Алгебра 2014/2015 - История изменений

Ravdeev в 21:17, 3 апреля 2016

2016-04-03T21:17:36Z

← Предыдущая версия		Версия от 21:17, 3 апреля 2016
Строка 174:		Строка 174:

	[https://www.dropbox.com/s/iul8wjap2lc8a0d/Problems10.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 10''']		[https://www.dropbox.com/s/iul8wjap2lc8a0d/Problems10.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 10''']

	~~== Разборы домашних заданий от Максима Каледина ==~~

	~~Материалы размещены [https://www.dropbox.com/sh/suabwb8k0epqfr9/AABd5dx8Ez7slcm7z10NOKbwa?dl=0 '''здесь'''].~~

	== Ведомости текущего контроля ==		== Ведомости текущего контроля ==

Ravdeev: /* Контрольная работа */

2015-11-20T14:35:04Z

Контрольная работа

← Предыдущая версия		Версия от 14:35, 20 ноября 2015
Строка 77:		Строка 77:
	Задача 3. Как правило, 1 балл выставлялся в случае, когда решение не доведено до конца, но есть существенные продвижения.		Задача 3. Как правило, 1 балл выставлялся в случае, когда решение не доведено до конца, но есть существенные продвижения.

	Задача 4. ~~Большая сложность~~ вычислений~~, возникающих при решении этой задачи, вызвана ошибкой составителей варианта. Ввиду этого~~ полные решения задачи были оценены в 3 балла. Общий критерий: число баллов за эту задачу равно числу правильно вычисленных коэффициентов результирующего многочлена.		Задача 4. Из-за большой сложности вычислений полные решения этой задачи были оценены в 3 балла. Общий критерий: число баллов за эту задачу равно числу правильно вычисленных коэффициентов результирующего многочлена.

	Задача 5. Если в работе вычислен только наибольший общий делитель данных многочленов, то это оценивалось в 1 балл.		Задача 5. Если в работе вычислен только наибольший общий делитель данных многочленов, то это оценивалось в 1 балл.

Ravdeev: /* Контрольная работа */

2015-09-24T20:15:27Z

Контрольная работа

← Предыдущая версия		Версия от 20:15, 24 сентября 2015
Строка 83:		Строка 83:
	Задача 6. Неполные решения, в которых удалось избавиться от иррациональности в знаменателе, оценивались в 1 балл.		Задача 6. Неполные решения, в которых удалось избавиться от иррациональности в знаменателе, оценивались в 1 балл.

	'''Показ работ''' контрольной ~~пройдёт~~ 15 июня с 15:10 до 16:30 в ауд. 622.		'''Показ работ''' контрольной прошёл 15 июня с 15:10 до 16:30 в ауд. 622.

	==== Типы задач на контрольной работе ====		==== Типы задач на контрольной работе ====

Ravdeev: /* Листки с задачами */

2015-09-24T19:46:10Z

Листки с задачами

← Предыдущая версия		Версия от 19:46, 24 сентября 2015
Строка 155:		Строка 155:
	== Листки с задачами ==		== Листки с задачами ==

	[https://www.dropbox.com/s/~~1zwmvr3r4toq0w5~~/Problems01.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 1''']		[https://www.dropbox.com/s/q2ozwocynk0q640/Problems01.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 1''']

	[https://www.dropbox.com/s/~~3qpqfrq2vz6v413~~/Problems02.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 2''']		[https://www.dropbox.com/s/662a61q2i8hlhw4/Problems02.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 2''']

	[https://www.dropbox.com/s/~~n8rb8nbzka38qep~~/Problems03.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 3''']		[https://www.dropbox.com/s/nituwxj72g68px5/Problems03.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 3''']

	[https://www.dropbox.com/s/~~ynr0fhez6hpybsa~~/Problems04.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 4''']		[https://www.dropbox.com/s/8mta2o8nvjv09bg/Problems04.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 4''']

	[https://www.dropbox.com/s/~~w0jlrgwtt40gz9y~~/Problems05.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 5''']		[https://www.dropbox.com/s/ejm7y3q8j1bjj5m/Problems05.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 5''']

	[https://www.dropbox.com/s/~~55pam3p00dtjsis~~/Problems06.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 6''']		[https://www.dropbox.com/s/ewxmag4u2f1j8v6/Problems06.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 6''']

	[https://www.dropbox.com/s/~~8rvldl1rppzkd3t~~/Problems07.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 7''']		[https://www.dropbox.com/s/o4nimy0gqecmu5b/Problems07.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 7''']

	[https://www.dropbox.com/s/~~vs3hoq4prbzz09u~~/Problems08.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 8''']		[https://www.dropbox.com/s/tiiwcak8e0ssnt7/Problems08.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 8''']

	[https://www.dropbox.com/s/~~unbcpm3y4lrah56~~/Problems09.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 9''']		[https://www.dropbox.com/s/vhl5p1fa7ornzyk/Problems09.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 9''']

	[https://www.dropbox.com/s/~~jrp17mucszq7qsq~~/Problems10.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 10''']		[https://www.dropbox.com/s/iul8wjap2lc8a0d/Problems10.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 10''']

	== Разборы домашних заданий от Максима Каледина ==		== Разборы домашних заданий от Максима Каледина ==

Ravdeev: /* Конспекты лекций */

2015-09-24T19:12:48Z

Конспекты лекций

← Предыдущая версия		Версия от 19:12, 24 сентября 2015
Строка 133:		Строка 133:
	В этом разделе выложены подготовленные И.В. Аржанцевым (и местами дополненные Р.С. Авдеевым) конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.		В этом разделе выложены подготовленные И.В. Аржанцевым (и местами дополненные Р.С. Авдеевым) конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.

	[https://www.dropbox.com/s/~~udl3xbdwdegg1b0~~/Algebra_Lecture_01.pdf?dl=0 '''Лекция 1'''] (2.04.2015). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия		[https://www.dropbox.com/s/ub0xg2ttudvaz1f/Algebra_Lecture_01.pdf?dl=0 '''Лекция 1'''] (2.04.2015). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия

	[https://www.dropbox.com/s/~~z4ufzdsiikmi31o~~/Algebra_Lecture_02.pdf?dl=0 '''Лекция 2'''] (9.04.2015). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы		[https://www.dropbox.com/s/v07oln4vxkj1fug/Algebra_Lecture_02.pdf?dl=0 '''Лекция 2'''] (9.04.2015). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы

	[https://www.dropbox.com/s/~~b4j92n1ipquucte~~/Algebra_Lecture_03.pdf?dl=0 '''Лекция 3'''] (16.04.2015). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду		[https://www.dropbox.com/s/m0u8o0unnfe9cvf/Algebra_Lecture_03.pdf?dl=0 '''Лекция 3'''] (16.04.2015). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду

	[https://www.dropbox.com/s/~~ntykfs9xe8wybx9~~/Algebra_Lecture_04.pdf?dl=0 '''Лекция 4'''] (23.04.2015). Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы		[https://www.dropbox.com/s/gkihmqrhilivzvc/Algebra_Lecture_04.pdf?dl=0 '''Лекция 4'''] (23.04.2015). Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы

	[https://www.dropbox.com/s/~~7ehtvu7oxz9mah8~~/Algebra_Lecture_05.pdf?dl=0 '''Лекция 5'''] (30.04.2015). Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Теорема Кэли		[https://www.dropbox.com/s/fe0kksq74ksprvn/Algebra_Lecture_05.pdf?dl=0 '''Лекция 5'''] (30.04.2015). Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Теорема Кэли

	[https://www.dropbox.com/s/~~hacewxlxo59jjcg~~/Algebra_Lecture_06.pdf?dl=0 '''Лекция 6'''] (14.05.2015). Кольца. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Центр алгебры матриц над полем. Простота алгебры матриц над полем		[https://www.dropbox.com/s/1uqih1xswsnhqfe/Algebra_Lecture_06.pdf?dl=0 '''Лекция 6'''] (14.05.2015). Кольца. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Центр алгебры матриц над полем. Простота алгебры матриц над полем

	[https://www.dropbox.com/s/~~6uihup5nxuiuglk~~/Algebra_Lecture_07.pdf?dl=0 '''Лекция 7'''] (21.05.2015). Евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов от многих переменных		[https://www.dropbox.com/s/fjd7zvsa04lz5ef/Algebra_Lecture_07.pdf?dl=0 '''Лекция 7'''] (21.05.2015). Евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов от многих переменных

	[https://www.dropbox.com/s/~~9t8za6f2brsqqdj~~/Algebra_Lecture_08.pdf?dl=0 '''Лекция 8'''] (28.05.2015). Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Теорема Виета. Дискриминант многочлена		[https://www.dropbox.com/s/0uq6u0lrh7pn8u4/Algebra_Lecture_08.pdf?dl=0 '''Лекция 8'''] (28.05.2015). Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Теорема Виета. Дискриминант многочлена

	[https://www.dropbox.com/s/~~fa1wmatcs4mo5eq~~/Algebra_Lecture_09.pdf?dl=0 '''Лекция 9'''] (4.06.2015). Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность		[https://www.dropbox.com/s/bnns7m7wi9465i8/Algebra_Lecture_09.pdf?dl=0 '''Лекция 9'''] (4.06.2015). Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность

	[https://www.dropbox.com/s/~~77hd55ft7rldutu~~/Algebra_Lecture_10.pdf?dl=0 '''Лекция 10'''] (11.06.2015). Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырёх элементов. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.		[https://www.dropbox.com/s/km9x86i9pthgpen/Algebra_Lecture_10.pdf?dl=0 '''Лекция 10'''] (11.06.2015). Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырёх элементов. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.

	== Листки с задачами ==		== Листки с задачами ==

Ravdeev: /* Экзамен */

2015-09-24T19:09:26Z

Экзамен

← Предыдущая версия		Версия от 19:09, 24 сентября 2015
Строка 100:		Строка 100:
	Экзамен был устный. Каждый билет включал в себя по два вопроса из программы курса.		Экзамен был устный. Каждый билет включал в себя по два вопроса из программы курса.

	[https://www.dropbox.com/s/~~nltmhak04uiv2yy~~/Program_Algebra.pdf?dl=0 '''Программа курса''']		[https://www.dropbox.com/s/c5k3ier3z6stdkq/Program_Algebra.pdf?dl=0 '''Программа курса''']

	==== Расписание экзаменов ====		==== Расписание экзаменов ====

Ravdeev: /* Контрольная работа */

2015-09-24T19:08:52Z

Контрольная работа

← Предыдущая версия		Версия от 19:08, 24 сентября 2015
Строка 67:		Строка 67:
	На контрольной можно было пользоваться любыми материалами на бумажных носителях. Использование электронных устройств (кроме тех, у которых единственная функция — калькулятор) не допускалось.		На контрольной можно было пользоваться любыми материалами на бумажных носителях. Использование электронных устройств (кроме тех, у которых единственная функция — калькулятор) не допускалось.

	[https://www.dropbox.com/s/~~hln0xn0qkvcgxe5~~/Control_Work_Algebra.pdf?dl=0 '''Задачи с контрольной''']		[https://www.dropbox.com/s/urmsbzp3aikrx75/Control_Work_Algebra.pdf?dl=0 '''Задачи с контрольной''']

	'''Комментарии к оценкам за контрольную'''		'''Комментарии к оценкам за контрольную'''

Ravdeev в 18:50, 4 сентября 2015

2015-09-04T18:50:52Z

Sakutylev: Sakutylev переименовал страницу Алгебра в Алгебра 2014/2015: Добавил страницу с 2015/2016 годом

2015-09-04T18:34:52Z

Sakutylev переименовал страницу Алгебра в Алгебра 2014/2015: Добавил страницу с 2015/2016 годом

← Предыдущая версия	Версия от 18:34, 4 сентября 2015
(нет различий)

Ravdeev: /* Конспекты лекций */

2015-06-15T08:39:55Z

Конспекты лекций

← Предыдущая версия		Версия от 08:39, 15 июня 2015
Строка 151:		Строка 151:
	[https://www.dropbox.com/s/fa1wmatcs4mo5eq/Algebra_Lecture_09.pdf?dl=0 '''Лекция 9'''] (4.06.2015). Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность		[https://www.dropbox.com/s/fa1wmatcs4mo5eq/Algebra_Lecture_09.pdf?dl=0 '''Лекция 9'''] (4.06.2015). Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность

	'''Лекция 10''' (11.06.2015). Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырёх элементов. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.		[https://www.dropbox.com/s/77hd55ft7rldutu/Algebra_Lecture_10.pdf?dl=0 '''Лекция 10'''] (11.06.2015). Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырёх элементов. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.

	== Листки с задачами ==		== Листки с задачами ==

← Предыдущая версия		Версия от 18:50, 4 сентября 2015
Строка 1:		Строка 1:
	Цель этого небольшого курса — познакомить слушателей с основными структурами современной алгебры. Первые пять лекций посвящены теории групп, последние пять — кольцам и полям. Мы ~~докажем~~ базовые факты об этих структурах и ~~продемонстрируем~~ их возможные приложения. Сдавшие этот курс ~~смогут~~, среди прочего, перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные группы из 100 элементов, найти сумму кубов корней данного многочлена, доказать, что многочлен от многих переменных однозначно раскладывается на простые множители, и объяснить, почему не существует поля из 6 элементов.		Цель этого небольшого курса — познакомить слушателей с основными структурами современной алгебры. Первые пять лекций посвящены теории групп, последние пять — кольцам и полям. Мы доказали базовые факты об этих структурах и продемонстрировали их возможные приложения. Сдавшие этот курс могут, среди прочего, перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные группы из 100 элементов, найти сумму кубов корней данного многочлена, доказать, что многочлен от многих переменных однозначно раскладывается на простые множители, и объяснить, почему не существует поля из 6 элементов.

	== Преподаватели и учебные ассистенты ==		== Преподаватели и учебные ассистенты ==
Строка 49:		Строка 49:
	=== Домашняя работа ===		=== Домашняя работа ===

	Домашние задания условно разделены на две части, каждая из которых содержит по 20 задач. Первая часть (по теории групп) состоит из 5 блоков по 4 задачи в каждом, вторая часть (по кольцам и полям) состоит из 4 блоков по 5 задач в каждом. Домашние задания ~~будут выдаваться~~ на каждом семинаре, по одному блоку задач за раз.		Домашние задания условно разделены на две части, каждая из которых содержит по 20 задач. Первая часть (по теории групп) состоит из 5 блоков по 4 задачи в каждом, вторая часть (по кольцам и полям) состоит из 4 блоков по 5 задач в каждом. Домашние задания выдавались на каждом семинаре, по одному блоку задач за раз.

	'''Важно:''' при обнаружении двух и более одинаковых решений в работах разных студентов результаты ~~будут аннулироваться~~ независимо от того, кто у кого списал.		'''Важно:''' при обнаружении двух и более одинаковых решений в работах разных студентов результаты аннулировались независимо от того, кто у кого списал.

	Результаты выполнения первой части домашних заданий ~~будут~~ отражены в оценке O<sub>дз1</sub>, вычисляемой по формуле		Результаты выполнения первой части домашних заданий были отражены в оценке O<sub>дз1</sub>, вычисляемой по формуле

	O<sub>дз1</sub> = 0,5 * (число решённых задач из первой части).		O<sub>дз1</sub> = 0,5 * (число решённых задач из первой части).

	Аналогично, работа над второй частью домашних заданий ~~выльется~~ в оценку O<sub>дз2</sub>:		Аналогично, работа над второй частью домашних заданий выливалась в оценку O<sub>дз2</sub>:

	O<sub>дз2</sub> = 0,5 * (число решённых задач из второй части).		O<sub>дз2</sub> = 0,5 * (число решённых задач из второй части).
Строка 94:		Строка 94:
	* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, 67.13]		* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, 67.13]

	Для каждого типа в скобках указаны номера задач из Сборника задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина (М.: МЦНМО, 2009), которые ~~рекомендуется~~ решать для тренировки.		Для каждого типа в скобках указаны номера задач из Сборника задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина (М.: МЦНМО, 2009), которые рекомендовалось решать для тренировки.

	=== Экзамен ===		=== Экзамен ===

	Экзамен ~~будет~~ устный. Каждый билет ~~будет включать~~ в себя по два вопроса из программы курса.		Экзамен был устный. Каждый билет включал в себя по два вопроса из программы курса.

	[https://www.dropbox.com/s/nltmhak04uiv2yy/Program_Algebra.pdf?dl=0 '''Программа курса''']		[https://www.dropbox.com/s/nltmhak04uiv2yy/Program_Algebra.pdf?dl=0 '''Программа курса''']
Строка 117:		Строка 117:
	=== Порядок формирования оценок ===		=== Порядок формирования оценок ===

	Накопленная оценка ~~будет вычисляться~~ по следующей формуле:		Накопленная оценка вычислялась по следующей формуле:

	O<sub>накопленная</sub> = 0,3 * O<sub>дз1</sub> + 0,3 * O<sub>дз2</sub> + 0,4 * O<sub>к/р</sub>,		O<sub>накопленная</sub> = 0,3 * O<sub>дз1</sub> + 0,3 * O<sub>дз2</sub> + 0,4 * O<sub>к/р</sub>,
Строка 123:		Строка 123:
	где O<sub>дз1</sub> — оценка за первое домашнее задание, O<sub>дз2</sub> — оценка за второе домашнее задание, O<sub>к/р</sub> — оценка за контрольную работу.		где O<sub>дз1</sub> — оценка за первое домашнее задание, O<sub>дз2</sub> — оценка за второе домашнее задание, O<sub>к/р</sub> — оценка за контрольную работу.

	Итоговая оценка ~~будет выражаться~~ через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:		Итоговая оценка выражалась через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:

	O<sub>итоговая</sub> = 0,5 * O<sub>накопленная</sub> + 0,5 * О<sub>экз</sub>.		O<sub>итоговая</sub> = 0,5 * O<sub>накопленная</sub> + 0,5 * О<sub>экз</sub>.

	Округление ~~будет производиться~~ только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.		Округление производилось только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

	== Конспекты лекций ==		== Конспекты лекций ==

	В этом разделе ~~выкладываются~~ подготовленные И.В. Аржанцевым (и местами дополненные Р.С. Авдеевым) конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.		В этом разделе выложены подготовленные И.В. Аржанцевым (и местами дополненные Р.С. Авдеевым) конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.

	[https://www.dropbox.com/s/udl3xbdwdegg1b0/Algebra_Lecture_01.pdf?dl=0 '''Лекция 1'''] (2.04.2015). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия		[https://www.dropbox.com/s/udl3xbdwdegg1b0/Algebra_Lecture_01.pdf?dl=0 '''Лекция 1'''] (2.04.2015). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия