Математическое моделирование

О курсе

Данный курс Математическое моделирование читается в 2020/2021 учебном году на Факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ.

Курс состоит из следующих перемежающихся друг с другом разделов:

• методы построения моделей (в основном из физики),
• точные методы исследования моделей (алгебраические, аналитические),
• численные методы исследования моделей.

Рассчитан на 1 семестр (2 модуля).

Область знаний, которую можно было бы назвать математическим моделированием, изучает как сами математические модели, так и общие закономерности их построения и методы анализа.

Как известно, любая наука в процессе своего становления проходит путь от классификации изучаемых объектов (примеры таких классификаций мы можем видеть в астрономии, биологии, химии) к их математическому описанию. По мнению А.Н. Уайтхеда: всякая наука по мере развития и совершенствования ее методов становится математической в своих основных понятиях.

Наиболее долгий и плодотворный путь в этом направлении прошла физика, влиянием которой проникнуты многие разделы математики. Можно даже сказать, что математика и физика развивались параллельно, взаимно обогащая друг друга идеями и методами. Поэтому выбор физики как плацдарма для курса математического моделирования вполне закономерен. С другой стороны, конечно, математическое моделирование не есть физика. Мы берем из физики лишь сами модели, оставляя физикам мотивировки и интерпретации.

План курса

I. Введение в математическое моделирование

1. Этапы построения математической модели. Математическая модель как система уравнений. Корректность модели по Адамару.

2. Обзор математического моделирования в естественных и социально-экономических науках. Структура курса.

3. Примеры математических моделей.

II. Алгебраические уравнения

1. Алгебраический подход в исследовании полиномиальных уравнений. Кольцо многочленов. Идеал кольца многочленов и система уравнений. Упорядочение мономов. Алгоритм множественного деления многочленов. Понятие базиса Гребнера. Алгоритм Бухбергера. Вычисление базиса Гребнера в системах Maxima и Singular.

2. Результант многочленов и исключение неизвестных.

3. Алгебраические уравнения в роботике. Алгебраические уравнения и автоматическое доказательство геометрических теорем.

4. Аналитический подход в исследовании алгебраических (в широком смысле) уравнений. Окрестность простой точки. Поиск решения в виде формального степенного ряда. Получение асимптотического разложения методом последовательных приближений. Обратная функция и формула Лагранжа.

5. Пример: методы приближенного решения уравнения Кеплера.

6. Окрестность точки ветвления. Диаграмма Ньютона. Разложение в ряд Пюизо.

7. Методы численного решения СЛАУ. Метод Гаусса (обычный и с выбором главного элемента). Итерационные методы Якоби и Зейделя. Решение переопределенной системы. Псевдорешение (и метод наименьших квадратов).

8. Методы численного решения системы нелинейных уравнений. Деление отрезка пополам. Метод Нелдера - Мида. Метод простых итераций. Метод Ньютона (касательных) и метод одной касательной.

Минимальные знания и навыки. Алгоритм множественного деления многочленов. Базис Гребнера и алгоритм Бухбергера. Результант многочленов от одной переменной. Исключение неизвестных из системы полиномиальных уравнений (любой метод). Разложение неявной функции в окрестности простой точки (любой метод). Диаграмма Ньютона для многочлена. Разложение неявной функции в окрестности точки ветвления. Алгоритмы метода Гаусса с выбором главного элемента и итерационных методов Якоби и Зейделя. Алгоритм метода Ньютона (касательных).

III. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Примеры. Модель радиоактивного распада и методы датировки (радиоуглеродный анализ). Законы Кеплера как следствие закона всемирного тяготения.

2. Система уравнений 1-го порядка. Задача Коши. Существование решения. Единственность решения. Непрерывная зависимость решения от начальных данных. Продолжаемость решения.

3. Сведение к интегральному уравнению. Теорема Банаха о неподвижной точке сжимающего отображения. Метод последовательных приближений.

4. Система линейных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Жорданова нормальная форма матрицы. Экспонента от матрицы и ее вычисление. Аналитическая функция от матрицы.

5. Автономная система уравнений. Фазовое пространство. Точка покоя и ее устойчивость. Классификация точек покоя 2-мерной системы.

6. Устойчивость решения по Ляпунову. Исследование устойчивости по первому приближению. Показатели Ляпунова.

7. Пример: модель хищник-жертва (уравнения Лотки - Вольтерры).

8. Функция Ляпунова и второй метод Ляпунова. Теоремы об устойчивости и неустойчивости.

9. Диаграмма Ньютона для ОДУ и асимптотика решений. Примеры применения.

10. Поиск решения в виде ряда. Разложение в окрестности простой точки.

11. Асимптотика системы линейных уравнений с матрицей, близкой к постоянной.

12. Регулярные и иррегулярные особые точки. Разложение в окрестности особой точки.

13. Метод малого параметра. Регулярно возмущенное уравнение.

14. Сингулярно возмущенное уравнение. Пограничный слой. Теорема Тихонова.

15. Численные методы решения ОДУ.

Занятия

Записи лекций и семинаров выкладываются в плейлист

Экзамен

На экзамен выносится материал курса в рамках минимальных знаний и навыков - смотрите выше.