Алгебра на ПМИ 2025/2026 (пилотный поток): различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
| (не показано 28 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 60: | Строка 60: | ||
* [https://drive.google.com/file/d/1Kv6eu9dEaCWkW17MNyPZXGK4tvCU2sqg/view?usp=sharing Лекция 1] (03.04.2026) Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы матриц и группы подстановок. Подгруппы. Классификация подгрупп в группе (Z,+). Циклические подгруппы и порядок элемента. Циклические группы. | * [https://drive.google.com/file/d/1Kv6eu9dEaCWkW17MNyPZXGK4tvCU2sqg/view?usp=sharing Лекция 1] (03.04.2026) Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы матриц и группы подстановок. Подгруппы. Классификация подгрупп в группе (Z,+). Циклические подгруппы и порядок элемента. Циклические группы. | ||
* [https://drive.google.com/file/d/1E-p2_Nh_UOs7wWfLgQ_zru_rmOZ8JENG/view?usp=sharing Лекция 2] (07.04.2026) Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия. Нормальные подгруппы. Факторгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы. Классификация циклических групп. | |||
* [https://drive.google.com/file/d/189oS0baZY6h0YZxpeNTQ8Xw_4RiplSLi/view?usp=sharing Лекция 3] (10.04.2026) Ядро и образ гомоморфизма. Теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы. | |||
* [https://drive.google.com/file/d/1g0I4Q2cfquDqWDcShSzysb1PHDOuAqTs/view?usp=sharing Лекция 4] (14.04.2026) Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Ранг свободной абелевой группы. Характеризация базисов. Подгруппы свободных абелевых групп. | |||
* [https://drive.google.com/file/d/1Zl1LK1Kcdz5fibpJOCmfH3dMFOAps-k8/view?usp=sharing Лекция 5] (15.04.2026) Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду. Факторгруппа решетки по подрешетке. Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности. | |||
* [https://drive.google.com/file/d/1DlKnzWszUX7akXO8jsw25R61KhiC_13D/view?usp=sharing Лекция 6] (28.04.2026) Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные, свободные и эффективные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Изоморфизм действий. Теорема Кэли. | |||
* [https://drive.google.com/file/d/14GkRZaMRKTVe6Gna0IGUwv3jUwTHlFBz/view?usp=sharing Лекция 7] (30.04.2026) Кольца. Примеры колец. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы. Главные идеалы. Факторкольца и теорема о гомоморфизме для колец. | |||
* [https://drive.google.com/file/d/11_mxDULX19DyorYhfhfIQ-GnNRJ9A3eh/view?usp=sharing Лекция 8] (19.05.2026) Центр и простота алгебры матриц над полем. Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Лемма о старшем члене. | |||
* [https://drive.google.com/file/d/1QcZqhHHjSp58Znbs6OPu_XGS18XQmTvj/view?usp=sharing Лекция 9] (22.05.2026) Доказательство основной теоремы о симметрических многочленах. Теорема Виета. Дискриминант многочлена. Системы полиномиальных уравнений. Случай систем линейных уравнений. Идеал системы и эквивалентность систем. Формулировка теоремы Гильберта о базисе и леммы Диксона. | |||
* [https://drive.google.com/file/d/15aVlZbx-Ep2PuwBQKSjyfazSvq4ZsdLR/view?usp=sharing Лекция 10] (26.05.2026) Задача о принадлежности многочлена идеалу. Алгоритм деления. Оператор редукции. Нормальная форма многочлена. Базис Грёбнера идеала. S-многочлены и формулировка критерия Бухбергера. | |||
* [https://drive.google.com/file/d/1RCCdVh9iAT-ByhvBBi7f0Ne0Hd4Isarn/view?usp=sharing Лекция 11] (29.05.2026) Доказательство критерия Бухбергера. Алгоритм Бухбергера. Минимальный базис Грёбнера, его существование и единственность. Задачи о принадлежности идеалу и совпадении двух идеалов. | |||
* [https://drive.google.com/file/d/1Ca-WLPLD_ZldJBbxsZsmfo0fFIkRuFoJ/view?usp=sharing Лекция 12] (02.06.2026) Радикал идеала. Теорема Гильберта о нулях. Задачи о наличии решения, принадлежности радикалу, эквивалентности систем и конечности числа решений. | |||
* [https://drive.google.com/file/d/1GT86kaIYcAetjbYvnro-8mlgiB2XE9Is/view?usp=sharing Лекция 13] (05.06.2026) Доказательства леммы Диксона и теоремы Гильберта о базисе. Нетеровы кольца и условие обрыва возрастающих цепочек идеалов. Теорема Гильберта о нулях и ее слабая форма. | |||
* [https://drive.google.com/file/d/1_hx50ocCsTFG2QmxdRanA-bOQPYX2rF7/view?usp=sharing Лекция 14] (09.06.2026) Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность. | |||
* [https://drive.google.com/file/d/1wt05GUR3yHxwm8mdm3V6Ch-ca9WFZt9A/view?usp=sharing Лекция 15] (16.06.2026) Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырех элементов. Цикличность мультипликативной группы. Реализация конечного поля как факторкольца. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля. | |||
= Листки с задачами = | = Листки с задачами = | ||
| Строка 70: | Строка 98: | ||
* [https://drive.google.com/file/d/14iLvjojdESWr0Uij2Q8YoJ602zag1YSi/view?usp=sharing '''Листок 1'''] | * [https://drive.google.com/file/d/14iLvjojdESWr0Uij2Q8YoJ602zag1YSi/view?usp=sharing '''Листок 1'''] | ||
* [https://drive.google.com/file/d/1E854MoZnO0ita01R9AfA6rEXUQx7G5gw/view?usp=sharing '''Листок 2'''] | |||
* [https://drive.google.com/file/d/1-aPuKehNzaBkY9zpCYC4d_u_F9B5frlY/view?usp=sharing '''Листок 3'''] | |||
* [https://drive.google.com/file/d/1LbhuVi9_aBLXhUgr0X8HMhvf7ESbmBlp/view?usp=sharing '''Листок 4'''] | |||
* [https://drive.google.com/file/d/1TJLtzqMLqULkstzmtBOJhUuFhrWEbWj8/view?usp=sharing '''Листок 5'''] | |||
* [https://drive.google.com/file/d/1yUINheuvj5u-qAaeonwPek4uOgqy_Lh2/view?usp=sharing '''Листок 6'''] | |||
* [https://drive.google.com/file/d/1YFpToAPQKJ0hbxNdsKeUcr0gC7Ig1zwu/view?usp=sharing '''Листок 7'''] | |||
* [https://drive.google.com/file/d/1O0K8a8THflTt--eUoMiqT2f-sC11Y1aj/view?usp=sharing '''Листок 8'''] | |||
* [https://drive.google.com/file/d/1-iGSXgYt5dEdEA5u_jiUXG27BSkXrXk6/view?usp=sharing '''Листок 9'''] | |||
* [https://drive.google.com/file/d/1O0KHdUAWDaGBO7kG0Bk1Ck6dZuKzHm8P/view?usp=sharing '''Листок 10'''] | |||
= Лабораторные = | = Лабораторные = | ||
Планируется две лабораторные работы: в конце апреля и в начале июня. | Планируется две лабораторные работы: в конце апреля и в начале июня. | ||
Лабораторная 1: задание и вся информация доступны по [https://drive.google.com/drive/folders/10wVKLC8WMNivzrIR-0G_io9WgDU8jbDt?usp=sharing ссылке]. Дедлайн 20 мая 23:59. | |||
Лабораторная 2: задание и вся информация доступны по [https://drive.google.com/drive/folders/1Op7msn1NPIQFVQl2c7nSeXRey4w45mYw?usp=sharing ссылке]. Дедлайн 18 июня 23:59. | |||
Сдача после дедлайна возможна в первые сутки со штрафом 0,5. Далее работы не принимаются. | |||
Итоговая оценка за лабораторные равна среднему арифметическому оценок за две лабораторные. | Итоговая оценка за лабораторные равна среднему арифметическому оценок за две лабораторные. | ||
| Строка 79: | Строка 131: | ||
= Контрольная работа = | = Контрольная работа = | ||
Контрольная работа запланирована на | Контрольная работа запланирована на 10 июня в 10:30. Работа проводится письменно и включает в себя 6 задач. На решение задач отводится 120 минут. Во время контрольной запрещено использование средств связи и материалов. | ||
= Экзамен = | = Экзамен = | ||
| Строка 85: | Строка 137: | ||
Экзамен проводится в устной форме. Каждый студент получает билет, состоящий из нескольких вопросов по программе курса. После ответа на вопросы преподаватель может задать дополнительные вопросы по программе курса и предложить теоретические задачи. | Экзамен проводится в устной форме. Каждый студент получает билет, состоящий из нескольких вопросов по программе курса. После ответа на вопросы преподаватель может задать дополнительные вопросы по программе курса и предложить теоретические задачи. | ||
[Регламент экзамена] | Дата: 22 июня. | ||
[https://docs.google.com/document/d/1tRFsyUo0YTa7DGtzpl9DDiJSYZnI5rwtDY1zlArzr8s/edit?tab=t.0 Регламент экзамена] | |||
[Программа курса] | [https://drive.google.com/file/d/1JK--KCV_qYMbFXPekDGBHDTz63LbcTUc/view?usp=sharing Программа курса] | ||
[Список вопросов] | [https://drive.google.com/file/d/1O1fJt7lXUAyvtzzuj8DLMjOE_7cZW_As/view?usp=sharing Список вопросов] | ||
= Ведомости текущего контроля = | = Ведомости текущего контроля = | ||
| Строка 95: | Строка 149: | ||
|- | |- | ||
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=816668604#gid=816668604 255] !! | ! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1196896000#gid=1196896000 251] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1418802091#gid=1418802091 252] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1697515667#gid=1697515667 253] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=1370470393#gid=1370470393 254] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1otn1VdiWcUYn8GbWdG6PnkBiQW8ALrVOvda3TpZfYxQ/edit?gid=816668604#gid=816668604 255] !! | ||
[Лабораторные] | [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1VSZb5PCXNz5hN_5iGBdB5M--2Xm4RViYk8SWyO2qOvw/edit?gid=0#gid=0 Лабораторные] | ||
|- | |- | ||
|} | |} | ||
| Строка 107: | Строка 161: | ||
*254: [https://classroom.google.com/c/Nzk3MDUzNDU2MzQ2?cjc=pgzvr3j3 Classroom] | *254: [https://classroom.google.com/c/Nzk3MDUzNDU2MzQ2?cjc=pgzvr3j3 Classroom] | ||
*255: [https://classroom.google.com/c/ODU5MDQzNDc4OTIz?cjc=bfqrblfo Classroom] | *255: [https://classroom.google.com/c/ODU5MDQzNDc4OTIz?cjc=bfqrblfo Classroom] | ||
*Лабораторные: [Classroom] | *Лабораторные: [https://classroom.google.com/c/ODYyMDI4NjgyMjY1?cjc=46cn3mlm Classroom] | ||
= Литература = | = Литература = | ||
Текущая версия от 16:21, 17 июня 2026
Преподаватели и учебные ассистенты
| Группа | БПМИ251 | БПМИ252 | БПМИ253 | БПМИ254 | БПМИ255 |
|---|---|---|---|---|---|
| Лектор | Аржанцев Иван Владимирович | ||||
| Семинарист | Зайцева Юлия Ивановна | Шафаревич Антон Андреевич | Перепечко Александр Юрьевич | Максаев Артем Максимович | Шафаревич Антон Андреевич |
| Ассистент | Швалюк Дарья | Степичев Евгений | Хасанов Айдар | Молонов Борис | Конраталиев Алан |
| Ассистент по лабораторным | Малков Максим | ||||
Расписание консультаций
*Если хотите прийти на консультацию, надо обязательно предварительно связаться с соответствующим преподавателем / ассистентом.
| Преподаватель/ассистент | понедельник | вторник | среда | четверг | пятница | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Аржанцев Иван Владимирович | 17:40-19:00, S826* | 17:40-19:00, S826* | ||||
| Зайцева Юлия Ивановна | 11:20-14:00, S828* | |||||
| Максаев Артем Максимович | 14:30-16:00, T909* | |||||
| Перепечко Александр Юрьевич | 13:00-14:20, S828* | |||||
| Шафаревич Антон Андреевич | 17:00-18:00* | |||||
| Конраталиев Алан | 16:00-17:00* | |||||
| Малков Максим | 18:00-19:30, Zoom* | |||||
| Молонов Борис | 14:40-16:00* | |||||
| Степичев Евгений | 13:00-16:00* | |||||
| Хасанов Айдар | 14:40-16:00* | |||||
| Швалюк Дарья | 18:00-19:30* |
Порядок формирования оценок
Итоговая оценка выражается следующим образом:
Oитоговая = 0,25 * Одз + 0,1 * Олаб + 0,25 * Ок/р + 0,4 * Оэкз.
Округление производится для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.
Краткое содержание лекций
В этом разделе выложены конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.
- Лекция 1 (03.04.2026) Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы матриц и группы подстановок. Подгруппы. Классификация подгрупп в группе (Z,+). Циклические подгруппы и порядок элемента. Циклические группы.
- Лекция 2 (07.04.2026) Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия. Нормальные подгруппы. Факторгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы. Классификация циклических групп.
- Лекция 3 (10.04.2026) Ядро и образ гомоморфизма. Теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.
- Лекция 4 (14.04.2026) Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Ранг свободной абелевой группы. Характеризация базисов. Подгруппы свободных абелевых групп.
- Лекция 5 (15.04.2026) Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду. Факторгруппа решетки по подрешетке. Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности.
- Лекция 6 (28.04.2026) Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные, свободные и эффективные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Изоморфизм действий. Теорема Кэли.
- Лекция 7 (30.04.2026) Кольца. Примеры колец. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы. Главные идеалы. Факторкольца и теорема о гомоморфизме для колец.
- Лекция 8 (19.05.2026) Центр и простота алгебры матриц над полем. Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Лемма о старшем члене.
- Лекция 9 (22.05.2026) Доказательство основной теоремы о симметрических многочленах. Теорема Виета. Дискриминант многочлена. Системы полиномиальных уравнений. Случай систем линейных уравнений. Идеал системы и эквивалентность систем. Формулировка теоремы Гильберта о базисе и леммы Диксона.
- Лекция 10 (26.05.2026) Задача о принадлежности многочлена идеалу. Алгоритм деления. Оператор редукции. Нормальная форма многочлена. Базис Грёбнера идеала. S-многочлены и формулировка критерия Бухбергера.
- Лекция 11 (29.05.2026) Доказательство критерия Бухбергера. Алгоритм Бухбергера. Минимальный базис Грёбнера, его существование и единственность. Задачи о принадлежности идеалу и совпадении двух идеалов.
- Лекция 12 (02.06.2026) Радикал идеала. Теорема Гильберта о нулях. Задачи о наличии решения, принадлежности радикалу, эквивалентности систем и конечности числа решений.
- Лекция 13 (05.06.2026) Доказательства леммы Диксона и теоремы Гильберта о базисе. Нетеровы кольца и условие обрыва возрастающих цепочек идеалов. Теорема Гильберта о нулях и ее слабая форма.
- Лекция 14 (09.06.2026) Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность.
- Лекция 15 (16.06.2026) Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырех элементов. Цикличность мультипликативной группы. Реализация конечного поля как факторкольца. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.
Листки с задачами
Домашнее задание на неделю N находится в конце листка номер N и сдаётся письменно в classroom группы. Номер группы определяется ведомостью на вики-страничке.
Дедлайны по дз сообщают семинаристы в своих группах. При сдаче в течение 24 часов после дедлайна результат умножается на 0,7, при сдаче после 24 часов аннулируется.
Дедлайны по выборочным защитам домашних заданий сообщаются ассистентами в своих группах; соответствующие клетки будут выделены в ведомости оранжевым цветом.
Лабораторные
Планируется две лабораторные работы: в конце апреля и в начале июня.
Лабораторная 1: задание и вся информация доступны по ссылке. Дедлайн 20 мая 23:59.
Лабораторная 2: задание и вся информация доступны по ссылке. Дедлайн 18 июня 23:59.
Сдача после дедлайна возможна в первые сутки со штрафом 0,5. Далее работы не принимаются.
Итоговая оценка за лабораторные равна среднему арифметическому оценок за две лабораторные.
Контрольная работа
Контрольная работа запланирована на 10 июня в 10:30. Работа проводится письменно и включает в себя 6 задач. На решение задач отводится 120 минут. Во время контрольной запрещено использование средств связи и материалов.
Экзамен
Экзамен проводится в устной форме. Каждый студент получает билет, состоящий из нескольких вопросов по программе курса. После ответа на вопросы преподаватель может задать дополнительные вопросы по программе курса и предложить теоретические задачи.
Дата: 22 июня.
Ведомости текущего контроля
| 251 | 252 | 253 | 254 | 255 |
|---|
Куда сдавать домашние задания
Номер группы определяется ведомостью (см. выше).
Литература
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
- Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.