Алгебра 2014/2015

Цель этого небольшого курса — познакомить слушателей с основными структурами современной алгебры. Первые пять лекций посвящены теории групп, последние пять — кольцам и полям. Мы доказали базовые факты об этих структурах и продемонстрировали их возможные приложения. Сдавшие этот курс могут, среди прочего, перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные группы из 100 элементов, найти сумму кубов корней данного многочлена, доказать, что многочлен от многих переменных однозначно раскладывается на простые множители, и объяснить, почему не существует поля из 6 элементов.

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	101	102	103	104	105	106	107	108
Лектор	Иван Владимирович Аржанцев				Роман Сергеевич Авдеев
Семинарист	Роман Сергеевич Авдеев	Иван Владимирович Аржанцев		Полина Юрьевна Котенкова		Роман Сергеевич Авдеев		Андрей Александрович Кустарёв
Ассистент	Виктор Табаков	Андрей Васильев	Ярослав Хроменков	Роман Кизилов	Максим Каледин	Екатерина Соколова	Фёдор Коган	Дмитрий Петров

Расписание консультаций

	Преподаватель/ассистент	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница
1	Иван Владимирович Аржанцев		17:00–18:30, каб. 603
2	Роман Сергеевич Авдеев		18:10–18:50, ауд. 313		13:40–14:20, ауд. 313
3	Полина Юрьевна Котенкова			18:10–19:30, ауд. 313
4	Андрей Александрович Кустарёв			16:40–17:40, ауд. 313
5	Виктор Табаков		15:10–16:30, ауд. 312
6	Андрей Васильев					18:10–19:30, ауд. 511
7	Ярослав Хроменков				12:10–13:30, ауд. 313
8	Роман Кизилов				13:40–15:00, ауд. 314
9	Максим Каледин				13:40–15:00, ауд. 511
10	Екатерина Соколова				15:10–16:30, ауд. 314
11	Фёдор Коган	16:40–18:00, ауд. 314
12	Дмитрий Петров					15:10–16:30, ауд. 511

Формы контроля знаний студентов

Домашняя работа

Домашние задания условно разделены на две части, каждая из которых содержит по 20 задач. Первая часть (по теории групп) состоит из 5 блоков по 4 задачи в каждом, вторая часть (по кольцам и полям) состоит из 4 блоков по 5 задач в каждом. Домашние задания выдавались на каждом семинаре, по одному блоку задач за раз.

Важно: при обнаружении двух и более одинаковых решений в работах разных студентов результаты аннулировались независимо от того, кто у кого списал.

Результаты выполнения первой части домашних заданий были отражены в оценке O_дз1, вычисляемой по формуле

O_дз1 = 0,5 * (число решённых задач из первой части).

Аналогично, работа над второй частью домашних заданий выливалась в оценку O_дз2:

O_дз2 = 0,5 * (число решённых задач из второй части).

Контрольная работа

Письменная контрольная работа была проведена одновременно для всех групп 13 июня с 13:40 до 15:00 (1-й поток — ауд. 509, 2-й поток — ауд. 622). Работа состояла из шести задач стоимостью по 2 балла каждая.

На контрольной можно было пользоваться любыми материалами на бумажных носителях. Использование электронных устройств (кроме тех, у которых единственная функция — калькулятор) не допускалось.

Задачи с контрольной

Комментарии к оценкам за контрольную

Задача 1. Как правило, 1 балл выставлялся в том случае, когда было правильно найдено число элементов нужного порядка в группе.

Задача 2. Если метод верный и решение доведено до конца, но на каком-то шаге процесса допущена арифметическая ошибка (или ошибка по невнимательности), то это оценивалось в 1 балл даже в случае неправильного ответа.

Задача 3. Как правило, 1 балл выставлялся в случае, когда решение не доведено до конца, но есть существенные продвижения.

Задача 4. Из-за большой сложности вычислений полные решения этой задачи были оценены в 3 балла. Общий критерий: число баллов за эту задачу равно числу правильно вычисленных коэффициентов результирующего многочлена.

Задача 5. Если в работе вычислен только наибольший общий делитель данных многочленов, то это оценивалось в 1 балл.

Задача 6. Неполные решения, в которых удалось избавиться от иррациональности в знаменателе, оценивались в 1 балл.

Показ работ контрольной прошёл 15 июня с 15:10 до 16:30 в ауд. 622.

Типы задач на контрольной работе

• Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45]
• Факторгруппы свободных абелевых групп [60.52, 60.53, 60.54]
• Орбиты и стабилизаторы для действий групп на множествах [57.1, 57.2, 57.3, 57.9]
• Симметрические многочлены и теорема Виета [31.2, 31.3. 31.4, 31.9, 31.10, 31.25, 31.26]
• Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.5, 25.7]
• Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, 67.13]

Для каждого типа в скобках указаны номера задач из Сборника задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина (М.: МЦНМО, 2009), которые рекомендовалось решать для тренировки.

Экзамен

Экзамен был устный. Каждый билет включал в себя по два вопроса из программы курса.

Программа курса

Расписание экзаменов

Группа	101	102	103	104	105	106	107	108
Дата	19 июня				20 июня
Время	10:30	12:10	13:40	15:10	10:30	12:10	13:40	15:10
Аудитория	622

Порядок формирования оценок

Накопленная оценка вычислялась по следующей формуле:

O_{накопленная} = 0,3 * O_дз1 + 0,3 * O_дз2 + 0,4 * O_к/р,

где O_дз1 — оценка за первое домашнее задание, O_дз2 — оценка за второе домашнее задание, O_к/р — оценка за контрольную работу.

Итоговая оценка выражалась через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:

O_{итоговая} = 0,5 * O_{накопленная} + 0,5 * О_экз.

Округление производилось только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

Конспекты лекций

В этом разделе выложены подготовленные И.В. Аржанцевым (и местами дополненные Р.С. Авдеевым) конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.

Лекция 1 (2.04.2015). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия

Лекция 2 (9.04.2015). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы

Лекция 3 (16.04.2015). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду

Лекция 4 (23.04.2015). Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы

Лекция 5 (30.04.2015). Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Теорема Кэли

Лекция 6 (14.05.2015). Кольца. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Центр алгебры матриц над полем. Простота алгебры матриц над полем

Лекция 7 (21.05.2015). Евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов от многих переменных

Лекция 8 (28.05.2015). Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Теорема Виета. Дискриминант многочлена

Лекция 9 (4.06.2015). Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность

Лекция 10 (11.06.2015). Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырёх элементов. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.

Листки с задачами

Задачи к лекции 1

Задачи к лекции 2

Задачи к лекции 3

Задачи к лекции 4

Задачи к лекции 5

Задачи к лекции 6

Задачи к лекции 7

Задачи к лекции 8

Задачи к лекции 9

Задачи к лекции 10

Ведомости текущего контроля

101

102

103

104

105

106

107

108

Литература

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.