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1vlSxRJtokw7NGJ6RvAkdDuVNuiKTWLY6/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1-fR0RpzsizVejXqHrEClbtarCVBPGs_Q/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/120zi-QkKS2UKJ-EfUOHleE9WuaeyJqIF/view?usp=sharing Определения к коллоквиуму]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1Sy7NoN7mG7Hq2zYoeH9kxvLdr9r814ek/view?usp=sharing Вопросы к коллоквиуму]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=77955 2023-05-09T10:12:40Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семее || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семен || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> Лекция 26.04.2023. Инвариантность характеристического многочлена. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Инвариантность следа и определителя матрицы линейного оператора при замене координат. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19_bBoYlS6muEWsLgr4IeIgR0dlBdMiCD/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/120zi-QkKS2UKJ-EfUOHleE9WuaeyJqIF/view?usp=sharing Определения к коллоквиуму]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1Sy7NoN7mG7Hq2zYoeH9kxvLdr9r814ek/view?usp=sharing Вопросы к коллоквиуму]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=77934 2023-05-03T16:49:54Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семее || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семен || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> Лекция 26.04.2023. Инвариантность характеристического многочлена. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Инвариантность следа и определителя матрицы линейного оператора при замене координат. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/120zi-QkKS2UKJ-EfUOHleE9WuaeyJqIF/view?usp=sharing Определения к коллоквиуму]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1Sy7NoN7mG7Hq2zYoeH9kxvLdr9r814ek/view?usp=sharing Вопросы к коллоквиуму]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=77926 2023-05-01T19:22:55Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семее || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семен || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> Лекция 26.04.2023. Инвариантность характеристического многочлена. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Инвариантность следа и определителя матрицы линейного оператора при замене координат. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/120zi-QkKS2UKJ-EfUOHleE9WuaeyJqIF/view?usp=sharing Определения к коллоквиуму]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=77887 2023-04-27T19:18:41Z

<p>Vsshvareva: /* Прошедшие лекции */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семее || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семен || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> Лекция 26.04.2023. Инвариантность характеристического многочлена. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Инвариантность следа и определителя матрицы линейного оператора при замене координат. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=77716 2023-04-19T14:00:29Z

<p>Vsshvareva: /* Преподаватели и учебные ассистенты */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семее || Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей, Кондаков Семен || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=77715 2023-04-19T13:59:10Z

<p>Vsshvareva: /* Преподаватели и учебные ассистенты */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина, Дымов Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=77713 2023-04-19T13:53:04Z

<p>Vsshvareva: /* Преподаватели и учебные ассистенты */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Зейникешева Индира || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Зейникешева Индира || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=77710 2023-04-19T13:47:36Z

<p>Vsshvareva: /* Прошедшие лекции */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. <br /> Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=77546 2023-04-12T17:31:27Z

<p>Vsshvareva: /* Прошедшие лекции */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=77545 2023-04-12T17:25:32Z

<p>Vsshvareva: /* Прошедшие лекции */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=77544 2023-04-12T17:14:28Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1aDDj1V77QRBnHKZ16lHv2O5ls9DctuR_/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1jsK1lMd7BKShqBWg4fa3z6aKOcqxke6X/view?usp=share_link Определения к КР2]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=77543 2023-04-12T17:09:34Z

<p>Vsshvareva: /* Прошедшие лекции */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.<br /> Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1EN52gc7NOjsbhQb81vF3-brK0w_-em4m/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1fxAh1ysOD7DJtGTdo4UDnO_shm_GNJ1R/view?usp=share_link Определения к КР2]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=77208 2023-03-24T11:40:30Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1EN52gc7NOjsbhQb81vF3-brK0w_-em4m/view?usp=share_link Вопросы к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1nmgbVxWrXlI1PnE7Cwx5wd9GPu4T7Fp8/view?usp=share_link Задачи к КР2]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1fxAh1ysOD7DJtGTdo4UDnO_shm_GNJ1R/view?usp=share_link Определения к КР2]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=77157 2023-03-22T11:55:23Z

<p>Vsshvareva: /* Прошедшие лекции */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=77156 2023-03-22T11:49:43Z

<p>Vsshvareva: /* Прошедшие лекции */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования.<br /> Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.<br /> <br /> Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.<br /> <br /> Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.<br /> <br /> Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств.<br /> Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=76383 2023-02-10T16:16:27Z

<p>Vsshvareva: /* Прошедшие лекции */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.<br /> <br /> Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.<br /> <br /> Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.<br /> <br /> Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=75394 2023-01-11T12:39:11Z

<p>Vsshvareva: /* Прошедшие лекции */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=74846 2022-12-12T11:15:35Z

<p>Vsshvareva: /* Прошедшие лекции */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.<br /> <br /> Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=74819 2022-12-11T12:24:18Z

<p>Vsshvareva: /* Материалы */</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1TE8-pDICdF8TM78ja8ZkcHJtA7gz4LhK/view?usp=share_link Определения к экзамену]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1FyiB2JwG31HalVBOZgqOl747kh4ci3IV/view?usp=share_link Задачи к экзамену]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=74818 2022-12-11T12:22:55Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/1BKMI2IVTjDz3oOthM3puKnoTWQCK-yic/view?usp=share_link Вопросы к экзамену]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=74362 2022-11-24T11:55:52Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента<br /> <br /> Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка &quot;основной&quot; теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=73706 2022-11-02T18:56:33Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=73507 2022-10-22T11:19:46Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing Определения к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10RZtr_KZBjHs4UybIlI4hUwkrps8VT1s/view?usp=sharing Вопросы к КР1]<br /> * [https://drive.google.com/file/d/19B-QU92TzQYtSr0Z3KvIMEFHpxzO_OYp/view?usp=sharing Задачи к КР1]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=73506 2022-10-22T11:17:41Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/file/d/10GVW3cZSd7DbQ0ZFFODLS34xQ3HPYdRb/view?usp=sharing/view?usp=sharing Определения к КР1]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=73505 2022-10-22T11:13:13Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).<br /> <br /> == Материалы ==<br /> * [https://drive.google.com/drive/folders/1RH7cnJ4PrRmE58JsD8j0TR_JUVcs15qR/view?usp=sharing Материалы для подготовки к КР1]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=Wiki_%D0%A4%D0%9A%D0%9D&diff=73443 2022-10-19T15:12:54Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>__NOTOC__ <br /> <br /> = Учебные курсы факультета компьютерных наук =<br /> <br /> == Курсы за 2022/23 учебный год ==<br /> <br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> <br /> ! 1 курс !! 2 курс !! 3 курс !! 4 курс !! майноры и факультативы<br /> |-<br /> |<br /> '''ПМИ'''<br /> <br /> [[Линейная_алгебра_и_геометрия_на_ПМИ_2022/2023_(пилотный_поток) | Линейная алгебра и геометрия (пилотный поток)]]<br /> <br /> [[Линейная_алгебра_и_геометрия_на_ПМИ_2022/2023_(основной_поток) | Линейная алгебра и геометрия (основной поток)]]<br /> <br /> [[Математический_анализ_1_2022/2023_(основной_поток) | Математический анализ-1 (основной поток)]]<br /> <br /> [[Математический_анализ_1_2022/2023_(пилотный_поток) | Математический анализ-1 (пилотный поток)]]<br /> <br /> [[DM1base-2022-23 | Дискретная математика (ПМИ основной поток + ЭАД)]]<br /> <br /> [[Дискретная_математика_(пилотный_поток) | Дискретная математика (пилотный поток)]]<br /> <br /> [http://wiki.cs.hse.ru/Язык_программирования_Python_2022/2023_(основной_поток) Язык программирования Python 2022/2023 (основной_поток)]<br /> <br /> '''ПИ'''<br /> <br /> [[Дискретная математика 2022-2023 | Дискретная математика ]]<br /> <br /> [[Алгебра ПИ 2022-2023 | Алгебра]]<br /> <br /> '''ПАД'''<br /> <br /> [[Calculus DSBA 2022/2023 | Calculus (DSBA)]]<br /> <br /> [[English_DSBA_2022/2023 | English DSBA (DSBA)]]<br /> <br /> [[LAaG DSBA 2022/2023 | LAaG (DSBA)]]<br /> <br /> [[Discrete Mathematics DSBA 2022/2023 | Discrete Mathematics ]]<br /> <br /> [[Introduction to Programming DSBA 2022/2023 | Introduction to Programming (DSBA)]]<br /> <br /> [[Foundations_of_Law_DSBA_2022/2023 | Foundations of Law (DSBA)]]<br /> <br /> <br /> <br /> '''КНАД'''<br /> <br /> [[Дискретная_математика_КНАД 22/23| Дискретная математика (КНАД) ]]<br /> <br /> [[Математический_анализ_КНАД 22/23| Математический анализ (КНАД) ]]<br /> <br /> [[Линейная_алгебра_КНАД 22/23| Линейная алгебра (КНАД) ]]<br /> <br /> [[Программирование_на_Python_КНАД 22/23| Программирование на Python (КНАД) ]]<br /> ||<br /> <br /> '''ПМИ'''<br /> <br /> [[Теория_вероятностей_2022/2023_(пилотный_поток)| Теория вероятностей (пилотный поток)]]<br /> <br /> [[Теория_вероятностей_2022/2023_(основной_поток)| Теория вероятностей (основной поток)]]<br /> <br /> [[Математический_Анализ_2_на_ПМИ_2022/2023_(пилотный_поток) | Математический анализ - 2 (пилотный поток)]]<br /> <br /> [[Математический_анализ_-_2_(2022/23) | Математический анализ - 2 (основной поток)]]<br /> <br /> [[Язык_программирования_C%2B%2B_(углубленный_курс)_2022 | Язык программирования C++ (углубленный курс)]]<br /> <br /> [[Математическая_логика_ПМИ_22/23 | Математическая логика ]]<br /> <br /> [[Продвинутый_Python_2022/2023 | Продвинутый Python ]]<br /> <br /> [[Алгоритмы_и_структуры_данных_2_2022/2023 | Алгоритмы и структуры данных - 2 ]]<br /> <br /> [[Язык_программирования_Rust | Язык программирования Rust ]]<br /> <br /> [[Инструменты_промышленной_разработки_2022/2023 | Инструменты промышленной разработки 2022/2023 ]]<br /> <br /> '''ПИ'''<br /> <br /> [[Алгоритмы_и_структуры_данных_на_ПИ_2022/2023 | Алгоритмы и структуры данных на ПИ]]<br /> <br /> [[Теория вероятностей и математическая статистика 2022-2023 | Теория вероятностей и математическая статистика]]<br /> <br /> [[НИС_Методы_и_алгоритмы_защиты_информации_2022/2023 | НИС Методы и алгоритмы защиты информации ]]<br /> <br /> '''ПАД'''<br /> <br /> [[Discrete Mathematics 2 DSBA 2022/2023 | Discrete Mathematics 2 (DSBA)]]<br /> <br /> [[Business_and_Management_in_Global_Context_22/23 | Business and Management in Global Context 22/23]]<br /> <br /> [[Calculus-2]]<br /> <br /> [[Algorithms and Data Structures DSBA 2022/2023 | Algorithms and Data Structures]]<br /> <br /> [[Probability and Statistics (DSBA)]]<br /> <br /> [[Introduction to Micro and Macroeconomics DSBA 2022/2023]]<br /> <br /> <br /> '''КНАД'''<br /> <br /> [[Алгебра КНАД 2022/2023 | Алгебра]]<br /> <br /> [[Математический_анализ -- 2 (2022/23) | Математический анализ -- 2]]<br /> <br /> [[Алгоритмы_и_структуры_данных_2_КНАД 22/23 | Алгоритмы и структуры данных 2]]<br /> <br /> [[Теория_вероятностей_КНАД 22/23 | Теория вероятностей ]]<br /> ||<br /> <br /> '''ПМИ'''<br /> <br /> [[Машинное_обучение_1 | Машинное обучение 1]]<br /> <br /> [[Компьютерные_сети_2022/2023 | Компьютерные сети 2022/2023]]<br /> <br /> [[ Operation Research and Game Theory | Operation Research and Game Theory]]<br /> <br /> [[ Statistical learning theory 2022 | Statistical Learning Theory]]<br /> <br /> [[ Функциональное_программирование_22-23 | Функциональное программирование ]]<br /> <br /> [[ Основы_тензорных_вычислений_(2022/2023) | Основы тензорных вычислений ]]<br /> <br /> [[Глубинное обучение 1 22/23 | Введение в глубинное обучение 22/23]]<br /> <br /> [[Математическое_моделирование_2022 | Математическое моделирование 2022]]<br /> <br /> '''ПМИ / МОП'''<br /> <br /> [[Прикладная_статистика_в_машинном_обучении_22/23 | Прикладная статистика в машинном обучении 22/23]]<br /> <br /> [[НИС_Машинное_обучение_и_приложения_3_курс_2022/2023 | НИС Машинное обучение и приложения 3 курс]]<br /> <br /> [[Глубинное обучение 1 22/23 | Глубинное обучение 1 22/23]]<br /> <br /> '''ПМИ / РС'''<br /> <br /> [https://osukhoroslov-hse.notion.site/a35a6a40088b44a7a9e374727a0f2548 Распределенные системы]<br /> <br /> [https://osukhoroslov-hse.notion.site/dbce4f5101ed47dca0b363122f139aac НИС Распределенные системы]<br /> <br /> '''ПМИ / ТИ'''<br /> <br /> [[Theory of Computation 2022 | Theory of Computation]]<br /> <br /> [[ NIS-TCS-22-23 | НИС Теоретическая информатика ]]<br /> <br /> '''ПИ'''<br /> <br /> [[ SPA_2022 |Принципы статического анализа исходного кода ]]<br /> <br /> '''ПАД'''<br /> <br /> [[tssp-2022-23 | Time series and stochastic processes 2022-23]]<br /> <br /> [https://github.com/xenakas/dsba_ecm_2022 Elements of Econometrics]<br /> <br /> [[BAFE-2022-23 | Business Analytics and Financial Engineering 2022-2023]]<br /> <br /> [[Machine learning 1 DSBA 2022/2023]]<br /> <br /> [[Databases]]<br /> <br /> [[Optimisation methods]]<br /> <br /> [[ MACE1_DSBA_22-23 | Research Seminar &quot;Mathematical and Computational Engineering in Science and Business 1&quot;]]<br /> <br /> [[ DAF1_DSBA_22-23 | Research Seminar &quot;Data Analysis in Finance 1&quot;]]<br /> <br /> <br /> ||<br /> <br /> '''ПМИ'''<br /> <br /> [[ Функциональное_программирование_22-23 | Функциональное программирование ]]<br /> <br /> [[ Основы_тензорных_вычислений_(2022/2023) | Основы тензорных вычислений ]]<br /> <br /> [[ Глубинное_обучение_в_обработке_звука_22/23 | Глубинное обучение в обработке звука ]]<br /> <br /> '''ПМИ / МОП'''<br /> <br /> [[НИС_Машинное_обучение_и_приложения_4_курс_2022/2023 | НИС Машинное обучение и приложения 4 курс]] <br /> <br /> [[Глубинное_обучение_2022 | Глубинное обучение]]<br /> <br /> [[Глубинное_обучение_в_анализе_графовых_данных_22/23 | Глубинное обучение в анализе графовых данных]]<br /> <br /> '''ПМИ / ТИ'''<br /> <br /> [[OWF2022 | Односторонние функции и их применения]]<br /> <br /> [[InfTheory2022 | Теория информации]]<br /> <br /> [[ NIS-TCS-22-23 | НИС Теоретическая информатика ]]<br /> <br /> '''ПИ'''<br /> <br /> <br /> '''ПАД'''<br /> <br /> [[ Statistics4MR-2022-23 | Statistics for Market Research 2022-23]]<br /> <br /> [[ Strategy_22-23_DSBA | Decision Making Strategy 2022-2023]]<br /> <br /> [[ APFM_22-23 | Asset Pricing and Financial Markets 2022-2023]]<br /> <br /> [[ CMC_DSBA_22-23 | Core management concepts ]]<br /> <br /> [[Machine learning 2 DSBA 2022/2023]]<br /> <br /> [[ MACE2_DSBA_22-23 | Research Seminar &quot;Mathematical and Computational Engineering in Science and Business 2&quot;]]<br /> <br /> [[ DAF2_DSBA_22-23 | Research Seminar &quot;Data Analysis in Finance 2&quot;]]<br /> <br /> [[ DANS_DSBA_22-23 | Research Seminar &quot;Data Analysis in the Natural Sciences&quot; ]]<br /> <br /> [[Risk-Management_DSBA_22-23 | Research Seminar &quot;Risk-Management&quot; ]]<br /> <br /> ||<br /> <br /> [[Случайные_графы_2022 | Случайные графы]]<br /> <br /> [[Майнор_Биоинформатика_1_год_2022/23 | Биоинформатика 1 год 2022/23]]<br /> <br /> [[Майнор Биоинформатика 2 год 2022/23 | Биоинформатика 2 год]]<br /> <br /> [[Основы_глубинного_обучения | Основы глубинного обучения (майнор ИАД)]]<br /> <br /> [[Введение_в_программирование_22/23_(майнор_ИАД) | Введение в программирование 22/23 (майнор ИАД)]]<br /> <br /> [[Базы данных 22/23 (майнор ИАД)| Базы данных 22/23 (майнор ИАД)]]<br /> <br /> [[Adaptation course in Discrete Math (факультатив)]]<br /> <br /> |}<br /> <br /> == Курсы в рамках проекта [https://www.hse.ru/dataculture/ Data Culture]==<br /> <br /> === 1 семестр ===<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |- <br /> ! Дисциплина !! Образовательная программа !! Курс !! Модули <br /> <br /> |-<br /> | [[Цифровая грамотность для международных отношений 22/23 | Цифровая грамотность для международных отношений 22/23]]&lt;br /&gt; || Международных отношения || 1 курс || 1-2 модуль<br /> <br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D1%8B_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0_%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2_%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%D1%85_22/23#.D0.9D.D0.B5.D0.BE.D0.B1.D1.85.D0.BE.D0.B4.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D1.81.D1.81.D1.8B.D0.BB.D0.BA.D0.B8 Основы анализа данных для международных отношений 22/23] || Международных отношения || 2 курс || 1-2 модуль<br /> <br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D1%8B_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_Python_%D0%BE%D1%81%D0%B5%D0%BD%D1%8C_2022_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%84%D0%B0%D0%BA#.D0.9F.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D0.BB.D0.B0_.D0.B4.D0.B5.D0.B4.D0.BB.D0.B0.D0.B9.D0.BD.D0.BE.D0.B2 Основы программирования на Python осень 2022 матфак] || Математика&lt;br \&gt;Совместная бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ&lt;br \&gt;Совместная магистратура НИУ ВШЭ и ЦПМ&lt;br \&gt;Математика и математическая физика|| 2-4 курс бакалавриата &lt;br /&gt; 1-2 курс магистратуры || 1-2 модуль <br /> <br /> |-<br /> | [[Анализ данных 2022 (ОП &quot;Журналистика&quot; и &quot;Медиакоммуникации&quot;) | Анализ данных]] || Журналистика&lt;br /&gt;Медиакоммуникации || 2 курс || 1-2 модуль<br /> <br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9C%D0%B0%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_(%D0%A4%D0%AD%D0%9D)_-_2022-2023 Машинное обучение] || Экономика || 3,4 курс || 1-2 модули<br /> |}<br /> <br /> == Курсы магистратуры ФКН ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot; <br /> |-<br /> | [[Ликбез_разработчика_(2022) | Ликбез разработчика]] || Машинное обучение и высоконагруженные системы|| 1 year<br /> |-<br /> | [[RecSys_2022_2023 | Рекомендательные системы]] || ФТИАД || 2 year<br /> |-<br /> | [[Linear_Algebra_for_Data_Science_(2022) | Linear Algebra for Data Science]] || Data Science || 1 year<br /> |-<br /> | [[Ordered_Sets_in_Data_Analysis_(2022) | Ordered Sets in Data Analysis]] || Data Science || 1 year<br /> |-<br /> | [[ NIS-TCS-22-23 | НИС Теоретическая информатика ]] || Науки о данных, специализация ТИ || <br /> |-<br /> | [[Mathematical Foundations of Probability theory | Mathematical foundations of probability theory]] || Math of Machine Learning || 1 year <br /> |}<br /> <br /> == Курсы других факультетов ==<br /> <br /> {| class=&quot;wikitable&quot; <br /> |-<br /> ! Дисциплина !! Курс !! Период<br /> |-<br /> | [[econ_probability_2022-23|Теория вероятностей и математическая статистика]] || фэн, 2 курс || 1-4 модуль<br /> |-<br /> | [[econ_metrics_2022-23|Эконометрика ип 2022-23]] || фэн, 3 курс || 1-4 модуль<br /> |-<br /> | [[econ_dynamic_opt_2022-23|Динамическая оптимизация в экономике и финансах]] || фэн, 3-4 курс || 1-2 модуль<br /> |-<br /> | [[icef-dse-2022-23|Data Science for Economics 2022-23]] ||icef, 3-4 year || 1-2 module<br /> |-<br /> | [[Лицей ВШЭ. Практикум по программированию 10 класс 2022-23 | Лицей ВШЭ. Практикум по программированию 10 класс]] || Лицей ВШЭ || 10 класс<br /> |-<br /> |}<br /> <br /> = Архив =<br /> <br /> == Курсы за 2021/22 учебный год ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> <br /> ! 1 курс !! 2 курс !! 3 курс !! 4 курс !! майноры и факультативы<br /> |-<br /> |<br /> '''ПМИ'''<br /> <br /> [[Линейная_алгебра_и_геометрия_на_ПМИ_2021/2022_(пилотный_поток) | Линейная алгебра и геометрия (пилотный поток)]]<br /> <br /> [[Линейная_алгебра_и_геометрия_на_ПМИ_2021/2022_(основной_поток) | Линейная алгебра и геометрия (основной поток)]]<br /> <br /> [[Алгебра_на_ПМИ_2021/2022_(пилотный_поток) | Алгебра (пилотный поток)]]<br /> <br /> [[Алгебра_на_ПМИ_2021/2022_(основной_поток) | Алгебра (основной поток)]]<br /> <br /> [[Математический_Анализ_1_на_ПМИ_2021/2022_(пилотный_поток) | Математический анализ 1 (пилотный поток)]]<br /> <br /> [[Математический_анализ_1_2021/2022_(основной_поток) | Математический анализ-1 (основной поток)]]<br /> <br /> [[DM1-2021-22 | Дискретная математика]]<br /> <br /> [http://wiki.cs.hse.ru/Основы_и_методология_программирования_на_ПМИ_2021/2022_(основной_поток) Основы и методология программирования 2021/2022 (основной поток)]<br /> <br /> [[Алгоритмы и структуры данных пилотный поток 2021/2022 | Алгоритмы и структуры данных пилотный поток 2021/2022]]<br /> <br /> [[Алгоритмы и структуры данных 1 основной поток 2021/2022 (4 модуль) | Алгоритмы и структуры данных 1 основной поток 2021/2022 (4 модуль)]]<br /> <br /> '''ПИ'''<br /> <br /> [[DM1-SE-2021-22 | Дискретная математика-1 ПИ]]<br /> <br /> [http://hsealgebra22.wikidot.com/ Алгебра 2021/2022 ПИ wikidot]<br /> <br /> [[Алгебра 2021/2022 ПИ | Алгебра 2021/2022 ПИ]]<br /> <br /> '''ПАД'''<br /> <br /> [[Algebra_DSBA_2021/2022 | Algebra DSBA]]<br /> <br /> [[Discrete Mathematics DSBA 2021/2022 | Discrete Mathematics (DSBA)]]<br /> <br /> [[LAaG DSBA 2021/2022 | LAaG (DSBA)]]<br /> <br /> [[Calculus DSBA 2021/2022 | Calculus (DSBA)]]<br /> <br /> [[Introduction to Programming DSBA 2021/2022 | Introduction to Programming (DSBA)]]<br /> <br /> '''КНАД'''<br /> <br /> [[Математический_анализ_(КНАД) | Математический анализ (КНАД)]]<br /> <br /> [[Линейная алгебра_(КНАД) | Линейная алгебра (КНАД)]]<br /> <br /> [[Программирование_на_Python | Программирование на Python (КНАД)]]<br /> <br /> [[Дискретная_математика_КНАД | Дискретная математика (КНАД)]]<br /> <br /> [[Алгоритмы и структуры данных-1 2021/2022 4 модуль (КНАД) | Алгоритмы и структуры данных (КНАД)]]<br /> <br /> [[Программирование_на_С++_КНАД | Программирование на С++ (КНАД)]]<br /> <br /> [[Python_для_сбора_и_анализа_данных_КНАД | Python для сбора и анализа данных (КНАД)]]<br /> <br /> [[ИПР_КНАД_22 | Инструменты промышленной разработки (КНАД)]]<br /> <br /> ||<br /> <br /> '''ПМИ'''<br /> <br /> [[Теория_вероятностей_и_математическая_статистика_2021/2022_(пилотный_поток)| ТВиМС (пилотный поток)]]<br /> <br /> [[Теория_вероятностей_2021/2022_(основной_поток)| ТВиМС (основной поток)]]<br /> <br /> [[Математический анализ 2021/2022 (пилотный поток) | Математический анализ - 2 (пилотный поток)]]<br /> <br /> [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7_-_2.1_(2021/22) Математический анализ - 2.1 (основной поток)]<br /> <br /> [[Математический_анализ_-_2.2_(2021/22) | Математический анализ - 2.2 (основной поток)]]<br /> <br /> [[MissingSemester2021/2022 | Инструменты промышленной разработки (The Missing Semester of your CS education)]]<br /> <br /> [[Язык программирования C++ (углубленный курс) | Язык программирования C++ (углубленный курс)]]<br /> <br /> [[Математическая логика | Математическая логика]]<br /> <br /> [[Дифференциальные уравнения (ПМИ)]]<br /> <br /> [[Алгоритмы и структуры данных 2 2021 | Алгоритмы и структуры данных 2]]<br /> <br /> [[Алгоритмы_и_структуры_данных_пилотный_поток_2020/2021 | Алгоритмы и структуры данных – 2 на ПМИ (пилотный поток)]]<br /> <br /> [[CAOS-2021 | Архитектура компьютеров и операционные системы]]<br /> <br /> [[Основы_матричных_вычислений_2021/2022| Основы матричных вычислений 2021/2022]]<br /> <br /> <br /> '''ПИ'''<br /> <br /> [[Алгоритмы и структуры данных на ПИ 2021/2022 | Алгоритмы и структуры данных на ПИ]]<br /> <br /> [[НИС Методы и алгоритмы защиты информации | НИС Методы и алгоритмы защиты информации]]<br /> <br /> '''ПАД'''<br /> <br /> [[Discrete Mathematics 2 DSBA 2021/2022 | Discrete Mathematics 2 (DSBA)]]<br /> <br /> [[Business_and_Management_in_Global_Context_2021/22 | Business and Management in Global Context (DSBA)]]<br /> <br /> [[Statistics_DSBA_2021/2022 | Probability and Statistics (DSBA)]]<br /> <br /> [[Differential_Equations_2021 | Differential Equations ]]<br /> <br /> [[ACOS_DSBA_2021/2022 | Computer Architecture and Operating Systems (DSBA)]]<br /> <br /> ||<br /> <br /> [https://www.notion.so/2021-2022-7374a6eeced2434288226a339bd5037f Курсовая работа]<br /> <br /> '''ПМИ'''<br /> <br /> [[Intro_to_DL_21/22 | Introduction to Deep Learning 21/22 ]]<br /> <br /> [[Безопасность_компьютерных_систем_21/22 | Безопасность компьютерных систем 21/22]]<br /> <br /> [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B_2022#.D0.A3.D1.87.D0.B5.D0.B1.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D0.BF.D0.BB.D0.B0.D0.BD Численные методы (2022)]<br /> <br /> [[Методы_оптимизации_21/22 | Методы оптимизации 21/22]]<br /> <br /> [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_22 Математическое моделирование]<br /> <br /> [http://wiki.cs.hse.ru/NIS-TCS-20-21 НИС Теоретическая информатика]<br /> <br /> [[time_series_modelling_21_22 | Моделирование временных рядов 21/22]]<br /> <br /> [[Анализ данных в бизнесе (Кафедра SAS) 21/22 | Анализ данных в бизнесе (Кафедра SAS) 21/22]]<br /> <br /> [[Comb2021_2022 | Комбинаторные конструкции в теоретической информатике]]<br /> <br /> [[Машинное_обучение_1/2021_2022 | Машинное обучение 1]]<br /> <br /> [[Theory of Computation 2021 | Theory of Computation]]<br /> <br /> [http://math-info.hse.ru/s21/8 Прикладные дифференциальные уравнения]<br /> <br /> [[Сбор_и_разметка_данных_для_машинного_обучения_21/22 | Сбор и разметка данных для машинного обучения 21/22]]<br /> <br /> [[Промышленное_программирование_на_языке_Java/2022 | Промышленное программирование на языке Java]]<br /> <br /> '''ПМИ / PC'''<br /> <br /> [https://osukhoroslov-hse.notion.site/5ca71a3b2b17452599f169468df43408 НИС Распределенные системы]<br /> <br /> [[Database_Systems_2022 | Database Systems 2022]]<br /> <br /> [https://osukhoroslov-hse.notion.site/082aef7073a844afa4c1bf718a773d77 Распределенные системы]<br /> <br /> [https://naorlov.notion.site/naorlov/Nets-2021-51931594039e40aeb9102b784d7a8e70 Компьютерные сети]<br /> <br /> '''ПМИ / МОП'''<br /> <br /> [[Машинное_обучение_2 | Машинное обучение 2]]<br /> <br /> [[Методы оптимизации в машинном обучении 2022| Методы оптимизации в машинном обучении 2022]]<br /> <br /> [[НИС_Машинное_обучение_и_приложения_3_курс_2021/2022 | НИС Машинное обучение и приложения 3 курс]]<br /> <br /> [http://wiki.cs.hse.ru/Psmo_21_22 Прикладная статистика в машинном обучении 21/22]<br /> <br /> [[Statistical_learning_theory_2021 | Statistical learning theory]]<br /> <br /> '''ПИ'''<br /> <br /> [[ML4SE_1 | НИС Машинное обучение для программной инженерии]]<br /> <br /> [[Технологии прикладного анализа данных SAS | Технологии прикладного анализа данных SAS]]<br /> <br /> '''ПАД'''<br /> <br /> [http://wiki.cs.hse.ru/Time_Series_and_Stochastic_Processes_ada_21_22 Time series and stochastic processes 2021-22]<br /> <br /> [https://github.com/xenakas/dsba_ecm_2021 Elements of Econometrics ]<br /> <br /> [[Data Science Case Studies (JD SAS) 21/22 | Data Science Case Studies (JD SAS) 21/22]]<br /> <br /> [[SAS Technologies for Data Mining | SAS Technologies for Data Mining]]<br /> [[Optimization_Methods_2022 | Optimization Methods]]<br /> <br /> ||<br /> <br /> [[Введение_в_дифференциальную_геометрию_2022 | Введение в дифференциальную геометрию 2022]]<br /> <br /> [[Символьные_вычисления_21/22 | Символьные вычисления 21/22]]<br /> <br /> [[Случайные_процессы_(зима_2022) | Случайные процессы (зима 2022) ]]<br /> <br /> [[Методы_сжатия_и_передачи_медиаданных_21/22 | Методы сжатия и передачи медиаданных 21/22]]<br /> <br /> [[Теория_и_практика_онлайн-экспериментов_21/22 | Теория и практика онлайн-экспериментов 21/22]]<br /> <br /> [[Безопасность_компьютерных_систем_21/22 | Безопасность компьютерных систем 21/22]]<br /> <br /> [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%94%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D0%B9%D0%BD_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC_21/22 Дизайн систем]<br /> <br /> [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D1%8B_%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9 Основы тензорых вычислений]<br /> <br /> [[Сбор_и_разметка_данных_для_машинного_обучения_21/22 | Сбор и разметка данных для машинного обучения 21/22]]<br /> <br /> [[Байесовские_методы_машинного_обучения_2021 | Байесовские методы машинного обучения]]<br /> <br /> [[НИС_Машинное_обучение_и_приложения_4_курс_2021/2022 | НИС Машинное обучение и приложения 4 курс]]<br /> <br /> [https://artemova.notion.site/artemova/c88a68750cff4b509699fa127be11801 Глубинное обучение для текстовых данных 2021/2022]<br /> <br /> [http://wiki.cs.hse.ru/LSML_2021/2022 Машинное обучение для больших данных 21/22]<br /> <br /> [[Эффективные системы глубинного обучения 21/22|Эффективные системы глубинного обучения]]<br /> <br /> <br /> '''ПМИ / РС'''<br /> <br /> [https://osukhoroslov-hse.notion.site/2-0cd36b67b9f64182bfeabcda9ede647a НИС Распределенные системы 2]<br /> <br /> [[msbdp_21 | Методы и системы обработки больших данных]]<br /> <br /> [https://osukhoroslov-hse.notion.site/cee4a50ac8cf4e328cefbd35cf822fa5 Облачные вычисления]<br /> <br /> '''ПМИ / ТИ'''<br /> <br /> [[InfTheory2021 | Теория информации]]<br /> <br /> [[OWF2021 | Односторонние функции и их применения]]<br /> <br /> [[ConvAppr22 | Выпуклое программирование и аппроксимационные алгоритмы ]]<br /> <br /> '''ПАД'''<br /> <br /> [[Statistics 4mr 2021-22 | Statistical Methods for Market Research (DSBA)]]<br /> <br /> [[Decision Making Strategy]]<br /> <br /> ||<br /> <br /> [[Дополнительные_главы_теории_вероятностей_2022|ДГТВ]]<br /> <br /> [[Дополнительные_главы_теории_вероятностей-2_2021/2022|ДГТВ-2]]<br /> <br /> [[Теория_вычислений_2022|Теория вычислений]]<br /> <br /> [[NonClassicalLogics|Факультатив &quot;Неклассические логики&quot; (3 модуль)]]<br /> <br /> [[Криптография_на_решётках_21/22| Криптография на решётках]]<br /> <br /> [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9C%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D1%80_%D0%91%D0%B8%D0%BE%D0%B8%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_1_%D0%B3%D0%BE%D0%B4_2021/22 Майнор Биоинформатика 1 год 2021/22]<br /> <br /> [[Майнор_Биоинформатика_2_год_2021/22|Майнор Биоинформатика 2 год 2021/22]]<br /> <br /> [[Введение_в_программирование_21/22_(майнор_ИАД) | Введение в программирование 21/22 (майнор ИАД)]]<br /> <br /> [[Основы_машинного_обучения | Основы машинного обучения (майнор ИАД)]]<br /> <br /> [[Основы_глубинного_обучения/2021_2022 | Основы глубинного обучения (майнор ИАД)]]<br /> <br /> [[Прикладные_задачи_анализа_данных | Прикладные задачи анализа данных (майнор ИАД)]]<br /> <br /> [[Функциональное_программирование_2019 | Функциональное программирование 2021]]<br /> <br /> [[KotlinElective|Факультатив &quot;Язык Kotlin&quot; (ноя-дек 2021)]]<br /> <br /> [[Dopglavy_DM_2022| Дополнительные главы дискретной математики]]<br /> <br /> [[Факультатив_Data_Science_в_игровой_индустрии_(SAS) | Факультатив Data Science в игровой индустрии (SAS)]]<br /> <br /> [[Факультатив_Анализ_данных_на_платформе_SAS | Факультатив Анализ данных на платформе SAS]]<br /> <br /> [https://rroll.to/2D8yXl Основы и методология пикапа на ПМИ 2021/2022]<br /> <br /> |}<br /> <br /> == Курсы в рамках проекта [https://www.hse.ru/dataculture/ Data Culture]==<br /> <br /> === 2 семестр ===<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |- <br /> ! Дисциплина !! Образовательная программа !! Курс !! Модули <br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BD%D0%B0_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA%D0%B5_Python,_%D0%B6%D1%83%D1%80%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_2022 Программирование на языке Python] || Журналистика || 2 курс || 4 модуль<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/Программирование_на_Python_деп_медиа_2022 Программирование на языке Python] || Журналистика и Медиакоммуникации || 1 курс || 3 модуль<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/Python_для_ОП_%22Психология%22_2021/2022 Программирование на языке Python] ||Психология || 1 курс || 3-4 модуль<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/Python_для_ОП_%22Экономика_и_статистика%22_и_ОП_%22География_глобальных_изменений%22_2021/2022 Программирование на языке Python] ||Экономика и статистика; География глобальных изменений || 2 курс || 3 модуль<br /> |-<br /> | [[Культура работы с данными]] ||Иностранные языки и межкультурная коммуникация || 1 курс || 3-4 модуль<br /> |-<br /> | [[Машинное обучение на матфаке 2022|Машинное обучение]] || Математика || 3-4 модули || 3-4 модули <br /> |-<br /> | [[Введение_в_МО_БИ_21/22| Введение в машинное обучение]] || Бизнес-информатика || 3 курс || 3-4 модули <br /> |-<br /> | [[Excel для анализа данных 21-22]] || Иностранные языки и межкультурная коммуникация || 4 курс || 3 модуль<br /> |-<br /> | [[Введение в Data Science 21-22]] || УБ и МиРА || 2 курс || 4 модуль<br /> |-<br /> | [[Основы программирования в Python (Мирэк) 2022 | Основы программирования в Python]] || Мировая экономика || 2 курс || 3-4 модуль<br /> |-<br /> |[http://wiki.cs.hse.ru/Python_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B8_%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%A5%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%8F Python для извлечения и обработки данных] || Химия || 2 курс || 4 модуль<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/Цифровая_грамотность_Городское_планирование_2021-2022 Цифровая грамотность] || Городское планирование || 1 курс || 4 модуль<br /> |}<br /> <br /> === 1 семестр ===<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |- <br /> ! Дисциплина !! Образовательная программа !! Курс !! Модули <br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%A6%D0%B8%D1%84%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%8F_2020/21 Цифровая грамотность] || География глобальных измерений и геоинформационные технологии || 1 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [[Цифровая грамотность, Востоковедение 2021/2022| Цифровая грамотность]] || Востоковедение || 1 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> |[[Цифровая Грамотность ИКВиА 2021/2022 | Цифровая грамотность]] || ИКВиА || 1 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%98%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D1%85%D0%BD%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%B8_%D0%B2_%D0%B4%D0%B5%D1%8F%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D1%8E%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0_2018-2019 Цифровая грамотность] || Юриспруденция || 1 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%98%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D1%85%D0%BD%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%B8_%D0%B2_%D0%B4%D0%B5%D1%8F%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D1%8E%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0_2018-2019 Цифровая грамотность] || Юриспруденция:частное право || 1 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%A6%D0%B8%D1%84%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_2021/2022 Цифровая грамотность] ||История || 1 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/Цифровая_грамотность_Филология_2021/2022 Цифровая грамотность] || Филология || 1 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%A6%D0%B8%D1%84%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_2020-21_(%D0%9A%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F) Цифровая грамотность] || Культурология || 1 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%A6%D0%B8%D1%84%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%94%D0%B5%D0%BF%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%9C%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%B0_2021-2022 Цифровая грамотность] || Медиакоммуникации и Журналистика || 1 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/Цифровая_грамотность_Философия_2021/2022 Цифровая грамотность] || Философия || 1 курс || 1-2 модуль<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/Основы_программирования_на_Python_осень_2021_матфак Основы программирования на Python] || Математика || 3 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7_%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2_R,_%D0%A1%D0%BE%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F Анализ данных в R] || Социология || 4 курс || 1-2 модули<br /> |- <br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9F%D0%9C%D0%A1%D0%90%D0%A0-2_2020 Методы анализа больших данных в исследованиях поведения покупателя] || Прикладные методы социального анализа рынков (магистратура) || 2 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9C%D0%B0%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_(%D0%A4%D0%AD%D0%9D)_-_2021-2022 Машинное обучение] || Экономика || 3,4 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [[Программирование_ЭкСтат_ГП | Программирование на языке Python ]] || Городское планирование, Экономика и статистика || 3 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [[Основы анализа данных в международных отношениях 2021/2022 | Основы анализа данных в международных отношениях]] || Международные отношения || 2 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/Python_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B8_%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85 Python извлечение и обработка данных] || Клеточная и молекулярная биотехнология || 1 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D1%8B_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B2_Python_(%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F_2020) Основы программирования в Python ] || Политология || 3 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/Основы_работы_с_данными:_сбор,_анализ,_визуализация_(ОП_%22Журналистика%22) Основы работы с данными: сбор, анализ, визуализация] || Журналистика || 3 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_Data_Science Data Science] || Экономика впечатлений: менеджмент в индустрии гостеприимства и туризме (магистратура) || 1 курс || 2 модуль<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9C%D0%B0%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_(%D1%81%D0%BE%D0%B2._%D0%B1%D0%B0%D0%BA._%D0%92%D0%A8%D0%AD-%D0%A0%D0%AD%D0%A8_2021) Машинное обучение] || Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и РЭШ || 3 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | <br /> || Бакалавриат НИУ ВШЭ и Лондонского университета || 3 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/Data_Analysis_in_Economics_and_Finance_2020-2021 Data Analysis in Economics and Finance] || Бакалавриат НИУ ВШЭ и Лондонского университета || 3 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/Data_Analysis_in_Journalism_and_Political_Science_2020-2021 Data Analysis in Journalism and Political Science]|| Бакалавриат НИУ ВШЭ и Лондонского университета || 3 курс || 1-2 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B8%D1%81%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B2_%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%B8_2020_1%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8C Прикладные исследования в культурологии] || Прикладная культурология (магистратура) || 1 курс || 1 модуль<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B2%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B8%D1%81%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F Программирование и лингвистические данные] || Фундаментальная и компьютерная лингвистика || 1 курс || 1, 2, 3, 4 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B2%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B8%D1%81%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F Программирование и лингвистические данные] || Фундаментальная и компьютерная лингвистика || 1 курс || 1, 2, 3 модули<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B2%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%B8_%D0%B8%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D1%85%D0%BD%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%B8 Программирование и теория алгоритмов] || Фундаментальная и компьютерная лингвистика || 3 курс || 2, 3, 4 модули<br /> |-<br /> | [https://github.com/daria-sa/NNmethods_ba_hse21-22/ Нейросетевые методы в обработке текстов] || Фундаментальная и компьютерная лингвистика || 4 курс || 1, 2, 3 модули<br /> |-<br /> <br /> <br /> |}<br /> <br /> == Курсы магистратуры ФКН ==<br /> <br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> | [[Modern_Data_Analysis_2021_2022 | Modern Data Analysis]] || Data Science (Науки о данных) || 2 year<br /> |-<br /> | [[Project_Seminar_2021_2022 | Проектный семинар специализации ТИ]] || Науки о данных, специализация ТИ || 1 year<br /> |-<br /> | [[Theory of Computation 2021 | Theory of Computation]] || Науки о данных, специализация ТИ || 1 year<br /> |-<br /> | [[ConvAppr22 | Выпуклое программирование и аппроксимационные алгоритмы ]] || Науки о данных, специализация ТИ || 1 year<br /> |-<br /> | [[RecSys_2021_2022 | Рекомендательные системы]] || ФТИАД || 2 year<br /> |-<br /> | [[Stochastic_analysis_2021_2022 | Стохастический анализ 2021-2022]] || Math of Machine Learning || 1 year<br /> |-<br /> | [[Reinforcement_learning_2021_2022 | Математические основы обучения с подкреплением 2021-2022]] || Math of Machine Learning || 2 year<br /> |-<br /> | [[Theoretical_Computer_Science_2022 | Theoretical computer science 2021-2022]] || Theoretical computer science || PhD<br /> |-<br /> | [[Машинное_обучение_(современные_методы)-МОиВС-2021-2022 | Машинное обучение (современные методы)]] || Машинное обучение и высоконагруженные системы|| 1 year<br /> |-<br /> | [[Алгоритмы_и_структуры_данных-МОиВС-2021-2022 | Алгоритмы и структуры данных]] || Машинное обучение и высоконагруженные системы|| 1 year<br /> |-<br /> | [[Основы_промышленной_разработки-МОиВС-2021-2022 | Основы промышленной разработки]] || Машинное обучение и высоконагруженные системы|| 1 year<br /> |-<br /> | [[Глубинное обучение-МОиВС-2022-2023 | Глубинное обучение]] || Машинное обучение и высоконагруженные системы|| 1 year<br /> |-<br /> |}<br /> <br /> == Курсы других факультетов ==<br /> <br /> {| class=&quot;wikitable&quot; <br /> |-<br /> ! Дисциплина !! Курс !! Период<br /> |-<br /> | [http://wiki.cs.hse.ru/Econ_probability_2021-22 Теория вероятностей и математическая статистика] || фэн, 2 курс || 1-4 модуль<br /> |-<br /> | [[Динамическая оптимизация в экономике и финансах, фэн, 2021/22|Динамическая оптимизация в экономике и финансах]] || фэн, 3-4 курс || 1-2 модуль<br /> |-<br /> |}<br /> <br /> = Архив до 2020/21 учебного года включительно =<br /> [[Wiki ФКН/Архив]]</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=73442 2022-10-19T15:09:50Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.<br /> <br /> Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости.<br /> Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=73273 2022-10-13T15:09:51Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=73271 2022-10-13T15:03:37Z

<p>Vsshvareva: </p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина, Зароднюк Алёна || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Зайцева Юлия || Шипицина Алина, Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> <br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.</div>

Vsshvareva https://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%98_2022-2023&diff=73265 2022-10-13T13:36:31Z

<p>Vsshvareva: Новая страница: «== Преподаватели и учебные ассистенты == {| class=&quot;wikitable&quot; |- ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ…»</p> <hr /> <div>== Преподаватели и учебные ассистенты ==<br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> ! Группа !! БПИ 221 !! БПИ 222 !! БПИ 223 !! БПИ 224 !! БПИ 225 !! БПИ 226 !! БПИ 227 !! БПИ 228 !! БПИ 229 !! БПИ 2210<br /> |-<br /> | Лектор || colspan=&quot;10&quot; style=&quot;text-align:center;&quot; | Чернышев Всеволод Леонидович<br /> |-<br /> | Семинаристы || Чернышев Всеволод, Зайцева Юлия || Михайлец Екатерина || Михайлец Екатерина || Шипицина Алина, Зароднюк Алёна || Михайлец Екатерина || Медведь Никита || Медведь Никита || Максаев Артём || Чернышев Всеволод, Зайцева Юлия || Шипицина Алина, Зароднюк Алёна<br /> |-<br /> | Ассистенты || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван || Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей || Давидко Дарья, Шварева Виктория || Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль || Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван<br /> |}<br /> == Консультации ==<br /> Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.<br /> == Прошедшие лекции ==<br /> Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.<br /> <br /> Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.<br /> <br /> Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.<br /> <br /> Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.<br /> <br /> Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.<br /> <br /> Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.</div>

Vsshvareva