Алгебра ПИ 2025-2026

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПИ 251	БПИ 252	БПИ 253	БПИ 254	БПИ 255	БПИ 256	БПИ 257	БПИ 258	БПИ 259	БПИ 2510
Лектор	Михайлец Екатерина Викторовна
Семинаристы	Михайлец Екатерина Викторовна	Зайцева Юлия Ивановна	Хрыстик Михаил Андреевич	Преснова Екатерина Денисовна	Зайцева Юлия Ивановна	Медведь Никита Юрьевич	Преснова Екатерина Денисовна	Максаев Артём Максимович	Шахматов Кирилл Вениаминович	Бельдиев Иван Сергеевич
Ассистенты	Суханов Григорий, Савин Артём	Палий Александр, Беднова Александра	Симонов Алексей, Адаев Ислам	Черепенникова Варвара, Купцевич Эвелина	Осина Дарья, Лобан Филипп	Широкова Ульяна, Файзуллин Илья	Владимиров Алексей, Прокопьев Степан	Лапа Антонина, Лизунов Даниил	Жданок Дарья, Ноговицын Айтал	Торосян Андраник, Михайлов Артём, Марьин Даниил

Консультации

Вы можете посещать консультации, организованные как для вашей группы, так и для других групп, если не удаётся посещать свои. Таблица, в которой отмечается проведение консультаций вашими ассистентами. Вы можете следить по таблице за тем, чтобы консультации проводились вовремя, и если они вам нужны, то при необходимости напоминать ассистентам. Таблица обновляется по воскресеньям.

Аттестация и оценки

2025/2026 учебный год 1 семестр

О1 = 0,27∙О_(Кр-1) + 0,12∙О_(ИДЗ-1 и ИДЗ-2) + 0,16∙О_(Сем-1) + 0,45∙О_(Экз-1)

Здесь О_(Сем-1) - оценка от 0 до 10 баллов, учитывающая регулярность посещения семинаров, активность на семинарах, в том числе решение задач у доски, и выполнение текущих домашних работ в 1-2 модулях.

Оценка за индивидуальные домашние задания (ИДЗ) в 1 и 2 модулях вычисляется как среднее арифметическое О_(ИДЗ-1) и О_(ИДЗ-2).

В конце 2го модуля проводится письменный экзамен.

2025/2026 учебный год 2 семестр

О2 = 0,21∙О_(Кр-3) + 0,08∙О_(ИДЗ-3 и ИДЗ-4) + 0,12∙О_(Сем-2) + 0,24∙О_(Коллок-мод3 и Коллок-мод4) + 0,45∙О_(Экз-2)

Обратите внимание, что во 2м семестре общая сумма коэффициентов равна 1,1, т.е. с некоторым "запасом".

Оценка за коллоквиумы в 3 и 4 модулях вычисляется как среднее арифметическое О_(Коллок-мод3) и О_(Коллок-мод4). Оценка за ИДЗ аналогично.

В конце 4го модуля проводится письменный экзамен, который является блокирующим.

Подробнее о каждой из составляющих итоговой оценки можно прочитать в ПУД (план учебной дисциплины) на сайте ВШЭ.

Прошедшие лекции

Здесь находится информация о пройденных на каждой лекции темах, а также, начиная с 16 лекции, ссылки на записи.

Лекция 1 (03.09.2025): Матрицы. Частные случаи матриц. Единичная матрица. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, умножение. Примеры. Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, умножения. Доказательство ассоциативности умножения матриц. Замечание о некоммутативности умножения. Пример.

Лекция 2 (10.09.2025): Транспонирование и его свойства. Доказательство связи умножения и транспонирования. Элементарные преобразования строк матрицы. Представление элементарных преобразований умножением на матрицу специального вида. Пример. Ступенчатый вид матрицы и канонический (улучшенный ступенчатый) вид матрицы. Примеры. Теорема о методе Гаусса с доказательством. Системы линейных алгебраических уравнений и их связь с методом Гаусса.

Лекция 3 (17.09.2025): Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Утверждение о том, что транспозиция меняет чётность перестановки. Циклическая запись. Умножение подстановок. Некоммутативность умножения. Тождественная подстановка. Обратная подстановка.

Замечание, что любая подстановка представима в виде произведения транспозиций. Замечание, что знак произведения подстановок равен произведению знаков множителей. Общая формула для определителя произвольного порядка. Вычисление определителя матрицы порядков 2 и 3, правило Саррюса.

Свойства определителя:

1. Определитель транспонированной матрицы.

2. Полилинейность. Пример.

Лекция 4 (24.09.2025):

Свойства определителя:

3. Кососимметричность.

4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк.

5. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных.

6. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других.

7. Значение определителя на единичной и диагональной матрице.

8. Определитель верхнетреугольной матрицы.

Замечание о том, как меняется определитель при элементарных преобразованиях строк/столбцов. 1й способ вычисления определителя приведением методом Гаусса матрицы к верхнетреугольному виду.

Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точностью до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице.

Лекция 5 (01.10.2025):

Свойства определителя:

9. Разложение по строке. Дополняющий минор, алгебраическое дополнение. Примеры.

10. Фальшивое разложение. Третье (индуктивное) определение детерминанта через разложение по строке.

11. Определитель блочной матрицы.

12. Определитель произведения с доказательством. Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований и рекуррентных соотношений.

Доказательство правила Крамера. Определение обратной матрицы. Её единственность.

Лекция 6 (08.10.2025): Теорема о критерии существования обратной матрицы с доказательством. Союзная матрица. Формула для вычисления обратной матрицы. Матрица, обратная к произведению матриц, и матрица, обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Матричные уравнения двух типов двумя способами каждый.

Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Примеры. Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы (с доказательством) и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Ранг ступенчатой матрицы.

Лекция 7 (15.10.2025): Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки (столбцы). Примеры. Критерий линейной зависимости с доказательством. Пример.

Теорема о базисном миноре с доказательством. Пример. Следствия теоремы о базисном миноре: теорема о ранге матрицы с доказательством (эквивалентное определение ранга), критерий невырожденности квадратной матрицы с доказательством.

Лекция 8 (22.10.2025): Вычисление ранга матрицы (элементарные преобразования и метод окаймляющих миноров). Теорема об окаймляющих минорах с доказательством. СЛАУ, совместная, однородная, неоднородная СЛАУ. Свойства решений СЛАУ. Следствие о том, каким может быть множество решений СЛАУ (несовместная, определённая и неопределённая СЛАУ). Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности) с доказательством.

Лекция 9 (05.11.2025): Пример на совместность СЛАУ. Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений. Теорема о существовании ФСР. Критерий существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ (следствие из теоремы о существовании ФСР). Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ (начало доказательства).

Лекция 10 (12.11.2025): Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ (окончание доказательства). Пример. Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ. Пример. Комплексные числа, алгебраическая форма записи. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел.

Лекция 11 (19.11.2025): Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической записи. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Изображение корней n-ой степени на комплексной плоскости. Пример. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка "основной" теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о том, что комплексный многочлен n-ной степени имеет n корней с учётом кратности.

Лекция 12 (26.11.2025): Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени.

Векторы в трёхмерном пространстве. Коллинеарность, компланарность. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трёхмерном пространстве. Ортонормированный базис. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах в произвольном базисе. Вычисление скалярного произведения в ОНБ.

Лекция 13 (03.12.2025): Правая и левая тройка векторов. Правый базис. Векторное произведение векторов в трёхмерном пространстве. Критерий коллинеарности двух векторов. Алгебраические свойства векторного произведения (линейность, кососимметричность). Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в правом ОНБ.

Смешанное произведение векторов, его свойства. Вычисление объема параллелепипеда и тетраэдра. Критерий компланарности трёх векторов. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в правом ОНБ.

Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении.

Лекция 14 (10.12.2025): Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. 6 типов уравнений плоскости: общее уравнение, через три точки, уравнение в отрезках, каноническое, векторные и параметрические уравнения плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Прямая в пространстве. 4 типа уравнений прямой: общие, векторные, параметрические, канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости. Угол между прямыми.

Лекция 15 (17.12.2025): Отображения множеств. Образ и полный прообраз. Сюръективность и инъективность. Биекция. Примеры. Бинарное отношение на множестве. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Утверждение о том, что любое разбиение множества задаёт отношение эквивалентности. Фактормножество. Примеры (горизонтальные прямые на плоскости, вычеты). Бинарные операции. Ассоциативные и коммутативные бинарные операции. Пример (композиция отображений, её ассоциативность и некоммутативность). Алгебраические структуры. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа.

Лекция 16 (14.01.2026): Эквивалентное определение группы. Примеры групп: общая линейная группа GL_n(R), симметрическая группа S_n. Порядок группы. Абелева группа. Пример. Подгруппа. Собственная подгруппа. Примеры: специальная линейная подгруппа SL_n(R), знакопеременная подгруппа A_n. Критерий подгруппы с доказательством. Гомоморфизм. Примеры гомоморфизма: детерминант, логарифм. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Пример на изоморфизм D_3 и S_3. Группа диэдра D_n. Таблица Кэли.

Лекция 17 (21.01.2026): Группа вычетов Z_n. Таблица Кэли для вычетов по модулю 4. Порядок элемента. Примеры. Циклическая группа. Примеры циклических групп: целые числа по сложению, комплексные корни n-й степени из единицы и группа вычетов по модулю n. Утверждение о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению.

Лекция 18 (28.01.2026): Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2*Z_2. Проверка неизоморфности группе Z_4. Изоморфность группе Клейна V_4. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Примеры. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие 3 из теоремы Лагранжа. Теорема Кэли.

Лекция 19 (04.02.2026): Правый смежный класс. Нормальная подгруппа. Примеры. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов по нормальной подгруппе. Пример факторгруппы. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Образ гомоморфизма. Утверждение, что образ гомоморфизма является подгруппой. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра (на 2м потоке только формулировка).

Литература

Учебники

• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III
• В.А. Ильин, Г.Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 3-е издание

Сборники задач

• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том II, часть 2. М.: ИКД "Зерцало-М", 2003