Математическое моделирование 22

О курсе

Данный курс Математическое моделирование читается во 2-ом семестре 2021/2022 учебного года на Факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ для специализации Математическая инженерия.

Курс состоит из следующих перемежающихся друг с другом разделов:

• собственно модели (вариационное исчисление, дифференциальная геометрия, физика),
• точные методы исследования моделей (алгебраические, аналитические),
• численные методы исследования моделей.

Рассчитан на 1 семестр (2 модуля).

Область знаний, которую можно было бы назвать математическим моделированием, изучает как сами математические модели, так и общие закономерности их построения и методы анализа.

Как известно, любая наука в процессе своего становления проходит путь от классификации изучаемых объектов (примеры таких классификаций мы можем видеть в астрономии, биологии, химии) к их математическому описанию. По мнению А.Н. Уайтхеда: всякая наука по мере развития и совершенствования ее методов становится математической в своих основных понятиях.

Наиболее долгий и плодотворный путь в этом направлении прошла физика, влиянием которой проникнуты многие разделы математики. Можно даже сказать, что математика и физика развивались параллельно, взаимно обогащая друг друга идеями и методами. Поэтому выбор физики как плацдарма для курса математического моделирования вполне закономерен. С другой стороны, конечно, математическое моделирование не есть физика. Мы берем из физики лишь сами модели, оставляя физикам мотивировки и интерпретации.

План курса

В рамках семестрового курса мы вряд ли имеем возможность вникать в изучаемые темы слишком глубоко. Многие из представленных ниже тем в отдельности могли бы претендовать на семестровый курс, или даже более. Наш курс следует рассматривать как не более, чем знакомство с некоторыми задачами и методами математического моделирования. Приведенные в каждой теме литературные ссылки могут быть полезны для более детального изучения (эти книги рекомендуется по крайней мере бегло просматривать, чтобы составить себе общее представление). Дополнительные, более конкретные ссылки приведены в списках задач.

0. Введение в математическое моделирование

Задачи

Занятия 1,2 (17.01):

0.1 Общее представление о математической модели.

0.2 Корректность по Адамару.

0.3 Математическая модель как система уравнений.

0.4 Пример алгебраического уравнения: уравнение Кеплера.

Занятия 3,4 (24.01):

0.5 Примеры моделей, связанных с ОДУ

0.6 Дифференциальные операции векторного анализа

Занятие 5 (31.01):

0.7 Примеры моделей, связанных с УрЧП

0.8 Примеры моделей, некорректных по Адамару

Литература (вообще по предмету математическое моделирование):

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. - Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2001

2. Зарубин В.С. - Математическое моделирование в технике. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2003

3. Амелькин В.В., Садовский А.П. - Математические модели и дифференциальные уравнения. Минск: Выш. школа, 1982

1. Вариационное исчисление

Задачи

Занятие 6 (31.01):

1.1 Основные нормированные пространства

1.2 Понятие непрерывного функционала

Занятия 7,8 (07.02):

1.3 Механическая система, функция Лагранжа и функционал действия

1.4 Типы вариационных задач

1.5 Дифференциал (вариация) функционала и необходимое условие экстремума

Занятия 9,10 (14.02):

1.6 Основные леммы вариационного исчисления

1.7 Задача с закрепленной границей

Занятия 11,12 (21.02):

1.8 Задача со свободной границей

1.9 Задача с подвижной границей, условие трансверсальности

1.10 Задача на условный экстремум

Занятия 13,14 (28.02):

1.11 Уравнения Гамильтона

1.12 Теорема Нётер и законы сохранения

1.13 Уравнение Гамильтона - Якоби

Литература:

1. Гельфанд И.М., Фомин С.В. - Вариационное исчисление. М.: Физматлит, 1961

2. Смирнов В.И. - Курс высшей математики. Том 4 часть 1. М.: Наука, 1974. Глава 2

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Курс теоретической физики. Том 1. Механика.

4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. - Современная геометрия. М.: URSS, 2013. Том 1. Главы 5, 6

2. Дифференциальная геометрия

[ Задачи]

Занятия 15,16 (07.03):

2.1 Понятие кривой. Примеры кривых

2.2 Кривизны, сопровождающий базис и уравнения Френе

Занятия 17,18 (14.03):

2.3 Понятие поверхности. Примеры поверхностей

2.4 Первая квадратичная форма. Изометричность

Занятия 19,20 (04.04):

2.5 Вторая квадратичная форма. Главные кривизны

2.6 Средняя кривизна и полная кривизна. Сферическое отображение

Занятия 21,22 (11.04):

2.7 Деривационные формулы Гаусса - Вейнгартена. Символы Кристоффеля

2.8 Уравнения Гаусса и Петерсона - Кодацци

Занятие 23,24 (18.04):

2.9 Ковариантная производная, параллельный перенос и геодезические линии

Литература:

1. Шилов Г.Е. - Математический анализ. Функции одного переменного. Часть 3. М.: 1970. Глава 16

2. Шилов Г.Е. - Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. Части 1-2. М.: 1972. Глава 5.

3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. - Современная геометрия. М.: URSS, 2013. Том 1. Главы 1, 2

4. Алексеевский Д.В., Виноградов А.М., Лычагин В.В. - Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии // Итоги науки и техн. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, том 28, Геометрия-1. М.: ВИНИТИ, 1988. Главы 1,2

5. Савелов А.А. - Плоские кривые. М.: ЛИБРОКОМ, 2014

6. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. - Аналитические поверхности. М.: Наука, 2006

3. Задача Коши для УрЧП

[ Задачи]

Занятие 25,26 (25.04):

3.1 Система уравнений в дифференциалах и сопряженная система УрЧП

3.2 Теорема Фробениуса и сведение к ОДУ

Занятия 27,28 (16.05):

3.3 Линейное однородное УрЧП I-го порядка и характеристики

3.4 Нелинейное УрЧП I-го порядка и характеристические полосы

Занятия 29,30 (23.05):

3.5 Уравнения и системы уравнений класса Ковалевской. Сведение к системе I-го порядка

3.6 Задача Коши для системы уравнений класса Ковалевской. Теорема Коши - Ковалевской

Занятия 31,32 (30.05):

3.7 Линейные системы класса Ковалевской

3.8 Метод Римана. Характеристики и римановы инварианты

Занятия 33,34 (06.06):

3.9 Метод Фурье. Разделение переменных и исследование устойчивости

Литература:

1. Хартман Ф. - Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. Глава 6

2. Курант Р. - Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. Глава 1 §7, глава 2

3. Егоров Ю.В., Шубин М.А. - Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, т.30, Дифференциальные уравнения с частными производными – 1, М.: ВИНИТИ, 1988, Глава 1

4. Рашевский П.К. - Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: УРСС, 2012

5. Фиников С.П. - Метод внешних форм Картана. М.-Л.: ОГИЗ, 1948.

Занятия

Занятия проводятся в смешанном формате, без разделения материала на теорию / практику. Теоретический материал сопровождается практическим решением задач как аналитически (вручную или в системе компьютерной алгебры), так и численно (например, в питоне).

Записи занятий выкладываются в [ плейлист]

Формы контроля

По каждой теме (кроме Введения) выдается домашнее задание, выполнение которого оценивается.

Текущие оценки за домашние работы выставляются в [ гугл-таблицу]. Все домашние работы учитываются с одинаковым весом и складываются в среднюю оценку (Д).

В конце семестра предусмотрен экзамен (Э), имеющий формат большой контрольной работы по всему материалу курса.

Итоговая оценка = 0.7 Д + 0.3 Э