Алгебра на ПМИ 2020/2021 (пилотный поток)

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ201	БПМИ202	БПМИ204
Лектор	Иван Владимирович Аржанцев
Семинарист	Сергей Александрович Гайфуллин	Галина Анатольевна Калеева	Иван Владимирович Аржанцев
Ассистент	Михаил Петров	Илья Толстухин	Марина Каминская

Расписание консультаций

	Преподаватель/ассистент	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница	суббота
1	Иван Владимирович Аржанцев	17.40-19.00 На консультации необходимо предварительно (не позднее чем за три часа до встречи) записаться у секретаря Зыряновой Екатерины zoom Идентификатор конференции: 982 1357 4254 Код доступа: 559110				17.40-19.00 На консультации необходимо предварительно (не позднее чем за три часа до встречи) записаться у секретаря Зыряновой Екатерины zoom Идентификатор конференции: 982 1357 4254 Код доступа: 559110
2	Сергей Александрович Гайфуллин		17:30-18:30 Zoom: [1] Telegram @sgayf
3	Галина Анатольевна Калеева			Среда, 16.20-17.40. Офлайн: S 913 Онлайн: Zoom Passcode: algebra Для оперативной связи пишите в telegram
4	Михаил Петров	16:20–17:40 Оперативная связь: TG @esquerte
5	Илья Толстухин		14:40 - 16:00 По любым вопросам пишите в telegram
6	Марина Каминская				10:00-11:00 Zoom Код доступа 938513 По любым вопросам пишите в телеграм @mykaminskaya

Порядок формирования оценок

Итоговая оценка выражается следующим образом:

O_{итоговая} = 0,3 * О_дз + 0,2 * О_к/р + 0,5 * О_экз.

Округление производится для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

Краткое содержание лекций

В этом разделе выложены конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.

• Лекция 1 (06.04.2021) Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия.

• Лекция 2 (13.04.2021) Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.

• Лекция 3 (20.04.2021) Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.

• Лекция 4 (27.04.2021) Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля. Протоколы с нулевым разглашением. Задача разделения секрета.

• Лекция 5 (11.05.2021) Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Теорема Кэли. Классы сопряжённости.

• Лекция 6 (18.05.2021) Кольца. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Центр алгебры матриц над полем. Простота алгебры матриц над полем. Многочлены от одной переменной над полем: наибольший общий делитель, неприводимые многочлены, однозначность разложения на множители и описание идеалов.

• Лекция 7 (25.05.2021) Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Теорема Виета. Дискриминант многочлена.

• Лекция 8 (1.06.2021) Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальные многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность.

• Лекция 9 (8.06.2021) Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырех элементов. Цикличность мультипликативной группы. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.

• Лекция 10 (15.06.2021) Основная задача теории кодирования. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие ошибки. Характеристики кода. Неравенство Синглтона. Совершенные коды. Линейные коды. Вес Хэмминга. Код Хэмминга [7, 4, 3]_2. Коды Рида-Соломона. Циклические коды и главные идеалы. Алгоритм декодирования по лидеру смежного класса.

Листки с задачами

Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание. Дедлайн по N-ому домашнему заданию: начало N+1-го семинара.

• Листок 1

• Листок 2

• Листок 3

• Листок 4 Дедлайн сдачи домашнего задания для группы 202: четверг, 20 мая, 14.40.

• Листок 5 Дедлайн сдачи домашнего задания для группы 202: вторник, 25 мая, 14.40.

• Листок 6

• Листок 7

• Листок 8

• Листок 9 Дедлайн сдачи домашнего задания для группы 202: понедельник, 21 июня, 14.40.

• Листок 10

Контрольная работа

Контрольная работа состоится 19 июня с 11.10 до 12.30.

Работа проводится письменно и включает в себя 6 задач. За решение каждой из задач можно получить 0, 1 или 2 балла. На решение задач отводится 1 час 20 минут. На контрольной можно использовать любые рукописные и печатные материалы, а также непрограммируемые калькуляторы. Использование других электронных устройств запрещено.

Экзамен

Экзамен состоится 29 июня в 10.00.

Экзамен проводится в устной форме, в аудитории. Каждый студент получает два вопроса, один из первой части курса и второй из второй. На подготовку к ответу отводится 40 минут. После ответа на вопросы преподаватель беседует со студентом по программе курса и может предложить дополнительные теоретические задачи. Оценка выставляется по 10-балльной системе. На экзамене можно использовать любые рукописные и печатные материалы. Использование электронных устройств запрещено.

Программа экзамена

Ведомости текущего контроля

201	202	204

Куда сдавать домашние задания

• Группа 201 — инвайт v2vth2l
• Группа 202 — iatolstukhin@edu.hse.ru
• Группа 204 — инвайт p6fvkxv

Литература

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.