Алгебра КНАД 2023/2024

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БКНАД221	БКНАД222
Лектор	Дима Трушин
Семинарист	Галина Калеева
Ассистент	Егор Рогожкин	Данила Кульпанович

Контакты

	Преподаватель/Ассистент	Как связаться	Когда
1	Дима Трушин	telegram	Напишите мне и мы договоримся о времени проведения консультации. Для тех кто в Москве, очные консультации по средам с 17:00 до 20:00 в S812.
2	Галина Калеева	чат	Консультации по вторникам в 18.00. Перед консультацией напишите в чат, что собираетесь прийти.
3	Егор Рогожкин	telegram
4	Данила Кульпанович	telegram

Формы контроля знаний студентов

• Еженедельные домашние задания

• Письменная контрольная работа по задачам

• Устный экзамен по теории

Порядок формирования итоговой оценки

Итоговая оценка считается по формуле

F = 0,3 * H + 0,3 T + 0,4 E

где H -- оценка за еженедельные домашние задания, T -- оценка за письменную контрольную, E -- оценка за устный экзамен.

Только финальная оценка F округляется. Правила округления арифметические.

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (07.09.2023). Бинарные операции. Ассоциативность, нейтральный элемент, обратный элемент, коммутативность. Определение группы. Аддитивная и мультипликативная нотации. Подгруппы и циклические подгруппы. Порядок элемента.

Лекция 2 (14.09.2023). Классификация циклических групп. Описание подгрупп в группе Z. Описание подгрупп в группе Z_n. Левые и правые смежные классы. Нормальные подгруппы. Теорема Лагранжа и ее следствия.

Лекция 3 (21.09.2023). Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Ядро и обрз гомоморфизма их свойства. Произведение групп. Конечные абелевы группы. Китайская теорема об остатках (формулировка). Структура конечных абелевых групп.

Лекция 4 (28.09.2023). Доказательство Китайской теоремы об остатках. Вторая версия Китайской теоремы об остатках. Структура Z_{p^n}^*. Криптография. Быстрое возведение в квадрат. Проблема дискретного логарифмирования. Система Диффи-Хелмана и Эль-Гамаля.

Лекция 5 (05.10.2023). Кольца, коммутативные кольца, поля, подкольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты, идемпотенты. Идеалы. Описание идеалов в Z и Z_n. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Китайская теорема об остатках для колец. Ядро и образ гомоморфизма колец и их свойства.

Лекция 6 (12.10.2023). Многочлены от одной переменной. Алгоритм Евклида деления с остатком, наибольший общий делитель, идеалы в F[x]. Неприводимые многочлены и однозначное разложение на множители в F[x]. Кольца полиномиальных остатков, Китайская теорема об остатках для колец полиномиальных остатков.

Лекция 7 (19.10.2022). Доказательство Китайской теоремы для колец полиномиальных остатков. Характеристика поля. Расширение полей, расширение корнем. Конечные поля: количество элементов в конечном поле, цикличность мультипликативной группы конечного поля, классификация конечных полей (без доказательства). Конструкция построения конечных полей. Случайные генераторы Галуа. Потоковое шифрование.

Лекция 8 (02.11.2023). Коды с исправлением ошибок. Расстояние Хэмминга, минимальное расстояние кода, количество исправляемых ошибок. Линейные коды, вес элемента, проверочная матрица, количество исправляемых ошибок в терминах проверочной матрицы. Коды Хэмминга. Неравенство Синглтона. Коды Рида-Соломона.

Лекция 9 (09.11.2023). Многочлены от нескольких переменных. Лексикографический порядок, стабилизация убывающих цепочек мономов. Элементарная редукция, редукция относительно множества многочленов, остатки, базис Грёбнера. Остановка процесса редукции.

Лекция 10 (16.11.2023). S-многочлен и критерий Бухбергера. Идеалы в кольце многочленов от нескольких переменных, алгоритм Бухбергера для построения базиса Грёбнера идеала. Проблема принадлежности идеалу и исключения переменных. Техническая лемма.

Лекция 11 (23.11.2023). Diamond Lemma. Доказательство критерия Бухбергера. Лемма Диксона и остановка алгоритма Бухбергера.

Лекция 12 (30.11.2023). Отношения эквивалентности и фактормножества. Конгруэнция на группе. Построение структуры группы на классах эквивалентности. Описание конгруэнтностей в терминах нормальных подгрупп.

Лекция 13 (07.12.2023). Две теоремы о гомоморфизме. Базис в абелевых группах, свободные абелевы группы с конечным базисом и их описание. Связь с конечными абелевыми группами.

Домашнее задание

Каждый листок содержит задачи с семинара и соответствующее ДЗ. Дедлайн сдачи домашнего задания - начало следующего семинара. Дедлайн мягкий. При опоздании на t часов, оценка умножается на 0.7 ^{t / 24}.

• Домашнее задание 1

• Домашнее задание 2

• Домашнее задание 3

• Домашнее задание 4

• Домашнее задание 5

• Домашнее задание 6 Дедлайн 9:30 20-го октября (сдвигается на сутки).

• Домашнее задание 7

• Домашнее задание 8 Дедлайн 9:30 10-го ноября (сдвигается на сутки).

• Домашнее задание 9 Дедлайн 9:30 17-го ноября (сдвигается на сутки).

• Домашнее задание 10

• Домашнее задание 11

• Домашнее Задание 12

• Домашнее Задание 13 Последнее!

Контрольная работа

• Вариант контрольной.

Экзамен

Дата экзамена -- 21 декабря. Все подробности в файле с правилами проведения.

• Список определений и формулировок.

• Список вопросов на доказательства.

• Правила проведения экзамена со всеми ссылками и информацией.

Ведомости текущего контроля

• Домашние задания

221	222

• Результаты Контрольной работы

221	222

• Итоговая ведомость

221	222

Ссылки

• Конспекты лекций.

• Виртуальные доски с лекций.

• Конспекты семинаров.

• Видеозаписи.

Литература

Основная

• Курс алгебры, Винберг, Э. Б.

• Заметки по теории кодирования, Ромащенко, А. Е.

• Введение в алгебру: основы алгебры: учебник для вузов, Кострикин, А. И.

• Идеалы, многообразия и алгоритмы. Кокс, Литтл, О'Ши.

Дополнительная

• Практическая криптография, Фергюсон, Нильс

• Базисы Гребнера и системы алгебраических уравнений, Аржанцев, И. В.

• Сборник задач по алгебре, учебник, под ред. А. И. Кострикина, 3-е изд., испр. и доп.