Математическое моделирование

О курсе

Данный курс Математическое моделирование читается в 2020/2021 учебном году на Факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ.

Курс состоит из следующих перемежающихся друг с другом разделов:

• методы построения моделей (в основном из физики),
• точные методы исследования моделей (алгебраические, аналитические),
• численные методы исследования моделей.

Рассчитан на 1 семестр (2 модуля).

Область знаний, которую можно было бы назвать математическим моделированием, изучает как сами математические модели, так и общие закономерности их построения и методы анализа.

Как известно, любая наука в процессе своего становления проходит путь от классификации изучаемых объектов (примеры таких классификаций мы можем видеть в астрономии, биологии, химии) к их математическому описанию. По мнению А.Н. Уайтхеда: всякая наука по мере развития и совершенствования ее методов становится математической в своих основных понятиях.

Наиболее долгий и плодотворный путь в этом направлении прошла физика, влиянием которой проникнуты многие разделы математики. Можно даже сказать, что математика и физика развивались параллельно, взаимно обогащая друг друга идеями и методами. Поэтому выбор физики как плацдарма для курса математического моделирования вполне закономерен. С другой стороны, конечно, математическое моделирование не есть физика. Мы берем из физики лишь сами модели, оставляя физикам мотивировки и интерпретации.

План курса

I. Введение в математическое моделирование

1. Этапы построения математической модели. Математическая модель как система уравнений. Корректность модели по Адамару. Обзор математического моделирования в естественных и социально-экономических науках. Структура курса. Примеры математических моделей.

II. Алгебраические уравнения

1. Алгебраический подход в исследовании полиномиальных уравнений. Кольцо многочленов. Идеал кольца многочленов и система уравнений. Упорядочение мономов. Алгоритм множественного деления многочленов. Понятие базиса Гребнера. Алгоритм Бухбергера. Вычисление базиса Гребнера в системах Maxima и Singular.

2. Результант многочленов и исключение неизвестных.

3. Алгебраические уравнения в роботике. Алгебраические уравнения и автоматическое доказательство геометрических теорем.

4. Аналитический подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Окрестность простой точки. Поиск решения в виде формального степенного ряда. Получение асимптотического разложения методом последовательных приближений. Обратная функция и формула Лагранжа.

5. Пример: методы приближенного решения уравнения Кеплера.

6. Окрестность точки ветвления. Диаграмма Ньютона. Разложение в ряд Пюизо.

7. Численный подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Методы численного решения СЛАУ. Методы численного решения системы нелинейных уравнений.

III. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Примеры. Модель радиоактивного распада и методы датировки (радиоуглеродный анализ). Законы Кеплера как следствие закона всемирного тяготения.

2. Устойчивость решения по Ляпунову. Устойчивость по первому приближению. Показатели Ляпунова.

3. Пример: модель хищник-жертва (уравнения Лотки - Вольтерры).

4. Функция Ляпунова и второй метод Ляпунова. Полная механическая энергия как функция Ляпунова.

5. Многоугольник Ньютона для ОДУ и асимптотика решений. Примеры применения.

6. Сведение к интегральному уравнению. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений.

7. Поиск решения в виде ряда. Разложение в окрестности простой точки.

8. Регулярные и иррегулярные особые точки. Разложение в окрестности особой точки.

9. Метод малого параметра. Регулярно возмущенное уравнение.

10. Сингулярно возмущенное уравнение. Пограничный слой. Теорема Тихонова.

11. Численные методы решения ОДУ.

IV. Элементы классической механики

1. Кинетическая и потенциальная энергия механической системы. Функция Лагранжа.

2. Функционал действия. Принцип наименьшего действия. Уравнение Лагранжа.

3. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона.

V. Основы дифференциальной геометрии

VI. Дифференциальные уравнения в частных производных

VII. Элементы гидродинамики и теории упругости

VIII. Элементы электродинамики

IX. Элементы квантовой теории