Просмотр кода страницы Эллиптические функции 23/24

== О курсе ==

Цель курса  — познакомить слушателей с эллиптическим функциями. С одной стороны, они представляю собой аналитический инструмент для изучения эллиптических кривых. С другой стороны, как и другие представители мира специальных функций, они оказываются средством решения прикладных задач. Простейший пример  — задача об описании движения математического маятника, точное решение которой описывается именно в терминал эллиптических функций. Ну, а если смотреть шире, то эллиптические функции  — это один из важных шагов в глубины аналитической теории чисел: в теорию модулярных форм, в теорию представлений чисел квадратичными формами, ...

Лектор -- [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 А. В. Устинов.]

=== Предварительная программа ===

# Поле эллиптических функций. (Двоякопериодические функции. P-функция Вейерштрасса. Эллиптические кривые в форме Вейерштрасса. Закон сложения точек на эллиптической кривой. Точки конечного порядка на эллиптических кривых.
# Функции Вейерштрасса. (Сигма- и дзета-функции Вейерштрасса. Выражение произвольной эллиптической функции посредством сигма- и дзета-функций Вейерштрасса. Теоремы сложения для функций-Вейерштрасса.)
# Модулярные формы. (Ряды Эйзенштейна. Размерность пространства модулярных форм данного веса. Связь с эллиптическим функциями.
# Функции Якоби. (Тэта-функции. Эллиптические интегралы. Римановы поверхности иррациональных функций. Функции Якоби и их свойства. Теоремы сложения.)
# Приложения  эллиптических функций в механике, математической физике и теории чисел.

=== Полезные ссылки ===

[https://dlmf.nist.gov/23  Функции Вейерштрасса и модулярные функции в цифровой библиотеке специальных функций.]

== Лекции ==

Лекция 1 (29.09.2023) Периодические функции. Теорема Якоби о периодах. Поле эллиптических функций. Теоремы Лиувилля (формулировки). [A, стр. 7-11, 14-16]

Лекция 2 (06.10.2023) P-функция Вейерштрасса. Теорема о сходимости определяющего ряда. Периодичность P-функции Вейерштрасса. Двукратные точки P-функции. [К, стр. 23-28]

Лекция 3 (13.10.2023) Принцип аргумента. Пятая теорема Лиувилля. [A, стр. 17-18] Разложение P-функции Вейерштрасса в ряд Лорана. Дифференциальное уравнение для P-функции. [К, стр. 33-35]

Лекция 4 (20.10.2023) Униформизация эллиптической кривой. Закон сложения на эллиптической кривой. Сложение точек на эллиптической кривой над полем характеристики отличной от 2.
[К, стр. 41-47]

Лекция 5 (03.11.2023) Выражение произвольной эллиптической функции через Р-функцию Вейерштрасса и её производную. [К, стр. 28-32] Дзета- и сигма функции Вейерштрасса, их свойства. [A, стр. 52-56]

Лекция 6 (10.11.2023) Выражение произвольной эллиптической функции через сигма-функцию Вейерштрасса. Разложение произвольной эллиптической функции по её полюсам (разложение через дзета-функцию Вейерштрасса, Р-функцию и её производные. Теоремы сложения для функций Вейерштрасса. Результант. Наличие дифференциального уравнения и теоремы сложения для произвольной эллиптической функции. [А, стр. 56-65]

Лекция 7 (17.11.2023) Модулярная группа и её фундаментальная область. [К, стр. 122-127]

Лекция 8 (21.11.2023, перенос с 24.11) Топология пространства Н. Модулярные функции и формы. [К, стр. 128-131, 135-137]

Лекция 9 (01.12.2023) Описание пространства модулярных форм данного веса. Модулярный инвариант j и описание множества модулярных функций веса 0. [К, стр. 143-148]

Лекция 10 (08.12.2023) Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма. [Сол]

== Домашние задания ==

* [https://drive.google.com/file/d/1wGc8wX2FklpJXqy3b4IByqcxD1ycyPUH/view?usp=sharing '''ДЗ №1'''] (выдача: 06.10.2023, дедлайн: 13.10.2023)
* [https://drive.google.com/file/d/1F2hkss7kD_XteDQHFekOsxEoyyf-Nf1V/view?usp=sharing '''ДЗ №2'''] (выдача: 14.10.2023, дедлайн: 20.10.2023)
* [https://drive.google.com/file/d/1FyvSWYU0RQn2ba3k9ozFYZQEfqwF_gbZ/view?usp=sharing '''ДЗ №3'''] (выдача: 27.10.2023, дедлайн: 03.11.2023)
* [https://drive.google.com/file/d/1vN0NZTazL2B9aYhNyCd7-aPOGSZx3kYp/view?usp=sharing '''ДЗ №4'''] (выдача: 04.11.2023, дедлайн: 10.11.2023)
* [https://drive.google.com/file/d/19U8znTnqRTSJQbHXrHXonsYZ3meR_9-5/view?usp=sharing '''ДЗ №5'''] (выдача: 10.11.2023, дедлайн: 17.11.2023)
* [https://drive.google.com/file/d/1uddqhXJmjPdGcZL88opvIEowL3gE2p83/view?usp=sharing '''ДЗ №6'''] (выдача: 18.11.2023, дедлайн: 24.11.2023)
* [https://drive.google.com/file/d/13mXX9axbh9i-ttsOysiVib13efVF7d2v/view?usp=sharing '''ДЗ №7'''] (выдача: 22.11.2023, дедлайн: 01.12.2023)
* [https://drive.google.com/file/d/1CxyVy8po8yYG8WhR9egjS15i-3APA2Tv/view?usp=sharing '''ДЗ №8'''] (выдача: 02.12.2023, дедлайн: 08.12.2023)

== Коллоквиум и экзамен ==

[https://drive.google.com/file/d/1PgmPVsJtVePlmfJYPQw0bctyM4bbSiW6/view?usp=sharing Программа коллоквиума]
[https://drive.google.com/file/d/1NyXSoQTI-2hQFWptgM1IfAH7qgTDe_7v/view?usp=sharing Программа экзамена]

Экзамен будет 15 декабря.

== Оценка ==

Итог = min(10, Округление(0.45 * ДЗ + 0.3 * Кол + 0.3 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

==Книги==
===Основная литература===

# [A] [http://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/Ahiezer1970ru.pdf Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. Изд-во "Наука", Москва, 1970]
# [К] [http://publ.lib.ru/ARCHIVES/K/KOBLIC_Nil/_Koblic_N..html Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. М., "Мир", 1988 ]
# [Сол] [http://www.bridgeclub.ru/comcon/RUS/ARTICAL/matka/F.pdf Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма. Соросовский Образовательный Журнал, № 2, 1998.]

===Дополнительная литература===

# [Серр] [https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/Serr1972ru.pdf Серр, Ж.-П. Курс арифметики 1972.]
# [AE] [http://libgen.is/book/index.php?md5=CE2692F9505369DDB12DA60FCF9A2419 Armitage J. V., Eberlein W. F. Elliptic functions, 2006]
# [Ap] [http://libgen.is/book/index.php?md5=B07A9E1D55985034062ED481A18F74D8 Apostol T. M. Modular functions and Dirichlet series in number theory, 1990]
# [Ch] [http://libgen.is/book/index.php?md5=991D5EE30013CBB1D71C294FA513189F Chandrasekharan K. Elliptic functions, 1985]
# [L] [http://libgen.is/book/index.php?md5=81561275CBD338F765DE79BCCBCF160A Lawden D. F. Elliptic functions and applications. 1989]
# [WW] [https://www.forgottenbooks.com/en/download/ACourseofModernAnalysis_10447684.pdf E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge University Press, 1927]