Математическое моделирование - История изменений

Emaevskiy: /* IV. Дифференциальные уравнения в частных производных */

2021-06-14T12:58:28Z

IV. Дифференциальные уравнения в частных производных

← Предыдущая версия		Версия от 12:58, 14 июня 2021
Строка 70:		Строка 70:
	6. Начально-краевые задачи для 1-мерного волнового уравнения. Начальная задача на прямой. Формула Даламбера. Случай неоднородного уравнения. Начально-краевая задача на полупрямой. Начально-краевая задача на отрезке. Энергетическая оценка и теорема единственности. Задача Гурса для неоднородного уравнения.		6. Начально-краевые задачи для 1-мерного волнового уравнения. Начальная задача на прямой. Формула Даламбера. Случай неоднородного уравнения. Начально-краевая задача на полупрямой. Начально-краевая задача на отрезке. Энергетическая оценка и теорема единственности. Задача Гурса для неоднородного уравнения.

	7. ~~Уравнение~~ теплопроводности.		7. Начально-краевые задачи для 1-мерного уравнения теплопроводности. Начально-краевая задача на отрезке. Метод разделения переменных. Функция источника. Случай неоднородного уравнения. Принцип максимума и теорема единственности. Начальная задача на прямой для однородного и неоднородного уравнения. Начально-краевая задача на полупрямой.

	'''Минимальные знания и навыки'''. Условия Фробениуса для системы уравнений в дифференциалах (Пфаффа). Метод понижения размерности. Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных I-го порядка. Приведение уравнения n-го порядка класса Ковалевской к системе уравнений I-го порядка в форме Коши - Ковалевской. Поиск решения начальной задачи в виде степенного ряда в окрестности точки. Метод Фурье исследования начальной задачи для линейного однородного уравнения на устойчивость. Классификация линейных уравнений 2-го порядка в окрестности точки. Решение краевых задач для уравнения Лапласа в классических областях.		'''Минимальные знания и навыки'''. Условия Фробениуса для системы уравнений в дифференциалах (Пфаффа). Метод понижения размерности. Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных I-го порядка. Приведение уравнения n-го порядка класса Ковалевской к системе уравнений I-го порядка в форме Коши - Ковалевской. Поиск решения начальной задачи в виде степенного ряда в окрестности точки. Метод Фурье исследования начальной задачи для линейного однородного уравнения на устойчивость. Классификация линейных уравнений 2-го порядка в окрестности точки. Решение краевых задач для уравнения Лапласа в классических областях. Решение начально-краевых задач для 1-мерного волнового уравнения на прямой, полупрямой и отрезке. Решение начально-краевых задач для 1-мерного уравнения теплопроводности на прямой, полупрямой и отрезке.

	== Занятия ==		== Занятия ==

Emaevskiy: /* IV. Дифференциальные уравнения в частных производных */

2021-06-08T16:55:56Z

IV. Дифференциальные уравнения в частных производных

← Предыдущая версия		Версия от 16:55, 8 июня 2021
Строка 68:		Строка 68:
	5. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Внутренняя и внешняя краевые задачи Дирихле и Неймана. Метод разделения переменных. Решение уравнения Лапласа в классических областях: прямоугольник, круг, цилиндр, шар (в осесимметричном случае). Формулы Грина. Основные свойства гармонических функций (теорема о среднем, принцип максимума). Единственность и устойчивость решения внутренней задачи Дирихле.		5. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Внутренняя и внешняя краевые задачи Дирихле и Неймана. Метод разделения переменных. Решение уравнения Лапласа в классических областях: прямоугольник, круг, цилиндр, шар (в осесимметричном случае). Формулы Грина. Основные свойства гармонических функций (теорема о среднем, принцип максимума). Единственность и устойчивость решения внутренней задачи Дирихле.

	6. ~~Волновое уравнение~~.		6. Начально-краевые задачи для 1-мерного волнового уравнения. Начальная задача на прямой. Формула Даламбера. Случай неоднородного уравнения. Начально-краевая задача на полупрямой. Начально-краевая задача на отрезке. Энергетическая оценка и теорема единственности. Задача Гурса для неоднородного уравнения.

	7. Уравнение теплопроводности.		7. Уравнение теплопроводности.

Emaevskiy: /* IV. Дифференциальные уравнения в частных производных */

2021-06-01T09:10:04Z

IV. Дифференциальные уравнения в частных производных

← Предыдущая версия		Версия от 09:10, 1 июня 2021
Строка 64:		Строка 64:
	3. Система уравнений в частных производных I-го порядка в форме Коши - Ковалевской с аналитическими правыми частями и начальными данными. Теорема Коши - Ковалевской. Поиск решения в виде формального степенного ряда. Метод мажорантного ряда. Система уравнений I-го порядка в неявной форме с начальными данными на аналитической гиперповерхности. Условие локальной приводимости к форме Коши - Ковалевской. Характеристические направления и характеристические гиперповерхности. Контрпримеры: отсутствие аналитического решения уравнения теплопроводности; некорректность задачи Коши для уравнения Лапласа. Метод Фурье исследования начальной задачи для линейного однородного уравнения на устойчивость.		3. Система уравнений в частных производных I-го порядка в форме Коши - Ковалевской с аналитическими правыми частями и начальными данными. Теорема Коши - Ковалевской. Поиск решения в виде формального степенного ряда. Метод мажорантного ряда. Система уравнений I-го порядка в неявной форме с начальными данными на аналитической гиперповерхности. Условие локальной приводимости к форме Коши - Ковалевской. Характеристические направления и характеристические гиперповерхности. Контрпримеры: отсутствие аналитического решения уравнения теплопроводности; некорректность задачи Коши для уравнения Лапласа. Метод Фурье исследования начальной задачи для линейного однородного уравнения на устойчивость.

	4. Классификация линейных уравнений 2-го порядка. Физические задачи, приводящие к уравнениям эллиптического, гиперболического и параболического ~~вида~~.		4. Классификация линейных уравнений 2-го порядка. Физические задачи, приводящие к уравнениям эллиптического, гиперболического и параболического типа.

	5. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Внутренняя и внешняя краевые задачи Дирихле и Неймана. Метод разделения переменных. Решение уравнения Лапласа в классических областях: прямоугольник, круг, цилиндр, шар (в осесимметричном случае). Формулы Грина. Основные свойства гармонических функций (теорема о среднем, принцип максимума). Единственность и устойчивость решения внутренней задачи Дирихле.		5. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Внутренняя и внешняя краевые задачи Дирихле и Неймана. Метод разделения переменных. Решение уравнения Лапласа в классических областях: прямоугольник, круг, цилиндр, шар (в осесимметричном случае). Формулы Грина. Основные свойства гармонических функций (теорема о среднем, принцип максимума). Единственность и устойчивость решения внутренней задачи Дирихле.

Emaevskiy: /* IV. Дифференциальные уравнения в частных производных */

2021-06-01T09:03:55Z

IV. Дифференциальные уравнения в частных производных

← Предыдущая версия		Версия от 09:03, 1 июня 2021
Строка 72:		Строка 72:
	7. Уравнение теплопроводности.		7. Уравнение теплопроводности.

	'''Минимальные знания и навыки'''. Условия Фробениуса для системы уравнений в дифференциалах (Пфаффа). Метод понижения размерности. Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных I-го порядка. Приведение уравнения n-го порядка класса Ковалевской к системе уравнений I-го порядка в форме Коши - Ковалевской. Поиск решения начальной задачи в виде степенного ряда в окрестности точки. Метод Фурье исследования начальной задачи для линейного однородного уравнения на устойчивость. Классификация линейных уравнений 2-го порядка в окрестности точки. Решение уравнения Лапласа в классических областях.		'''Минимальные знания и навыки'''. Условия Фробениуса для системы уравнений в дифференциалах (Пфаффа). Метод понижения размерности. Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных I-го порядка. Приведение уравнения n-го порядка класса Ковалевской к системе уравнений I-го порядка в форме Коши - Ковалевской. Поиск решения начальной задачи в виде степенного ряда в окрестности точки. Метод Фурье исследования начальной задачи для линейного однородного уравнения на устойчивость. Классификация линейных уравнений 2-го порядка в окрестности точки. Решение краевых задач для уравнения Лапласа в классических областях.

	== Занятия ==		== Занятия ==

Emaevskiy: /* Экзамен */

2021-06-01T08:45:16Z

Экзамен

← Предыдущая версия		Версия от 08:45, 1 июня 2021
Строка 83:		Строка 83:

	На экзамен выносится материал курса в рамках минимальных знаний и навыков - смотрите выше.		На экзамен выносится материал курса в рамках минимальных знаний и навыков - смотрите выше.

			В процессе экзамена можно использовать любые материалы и компьютерные программы. Но решение задач оформляется на бумаге и должно быть выполнено на достаточном уровне подробности, позволяющем проследить и повторить все выполненные действия. Общие алгоритмические описания действий при этом должны сопровождаться конкретными выкладками.

Emaevskiy: /* IV. Дифференциальные уравнения в частных производных */

2021-06-01T08:31:11Z

IV. Дифференциальные уравнения в частных производных

← Предыдущая версия		Версия от 08:31, 1 июня 2021
Строка 71:		Строка 71:

	7. Уравнение теплопроводности.		7. Уравнение теплопроводности.

			'''Минимальные знания и навыки'''. Условия Фробениуса для системы уравнений в дифференциалах (Пфаффа). Метод понижения размерности. Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных I-го порядка. Приведение уравнения n-го порядка класса Ковалевской к системе уравнений I-го порядка в форме Коши - Ковалевской. Поиск решения начальной задачи в виде степенного ряда в окрестности точки. Метод Фурье исследования начальной задачи для линейного однородного уравнения на устойчивость. Классификация линейных уравнений 2-го порядка в окрестности точки. Решение уравнения Лапласа в классических областях.

	== Занятия ==		== Занятия ==

Emaevskiy: /* IV. Дифференциальные уравнения в частных производных */

2021-06-01T08:23:31Z

IV. Дифференциальные уравнения в частных производных

← Предыдущая версия		Версия от 08:23, 1 июня 2021
Строка 62:		Строка 62:
	2. Задача Коши для скалярного уравнения в частных производных I-го порядка. Линейное однородное уравнение в частных производных I-го порядка. Характеристики. Условие нехарактеристичности. Квазилинейное уравнение в частных производных I-го порядка. Нелинейное уравнение в частных производных I-го порядка.		2. Задача Коши для скалярного уравнения в частных производных I-го порядка. Линейное однородное уравнение в частных производных I-го порядка. Характеристики. Условие нехарактеристичности. Квазилинейное уравнение в частных производных I-го порядка. Нелинейное уравнение в частных производных I-го порядка.

	3. Система уравнений в частных производных I-го порядка в форме Коши - Ковалевской с аналитическими правыми частями и начальными данными. Теорема Коши - Ковалевской. Поиск решения в виде формального степенного ряда. Метод мажорантного ряда.		3. Система уравнений в частных производных I-го порядка в форме Коши - Ковалевской с аналитическими правыми частями и начальными данными. Теорема Коши - Ковалевской. Поиск решения в виде формального степенного ряда. Метод мажорантного ряда. Система уравнений I-го порядка в неявной форме с начальными данными на аналитической гиперповерхности. Условие локальной приводимости к форме Коши - Ковалевской. Характеристические направления и характеристические гиперповерхности. Контрпримеры: отсутствие аналитического решения уравнения теплопроводности; некорректность задачи Коши для уравнения Лапласа. Метод Фурье исследования начальной задачи для линейного однородного уравнения на устойчивость.

	4. Классификация линейных уравнений 2-го порядка		4. Классификация линейных уравнений 2-го порядка. Физические задачи, приводящие к уравнениям эллиптического, гиперболического и параболического вида.

	5. ~~Уравнения 2-го порядка эллиптического типа~~. ~~Гармонические функции~~. ~~Уравнение~~ Лапласа. ~~Принцип~~ максимума. ~~Задача~~ Дирихле~~. Задача Неймана~~.		5. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Внутренняя и внешняя краевые задачи Дирихле и Неймана. Метод разделения переменных. Решение уравнения Лапласа в классических областях: прямоугольник, круг, цилиндр, шар (в осесимметричном случае). Формулы Грина. Основные свойства гармонических функций (теорема о среднем, принцип максимума). Единственность и устойчивость решения внутренней задачи Дирихле.

	6. ~~Уравнение Лапласа в параллелепипеде, цилиндре, шаре. Разделение переменных~~.		6. Волновое уравнение.

	7. Уравнение ~~Пуассона~~		7. Уравнение теплопроводности.

	~~8. Уравнение 2-го порядка параболического типа~~.

	== Занятия ==		== Занятия ==

Emaevskiy в 15:48, 26 апреля 2021

2021-04-26T15:48:53Z

← Предыдущая версия		Версия от 15:48, 26 апреля 2021
Строка 73:		Строка 73:

	8. Уравнение 2-го порядка параболического типа.		8. Уравнение 2-го порядка параболического типа.

	~~===V. Основы вариационного исчисления и оптимального управления===~~

	== Занятия ==		== Занятия ==

Emaevskiy: /* IV. Дифференциальные уравнения в частных производных */

2021-04-26T15:47:48Z

IV. Дифференциальные уравнения в частных производных

← Предыдущая версия		Версия от 15:47, 26 апреля 2021
Строка 58:		Строка 58:
	===IV. Дифференциальные уравнения в частных производных===		===IV. Дифференциальные уравнения в частных производных===

	1. ~~Примеры~~		1. Задача Коши для системы уравнений в дифференциалах (уравнения Пфаффа). Сведение к линейной однородной системе уравнений в частных производных I-го порядка. Понятие вполне интегрируемой системы линейных дифференциальных форм. Задача о поиске интегрирующего множителя системы дифференциальных форм. Условия Фробениуса. Метод понижения размерности.

	2. Линейное уравнение 1-го порядка		2. Задача Коши для скалярного уравнения в частных производных I-го порядка. Линейное однородное уравнение в частных производных I-го порядка. Характеристики. Условие нехарактеристичности. Квазилинейное уравнение в частных производных I-го порядка. Нелинейное уравнение в частных производных I-го порядка.

	3. ~~Задача~~ Коши. Теорема Коши - Ковалевской. Метод мажорантного ряда		3. Система уравнений в частных производных I-го порядка в форме Коши - Ковалевской с аналитическими правыми частями и начальными данными. Теорема Коши - Ковалевской. Поиск решения в виде формального степенного ряда. Метод мажорантного ряда.

	4. Классификация линейных уравнений 2-го порядка		4. Классификация линейных уравнений 2-го порядка
Строка 72:		Строка 72:
	7. Уравнение Пуассона		7. Уравнение Пуассона

	8. Уравнение 2-го порядка параболического типа.		8. Уравнение 2-го порядка параболического типа.

	===V. Основы вариационного исчисления и оптимального управления===		===V. Основы вариационного исчисления и оптимального управления===

Pokld: Грёбнер через "ё".

2021-04-19T17:04:47Z

Грёбнер через "ё".

← Предыдущая версия		Версия от 17:04, 19 апреля 2021
Строка 34:		Строка 34:
	# Методы численного решения системы нелинейных уравнений. Деление отрезка пополам. Метод Нелдера - Мида. Метод простых итераций. Метод Ньютона (касательных) и метод одной касательной.		# Методы численного решения системы нелинейных уравнений. Деление отрезка пополам. Метод Нелдера - Мида. Метод простых итераций. Метод Ньютона (касательных) и метод одной касательной.

	'''Минимальные знания и навыки'''. Алгоритм множественного деления многочленов. Базис ~~Гребнера~~ и алгоритм Бухбергера. Результант многочленов от одной переменной. Исключение неизвестных из системы полиномиальных уравнений (любой метод). Разложение неявной функции в окрестности простой точки (любой метод). Диаграмма Ньютона для многочлена. Разложение неявной функции в окрестности точки ветвления. Алгоритмы метода Гаусса с выбором главного элемента и итерационного метода Зейделя. Алгоритм метода Ньютона (касательных).		'''Минимальные знания и навыки'''. Алгоритм множественного деления многочленов. Базис Грёбнера и алгоритм Бухбергера. Результант многочленов от одной переменной. Исключение неизвестных из системы полиномиальных уравнений (любой метод). Разложение неявной функции в окрестности простой точки (любой метод). Диаграмма Ньютона для многочлена. Разложение неявной функции в окрестности точки ветвления. Алгоритмы метода Гаусса с выбором главного элемента и итерационного метода Зейделя. Алгоритм метода Ньютона (касательных).

	===III. Обыкновенные дифференциальные уравнения===		===III. Обыкновенные дифференциальные уравнения===